Một số ứng dụng của tích phân bội, tích phân đường và tích phân mặt trong cơ học

Bài viết này nhằm tìm hiểu một số ứng dụng của tích phân bội, tích phân đường và tích phân mặt trong cơ học.

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI, TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ

TÍCH PHÂN MẶT TRONG CƠ HỌC

SV Trần Đức Nghĩa

Lớp D12X6, Trường ĐHXD Miền Trung

Tóm tắt: Bài viết này nhằm tìm hiểu một số ứng dụng của tích phân bội, tích phân

đường và tích phân mặt trong cơ học

Từ khóa: Tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt, khối lượng, mô-men

Mở đầu

Tích phân bội, tích phân đường và tích phân mặt là những nội dung rất quan trọng trong chương trình môn Giải tích Qua quá trình học các chuyên đề trên trong học phần Giải tích 2, tôi nhận thấy việc nắm vững kiến thức về các loại tích phân trên sẽ giúp chúng ta áp dụng giải quyết được nhiều bài toán trong các lĩnh vực khác như vật lý, cơ học,… Từ đó tôi đã tìm hiểu một số ứng dụng của tích phân bội, tích phân đường và tích phân mặt trong cơ học

Tác giả xin chân thành cám ơn thầy Đoàn Văn Hiệp đã có gợi ý và những góp ý cũng như chỉnh sửa để giúp tôi hoàn thành bài viết này

1 Khối lượng, trọng tâm, momen quán tính của vật thể là vật rắn dạng khối

1.1 Khối lượng

Giả sử ta phải tính khối lượng vật thể V không đồng chất, biết khối lượng riêng tại M(x,y,z) là:

) , , ( ) (M  x y z



Ta chia V một cách tùy ý thành n khối nhỏ không dẫm lên nhau có thể tích là

V1,…, Vn Trong mỗi khối thứ i lấy tùy ý một điểm Mi (x i , y i , z i) Ta có khối lượng xấp xỉ của vật thể là:

n i i n i i i i

ρ P ΔV = ρ x , y ,z ΔV m

Qua giới hạn ta được:

( , , )

V

m  x y z dxdydz

1.2 Momen quán tính và tọa độ trọng tâm

1.2.1 Momen quán tính

Theo định nghĩa trong cơ học thì momen quán tính của một chất điểm khối lượng

m, nằm cách đường thẳng L một khoảng r đối với đường L là:



i

M

i

ΔV

L

I = mr

Ta xét mở rộng cho một vật thể chiếm miền thể tích V có khối lượng riêng (x,y,z)

và một đường thẳng L trong không gian cách P(x,y,z) một đoạn r(x.y.z)

Bằng cách chia nhỏ khối V và qua giới hạn ta được momen quán tính của V đối với L là :



L

2 V

I = r ρ x, y,z dxdydz

Nói riêng, mô men quán tính của vật thể nói trên đối với trục Ox, Oy và Oz lần lượt là:

x V

I = y + z ρ x, y,z dxdydz

y V

I = x + z ρ x, y,z dxdydz

z V

I = x + y ρ x, y,z dxdydz

1.2.2 Tọa độ trọng tâm

Vật thể V với khối lượng riêng (x,y,z) có tọa độ trọng tâm G được xác định bởi

công thức:

























G

V

G

V

G

V

1

x = xρ x, y,z dxdydz m

1

y = yρ x, y,z dxdydz m

1

z = zρ x, y,z dxdydz m

Nếu vật thể đồng chất thì  = const => m = .V Do đó:

























G

V

G

V

G

V

1

V 1

V 1

V

1.3 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Tính mô men quán tính của khối trụ thuần nhất đối với trục của nó

Giải: Ta chọn trục khối trụ Oz, chọn mặt phẳng đáy làm mặt phẳng Oxy Bán kính hình

trụ là R, chiều cao là h, tỉ khối là:  = const

x

z

y

V

V

R

0

Ta có: z   

V

I = ρ x + y dxdydz

Dùng tọa độ trụ ta được:

z

R



Với M = R 2 h là khối lượng của khối trụ

Ví dụ 2 Xác định trọng tâm của vật thể đồng chất giới hạn bởi mặt nón z2 - x2- y2 = 0; (z >0) và mặt cầu x2+ y2+ z2=1

Giải:

Giao tuyến của mặt nón và mặt cầu được xác định bởi :

x2+ y2= z2 và x2+ y2 = 1- z2



2

1 - z = z

2 2z = 1 z =

2

Do đó những bán kính vectơ của các điểm trên giao tuyến ấy làm với trục oz một góc bằng 4

G(x,y,z) là trọng tâm Vật thể nhận Oz làm trục đối xứng nên G phải nằm trên Oz Suy ra G(0,0,z) Mặt khác, V đồng chất nên  = const

Chuyển sang tọa độ cầu ta có:

2 V'

V =r sinθdrdθdφ

Miền V’ được giới hạn bởi :

4

π













 

 

 

V = r dr sinθdθ dφ = 2π r dr sinθdθ = 2π - +1 r dr π

Mặt khác ta có:  

/

2

π zdxdydz = rcosθr sinθdrdθd =

8



Do đó:

   



G V

x

y

0

z

Vậy:   

2 Khối lƣợng, trọng tâm, momen quán tính của vật thể là vật rắn dạng cung

2.1 Khối lƣợng một cung vật chất

Xét một cung vật chất AB có chiều dài L, có khối lượng riêng phụ thuộc vào điểm M(x,y,z) trên dây cung là (M) -  (x,y,z)

Ta chia nhỏ cung AB thành n cung nhỏ bởi các điểm chia: {A = A0, A1, , An-1 ,

An = B} Khối lượng của cung thứ i A A i i1 :

i i

m ( ) 

Trong đó Mi là điểm tùy ý trên cung A A i i1 , li là độ dài của cung A A i i1









0

) (

n

i

i i

Qua giới hạn ta được:  AB   ( , , )

AB

m m  x y z dl

Nếu AB đồng chất thì  = const Do đó :

.

AB AB

mdll

2.2 Momen quán tính, trọng tâm cung trong không gian

2.2.1 Momen quán tính

Xét một cung vật chất AB trong không gian, có khối lượng riêng là  (x,y,z) Một

đường thẳng L bất kỳ trong không gian cách AB một khoảng là r(x,y,z)

Để tính momen quán tính của AB đối với L ta cũng chia nhỏ AB thành n cung nhỏ không dẫm lên nhau

Trên cung nhỏ thứ i ta lấy một điểm Mi(xi, yi, zi) bất kỳ, khoảng cách từ Mi đến L

là r(x i ,y i ,z i ) Xét momen quán tính của cung nhỏ thứ i đối với L :

2

( ).

I r  M l

Suy ra:

n i

i 1



Qua giới hạn ta được: 2

( , , ) ( , , )

 

L AB

I r x y z  x y z dl

Áp dụng cho L là Ox, Oy, Oz ta có :

( ) ( , , ) , ( ) ( , , ) , ( ) ( , , )

2.2.2 Tọa độ trọng tâm

Tọa độ trọng tâm G của AB được xác định bởi:

m

m z m

m y m

m x

xy xz yz







Với :

( , , )

AB AB

mm    x y z dl

( , , ) ( , , ) ( , , )

yz AB

xz AB

xy AB

m x x y z dl

m y x y z dl

m z x y z dl



















Nếu AB đồng chất ρ= const thì:

1

1

1

AB AB

AB AB

AB AB

l

l

l













2.3 Ví dụ minh họa

Cho nửa vòng tròn bằng thép đặt trong mặt phẳng Oyz với phương trình y 2 + z 2 =

1, z  0 Biết khối lượng riêng là  (x,y,z) = 2 – z Hãy tìm khối lượng và tâm của nửa

vòng tròn đó

Ta gọi trọng tâm của nửa vòng tròn là G(x,y,z) Do nửa vòng tròn nằm trong mặt Oxy nên x = 0

Nửa vòng tròn có trục đối xứng là Oz nên G phải nằm trên Oz nên y = 0 Suy ra G(0,0,z) Nửa vòng tròn có phương trình tham số là :















t z

t y x

sin cos 0

( 0 t)

dl '  '  ' 2  2 2 2 

cos sin 0

2 2

Khối lượng:

0

( , , ) 2 sin 2 2

AB



0

8 ( , , ) sin 2 sin

2

xy AB

8

4 4

xy

m z m







  



 

 

3 Khối lƣợng, trọng tâm, momen quán tính của vật thể là vật rắn dạng mặt

3.1 Khối lƣợng mặt S

Xét một mặt cong S bất kỳ có diện tích là S, có khối lượng riêng phụ thuộc vào điểm M(x,y,z) nằm trên S là  =  (M) =  (x,y,z)

Tương tự như cách xác định khối lượng của cung, bằng cách chia nhỏ mặt S thành

n mặt nhỏ không dẫm lên nhau và qua giới hạn ta cũng được công thức tính khối lượng của mặt S là :

S

m  (x, y, z)dS Trong đó dS là yếu tố diện tích Nếu mặt S là mặt đồng chất  = const thì m = .S

3.2 Momen quán tính và trọng tâm

3.2.1 Momen quán tính

Tương tự, momen quán tính của mặt S đối với một đường thẳng L bất kỳ trong không gian:





S

I 2 ( , , )( , , ) Trong đó: r(x,y,z) là khoảng cách từ M(x,y,z) trên S đến L

3.2.2 Trọng tâm

Trọng tâm G(x,y,z) của mặt S được xác định bởi công thức:

























m

m z

m

m y

m

m x

xy xz yz

Trong đó:

( , , ) ( , , ) ( , , )

yz S

xz S

xy S















 





 











3.3 Ví dụ minh họa

Xác định trọng tâm của mặt S đồng chất cho bởi phương trình:

2

x y

z   z

Biết S nhận trục Oz làm trục đối xứng

Giải:

Mặt S nhận Oz làm trục đối xứng nên trọng tâm G (0,0,z) và  = const nên:





S

zdS S

z 1

2 2

2 2

y x

z  

z  x, z   y dS 1 x y dxdy

Mặt S cắt mặt z = 0 theo giao tuyến x 2 + y 2 = 4 Vậy hình chiếu của S xuống mặt Oxy là miền D: x 2

+ y 2 =  4

 x y dxdy dS

1

Chuyển sang tọa độ cực: 2 2    3  

0

  

Cũng như vậy ta tính được:

S

50 5 22 zdS

15



 



Do đó: z 50 5 22  3  307 15 5

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Bài giảng học phần Giải tích 2 của thầy Đoàn Văn Hiệp 2013 Trường ĐHXD

Miền Trung

[2] Đỗ Công Khanh, Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng 2005 Toán cao cấp 3

(Giải tích nhiều biến), NXB ĐHQG TP HCM

[3] Jean - Marie Monier 2006 Giải tích 4, NXB GD