Tích phân mặt, tích phân đường

File đầy đủ lý thuyết, bài tập và lời giải Chương 3 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT Tích phân đường loại một Định nghĩa, tính chất và cách tính Tích phân đường loại 2 Định nghĩa, tính chất và cách tính Tích phân mặt loại 1 Định nghĩa, tính chất và cách tính Tích phân mặt loại 2 Định nghĩa, tính chất và cách tính

Chương 3 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT 3.1 Tích phân đường loại một

3.1.1 Định nghĩa tích phân đường loại một

Bài toán vật lý dẫn đến khái niệm tích phân đường loại một

Giả sử trong mặt phẳng tọa độ Oxy có một sợi dây AB rất mảnh (chỉ có độ dài,t còn tiết diện không đáng kể) có khối lượng riêng tại điểm (x,y)AB được biểu diễn bằng hàm số f(x,y) đơn trị, liên tục và không âm Yêu cầu tìm khối lượng m của sợi dây AB

Để tính m, ta thực hiện như sau: Chia AB thành n cung nhỏ tùy ý không dẫm lên nhau bởi các điểm A  A0, A1, A2, …, An-1, An  B và ký hiệu độ dài của cung nhỏ Ai-1Ai là si (1  i  n) Trên cung Ai-1Ai lấy điểm (xi,yi) tùy ý, nếu cung Ai-1Ai đủ nhỏ thì ta có thể coi giá trị f(xi,yi) không đổi trên cung Ai-1Ai; khi đó, khối lượng của cung nhỏ Ai-1Ai là mi  f(xi,yi).si

Như vậy, nếu mọi cung Ai-1Ai (1  i  n) đủ nhỏ thì có thể coi khối lượng của sợi dây AB là

m = m1 + m2 + … + mn  f(x1,y1).s1 + f(x2,y2).s2 + … + f(xn,yn).sn =

=



n

1 i

i i

i,y ) sx

i,y ) sx

( sẽ có độ chính xác cao, tức là giá trị của biểu thức này càng gần khối lượng thực m của sợi dây AB nếu n càng lớn và tất cả các si (1  i  n) càng bé Do đó, khối lượng m của sợi dây AB bằng giới hạn của tổng

=



n

1 i

i i

i,y ) sx

( khi n →  cùng với độ dài của mỗi cung nhỏ si (1

 i  n) bé dần về 0, tức là n i

1 i

i i n

0 (x ,y ) slim

Định nghĩa tích phân đường loại một

Cho đường cong phẳng L là cung AB trong mặt phẳng tọa độ Oxy và hàm số f(x,y) xác định, đơn trị và liên tục với (x,y)AB Chia cung AB thành n cung nhỏ tùy ý không dẫm lên nhau bởi các điểm A  A0, A1, A2, …, An-1, An  B và ký hiệu độ dài của cung nhỏ Ai-1Ai là si (1  i  n) Trên cung Ai-1Ai lấy điểm (xi,yi) tùy ý và lập tổng 

=



= n

1 i

i i i

n (x ,y ) s

Nếu khi n →  sao cho max si 0

n i

i i i 0

n n L

AB

s)

y,x(limI

limds)y,x(ds)y,x(IKhi đó hàm số dưới dấu tích phân f(x,y) được gọi là khả tích trên cung AB (hay trên đường cong L), còn ds được gọi là vi phân cung

Nếu hàm số f(x,y) đơn trị và liên tục với (x,y)L thì nó khả tích trên đường cong L

Hoàn toàn tương tự, ta cũng định nghĩa tích phân đường loại một trên đường cong L trong không gian 3 chiều, tức là =

L

ds)z,y,x(

3.1.2 Tính chất của tích phân đường loại một

Đối với tích phân đường loại một trên đường cong phẳng

(1) Tích phân đường loại một không phụ thuộc vào chiều tính tích phân từ A đến B hay ngược lại, tức là  = 

BA AB

ds)y,x(ds)y,x

Các tính chất khác của tích phân đường loại một giống như các tính chất của tích phân xác định

(2)   +  = +

L 2 L

1 L

ds)y,x(ds

)y,x

ds)y,x(ds)y,x(ds)y,x

2 1

LL

LLL

Hoàn toàn tương tự đối với tích phân đường loại một trên đường cong trong không gian 3 chiều

3.1.3 Cách tính tích phân đường loại một

Đối với tích phân đường loại một trên đường cong phẳng

(1) Nếu cung phẳng AB được cho dưới dạng tham số

)t(xx

)y,x

AB

(21) Nếu cung AB được cho bởi phương trình y = y(x) (a  x  b), khi đó lấy x làm tham số, tức

dx)x('y1)x(y,xfds)y,x

dy)y('x1y),y(xfds)y,x

Hoàn toàn tương tự đối với tích phân đường loại một trên đường cong trong không gian 3 chiều

(1) Nếu cung AB trong không gian 3 chiều được cho dưới dạng tham số

)t(yy

)t(xx

(  t  )



++

= f x(t),y(t),z(t) x'(t) y'(t) z'(t) dtds

)z,y,x

)x(yy

(a  x  b), khi đó lấy x làm tham

)x(yy

xx

b

a

2 2

AB

dx)x('z)x('y1)x(z),x(y,xfds)z,y,x

)y(xx

(c  y  d), khi đó lấy y làm tham

yy

)y(xx

d

c

2 2

AB

dy)y('z)y('x1)y(z,y),y(xfds)z,y,x

)z(xx

(e  z  f), khi đó lấy z làm tham số,

y

y

)z(

AB

dz)z('y)z('x1z),z(y),z(xfds)z,y,x

phẳng) và tương tự =

L L

ds)z,y,x(ds)z,y,x( (L là đường cong trong không gian 3 chiều)

2

0

2 2

0

2 2

0

2 OA

12

11717)

x1(1)21(

18

1)x1(d)x1(8

1)x4(dx1

8

0

1 2 1 2 2

2

1 2

0

2 2

I trên L là các cạnh của ABC có tọa độ các đỉnh trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy là A(1,1), B(3,1) và C(1,5)

Bài giải

Đồ thị của ABC trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy là

CA 2 BC

2 AB

2 L

2

ds)yx(ds)y2x(ds)y2x(ds)y2x(I

- Tính  −

AB

2

ds)y2x( : Lấy x làm tham số, cạnh AB có phương trình y = 1 (1 ≤ x ≤ 3)

=+

2x1.2xy2x)x(y,xf)y,x(

2 2

2 2

2

14x

23

xdx)2x(ds)y2x

(

1

3 3

1 2 AB

15

1y31

3xy

y

yyxx

xx

B C B B

=+

=+

14x4x)7x2(2x)]

x(y,x[)y,x(

2 2

2 2

3

510x

142

x43

x5dx5)14x4x(ds)y2x

(

3

1

2 3 3

1 2 BC

=

−+

=+

y21y21y2x]y),y(x[)y,x(

2 2

2 2

(y y ) 20dy

)y21(ds)y2x

1 2 5

1 CA

3

5103

14ds)yx(I

I trên AB là đoạn thẳng nối điểm A(1,–1,2) với điểm B(–1,2, –1) trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz

Bài giải

Phương trình đường thẳng nối điểm A(1,–1,2) với điểm B(–1,2,–1) là

21

2z)1(2

)1(y11

1xz

z

zzyy

yyxx

xx

A B A A

B A A

3z),x(y2

1x2

3y,x

−+

=+

−

=

−+

=



dx2

22dx

23231dx)x('z)x('y1ds

2

1x2

52

1x2

322

1x2

3x2)x(z2)x(yx2)x(z),x(y,x

f

2 2

2 2

2

22x

2

x54

22dx

)1x(2

22dx

2

222

1x2

5ds

)z2yx

1 1

1 AB

−

=+

3.1.4 Ý nghĩa vật lý và ý nghĩa hình học của tích phân đường loại một

Nếu hàm số dưới dấu tích phân f(x,y) > 0 (đường cong phẳng L) hoặc f(x,y,z) > 0 (đường cong không gian L) xác định và liên tục với mọi điểm trên đường cong, là khối lượng riêng của đường cong tại điểm (x,y) của đường cong phẳng hoặc tại điểm (x,y,z) của đường cong không gian, thì khối lượng

m của đường cong L là =

L

ds)y,x(

L

ds)z,y,x(

m (ý nghĩa vật lý) Đặc biệt, nếu f(x,y) = 1

thì 

L

ds (L là đường cong phẳng) hoặc nếu f(x,y,z) = 1 thì 

L

ds (L là đường cong không gian) là độ dài

của đường cong L (ý nghĩa hình học)

Ví dụ 3.4 Tính chu vi của đường tròn L bán kính R

Bài giải

Không mất tính tổng quát, có thể coi đường tròn L bán kính R có tâm tại gốc tọa độ O(0,0) của

hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy, khi đó phương trình của đường tròn L trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy là x2 + y2 = R2 và đồ thị của nó là

Phương trình tham số của đường tròn x2 + y2 = R2 là

tcosR)t(x

Đường tròn L là đường cong phẳng khép kín nên bất kỳ điểm nào trên L cũng có thể được chọn

là điểm bắt đầu đồng thời là điểm kết thúc khi tính tích phân =

L

ds

C Để đơn giản, ta chọn điểm (x,y)

= (R,0) là điểm bắt đầu đồng thời là điểm kết thúc, tương ứng với tham số  = 0 và  = 2

Ta có x'(t) y'(t) ( Rsint) (Rcost) R

tcosR)t('y

tsinR)t('

=+

−

=+

2

0 2

0 2

0

2 2

=

=

3.2 Tích phân đường loại hai

3.2.1 Định nghĩa tích phân đường loại hai

Bài toán vật lý dẫn đến khái niệm tích phân đường loại hai

Cho một chất điểm M(x,y) di chuyển theo cung phẳng AB dưới tác dụng của lực F F(x,y)

có các thành phần P(x,y), Q(x,y) trên các trục tọa độ Ox, Oy Để tính công

W, ta thực hiện như sau: Chia cung AB thành n cung nhỏ tùy ý không dẫm lên nhau bởi các điểm A  A0, A1, A2, …, An-1, An  B Trên cung Ai-1Ai lấy điểm (xi,yi) tùy ý và ký hiệu xi, yi là các thành phần trên các trục tọa độ Ox, Oy của véc tơ Ai−1Ai Khi đó, nếu cung Ai-1Ai đủ nhỏ thì có thể coi cung này là thẳng và là véc tơ Ai−1Ai , còn lực F(x,y)

→

có thể coi là không đổi và bằng F(xi,yi)

→

tại mọi điểm của cung Ai-1Ai

Do đó, nếu ký hiệu Wi là công của lực F(xi,yi)



=

1 i

i i i i

i i 1

i i n

2

1 W W w P(x ,y ) x Q(x ,y ) yW

=

+



n

1 i

i i i i

i

i,y ) x Q(x ,y ) yx

(

P sẽ có độ chính xác cao, tức là giá trị của biểu thức này càng gần với giá trị chính xác của công W, nếu n càng lớn và tất cả các xi (1  i  n) và yi (1  i  n) càng bé Do đó, giá trị của công W là giới hạn của tổng   

=

+



n

1 i

i i i i

i

i,y) x Q(x ,y ) yx

Định nghĩa tích phân đường loại hai

Cho các hàm số P(x,y), Q(x,y) xác định và liên tục trên cung phẳng AB (hay đường cong phẳng L)

Chia cung AB thành n cung nhỏ tùy ý và không dẫm lên nhau bởi các điểm A  A0, A1, A2, …, An-1, An  B Trên mỗi cung Ai-1Ai lấy điểm (xi,yi) tùy ý, gọi hình chiếu của véc tơ Ai−1Ai lên các trục

=

+



= n

1 i

i i i i

i i



 mà tổng In → I là một giá trị hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia cung AB và cách lấy điểm (xi,yi) trên cung Ai-1Ai thì giá trị hữu hạn I được gọi tích phân đường loại hai của các hàm số P(x,y), Q(x,y) trên cung AB (hay trên đường cong L) và ký hiệu là



=

L AB

dy)y,x(Qdx)y,x(Pdy)y,x(Qdx)y,x(PI

Khi đó các hàm số P(x,y), Q(x,y) được gọi là khả tích trên cung AB (hay trên đường cong L) Nếu các hàm số P(x,y), Q(x,y) đơn trị và liên tục với (x,y)L thì chúng khả tích trên đường cong L

Hoàn toàn tương tự, ta cũng định nghĩa tích phân đường loại hai trên đường cong L trong không gian 3 chiều, tức là nếu các hàm số P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) đơn trị và liên tục với (x,y,z)L thì chúng khả tích trên đường cong L, tức là = + +

L

dz)z,y,x(Rdy)z,y,x(Qdx)z,y,x(P

3.2.2 Tính chất của tích phân đường loại hai

Ngay sau đây, ta nêu các tích chất của tích phân đường loại hai đối với cung phẳng AB hay đường cong phẳng L, còn đối với tích phân đường loại hai đối với cung AB hay đường cong L trong không gian 3 chiều cũng có các tính chất hoàn toàn tương tự

(1) Tích phân đường loại hai phụ thuộc vào chiều lấy tích phân từ điểm A đến điểm B hay từ điểm B đến điểm A vì hình chiếu của véc tơ Ai−1Ai lên các trục tọa độ đổi dấu khi véc tơ này đổi

BA AB

dy)y,x(Qdx)y,x(Pdy

)y,x(Qdx)y,x(P

Quy ước Nếu đường lấy tích phân đường loại hai là đường cong kín L (điểm đầu A trùng với

điểm cuối B), thì ta quy ước chiều dương trên đường L là chiều sao cho khi một người đi trên đường L theo chiều ấy sẽ thấy miền giới hạn bởi đường L luôn luôn ở bên tay trái Ký hiệu tích phân đường loại hai dọc theo đường cong kín L theo chiều dương là + +

L

dy)y,x(Qdx)y,x(

P và theo chiều âm là

1

1(x,y)dx Q (x,y)dy P (x,y)dx Q (x,y)dy

P

L

2 2

dy)y,x(Qdx)y,x(Pdy

)y,x(Qdx)y,x(

dy)y,x(Qdx)y,x(Pdy)y,x(Qdx)y,x(Pdy)y,x(Qdx)y,x

2 1

LL

LLL

3.2.3 Cách tính tích phân đường loại hai

(1) Nếu cung phẳng AB hoặc đường cong phẳng L được cho dưới dạng tham số

)t(xx

dt)t('xdx



+

=+Q(x,y)dy P x(t),y(t)x'(t) Q x(t),y(t) y'(t)dtdx

)y,x(P

L

(21) Nếu cung phẳng AB hoặc đường cong phẳng L được cho bởi phương trình y = y(x) (a  x 

b

a L

dx)x('y)x(y,xQ)x(y,xPdy)y,x(Qdx)y,x(

dyy),y(xQ)y('xy),y(xPdy)y,x(Qdx)y,x(

)t(yy

)t(xx

t('x)t(z),t(y),t(

b

ya

x

2 2

tcosa)t(x

dt)tsina(dt)t('xdx

I Để đơn giản, ta chọn điểm (x,y) = (a,0) là điểm bắt đầu đồng thời là điểm kết thúc, tương ứng với tham số  = 0 và  = 2

=+

2

0 L

dt)tsinabtcosab(dt)tsina)(

tsinb(dt)tcosb)(

tcosa(ydxxdyI

ab2abtdt

I trên L là đường cong từ điểm O(0,0) đến điểm A(1,1) có phương trình là (a) y = x3, (b) x = y2

Bài giải

(a) Đồ thị của cung OA thuộc đường cong bậc ba y = x3 từ điểm O(0,0) đến điểm A(1,1) trong

hệ tọa độ Descartes Oxy là

=

−+

=

−+

=

0

2 3

3 OA

L

dxx)xx(dxxxdy)xy(xydxdy

)xy(xydxI

20

14

35

12

14

x35

x6

x3dx)xxx

(

1

0

4 5 6 1

0

3 4

=

−+

=

−+

=

−+

=

0

2 2

OA L

dy)yy(ydy2ydy)xy(xydxdy

)xy(xydxI

30

172

13

15

22

y3

y5

y2dy)yyy

2

dzxxyzdy2dx)zy(

I trên đường L là đường cong không gian có phương trình tham số là {x = t, y = t2, z = t3 với 0  t  1} theo chiều tăng của tham số t

2 2

dzxxyzdy2dx)zy(Idt

t3dt)t('zdz

tdt2dt)t('ydy

dtdt1dt)t('xdx

70

35

t27

t8

t4dt)t2tt4(dtt3ttdt2ttt2dt)t()

0

4 6 7 1

0

2 2 3

2 2

3 2

3.2.4 Ý nghĩa vật lý của tích phân đường loại hai

Tích phân đường loại hai là công do lực thay đổi →F(x,y)=P(x,y).→i+Q(x,y).→j (trong mặt phẳng) hoặc

=P(x,y,z).i Q(x,y,z).j R(x,y,z).k)

z,y,x(

lực này di chuyển chất điểm M từ điểm A đến điểm B trên đường cong AB (trong mặt phẳng hoặc trong không gian 3 chiều)

3.3 Công thức Green

3.3.1 Công thức Green

Một số khái niệm

(1) Miền liên thông Miền phẳng DR2 được gọi là miền liên thông nếu ta có thể nối 2 điểm bất

kỳ thuộc D bằng một đường liên tục nằm hoàn toàn trong D

(2) Miền đơn liên và miền đa liên Miền liên thông được gọi là miền đơn liên nếu mọi đường

cong kín nằm hoàn toàn trong D đều bao bọc một miền nằm hoàn toàn trong D Miền liên thông không

đơn liên được gọi là miền đa liên

(3) Chiều dương của biên của miền liên thông D (đơn liên/đa liên) là chiều sao cho khi một người đi trên biên của miền D theo chiều ấy sẽ thấy các điểm trong của miền D luôn luôn ở bên tay trái

Nếu các hàm số P(x,y), Q(x,y) liên tục và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trên miền phẳng D là một miền liên thông, bị chặn và có biên L gồm một hay nhiều đường cong kín rời nhau

L

dxdyy

)y,x(Px

)y,x(Qdy

)y,x(Qdx)y,x(

dy)eyxy2x(dx)yxarctanx

dy)eyxy2x(dx)yxarctanx

không đơn giản, tuy nhiên nếu sử dụng công thức Green thì việc tính tích phân này qua tích phân hai lớp trên hình tròn D = {x2 + y2 ≤ 2y  x2 + (y – 1)2 ≤ 12} là miền có biên là đường tròn L thì việc tính tích phân này sẽ dễ dàng hơn rất nhiều

Đặt 1

y

)y,x(Px

)y,x(Qy1x

)y,x(Q

y2y

)y,x(Pe

yxy2x)y,x(

Q

yxarctanx)y,x(

P

y 2

L

dxdydxdy

y

)y,x(Px

)y,x(Qdy

)y,x(Qdx)y,x(

y 2 2

dxdydy

)eyxy2x(dx)yxarctan



=

=+

+++

D L

y 2 2

dxdydy

)eyxy2x(dx)yxarctan

)y,x(Qy

)y,x(Pdxdy

y

)y,x(Px

)y,x(Qdy

)y,x(Qdx)y,x(

+

−

=+







+

− +

D L

L L

dxdyy

)y,x(Px

)y,x(Qdy

)y,x(Qdx)y,x(P

dy)y,x(Qdx)y,x(Pdy

)y,x(Qdx)y,x(P



)y,x(Qy

)y,x(Pdxdy

y

)y,x(Px

)y,x(Qdy

)y,x(Qdx)y,x

)y,x(Q1

x

)y,x(Q

1y

)y,x(Px

)y,x(Q

y)y,x(P

D D

L

ydxxdy2

1SS2dxdy2

dxdy2dxdyy

)y,x(Px

)y,x(Qydx

Ví dụ 3.9 Tính = + − + +

L

3 3 3

3

dy)yx(dx)yx(

I trên đường tròn L có phương trình là x2 + y2 = 1

Bài giải

Đồ thị của đường tròn L trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy là

Gọi D là miền giới hạn bởi đường tròn L D={(x,y)R2 x2 +y2  }

Cũng như ở Ví dụ 3.8, ta sẽ sử dụng công thức Green để tính tích phân

=

L

3 3 3

3

dy)yx(dx)y

)y,x(Qx

x

)y,x(Q

y3y

)y,x(Py

x)y,x(Q

yx)y,x(

2

2

3 3

3 3

+

=+

2 2 L

3 3 3

3

dxdy)yx(3dxdy)yx(3dy)yx(dx)yx

cosrx

1r0

r3

drrd3rdrdr3drdJr3dxdy)yx(3

I

1

0

4 2 0 1

0 3 2

0 '

D 2 '

D 2 D

2

dy)yx(dx)yx(

OAB có tọa độ các đỉnh trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy là O(0,0), A(0,1) và B(1,0)

)y,x(Qx2x

)y,x(Q

y2y

)y,x(P

yx)y,x(

Q

yx)y,x

(

P

2 2

2 2

=

L

2 2 2

2

dxdyy

)y,x(Px

)y,x(Qdy

)yx(dx)yx(I



−

D D

dxdy)xy(2dxdy

)

y

x

(

cạnh AB nằm trên đường thẳng x + y = 1 và cạnh BO nằm trên đường thẳng y = 0

0 D

dy)xy(dx2dxdy)xy(2Ix1y0

1x0D

0)xx2x(dx)1x4x(dx2

)xy(2)xy(d)x

0 2 1

0

x 1

0

2 x

−

=+

Qua các ví dụ trên, ta thấy tích phân đường loại hai không những phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối của của đường cong mà còn phụ thuộc vào chính dạng của đường cong Tuy nhiên, ta sẽ thấy rằng, có những trường hợp, tích phân đường loại hai (đối với đường cong phẳng) chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối của đường cong mà không phụ thuộc vào dạng của đường cong như ở ví

dụ ngay sau đây

Ví dụ 3.11 Tính =  + +

OA

2

xydy2dx)yx(

I trên cung OA đi từ điểm O(0,0) đến điểm A(2,2) theo hai cách: (a) đoạn thẳng OA; (b) đoạn thẳng OB với B(2,0), rồi theo đoạn thẳng BA

Bài giải

(a) Đoạn thẳng OA nối điểm O(0,0) với điểm A(2,2) có phương trình y = x (0  x  2)  dy =

dx, do đó sau khi thay

xy

(0  x  2) vào biểu thức dưới dấu tích phân của tích phân I ta được

.102

xxdx)xx(xxdx2dx

0 2 2

=+

=+

2 OA

2

xydy2dx)yx(xydy2dx)yx(xydy2dx)yx(I

Đoạn thẳng OB nối điểm O(0,0) với điểm B(2,0) có phương trình y = 0 (0  x  2)  dy = 0, do

đó sau khi thay

0y

(0  x  2) vào biểu thức dưới dấu tích phân của tích phân

OB

2

xydy2dx

.0.xdx)0x(xydy2dx)yx(

2

0

2 2

0 2

0

2 OB

Đoạn thẳng BA nối điểm B(2,0) với điểm A(2,2) có phương trình x = 2 (0  y  2)  dx = 0, do

đó sau khi thay

2x

(0  y  2) vào biểu thức dưới dấu tích phân của tích phân

BA

2

xydy2dx

0 2

0

2 BA



1082xydy2dx)yx(xydy2dx)yx(xydy2dx)yx(I

BA

2 OB

2 OA

I được tính từ điểm O đến điểm A trên 2 đường khác nhau nhưng có giá trị tính được bằng nhau

Kết quả trên dẫn đến việc xuất hiện câu hỏi: Với điều kiện nào thì tích phân đường loại hai không phụ thuộc vào dạng của đường cong phẳng tính tích phân mà chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối của đường cong? Như ta sẽ thấy trong định lý sau đây, các nhà toán học đã tìm thấy điều kiện đó là

y

)y,x(Px

)y,x(Q

Định lý Giả sử các hàm số P(x,y), Q(x,y) liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của

chúng trong một miền đơn liên D nào đó, khi đó 4 mệnh đề sau là tương đương với nhau:

(1)

y

)y,x(Px

)y,x(

AB

dy)y,x(Qdx)y,x(

P chỉ phụ thuộc vào điểm đầu A và điểm cuối B của cung AB là một cung nằm trong miền D, mà không phụ thuộc vào dạng của cung AB;

(4) Biểu thức P(x,y)dx + Q(x,y)dy là vi phân toàn phần cấp 1 của một hàm số u(x,y) nào đấy xác định trên miền D

Hệ quả 1 Nếu biểu thức P(x,y)dx + Q(x,y)dy là vi phân toàn phần cấp 1 của hàm số u(x,y) trong

một miền DR2 thì

)y,x(u)y,x(udy)y,x(Qdx)y

nằm trong miền D (tương tự như công thức Newton – Leibnitz)

Hệ quả 2 Nếu D = R2 thì biểu thức P(x,y)dx + Q(x,y)dy là vi phân toàn phần cấp 1 của hàm số u(x,y) được xác định bởi công thức

x

0

0 0

dt)t,x(Qdt)y,t(P)

dt)t,x(Qdt)y,t(P)

y

,

x

(

Giá trị của x0 và y0 được chọn để việc tính toán các biểu thức toán học cho đơn giản

Quay lại xét Ví dụ 3.11 Tính =  + +

OA

2

xydy2dx)yx(

I trên cung OA đi từ điểm O(0,0) đến

điểm A(2,2) Đặt

y

)y,x(Px

)y,x(Qy2x

)y,x(Q

yy

)y,x(Pxy

2)y,x(Q

yx)y,x(

nên theo Mệnh đề 4 của

định lý trên thì biểu thức dưới dấu tích phân P(x,y)dx+Q(x,y)dy=(x+y2)dx+2xydylà vi phân toàn phần cấp 1 của một hàm số u(x,y) nào đấy

0 x

0 y

y x

x

0)dt Q(x,t)dt P(t,0)dt Q(x,t)dty

,t(P)y,x(u

0 0

2 2 y

0

2 x

0

2 y

0 x

0 y

0 x

0

2

xy2

x2

tx22

ttdtx2tdtxtdt2dt)0

=

=+

) 0 , 0 ( ) y , x ( 2

2 ) 2 , 2 ( A ) 0 , 0 ( O OA

2

xy2

x)

y,x(uxydy2dx)yx(I

10010)0,0(u)

=

xym2xe)y,x(Q

xmyye

)y,x(P

2 xy

2 xy

với m là một tham số

(a) Tìm giá trị của m để biểu thức P(x,y)dx + Q(x,y)dy là vi phân toàn phần cấp 1 của một hàm

số u(x,y) nào đấy;

(b) Với giá trị của m tìm được ở (a), xác định hàm số u(x,y) mà du = P(x,y)dx + Q(x,y)dy

Bài giải

(a) Theo định lý trên, để biểu thức P(x,y)dx + Q(x,y)dy là vi phân toàn phần cấp 1 của một hàm

số u(x,y) nào đấy thì các hàm số P(x,y), Q(x,y) phải thỏa mãn điều kiện

y

)y,x(Px

)y,x(Q

)y,x(

=+

+

+

=

−+



1m

0m0

xy 2

xy

xy 2

xy

xexy.0.2xe)y,x(Q

xyexy.0ye)y,x(P

0 x

0 y

y x

x

0)dt Q(x,t)dt P(t,0)dt Q(x,t)dty

,t(P)y,x(u

0 0

2

xe

2

t)xt(detdtdtxedtte

2 y 0 xt x

0

2 y

0 xt x

0 y

0 xt x

)y,x(u)y,x(



+

=+

−+

=

xy2xexy.)1.(

2xe)y,x(Q

yxyexy)

1(ye)y,x(P

xy 2

xy

2 xy

2 xy

0 x

0 y

y x

x

0)dt Q(x,t)dt P(t,0)dt Q(x,t)dty

,t(P)y,x(u

0 0

0 y

0 xt x

0 y

0 xt x

0

2 0

.

tdtxdtxetdtdtxt2xedt

0te

0

1exy2

xxye

2

xt

x)xt(de2

0 xt 2 y 0 2 y

0 xt x

0

2

−+

−

=

−+

=

−+



+

)y,x(u)y,x(

dy)y,x(Qdx)y

,

x

(

Nhận xét Nếu tích phân đường loại hai không phụ thuộc dạng của đường lấy tích phân thì ta có

thể chọn đường lấy tích phân sao cho việc tính toán trở nên đơn giản

yx

yxdxyx

yx

Bài giải

Ta có

y

)y,x(Px

)y,x(Q)

yx(

yxy2xx

)y,x(Q

)yx(

yxy2xy

)y,x(P

yx

yx)y,x(Q

yx

yx)y,x(P

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

yx

yxdxy

ydy.y2

0dy

yy

yydxyy

yy

2

1 AB

2 2

AB

2 2 2

+

+++

ydyxdxxy

I trên cung AB với A(0,1), B(3,4)

Bài giải

2

ydyxdxxyI

y

)y,x(Px

)y,x(Qxy2x

)y,x(Q

xy2y

)y,x(Py

x)y,x(Q

xy)y,x(P

AC

2 2

AB

2 2

ydyxdxxyydyxdxxyydy

xdxxyI

- Phương trình đoạn thẳng AC là y = 1 (0  x  3)  dy = 0 (0  x  3)

2

92

xxdx0

.1.xdx1.xydyxdxxy

3

0

2 3

0 3

0

2 2

y9ydy9ydy9ydy30.y3ydyxdxxy

4

1

2 4

1 4

1 4

1

2 2 CB

2

722

9722

9ydyxdxxyI

)y,x(Q

xy2 + 2  + là vi phân toàn phần cấp 1 của hàm số

=+

=+

=+

0 2 x

0 2 y

0 x

0 y

y x

x

0)dt Q(x,t)dt P(t,0)dt Q(x,t)dt t.0 dt x tdty

,t(P)y

2

yx2

txtdtx

0

2 2 y

0

2 2 y

0

72072)1,0(u)4,3(u2

yx)

y,x(uydyxdxxyI

) 4 , 3 ( ) y , x (

) 1 , 0 ( ) y , x (

2 2 ) 4 , 3 ( B ) 1 , 0 ( A AB

3.4.1 Định nghĩa tích phân mặt loại một

Cho mặt cong SR3 và hàm số f(x,y,z) xác định với (x,y,z)S Chia S thành n mặt cong nhỏ không dẫm lên nhau có diện tích tương ứng bằng S1, S2, …, Sn Trên mỗi mặt cong Si (1  i  n) lấy điểm (xi,yi,zi) tùy ý

i i i i

n (x ,y ,z ) S

n i

 mà In → I là một giá trị hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia mặt cong S thành n mặt cong nhỏ và cách chọn điểm (xi,yi.zi) trên mỗi mặt cong nhỏ thứ i (1  i  n), thì I được gọi là tích phân mặt loại một của hàm số f(x,y,z)

trên mặt cong S và ký hiệu là =

S

dS)z,y,x(

I , trong đó f(x,y,z) và dS được gọi tương ứng là hàm dưới dấu tích phân và vi phân diện tích mặt cong

Nếu S là mặt cong trơn (phương trình của mặt cong S là hàm số z = z(x,y) đơn trị, liên tục cùng với các đạo hàm riêng của nó) và nếu hàm số f(x,y,z) liên tục với (x,y,z)S thì tích phân mặt loại một tồn tại

3.4.2 Tính chất của tích phân mặt loại một

Tích phân mặt loại một có các tính chất giống như các tính chất của tích phân xác định

3.4.3 Cách tính tích phân mặt loại một

Trong không gian R3 cho mặt cong S Giả sử hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng tọa độ Oxy là một miền đóng và bị chặn D Giả sử phương trình của mặt cong S là hàm số z = z(x,y) đơn trị, liên tục với (x,y)D và có các đạo hàm riêng z (x,y),z' (x,y)

y '

x liên tục với (x,y)D

Nếu mỗi đường thẳng song song với trục tọa độ Oz cắt mặt cong S không quá một điểm và hàm

số f(x,y,z) liên tục với (x,y,z)S thì

(x,y,z(x,y)) 1 (z (x,y)) (z (x,y)) dxdyf

dS)z,y,x(

2 '

y 2 '

y

2 1 2 2 2 '

x 2

2 2

)yxR(y)y,x(z

)yxR(x)y,x(zy

xR

2 2 2

2 '

y 2 '

x

yxR

R)

y,x(z)y,x(z1

−

−

=+

+



Hàm số dưới dấu tích phân (x,y,z)=z= R2 −x2 −y2

Hình chiếu của mặt S lên mặt phẳng Oxy là hình tròn D = {x2 + y2 ≤ R2}

dxdyR

dxdyyxR

Ry

xRzdS

2

xRyxR

RxRD

R

x R x R

x R

x R

R

R

dxxRR2dxy

RdydxR

I

2 2 2 2

2 2

2 2

tsinR)tcosR(Rx

Rt

cosRx

2 2

2 2

Rxkhit

3 0

2 3 0

tdt2cosdt

Rdt2

t2cos1R2tdtsinR2dt)tsinR)(

tsinR(R2

I

3 3

0 3

0 0

3

R)0(Rt

2sin2

1R

)t2(td2cos2

1t

RdxdyR

(b)

2

yx)y,z(zz2

yxzz2yx

2 2 2

2 2

là phương trình của mặt cong S

y 2 '

x '

y

' x 2

2

yx1)

y,x(z)y,x(z1y)y,x(z

x)y,x(z2

yx)y,z(

2 D

2 2 2

2

S

dxdyyx1)yx(2

1dxdyyx12

yxzdSI

Đổi tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,) bằng phép đổi biến J r

sinry

cosrx

2r

cosrx

vào phương trình của hình tròn x2 + y2  2 

r2  2  0r 2, còn đối với tọa độ  thì 0    2

Biểu thức dưới dấu tích phân 2 2 2 2 2 2

r1ryx1)yx

=

+

=

+

0 '

D

2 3

' D

2 2

' D

2 2

1r1(2)rdr1

2

0

2 1 2 2

2 2

0

2 2

2

0

15

)136(81

)21(

)r1(1)23(

)r1(2)r1(d)r1()r1

1 2 1

2

3 2 2

2

0

2 1 2 2

+



=+



+ +

z= = − − và hình chiếu của S lên mặt phẳng Oxy (z = 0) là một phần tư hình tròn D = {x2 + y2  a2}

( ) (+ ) =+

x 2

2 2

' y

2 2 2

' x 2

2 2

)y,x(z)y,x(z1y

xa

y)

y,x(z

yxa

x)

y,x(zy

xa)

2 2 2 2

2 2 2

yxa

ay

xa

yy

xa

x1

Hàm số dưới dấu tích phân

yxay

xa)y,x(z)y,x(z,y,xf)z,y,x

x D

S

2

)y,x(z)y,x(z1)y,x(z,y,xfdSzI

2 2 2

dxdyyxaadxdyyxa

a)

yxa

(

Đổi tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,) bằng phép đổi biến J r

sinry

cosrx

cosrx

vào phương trình của hình tròn x2 + y2  a2

 r2  a2  0ra, còn đối với tọa độ  thì 0    /2

Biểu thức dưới dấu tích phân 2 2 2 2 2

ray

2 2 '

D

2 2 '

D

2 2

drdrarardrdraadrdJraa

I

( )

6

a1

)21(

)ra(4

a)

ra(d)ra(2

1a

drrard

a

4 a

0

1 2

1 2 2 a

0

2 2 2 1 2 2 2

0 a

0

2 2 2

0



=+

3.4.4 Ý nghĩa vật lý và ý nghĩa hình học của tích phân mặt loại một

Nếu mặt cong S có khối lượng riêng tại điểm (x,y,z)S bằng f(x,y,z) > 0 thì khối lượng m của mặt cong S là =

S

dS)z,y,x(

m (ý nghĩa vật lý) Đặc biệt, khi f(x,y,z) = 1 thì =

S

dS

S là diện tích

của mặt cong S (ý nghĩa hình học)

3.5 Tích phân mặt loại hai

3.5.1 Khái niệm mặt định hướng

Trong không gian R3 cho mặt cong trơn S

Mặt S được gọi là mặt hai phía nếu khi đi theo một đường cong đóng bất kỳ nằm trong mặt S không có điểm chung với biên của S thì hướng của pháp tuyến của mặt S không thay đổi

Nếu trên mặt S có một đường cong đóng mà đi theo đường cong này hướng của pháp tuyến đổi ngược lại thì mặt S được gọi là mặt một phía

Mặt hai phía được gọi là mặt định hướng được, còn mặt một phía được gọi là mặt không định hướng được Ở đây ta chỉ xét các mặt định hướng được

Một ví dụ điển hình về mặt một phía là dải Mobius: Lấy một băng giấy hình chữ nhật ABCD và xoắn băng giấy này nửa vòng theo chiều dài rồi gắn điểm C với điểm A, điểm D với điểm B

Khi điểm M di chuyển một vòng trên dải Mobius, xuất phát từ điểm MO thì lúc gặp lại điểm MO véc tơ pháp tuyến →nđổi hướng ngược lại

Giả sử S là mặt định hướng được và gọi n n(x,y,z)

→

→

= là véc tơ pháp tuyến của mặt S tại điểm M(x,y,z)S (véc tơ pháp tuyến là véc tơ vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc của mặt S tại điểm M), khi

đó hướng của mặt S được xác định là hướng của →n Như vậy, nếu S là mặt kín và định hướng được thì

sẽ xác định được phía trong, phía ngoài; còn nếu S là mặt không kín thì sẽ xác định được phía trên, phía dưới

3.5.2 Định nghĩa tích phân mặt loại hai

Trong không gian R3 cho một mặt cong S định hướng được, giả sử véc tơ f(x,y,z)

→

xác định trên mặt S, có ba thành phần P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy, khi

đó →(x,y,z)=P(x,y,z)→i+Q(x,y,z)→j+R(x,y,z)→k

Chia S thành n mặt cong nhỏ tùy ý không dẫm lên nhau có diện tích tương ứng là S1, S2, …,

Sn Trên mỗi mặt cong nhỏ thứ i có diện tích Si (1  i  n) lấy điểm (xi,yi,zi) tùy ý

i i i i

n f(x ,y ,z ) S

n i



 mà In → I là một giá trị hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia S thành n mặt cong nhỏ và cách chọn điểm (xi,yi.zi) trên mặt cong nhỏ thứ i (1  i  n), thì I được gọi là tích phân mặt loại hai của hàm số

dxdy)z,y,x(Rdzdx)z,y,x(Qdydz)z,y,x(PS)

z,y,x(I

Nếu S là mặt định hướng được và liên tục tức là có véc tơ pháp tuyến tương ứng biến thiên liên tục (véc tơ pháp tuyến tại một điểm M của mặt S là véc tơ vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc của mặt

S tại điểm M) và nếu các hàm số P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) liên tục với (x,y,z)S thì tích phân mặt loại hai tồn tại

3.5.3 Tính chất của tích phân mặt loại hai

Nếu đổi hướng mặt cong S thì tích phân mặt loại hai trên mặt cong S đổi dấu

Tích phân mặt loại hai có các tính chất giống như các tính chất của tích phân hai lớp

3.5.4 Cách tính tích phân mặt loại hai

Tích phân mặt loại hai được tính bằng cách đưa về tích phân hai lớp

Trước tiên ta xét tích phân 

S

dxdy)z,y,x(

R Giả sử mặt cong S có phương trình là z = z(x,y) với hàm số z(x,y) có các đạo hàm riêng z'x(x,y),z'y(x,y) liên tục trên hình phẳng D là hình chiếu của mặt cong S lên mặt phẳng tọa độ Oxy (mặt phẳng z = 0), khi đó:

D S

dxdy)y,x(z,y,xRdxdy)y,x(z,y,x

một góc nhọn;

D S

dxdy)y,x(z,y,xRdxdy

)y,x(z,y,x

Oz một góc tù

Các tích phân

S

dydz)z,y,x(

S

dzdx)z,y,x(

Q được tính tương tự

Ví dụ 3.17 Tính = + +

S

zdxdyydzdx

xdydz

I trên S là phía ngoài mặt cầu x2 + y2 + z2 = R2

Vì phương trình của mặt cầu và biểu thức dưới dấu tích phân không đổi khi hoán vị vòng quanh

x, y, z nên ta có  = =  = 

S S

S S

zdxdy3

Izdxdyydzdx

1 S

dxdy)y,x(zdxdy)y,x(z

cầu dưới của mặt cầu x2 + y2 + z2 = R2, có phương trình tương ứng là z1(x,y)= R2 −x2 −y2 (z > 0) và z2(x,y)=− R2 −x2 −y2 (z < 0)

2

2 2 2 S

2 2 2 S

2 S

1(x,y)dxdy z (x,y)dxdy 3 R x y dxdy R x y dxdyz

2 2 2

dxdyyxRdxdy

yxR

2 2

2

dxdyyxRdxdy

yx

2 2 2

dxdyyxRdxdy

yxR

2 2 2 D

2 2 2

dxdyyxR6y

xRy

xR3

Để tính tích phân  − −

D

2 2 2

dxdyyx

R ta đổi tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,) bằng

sinry

cosrx

Rr0'

D vì đối với tọa độ r, ta thay

cosrx

vào phương trình của hình tròn x2 + y2  R2  r2  R2  0rR, còn đối với tọa độ  thì 0    2

Biểu thức dưới dấu tích phân 2 2 2 2 2

rRy

2 2 '

D

2 2 '

D

2 2

drdrRr6rdrdrR6drdJrR6

0

2 2 2 1 2 2 2

0 R

0

2 2 2

0

R41

)21(

)rR(6)rR(d)rR(2

16

drrRrd

L

dxdyy

)y,x(Px

)y,x(Qdy

)y,x(Qdx)y,x(

)z,y,x(Px

)z,y,x(Qdzdx

x

)z,y,x(Rz

)z,y,x(Pdydzz

)z,y,x(Qy

)z

Công thức Stoker là kết quả mở rộng công thức Green trong không gian R2 sang không gian R3

Từ công thức Stoker suy ra điều kiện cần và đủ để tích phân đường trong không gian không phụ thuộc vào đường lấy tích phân là

x

)z,y,x(Rz

)z,y,x(P,z

)z,y,x(Qy

)z,y,x(R

 Điều kiện này cũng là điều kiện cần và đủ để P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy +

R(x,y,z)dz là vi phân toàn phần cấp 1 của một hàm số u(x,y,z) nào đấy

3.6.3 Công thức Ostrogradsky

Công thức Ostrogradsky là công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại hai lấy trên mặt ngoài của mặt cong kín S với tích phân ba lớp trên miền V có biên là mặt cong kín S