Tuxdoc com tuyen tap cac chuyen de amp ky thuat tinh tich phan tran phuong

C ó thể nóiđây là m ột cuốn sáeh đầy đủ và chi tiết nhất viết về tích phân hàm 1 biến số và được trình bày trên từng c m2 giấy.. Ở bậc phổ thông, tích phân xác định được định nghĩa chì c

Trang 1

TRẦN PHƯƠNG

ã X

TUYỂN TÂP CÁC CHUYÊN ĐỀ & KỲ THUẬT ĨÍN11

vã \

Ị Jpi

MỂÌEỉạÌ

1 I

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đóng góp PDF bởi GV Nguyễn Thanh Tú

Trang 3

N H À X U Ấ T 1SẢN 0 Ạ I I 1 Ọ C í ị U Ố C G I A H À N Ộ IBỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Trang 4

fỳu < ’ k JT^ j ữj?íi Ỳ5Í 'ế * * * Ẩ ( /Á c - ó ỉ ầ

ẽ>*ỹjt-éỷ c4 c&ỷ- V? fci& cu íùlp 'fid ỷ U~ "

c Ẩ ị lêCc ý tĩ* Yĩ t i 'tẹ ỹ A * / ■

05-BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Trang 5

Ù?~£Knỹ yJtieZ ^ « » 1 'T/x' c*r ĩ^Âùẻđc ot*ữ*í ỉ*zcA, /<ẢđÂ? r ẽ ỉ / 7~»ẽịy >s~ r £ ic A.ỵ>Ăê&s’ " CẤÊrtxrỵ*

'-■^ , VH&nẨ "{/**> £i£r> ỹp&b, £<&*- /*■£» '& z ỉ/' ^ r

ỉ / f ~ ỵ ă ^ CU£&? Sa^Ếỷ 3 ~& £a cẬ*<jỵ <ắ->- t £ / eJL~

BỒI DƯỠNG TOÂN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Trang 6

■LỜI N Ó I ĐẨU

ỈP ấ n y, ẻ ỉọÁ m {fá i,f

co m ô ỉ ỉ m n làw<Ỹ Qềế là m ỹ ỉ e m Ũ êẦ Á Á ãriỹ?

(JỀ ê ỹ ì ó c tứ m đ i

- (ấ Ấ ỹ n Ẩ *ip<mỹ

-Trước hết tác giả xin cảm ơn các thầy cô giáo và các em học sinh từ mọi

miền đất nước đã gửi thư đóng góp ý kiến về các cuốn sách đã được xuất

bản Do phải hoạt động trên nhiều lĩnh vực khác nhau nên tác giả không có

thời gian viết thư để trả lời cụ thể cho từng bạn đọc mà những ý kiến của các

bạn sẽ được tác giả đúc rút kinh nghiệm cho việc xuất bản các cuốn sách

mới Quá trình xuất bản sách của tác giả được chia thành 2 giai đoạn giống

như sự chuyển đổi cơ chế tuyển sinh Đại học của Bộ Giáo dục & Đào tạo.

Giai đoạn 1: Từ năm 1993 đến năm 2002: Các cuổn sách được viết theo

chủ đề ỉuyện thi Đại học Tiêu biểu cho thời kỳ này là các cuốn sách:

1 Các phương phap'va kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức (1993).

2 Phương pháp mới giải đề thi tuyển sinh Đại học (1995).

3 Tuyển tập các chuyên để ỉuyện thi Đại học môn Toán: Hàm sổ' (2001).

4 Tuyển tập các chuyên đề luyện thi ĐH môn Toán: Hệ thức lượng giác (2001).

5 Tuyển tập các chuyên đề luyện thi ĐH môn Toán:: PT lượng giác (2002).

Giai đoạn 2: Từ năm 2003 trở đi tác giả đã, đang và sẽ viết các cuốn

sách theo phong cách tổng kết những vấn đề cơ bản của Toán học sơ cấp

Gác cuốn sách đã xuất bản và dự kiến được xuất bẳn trong thời gian tới ỉà:

ỉ Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải -toán (đã xuất bản năm 2004)

2 Tuyển tập các chuyên đề và kỹ thuật tính tích phân (xuất bản nãm 2006)

3 Tuyển tập các chuyên đề và kỹ thuật chứng minh BĐT Đại số (2006)

4 Tuyển tập các chuyên đề phương pháp giải PT và BPT Đại số (2007)

Trong giai đoạn ỉ , tác giả đã nhận ỉời giúp đúng tên cho sự ra đời của

cuốn sách “Đ ại s ố sơ cấp ” - một tác phẩm đầu tay của tác giả Lê Hồng Đức

Trong cuốn sách này tác giả chỉ viết 10 trang tóm tắỉĩi gồm s vấn đề sau

đây:

Trang 7

- Những bài giãi ấn tư ợ n g (trang 9, 10)

- S ừ dụng BĐT Bunhiacôpski để GPT, GBPT (trang 625, 626)

- Sừ dụng BĐ T Bernoulli đê GPT, GBPT - (trang 627, 628)

'Những vấn đề này sẽ được đề cập trong cuốn sách "Tiuyển tập các c h u y ê n

đề, p h ư ơ n g p h á p g iả i P T và B P T Đ ạ i s ố ” - một cuốn sách rất chi tiết và đồ

sộ với khoảng 5000 b à i t o á n m à tác giả đã dành công sức viết tronẸ 3 năm.Tro n g tay các bạn là cuốn sách được viết trong giai đoạn 2 C ó thể nóiđây là m ột cuốn sáeh đầy đủ và chi tiết nhất viết về tích phân hàm 1 biến số

và được trình bày trên từng c m2 giấy Nó vừa kế thừa những tinh hoa của các

bậc tiền bối vừ a đư ợ c phát triển tiếp nổi, đặc biệt là sự sáng tạo "K ỹ th u ậ t

n h ả y tầ n g lầ u " trong biến đổi tích phân hàm phân thứ c hữu tỉ bậc cao.

Phép tính tích phân bắt nguồn từ nhu cầu sáng tạo ra p h ư ơ n g pháp tổng quát để tim diện tích, thể tích và trọ n g tâm T ừ 200 năm trư ó c c ô n g nguyên

A rchim ède (2 87-212) đã khởi nguồn cho sự ra đời của phép toán này Đến thế kỉ X V I - X V I I nỏ đã được Cavalieri (1598-1647), Torricelli (1 6 0 8-1647), Fermat (16ÓI-1665), Pascal (1623-1662), phát triển m ột cách có hệ thống Tiếp đó vào nhũng năm 70 cùa thế kỉ XVII Newton (1642-1727) và Leibniz ( t 646-1716) đã thiết lập mối quan hệ giữa phép tính vi phân và tích phân

C à n g vói sự phát triển của ngành Vật lý, lý thuyết tích phân theo nghĩa tổng quát và hiện đại đirợc phát triển theo 2 hình thái sau đây

1 Độ đo các tập hợp: Được xây dựng bởi Riemann (1826-1866); Jordan

(] 838-1922), Borel (1871 -1956), Lebesgue ( 1875-1941), Carathéọdory (1873-1950)

2 Tích phân các hàm số: Các nhà toán học Pascal, Ferm at, N ew ton, Leibniz

đã đặt nền m ỏ n g tính tích phân cho các hàm số liên tục Khái niệm tích phân suy rộng được các nhà toán học Euler (1707-1783), C au ch y (1789- 1857), Riemaim , Lebesgue, Radon (1887-1956), Frigyes Riese (1880-1956), Marcel Ri.ese (1 8 8 6 -1 9 6 9 ) phát m inh và pliát triển tiếp nối

Phép tính tícl’ phàn của một hàm số đặt ra 2 kiếu bài toán sau đây:

4

Trang 8

Ở bậc phổ thông, tích phân xác định được định nghĩa chì cho các hàm số liên tục Vì thế m u ố n tính tích phân xác định thì phải tìm đ ư ợ c nguyên hàm rồi sử dụ n g c ô n g thứ c N e w to n -L eib n iz C ách làrrt này có thể đưa đến một nhận thứ c sai lầm là đ ồ n g nhất sự tồn tại cùa tích phân xác định và nguyên

hàm Ở bậc Đại học, ch ú n g ta sẽ thấy: "M ột hàm s ố kh ô n g liên tục vẫn cỏ tích phân xác định trên một khoảng mà nó không cỏ nguyên hàm; hoặc có những hàm số có nguyên hàm mà không cỏ tích phân xác định".

N g ày nay phép tính tích phân chiếm một vị trí'rất quan trọng trong Toán học

nó vừa là đối tư ợ n g nghiên cứu cùa giải tích, vừa là c ô n g cụ nền tảng trong ]ý th u y ế t hàm, lý th u y ế t p h ư ơ n g trình vi phân, p h ư ơ n g trình đạo hàm riêng

Ngoài ra phép tính tích phân còn đ ư ợc ứng d ụ n g rộ n g rãi trong X á c suất,

T h ố n g k ê , V ật lý, C ơ h ọ c , T h iê n văn h ọ c, Y h ọ c , tro n g các ngành côn (Ị

nghiệp n h ư Đ ó n g tàu, S ả n x u ẩ t Ôtô, M á y bay và n g à n h H ù n g k h ô n g vil trụ.

C uốn sách này đ ư ợ c viết theo quan điểm thiên về p h ư ơ n g p h á p , k ỹ th u ậ t

nên sau phần m ở đầu tóm tắt nguyên hàm, tích phân xác định, tác giả dã

gộp chung cả 2 loại bài tập nguyên hàm và tích phân xác định (được tính

bằng c ô n g thứ c N e w to n -L e ib n iz ) Sau đó các phần tích phân của các hàm số hữu tỉ, lư ợ n g giác, vô tỉ đư ợ c giới thiệu phát triển th e o hình xoắn ốc Phần ứng d ụ n g tích phân để tính diện tích, thể tích, tác giả đã phân loại chi tict

3 dạng hàm sổ: D ạng y = y(x); D ạng phư ơng trình tham số; D ạng phư ơng trình trong tọa độ cực Tác giả cũng đưa vào tuyến tập này tích phân suy rộng; tích phân phụ th u ộ c tham số với nhữ ng ví dụ và bài tập đặc sắc Phần cuối c u ố a / s á c h lả sự tổ n g kết chi tiết và hệ th ố n g để tra cứ u 134 đạn<í

N g u y ên hàm th ô n g dụ n g cho 8 loại h à m số sơ cấp với k h oản g 1500 bài

C uốn sách này là tấm lòng cùa tác giả dành cho các em học sinh, các thày

cô giáo dạy Toán và Liên hiệp các hội K hoa học & Kỹ th u ật Việt Nam

N hẩn dịp này tác giả xin chân thành cám ơn G iáo s ư P h a n H u y K h a i -

Giám đốc T ru n g tâm Đ ào tạo sau Đại học Viện Toán học Việt Nam đà đọc

và viết lời tự a ch o cuốn sách, xin cảm 011 N h à g iá o N g u y ễ n T h ư ợ n g Võ

(Nguyen giáo viên Toán trường T Ị iP T Hà N ội-A m sterdam ) đã sử dụng tài liệu dưới dạng bản th ảo c ủ a cuốn sách để giảng dạy và viết lời tựa Tác ụiá cũriiì xin cảm 011 Nhà xuất bản Tri Thức đã giới thiệu cuốn sách đến với bạn dọc.Khi thự c hiện viết một cuốn sách đồ sộ sẽ không thể tránh khỏi nhfrim thiếu sót, tác già m ong bạn độc lượng thứ và góp ý nội du n g cuốn sách theo đja c h I:

s õ 3 Hàng Tre, Hoàn Kiếm, Hà Nội

Hà Nội, ngày 22 tháng 12 năm 2005

T r ầ n P h ư ơ n g

Trang 9

yâa tập cức chuyên đề và k ĩ thuật tính tích phân - Trần Phương

M ỤC LỤ C

Những bài toán ấn tư ợ n g í 1

ong ỉ CÁC KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN 13

§ f Nguyên hàm và Tích phân 13

§2 Các bài toán sử dụng định nghĩa nguyên h à m 19

! Dạng 1: Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của f ( x ) 19

li Dạn? 2: Xác định nguyên hàm với điều kiện ràng buộc 24

ill Dane 3: Tìm giá trị tham số để F(x) là một nguyên hàm cùa f(x) 26 S3 Nguyên hàm của các dạng hàm số đặc b iệ t 29

! ũạng 1: Nguyên hàm của các hàm số dạng tích, thương 29

li Dạng 2: Các dạng nguyên àhm đơn giàn chứa hàm ex 32

§4 Tích phân đon giản ứng dụng írực tiếp công th ứ c 35

§5 Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc 2 41

r dx i Dang 1 : A = — 7— - 41

J ax + b x + c r ( m x + n ) , II Dạn« 2: B = — -——— đx 43

J ax + bx + c r dx Dạng 3: c = 1—7 = = = = = = = 49

V ax + b x + c ^ r (m x + n ) d x IV Dạng 4: D = j — 51

Vax + bx 4- c ĩ dx. V D ạ n g 5 : E = U - - = • 53

(px + q)vax +bx + c _ f ( ,Ĩ1X + n^dx VI D ạ n g6: F = J - - - = r 55

(px + q )V a x + b x + c V!l Dạng 7: G = - — ■ 59

( a x 2 + b) VCX2 + d

Trang 10

M ục lục - Trần Phương

Dang 10: J = j , với degPn(x) = n > 2

Vax2 + b x + c 65 XI. Dang 1 ỉ : Các phương pháp thế Euler 69

§6 Tích phân của hàm phân thức hữu tỉ 73

§7 Phư ong plỉáp Ô xtrô g ratx k i vói các hàm phân thức hữu t í 87

§8 Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hãm phân thức hữu tỉ 97

i Dạng 1: Tách các mẫu sổ chứa các nhân từ đồng b ậ c 97

II Dane 2: Tách cốc mẫu số chứa các nhân tử không đồng b ậ c 99

III Dạng 3: Kĩ thuật nhày tầng lầu khi mẫu sổ là hàm đa thức bậc 4 101

ỈV Dạng 4: Kĩ thuật nhảy tầng lầu khi mẫu số là hàm đa thức bậc 3 104

V Dạng 5: Kĩ thuật nhảy tầng lầu khi mẫu.số là hàm đa thức bậc 6 106

VI Dạng 6: Sủ dụng khai triển Tayior ]09

v u Dạng 7: Kĩ thuật nhày tầng lầu khi mẫu số là hàm đa thức bậc cao 1 1 1 VIII Dạng S: Kĩ thuật chồng nhị t h ứ c 113

§9 1J5 1 Dạnsí 1 : A ị! = | ( s i n x ) ” dx ; A12 J ( c o s x ) n d x 115

11 Dane 2: B - Jsin'" X cos" xdx (m, n s N )

118 III Dạng 3: C3 , = j ( t g x ) n d x ; C32 = j( c o tg x ) n d x ( n e N ) 121

ỈV .Dạng 4: D4 c ( t g x ) ”' d x ; D 42 - Ị f ( c o tg x ) mdx .

(cos x) (,sin x) 124 V Dạnií 5: Sử dụna công thức biến đổi ’ách thành t ổ n g 127

§10 Các phép đỗi biến số CO' băn tích phâu hàm !u'Ọ'ng giác 129

]. D ạ n s 1: Đ ổ i biến s ố t ổ n g q u á t 129

2 D ạ n g 2: r ( - sìiix , cosx ) = -R(sinx.cosx) 130

3 D ạ n g 3: R (sill X, -COS x) = -R (sill X,COS x) 132

4 D ạ n s 4 : R ( - sill X, - COS x) = R (sin X, COS x ) • 132

§1 1 Piến đỗi và đỗi biến nâng cao tích phân hàm số lượng g i á c 133

I. Dang 1: Mau số là biểu thức thuần nhất của Sin 133

11. Dang 2: Mầu số là biểu thức thuần nhất cùa Cosin 136

III. Dạng 3: M a u số là biểu thức đẳng cấp bậc 2 của Sin, C o s i n 139

IV. Dang 4: Mau số là biểu thức đẳng cấp bâc nhất của Sin, C o sin 141

Trang 11

Tuyển tập các chuyên đề và k ĩ thuật tỉnh tích phân — Trần Phương

rasinx + bcosx

VI Dạng 6: F = - - đx 146

Jmsinx + ncosx _ _ _ asinx + bcosx + c VII Dạng 7: G = I - — d x 147

J m sin X + n COS X + p ~ r a s i n x + b c o s x VIII Dạng 8: H = J - - d x 149

(m sin X + n COS x) TV « T r a ( s i n x ) 2 + b s i n x c o s x + c ( c o s x ) 2 , 1«! Ì*- Dạng 9: 1= - — — - dx

J m s in x + n c o s x „ , r msinx + ncosx , , „ X Dạng lô : J = I - J— — -— -: d x 153

a ( s in x ) + 2 b s in x c o s x + c (c o s x ) XI D ạng 11: C ác p h ép đôi biến sô tổ n g hợ p 155

§12 Phưcrag pháp Iu'Ọ'ng giác hóa tích phân hàm vô t ỉ 159

1 Dạng 1: J f ( x ,V a2 - X 2 ) d x 159

2 Dạng 2 : Jf ( x V x 2 - a 2 ) d x 162

3 Dạng 3: Jf (x,Vx2 + a 2 )d x 164

4 Dạng 4: J f Ị ^ x ,^ ĩ ^ j d x 168

5 Dạng 5: | f ( x , V ( x - a ) ( b - x ) ) d x 168

313 Tích phân hàm vô tỉ 169

1 Dạng 1: I = J x m (a + bxn ) dx với m, n, p e Q 169

2 Dạng 2 : 1 = j l l ( x , x r'A\ !x rj/qj )dx 173

>" §14 Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đ ổ i 181

§15 Tích phân các hàm Hypebolic 195

§16 Phưong pháp tích phân từng phần 201

1 Dạng 1: J p (x ){ s in (a x + b );c o s(a x + b) ;e ax+b;m ax+b}dx 202

2 Dạng 2: Jp(x)Ịancsinu;arccosu;arctgu;arccotgu;lnu;logmuịu = ax+bỊdx 205 3- Dạng 3: Tích phân từng phần luân h ồ i 212

\ 4 Dạng 4: Các bài toán tổng h ợ p ; 218

8

Trang 12

M ục lục — Trần Phương

§17 Phương pháp hệ số bất định của tích 2 loại hàm sổ 223

I Dạng 1: I= |p ( x ) sin(ax + b)dx;J= j p ( x ) COS(ax + b)dx 223

II Dạng 2 : 1 — j" p (x )e ax+b dx; J = J p ( x ) r a ax+b d x 224

III Dạng 3 :1 = Jeax+b sin (ax + p)dx; J = j"eax+b COS(ax + p)dx 226

§18 Tích phân trụy h ồ i 229

§19 Kỹ thuật sử dụng sé phức trong tích p h â n 241

§20 Tính tích phân xác định bằng định nghĩa 251

1 Dạng 1: Sừ dụng định nghĩa tính tích phân xác định 252

2 Dạng 2: Xét tính khả tích cùa hàm s ố 256

§21 Các dạng đặc biệt của tích phân xác đ ị n h 261

I Dạng 1: Hàm số dưới dấu tích phân là hàm chẵn, hàm lẻ 261

II Dạng 2: Hàm số dưói dấu tích phân là thựơng cùa hàm chẵn và hàm mũ 264 III Dạng 3: Tính bất biến cùa tích phân khi biến số thay dổi cận cho nhau 268 IV Dạng 4: Hàm số dưới dấu tích phân là hàm tuần h o à n 269

V Dạng 4: Hàm số dưới dấu tích phân có trục đối xứng thẳng đứng 271

VI Dạng 6 : Tích phận cùa các hàm số đối xứng n h a u 272

VII Dạng 7: Biến đổi tách đôi hàm số và co cận tích p h â n 274

VIII Dạng 8: Khử đạo hàm bậc 2 của hàm số đặc b iệ t 275

IX Dạng 9: Tích phân cùa cảc hàm số đặc biệt k h á c 276

§22 Phưong trìn h chứa tích phân 277

§23 Tìm giới hạn của tích p h â n 283

t 1 Dạng 1: lim íf ( x ) d x 283

t—»co J 0 b II D ạng2: lim i f ( x ,n ) đ x , Vn e N 286

n-»00 J a Chưong II: CÁC ỨNG DỤNG TÍCH P H Ẳ N 299

§24 ứ n g dụnẹ tích phâr tính gió’i hạn 299

§25 Sử dụng đạo hàm và tích pliân chứng minh đẳng thửc của cỊỉ 305 1 Dạng 1: Chứng minh bất đảng thức cỊ; bằng đạo h à m 305

ỉỉ Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức c|ị bằngtích p h â n 307

§26 ứ n g dụng tích phân trong phuong t r ì n h 309

Trang 13

Tuyến tập các chuyên đề và k ĩ thuật tinli tích phân — Trần Phương

§ 2 7 D i ệ n tíc h h ì n h p h ẳ n g 3 J 5

! Diện tích hinh phẳng xác định bời đường cong y = f(x) 315

II Diện tích hình phang của đường có phương trình tham s ố 333

ill Diện tích hình phẳng của đường cong trong tọa độ Cực 335

§28 Thể tích kliối tròn xoay 341

§29 Tính thể tích theo íhiết diện thẳng 357

§30 Độ dài đivòng cong p h ẳ n g 363

1 Dạng 1: Eộ dài của đường cong có phương trình y = f(x) 363

2 Dạng 2: Độ dài của đường cong có phương trình tham s ố 366

3 Dạne 3: Độ dài của đường cong trong hệ tọa độ cự c 369

§31 Diện tích mặt tròn x o a y 371

1 Dạng 1: Diện tích mặt tròn xoay của đường còng y = f(x) 371

2 Dạng 2: Diện tích mặt tròn xoay của đường cong có phương trinh tham số 377 3 Dạng 3: Diện tích mặt tròn xoay cùa đường cong trong hệ tọa độ cực 382 §32 Tính gần núng tích phân xác định 383

Cluỉcmg III: BẤT ĐẲNG T H Ứ C T ÍC H P H Â N 397

§33 Đánh giá theo hàm số và cận tícli p h â n 397

§34 Bất đẳng thúc cỗ điển tích phân và ứng d ụ n g 415

Trang 14

Nhữitg bài toán ấn tượng - Trần Phương

N H Ữ N G B À I T O Á N Ấ N T Ư Ợ N G

N h ữ n g bài toán dưói đây được trích từ ỉcĩ thuật nhảy tầng lầu của tích phân

K ĩ thuật này íà tách m ộ t tích phân có khoảng cách giữ a bậc của tử và mẫu rất

lớn thành 2 tích phân có khoảng cách giữa 2 bậc nhỏ hơn được mô tả theo sơ đồ:

(• dx _ 1 f

x » + a - - 2b

M ậ t số học sinh và giáo viên khi ch ư a hiểu biết đầy đủ thì cho rằn g tên

gọi k í th u ậ t " n h ả y tầ n g l ầ u " chí là câu chữ để tạo cảm xúc khi g iả n g bài

n h ư n g họ c h ư a b iết điều quan trọ n g nhất của k ĩ th u ật chính là nghệ thuật

chọn hàm u(x) Ví dụ về ngu y ên tắc ch ú n g tá có thể tính — bằng

phương pháp hệ số bất định có lời giải khoảng 2 tra n g giấy, nhưng nếu giải nó

bởi 5 biển đổi dấu b ằn g v ớ i k h oảng 3 d ò n g thì lại là m ộ t đẳng cấp k h á c

Trang 15

Tuyển tập các chuyên đề và k ĩ thuật tinh tích phân — Trần Phương

_ f Ox _ rjcosxdx _ f d(sinx) _ f dKsinx)

COS' x~" COS4 X ~ > ( j _ sin 2 x y ~ [ ( / + s in *) ( / _ s in x )]

Trang 16

§1 Nguyên hàm và tích phân — Trần Phương

CHƯƠNG !: CÁC KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN

§ 1 N G U Y Ê N H À M V À T ÍC H PH Â N

I NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BÁT ĐỊNH

1 Đ ịn h n g h ĩa :

• Giả sử V = f i x ) liên U‘C trên khoảng (a, b), khi đó hàm số y = F(x) là một

nguyên hàm cùa hàm số =f(x) khi và chi khi F'(x) =f{x), Vxe(a, b).

• N ếu y = F(x) là m ộ t nguyên hàm c ủ a hàm số y =J{x) thì tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số y =J( x) là tập hợp I =1 F ( x ) + C I c e / ? j và tập hợp

này còn được kí hiệu dưới dấu tích phân bất định / = ị f( x ) c ìx = F ( x ) + c

2 Vi p h â n :

Cho X m ột số gia ầ x sao cho (x + Ax) 6 (a,b), khi đó ta có:

• N ếu hàm s ố / ( x ) có vi phân tại điểm X thì ta nói f ( x ) khả vi tại điểm X.

Do d f ( x ) = f i x ) ầ x nên j { x ) khả vi tại điểm X <=>./(*) cỏ đạo hàm tại điểm V

2.2 Tính chất: G iả sử u và V là 2 hàm số cùng khả vi tại điểm X Khi đó:

Trang 17

CkirỠMĩ 1; Các kĩ'thuật-tịnh tích phân: — Trần p/titơttg

4.3 P h ép cộng: Nẹiì/(A:) và.g(x) cp ngu y ên hàm thì:

Nếu một tích phân, bất định biểu (diẹn đựợc dưới dạng.hữu hạn thì hàm số

dưới dấu tích phân là hàm sơ cấp và điều n g ư ợ c lại k h ô n g đ ú n g , tứ c là có nhiều hàm số 'dírới dấu tích phân là hàm s ơ cấp n h ư n g tích p h â n bất định không biểu diễri đ ư ợ c dư ới d ạn g hữ u h ạ n m ặ c dù n ỏ tồ n tại C h ẳ n g h ạ n các

tích phân bất định sau tồn tại fe"*’ dx; Í-^L; \yjsinx dx; ĨĨ1HĨ-dx; \- 0Sx dx

như ng c h ú n g k h ô n g thể biểu diễn đ ư ợ c d ư ớ i d ạ n g h ữ u hạn,

Trang 18

§1 Ngụyên hàmv àt i ẹ h phận - Trận Phựợng

II TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

1 Đ ị n h n g h ĩ a :

Giả sử hàm số/(x ) xác định,và bị chặn trên đọạn [<3, ổ] Xét một phân hoạch

n bất kì của đóạn [ứ, b], tức ỉẩ chia đoạn [á, b\ thánh 'ri phần túy ỷ bởi cẩc

điểm chịa; a = x0 <X/ < < x n_j < x n =b Trên m ỗi đ o ạn \ x k_!, % ] .lấy bất kì

điểm Ị,k e , x k ] và gọi At = x k - xk,ị là độ dài c ủ a \ xk_ị, xk ] K h i đó:

hàm f { x ) trên đoạn [a, 6], T ổ n g tích phân này phụ thuộc vào phân h oạch 71,

số k h oảng chia n và phụ th uộc vào cách chọn điểm

ệit-N ếu tồ n tại lim (là m ộ t số xác định) thì giới hạn này gọi là

tích phân xác định của ham sốjf(x) tíêniđoạh [a, ồ] v ằ k í h iệu ' í á : <&

aKhi đó hàm số y = f i x) được goi Ịà khả tích trên đoạn [a, ồ]

2 Điều kiện khả tích:

Các hàm liên tục trên [a, ỏ], các hàm bị chặn có hữu hạn điểm gián đoạn

3 Ý n g h ĩa h ìn h h ọ c :

b

N ế u /ộ c) > 0 trền đoặn [a, b] thi ị f { x ) d x tà diềh tích của hìhh th á h g èohg

a giới hạn bởi các đư ờng: y =f ( x ) , X = a, X = b, y ~ :ữ • ' - V -

Trang 19

Chương I: Các k ĩ thuật tinh tích phân - Trần Phương

4 C á c đ ịn h lý , tín h c h ấ t v à cô n g th ứ c c ủ a tíc h p h â n x á c đ ịn h :

4 1 Định lý 1: N eu /(a:) liên tục trên đoạn [a, b} thì nó khả tích trên đoạn [a, ỏ]

4 2 Định lý 2 : N ếu J(x), g(x) liên tục trên đoạn [a, b] vàj(x) < g( x) , Vxe[a, b]

4.9 Công thức đổi biến số:

Clro y = f(x) liên tục trên đoạn [ứ, ỏ] và hàm X = (p(t) khả vi, liên tục trên

Trang 20

§7 Nguyên hàm yặ tích phân - Trần Phương

Trang 21

Chương ỉ: Các k ĩ thuật tinh tích phân Trân Phương

IV NHỮNG CHÚ Ý KHI s ử DỤNG CÔNG THỨC KHÔNG G Ớ T R O N G S G K 12

Các công thức có mặt trong Iỉ mà không có trong SGK 12 khi sử dụng phải

c h im e m i n h lại b ằn g cách t r ì n h bày dư ới dạng bổ đề c ổ nh iều cấch chứng

:i ví d u 1 : C h ứ n g m inh: í ^ - = — ln

J X - a 2a f dx 1 if 1

í— 7 = — arctg— + c và [—= = = = = arcsin — + c (a > ồ) nhưng sau đó không

g i ống bất cứ nươc nào trên thế giới' họ,lại cấm không cho sử dụng khái niệm

hàm ngưọ'c arctg A% arcsin-xv Cách trình bàý trên để khắc phục lệnh cấm yận này

18

Trang 22

§2 Các bài toáỉt sử dụng định nghĩa ngụyên hàM - Trần Phưưttg

§ 2 CÁC BÀI TO ÁN SỬ DỤNG ĐỊNH NG H ĨA NG UYÊN HÀM

I DẠNG 1: Chứng minh F(x) là một nguyên hạm của f{x) trên D c R

Bài 1 K iểm tra F(x) có phải là nguyên h àm của f(x) hay không

N g u yê n n h â n sa i lầ m : l n ( s i n x ) < l n l = 0 => không tồn tại In(ln(sin x ))

Bài'2 Kiểm tra F(x) có phải là nguyên hàm của f(x) hay không ;

Trang 23

Chương I: Các k ĩ t/tuật tinh tích phân - Trần Phương

Trang 24

§2 Các bài toán sử dụng định nghĩa nguyên hàm — Trần Phương

r 'í 'I 31 í rr~, T'i 8x4 - 3 a 4 3a2 - 6 x 2 I ■>." 2 3a2x 2 -2x"

Trang 25

Ch li on s /■• Các k ĩ thuật tính tích phân - Trần Phiíờng

Trang 26

§2 Các bài toán sử dụng định nghĩa nguyên hàm - Trần Phưffi.b

lim x-»cr

-Do F'(o+ ) = F'(o~) = Ó nên F '(0) = 0 = f Co) (3)

Kết luận: Từ (1), (2) vá (3) súy ra F(x) = f(x), VxeR

[2V1 + X -l; V x > 0 Chứng minh rằng: F(x) là một nguyên hàm của f(x)

Iíết luận: F'(x) = f(x), VxeR

và F' (o+ ) = F' (cr ) = 1 => F' (o) = 1 = f (o) nhưng F(x) không phải là nguyên hàm

CỊÌa f(x) trên R Giải thích,được điều này’ bạn sẽ nhận được lời khen của tác giả.

Trang 27

Chương I: Các k ĩ thuật tinh tích phân — Trần Phương

II DẠNG 2: Xác định nguyên hàm của một hàm số với điều kiện ràng buộcBài 1 Cho f ( x ) = x3 + x 2 sinx + 2 x c o s x và g ( x ) = x 2 cosx

Tìm hệ thức giữa f (x) và g(x) Từ đó tìm nguyên hàm G(x) của g(x) biết G(7t)=0

Giải

Ta có: f'(x) = 3x2 + 2xsinx + X2 cosx + 2 co sx -2 xsin x = 3x2 +2cosx + x2 cosx

|G(x).= f ( x ) - 2 s i n x - X 3 +c g(x) = f '( x ) - 2 c o s x - 3 x 2 =><

Trang 28

§2 Các bài toán sữ ílụitg định nghĩa nguyên hàm — Trần Phương

Trang 29

Chương I: Các k ĩ thuật tính tích'phân - Trần Phướng

Tìm a, b, c, d để F(x) là một nguỵên hàm của f(x) trên R

Trang 30

§2 Các bài toán sịt dạng định nghĩa ngụyên hàm - Trận Phương

Bài 3 Cho F(x) = (2a+.l)sinx + (3 b -2 )sin 2 x + (5 c-7 )sin 3 x ; f (x ) = cos2x

Tìm a, b, c để F(x) là một nguyên hàm cùa f(x) trên R

Trang 31

Chương I: Các k ĩ thuật tính tích phân — Trần Phương

Trang 32

§■?■ Ngtiýên hùm cửa các dạng hàm sổ đặc biệt - Trần Phương

§ 3 N G U Y ÊN H ÀM CỦA CẢC DẠNG H Ẳ M số ' Đ Ặ C BIỆT

I DẠNG 1: NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM s ố DẠNG TÍCH, THƯƠNG

D ạ n g C ấ u trúc h à in số N g u y ê a hàMí

T ổ n g f(x) = ủ' + v' = (u + v)' F(x) = u + V

Trang 33

Chương ĩ: Cắc k ĩ thuật tinh tích phân - Trần Phương

Trang 34

§3 Nguyên hàm của các dạng hàm số đặc biệt - Trần Phương

Trang 35

Chương ir Các.kĩ thuật tiiih -tích phận —Trần Phương

II DẠNG 2: CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM ĐƠN GIÀN CHỨA HÀM e”

•Bảng nhận dạng nguyên hàm và đạo hàm củạ các hàm sổ chứa e*

eax+b F(x) = u(x)eax + b F ( x ) = [u'(x) + au(x)]eax+b = f ( x )

ev(X) ' F(x) = u (x )e v(x) F '(x)= [u'(x) + v '(x )u (x )]e v(x) = f ( x ) Bài 1 Tìm Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = (x2 +5x + 7)ex

Trang 36

§5 Nguyên hàm cửa các dạng ítăiii sô đặc biệt - Trần Phương

Bài 3 Tìm Nguyên hàm của hàm số f (x) =

Trang 37

Chương I: Các k ĩ thuật tính tích phân - Trần Phương

B ài 7 Tìm N g u y ê n hàm c ủ a hàm số f(x ) = (l + V ĩ+ X 2 ) + x ( l + x )

yjỉ + X2 yỊl + Vl + X2Giải

Trang 38

§4 Tích phân đơn giãn - Trần Phương

§4 TÍCH PHÂN ĐỚN GIẢN ỨNG DỤNG TRựC TIẾP CÔNG THỨC

Trang 39

Chương'I: Các k ĩ thuật tinh tích phân - Trần Phương

Tiêu đề	Tuyển Tập Các Chuyên Đề & Kỹ Thuật Tính Tích Phân Trần Phương
Tác giả	Trần Phương
Người hướng dẫn	GV. Nguyễn Thanh Tỳ
Trường học	Trường THPT Quy Nhơn
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Tài liệu
Năm xuất bản	2009
Thành phố	Quy Nhơn

Định dạng
Số trang	435
Dung lượng	11,1 MB