Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng Ôn Thi Hsg.pdf

ÔN THI HỌC SINH GIỎI PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TRONG CÁC ĐỀ THI HSG Câu 1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có 3 góc đều nhọn Gọi H là trực tâm của tam giác ABC ; , ,M[.]

ÔN THI HỌC SINH GIỎI

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TRONG CÁC ĐỀ THI HSG

Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có 3 góc đều nhọn Gọi H là trực tâm

của tam giác ABC; M N P, , lần lượt là giao điểm của AH BH CH, , với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC biết

Suy ra BN là đường phân giác trong của góc PNM

Tương tự ta có PC AM, lần lượt là phân giác trong của góc MPN , PMN

Tương tự ta có phương trình đường thẳng MP: 3x6y 2 0, đường thẳng NP: 4x2y 1 0

Từ đó ta có phương trình đường phân giác trong và ngoài của góc MPN :

Câu 2: (1.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm

 2;1

J Biết đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC có phương trình: 2 x y 100

và D2; 4  là giao điểm thứ hai của AJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ

các đỉnh của tam giác ABC biết B có hoành độ âm và B thuộc đường thẳng có phương trình

7 0

x  y

Lời giải

AJ đi qua J 2;1 và D2; 4  nên AJ có phương trình : x 2 0

Gọi H là chân đường cao xuất phát từ đỉnh A Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ :

DBDCDJ hay D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác JBC

Suy ra ,B C nằm trên đường tròn tâm D2; 4  bán kính 2

Do B có hoành độ âm nên B 3; 4 

BC đi qua B 3; 4 và vuông góc AH nên có phương trình: x2y 5 0

Khi đó C là nghiệm của hệ:   2 2  

Vậy A  2;6 ,B  3; 4 ,  C 5;0

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy

1 Viết phương trình đường cao AD , phân giác trong CE của ABC biết A4; 1 , B 1;5 ,

chia ABC thành hai phần có tỉ số diện tích bằng 10

11 (phần chứa điểm B có diện tích nhỏ hơn diện tích phần chứa điểm C ) Gọi A a b và  ;  a0 Tính 2 2

, 2

ABD ADC

d A BC DB S

3

10 117

Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình 3 0 2

Do tam giác ABC cân tại A nên đường phân giác trong kẻ từ A cũng là đường cao

Trường hợp 1: Xét d là đường cao của tam giác ABC kẻ từ A 1

+ Phương trình đường thẳng BC đi qua M là vuông góc với BC là 3 x  y 7 0

+ Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 3 0 1 ( 1; 4)

  nằm ngoài đoạn BC Trường

hợp này không thỏa mãn

Trường hợp 2: Xét d là đường cao của tam giác ABC kẻ từ A 2

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC , với A  2;1 ,B 1; 2  , trọng tâm G của tam giác

nằm trên đường thẳng xy– 2 0 Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng 27

2

Lời giải

Gọi M là trung điểm AB , ta có : 3; 1

2 2

M  

 

  Gọi C a b ,  ;suy ra 3; 1 3 1 2 0 4 0, (1)

+ Qua J kẻ đường thẳng song song với cạnh BC của hình vuông ABCD, đường thẳng này cắt các

cạnh AB , CD của hình vuông ABCD lần lượt tại H và K

+ Ta có, 1

4

JC AC nên 4

34

B A

MD JM JD nên tam giác JMD vuông tại J, hay JM JD

+ Đường thẳng JD đi qua J 1; 0 nhận MJ 1; 3  làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình tổng quát: x3y 1 0

+ Có D  DJ nên tọa độ điểm D là nghiệm của hệ phương trình 1 0

+ Gọi E là trung điểm MD Ta có E1;1

+ Gọi A x y ;  Có A và J khác phía với MD

Ta có

1

22

1

52

Lấy (1) (2) theo từng vế ta được  2x 4y    8 0 x 4 2y

Thay x 4 2y vào phương trình (1) ta được  2 2 2

   (loại vì A và J cùng phía với MD)

+ Có M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm B là B 2;3

Cách 2: Theo đáp án của tỉnh Bắc Ninh:

Gọi a là độ dài cạnh hình vuông ABCD

 (loại) (vì khi đó A J, cùng phía so với DM )

Vậy tọa độ các đỉnh hình vuông là A( 2;3), (2;3), (2; 1), B C  D( 2; 1). 

Câu 8: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G , đỉnh A 3; 4 , B 1; 2 , đỉnh C thuộc

đường thẳng d x: 2y 1 0 iết iện tích tam giác GAB ằng 3 đơn v iện tích, hãy tìm tọa

Câu 9 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD , M 1; 0 là trung điểm cạnh BC , N là điểm

thuộc cạnh CD sao cho CN2ND , đường thẳng AN có phương trình là x  y 2 0 Tìm tọa

độ điểm A biết A có hoành độ ương

Lời giải

+ Ta có:tan 1

3

ND NAD

AD

2

MB MAB

 NAD MAB   45 NAM 45

+ Đường thẳng AM qua M 1; 0 nên có dạng:    2 2 

AD

2

MB MAB

Lời giải

Ta có I1; 1  Tọa độ giao điểm của đường phân giác trong góc A và  I là nghiệm của hệ phương trình   2 2

Suy ra có hai giao điểm A 2;1 , A   1; 2 (Vì A có hoành độ ương)

Đường thẳng BC vuông góc A I nên phương trình BC có dạng: 2x  y m 0BC A I 

Tìm được tọa độ điểm B, C là: 9 21 3 2 21

Câu 11: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD tâm E , gọi G là trọng tâm tam giác

ABE Điểm K7; 2  thuộc đoạn ED sao cho GA GK Tìm tọa độ đỉnh A và viết phương trình cạnh AB , biết đường thẳng AG có phương trình 3 x  y 13 0 và đỉnh A có hoành độ nhỏ

hơn 4

Lời giải

+) Ta có GAGBGK nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABK

2 2.45 90

AGK ABK

    ⇒ tam giác AGK vuông cân tại G

+) Đường thẳng GK đi qua K7; 2  và vuông góc với AG

t

t

t t

Câu 12: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD và điểm E thuộc cạnh

BC Đường thẳng qua A và vuông góc với AE cắt CD tại F Gọi M là trung điểm EF , đường thẳng AM cắt CD tại K Tìm tọa độ điểm D biết A6; 6, M4; 2, K3; 0 và E

có tung độ ương

Lời giải

Ta có ABE  ADF vì AB AD và BAE DAF (c ng phụ với DAE )

Suy ra AEF vuông cân

Do M là trung điểm EF AM EF và MEMAMF

Ta có AM 2; 4  và AM  20

Đường thẳng EF đi qua M và vuông góc với MA nên có phương trình x2y 8 0

Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác AFE :   2 2

Đường thẳng CD qua F8; 0và K3; 0 nên có phương trình y0

Đường thẳng AD qua A6; 6 và vuông góc với FK nên có phương trình x 6 0

 6, 0

DCDADD 

Câu 13: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn tâm

I Gọi E , M lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC ; các điểm F và D tương ứng là hình chiếu vuông góc của A và B trên các đường thẳng BC và AI

a) Chứng minh rằng ME là đường trung trục của đoạn thẳng DF

b) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết rằng M(2; 1) , 9; 8

a)Ta có BFABDA90 , suy ra tứ giác ABFD nội tiếp đường tròn tâm E , đường kính AB

Mặt khác IEBIDBIMB90 , suy ra ngũ giác BEIDM nội tiếp đường tròn đường kính BI

DEFE AB ( do cung nằm trên đường tròn tâm E , đường kính AB)

Suy ra ME là đường trung trực của cạnh FD

b)Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết rằng M(2; 1) , 9; 8

5 5

D  

  và đường thẳng AC có phương trình x  y 5 0

Ta có CACBCC(5;0) Mà M là trung điểm của BC suy ra ( 1; 2)B  

Đường thẳng AF đi qua điểm 13; 4

Câu 14: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB2BC Gọi M là trung

điểm của đoạn AB và G là trọng tâm tam giác ACD Viết phương trình đường thẳng AD Biết rằng M 1; 2 và 5; 0

E

I

C D

A

2 283

1, 0

19 8,

x y y y

Câu 15: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật A CD, có đỉnh A3;1, đỉnh C nằm trên

đường thẳng : x 2y 5 0 Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho CE CD , biết

6; 2

N  là hình chiếu vuông góc của D lên đường thẳng E Xác đ nh tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật ABCD

Lời giải

Ta có tứ giác BNCD nội tiếp nên BDCENC (cùng bù với BNC )

Mà BDCBAC ( ABCD là hình chữ nhật ) nên BAC ENC

 Tứ giác ABNC nội tiếp ANC ABC900

Vì C nằm trên đường thẳng  :x 2y 5 0 nên C2t5;t

độ các đỉnh tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng MN là 4x3y100 và điểm A có hoành độ âm

Lời giải

C(2t+5;t) N(6;-2)

A(-3;1)

E

D B

Gọi ,P Q lần lượt là giao điểm của BM và CN với đường tròn  C

Tứ giác BCMN nội tiếp nên MBCMNC (cùng chắn cung CM )

Tứ giác BCPQ nội tiếp nên MBCPQC (cùng chắn cung CP )

3 4 0

3

x y

Đường thẳng AC đi qua K nên có phương trình là: x3y 5 0

C là giao điểm của AC và đường tròn  C nên tọa độ của C là nghiệm của hệ

 

43

Đường thẳng BM vuông góc với AC nên có phương trình 3 x  y 5 0

Điểm B có tọa độ là nghiệm của hệ 2 2  

05

Câu 17: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD , có đỉnh A3;1, đỉnh C nằm

trên đường thẳng : x2y 5 0 Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho CE CD , iết

6; 2

N  là hình chiếu vuông góc của D lên đường thẳng BE Xác đ nh tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật ABCD

Lời giải

Ta có BAD BND 180, suy ra tứ giác ADBN nội tiếp ANDABD

Mà ABD ACD (do ABCD là hình chữ nhật)

Suy ra tứ giác ANCD nội tiếp được một đường tròn

đường tròn  C với , A B là 2 tiếp điểm Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB

Câu 19: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I , có đường cao AH

Gọi E là hình chiếu của B lên tia AI , HE cắt AC tại P Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết H6; 4 ;  P 11;1 và M10; 4  là trung điểm của BC

Nhận xét: Theo giả thiết thì H không thể trùng với M  ABC là tam giác thường

Kẻ đường kính AF của đường tròn  I  ACF vuông tại C

Xét tứ giác AEHB có AEBAHB900 và cùng nhìn cạnh AB

 Tứ giác AEHB nội tiếp đường tròn có tâm là trung điểm AB

Có AAHAC tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình

Gọi F là trung điểm của BC

Gọi E là giao điểm của CD với đường thẳng qua A và song song với BC

AEBF

 là hình chữ nhật AEBFnội tiếp đường tròn ( )T có đường kính là AB và EF

Ta có MF là đường trung bình của tam giác BHCMF song song với BH

CD AD AB Gọi M 2; 4 là điểm thuộc cạnh AB sao cho AB3AM Điểm N thuộc

cạnh BC sao cho tam giác DMN cân tại M Phương trình đường thẳng MN là 2 x  y 8 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD biết D thuộc đường thẳng : d x y 0 và điểm A

thuộc đường thẳng d: 3x  y 8 0

MD MN DN Suy ra DMN vuông tại M

+) Vì D thuộc đường thẳng : d x y 0 nên D d ;dMDd  2; d 4

Phương trình đường thẳng MN: 2x  y 8 0 có véc tơ chỉ phương

Ta thấy IM và IN vuông góc với các dây cung AB , AC nên đi qua các trung điểm E , F của

AB và AC Kết hợp tính đối xứng của các điểm M , N qua các cạnh AB , AC, ta có các tứ giác

AINC , AIBM là các hình thoi Do đó, AM ANNCBM AI ICIBR

Hơn nữa, ta có BM NC ( vì cùng song song AI ) và bằng nhau nên BMNClà hình bình hành Suy ra BC MN

Phương trình MN là y1, và BC đi qua K nên có phương trình là y 1

Gọi D d ; 1 là trung điểm của BC thì tọa độ của B và C là B d  b; 1 và C d  b; 1

Gọi P là trung điểm của AB , J là giao điểm của PM và BD

Ta có P , M là trung điểm của AB và DC nên AP PM MD AD

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BD , ta có AH d A BD ,  5

Câu 24: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn tâm

I Gọi , E M lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC ; các điểm F và D tương ứng là

hình chiếu vuông góc của A và B trên các đường thẳng BC và AI

a) Chứng minh rằng ME là đường trung trực của đoạn thẳng DF

b) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết rằng M2; 1 , 9; 8

a) Ta có BFABDA 90 , suy ra tứ giác ABFD nội tiếp đường tròn tâm E , đường kính AB

Mặt khác IEBIDBIMB 90 , suy ra ngũ giác BEIDM nội tiếp đường tròn đường kính BC

Từ đó ta có DEM DBM DFB (cùng chắn cung DM )

902

DBF  D  (số đo góc ở tâm bằng nửa cung b chắn)

DEFE AB do cung nắm trên đường tròn tâm E , đường kính AB

Suy ra ME là đường trung trực của đoạn thẳng DF

Do CBCACC 5; 0 nên B 1; 2 (vì M là trung điểm BC)

Mặt khác: ADBD nên phương trình đường thẳng AD:

Vậy tọa độ các đỉnh của ABC là: A 1; 4 , B 1; 2, C 5; 0

Câu 25: Trong mặt phẳng Ox cho đường tròn y   2 2

b) Gọi giao điểm có tung độ ương của  C và 1  C2 là A viết phương trình đường thẳng đi qua ,

A cắt  C và 1  C2 theo hai ây cung có độ dài bằng nhau

+) TH1: Đường thẳng đi qua A cắt  C và 1  C2 tại 2 điểm khác A

Theo giả thiết ta có:

Gọi M1 và M2 lần lượt là trung điểm của AH , 1 AH Vì A là trung điểm của đoạn 2 H H1 2 nên A

là trung điểm của đoạn M M1 2

Gọi I là trung điểm của đoạn O O1 2 I 3; 0

+) TH2: Đường thẳng đi qua 2 điểm ,A B cũng thỏa mãn

Ta có AB0; 6  Chọn VTPT của đường thẳng AB là n 1; 0

Khi đó phương trình đường thẳng AB là 1x 2 0 y    3 0 x 2 0

Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn cần tìm là  x 3y 7 0 và x 2 0

Câu 26: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có AC2AB, phương trình

đường chéo BD x:   y 1 0, điểm có hoành độ âm Gọi M là trung điểm cạnh BC và

 3;4

E là điểm thuộc đoạn thẳng AC thỏa mãn AC4AE Tìm tọa độ các đỉnh , , ,A B C D ,

biết diện tích tam giác DEC bằng 4

Lời giải

* Gọi  I  ACBD , mà ABCD là hình bình hành nên

1212

IE KE MI MK AB Suy ra tứ giác IMKE là hình thoi

* Gọi HKIMEsuy ra H là hình chiếu của E lên BD

Vì HBDH h ;1hEH h  3; h 3 Đường thẳng BD có vtcp u BD 1; 1   Khi đó EH u BD     0 h 3  1      h 3 0 h 0 H 0;1

Do đó, EH     3; 3 EH 3 2

Hình thoi IMKE có H là trung điểm 2  3; 2 

Câu 27: Cho tam giác ABC có ABC60 Gọi D là giao điểm của chân đường phân giác trong góc A với

BC , điểm E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên AB và BC Đặt AB x

A B

C

DoEDFBAC1800 và DEDFnên ta có:

2 2

1 .sin2

1 .sin2

DEF ABC

Câu 28: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A , đỉnh C4;1, phân giác trong góc

A có phương trình x  y 5 0 Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác

ABC bằng 36 và đỉnh A có hoành độ ương

Lời giải

Từ C kẻ CHAD tại H , CHABK AD x:   y 5 0 gọi n AD là véc-tơ pháp tuyến của

Với b10B4;10 Đặt f x y ,    x y 5 f B 9;f C   8 f B.f C 0 B C; khác phía với AD (TM)

Đường thẳng BC  

4;108; 9

qua B BC

Câu 29: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD với hai đáy là AB và CD Biết diện tích hình

thang bằng 14 (đơn v diện tích), đỉnh A 1;1 và trung điểm cạnh BC là 1; 0

Gọi E là giao điểm của AH và DC , ta có E 2; 1 , AE 13 và ABH ECH

Câu 30: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD với hai đáy AB và CD Biết diện tích

hình thang là 14 (đơn v diện tích), đỉnh A 1;1 , CD3AB và trung điểm cạnh BC là

1

; 02

Gọi E là giao điểm của AH và DC

Dễ thấy ABH  ECH nên S ABCD S AED 14 và H là trung điểm của AE

        AE : 2x3y 1 0

Gọi D x D;5x D1

Ta có: 1  

d ;2

Câu 31: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD , điểm G 3;3 là trọng tâm tam

giác ABD Đường thẳng đi qua A vuông góc với BG và cắt BD tại điểm E 1;3 Tìm tọa độ

các đỉnh của hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A có tung độ lớn hơn 1

 là trung điểm của 2 (5;3)

AB đi qua K(5;3) và có một véctơ pháp tuyến EG 2; 0  AB x:  5 0

Vì AABA(5;y A) với y A 1 Mặt khác KAG   45 AKG vuông cân nên KAKG

1

A A

A

y y