PHƯƠNG TRÌNH- HỆ PHƯƠNG TRÌNH ÔN THI HSG

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI

Trang 1

TÀI LIỆU ÔN THI HSG 10 MÔN TOÁN NĂM HỌC: 2019 - 2020

x x

c b a b a

b b b a a

a a a

2 1

1 2 2 1

2 1 2 1

2 1

- Bíc 2: XuÊt ph¸t tõ b1b2 = d, tiÕn hµnh nhÈm t×m c¸c hÖ sè b1; b2; a1 ; a2

Trang 2

- Bíc 3: Ph¬ng tr×nh (10) �

2

1 1 2

3 132

x x

4 Phương trình – Bất phương trình căn thức cơ bản

Trang 3

Bước 1 Đặt điều kiện cho căn thức có nghĩa

Bước 2 Chuyển vế sao cho hai vế đều không âm

Bước 3 Bình phương cả hai vế để khử căn thức

5 Phương trình – Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

● Biến đổi về dạng: f x( ) - h x( ) = g x( ) - k x( )

● Bình phương, giải phương trình hệ quả

 Lưu ý: Phương pháp biến đổi trong cả hai dạng là đưa về phương trình hệ quả Do đó, để đảm bảo rằng không xuất hiện nghiệm ngoại lai của phương trình, ta nên thay thế kết quả vào phương trình đầu đề bài nhằm nhận, loại nghiệm chính xác

Trang 4

Ví dụ: Giải phương trình: - x2+4x 3- =2x 5- ( )*

Bài giải

2

5x

● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là x=1

Ví dụ: Giải phương trình: x2- x + 2x 4- =3 ( )*

Bài giải

● Bảng xét dấu

Trang 5

x - � 0 1 2 +�2

x - x + 0 - 0 + +2x 4- - - - 0 +

● Trường hợp 1 x� - �( ;0��(1;2��

( )

7 Giải phương trình bằng cách đưa về tích hoặc tổng 2 số không âm.

a Sử dụng biến đổi cơ bản

Dùng các phép biến đổi, đồng nhất kết hợp với việc tách, nhóm, ghép thích hợp để đưa phương trình về dạng tích đơn giản hơn và biết cách giải

Một số biến đổi thường gặp

f x =ax +bx+ =c a x x x- - x với x , x là hai nghiệm của 1 2 f x( ) =0.

● Chia Hoocner để đưa về dạng tích số ("Đầu rơi, nhân tới, cộng chéo")

● Các hằng đẳng thức thường gặp

● u+ = +v 1 uv�(u 1 v 1- )( - ) = 0

● au+bv=ab+vu�(u b v a- )( - ) =0

Trang 6

b Tổng các số không âm

Dùng các biến đổi (chủ yếu là hằng đẳng thức) hoặc tách ghép để đưa về dạng:

c Sử dụng nhân liên hợp

 Dự đoán nghiệm x=xo bằng máy tính bỏ túi (SHIFT - SOLVE hay ALPHA - CALC).

 Tách, ghép phù hợp để sau khi nhân liên hợp xuất hiện nhân tử chung (x x- o) hoặc bội của(x x- o) trong phương trình nhằm đưa về phương trình tích số: (x x g x- o) ( ) = 0

 Các công thức thường dùng trong nhân liên hợp

Biểu thức Biểu thức liên hiệp Tích

( ) ( )

Trang 7

 Nhận xét: Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp đặt ẩn phụ y= x+ để đưa về hệ 5

phương trình gần đối xứng loại II:

2 2

● Ta có: - 10� �x 10� -x 4� 10 4 0- < � -x 4 0< nên ( )1 vô nghiệm

● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= - 3

Ví dụ: Giải phương trình: 2x 1 x- + 2- 3x 1 0+ = ( )*

● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là x= � = -1 x 2 2.

Cách giải 2 Biến đổi và nhân lượng liên hợp để đưa về phương trình tích số

Đến đây, giải tiếp tục được kết quả x= � = -1 x 2 2

Cách giải 3 Xem đây là dạng A = B

Trang 8

8 Các bất đẳng thức quen thuộc:

a Bất đẳng thức Cauchy

 Với x, y�0 thì ( )

( )

3 3

Dấu "= xảy ra khi " x= =y z.

 Mở rộng cho n số a ,a ,a , ,a không âm ta có:1 2 3 n

n

a +a + + a �n a a a Dấu "= xảy ra khi " a1=a2=a3= =an

b Bất đẳng thức Bunhiacôpxki (B.C.S )

 Với x, y bất kỳ, ta luôn có: ( ) ( ) ( ) ( )

Trang 9

 Với x, y, z bất kỳ: ( ) ( )( ) ( )

c Bất đẳng thức cộng mẫu số (BĐT Cauchy Schwarz) là hệ quả trực tiếp của bất đẳng thức BCS.

 Với a,b �� và x,y 0> , ta luôn có: ( ) ( )

d Bất đẳng thức về trị tuyệt đối

e Bất đẳng thức véctơ

Cho ur =( )a;b , vr =( )x;y , wur =(m;n)

 ur - vr � + � +ur vr ur vr � Dấu "= xảy ra � " u,vr r cùng phương�ax=by.

 ur + +vr wur � +ur vr + wur Dấu "= xảy ra " �u,v,wr r ur cùng phương

Trang 10

TÀI LIỆU ễN THI HSG 10 MễN TOÁN NĂM HỌC: 2019 - 2020

Bṍt đẳng thức ( )* được gọi là bṍt đẳng thức Bunhiacụpxki

Vớ dụ: Giải bṍt phương trình: x- x2- 1+ x+ x2- 1�2.

Bài giải

● Điờ̀u kiợ̀n: x� 1

● Ta có: VT = x- x2- 1+ x+ x2- 1Cauchy� 2 x- x2- 1 x+ x2- 1= 2

● Bṍt phương trình có nghiợ̀m �VT = �2 x- x2- 1= x+ x2- 1� =x 1.

Vớ dụ: Giải phương trình: 3 x 1

23

1) Đặt x  với y y� Khi đó phơng trình đã cho trở thành0

Trang 11

x x x

Trang 12

TÀI LIỆU ễN THI HSG 10 MễN TOÁN NĂM HỌC: 2019 - 2020Xét 2y4 (y 1)333�(y2)(2y35y27y17) 0

Suy ra đợc y - 2 = 0 Từ đó nghiệm của phơng trình là x = 1 và x = -1

Ví dụ 4 Giải các phơng trình sau:

Trang 13

sẽ biết đợc giá trị của a, b Với bài toán này ta tìm đợc 1; 1

1

21

2, 0

nh bài toán trong ví dụ này

HD: Đặt 3 x2 2 2x3 = y với y� Khi đó ta đợc hệ 0

2 3

22

Trang 14

4 22

4 3 21

22

2000(*)2000

Suy ra x y , ta đợc nghiệm x2001, loại x ).0

Bài 5 Giải các phơng trình sau:

Trang 15

Thờng ta đánh giá nh sau:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

f x �g x cũng nh là ( )f x �g x( )

Ngoài ra đối với bài cụ thể nào đó ta sẽ có cách đánh giá khác

Cũng có một số phơng trình vô tỷ có nhiều hơn một ẩn mà ta giải bằng phơngpháp đánh giá

Trang 16

12 36 0( 6) 0.

Do đó (1) � 2x2  x 1 x23�x2  x 2 0 Từ đó phơng trình có nghiệm là1

22

x x

Trang 17

HD: Đk 2�x3 0 x 3 2

Giả sử x là nghiệm của phơng trình Khi đó x2 � �2 0 2

2

x x

Trang 18

TÀI LIỆU ễN THI HSG 10 MễN TOÁN NĂM HỌC: 2019 - 2020Cách thứ hai ta biến đổi Vt thành x9x4(6x2 1) 12x34x2 cũng là một biểu4thức âm khi x� 2…

Ta có thể biến đổi tiếp phơng trình (*) sau khi chia hai vế cho x � , ta đợc1 0

HD: Biến đổi phơng trình thành ( x 6 x2)( 2x   , suy ra 1 3) 4 x� 5

Vt là hàm số đồng biến trên đoạn 5;� Từ đó dẫn đến  x là nghiệm duy7nhất của phơng trình đã cho

Nhận xét: Với bài toán này, ta thấy đây là một phơng trình gồm hai ẩn

Do đó ta nghĩ đến biến đổi phơng trình thành phơng trình mới có Vt làtổng các bình phơng, còn Vp bằng 0

HD: Biến đổi phơng trình thành

2 2

Trang 19

3 Phương pháp lượng giác.

- Khi giải phơng trình vô tỷ bằng phơng pháp lợng giác ta có thể đặt

- Dṍu hiợ̀u nhọ̃n biờ́t là trong phương trình xuṍt hiợ̀n các biờ̉u thức 1 x , x- 2 2+1, x2- 1,

- Lợi thờ́ của phương pháp này là đưa phương trình ban đõ̀u vờ̀ mụ̣t phương trình lượng giác cơ bản đã biờ́t cách giải như: phương trình đẳng cṍp, đụ́i xứng, cụ̉ điờ̉n, ……

- Vì hàm lượng giác là tuõ̀n hoàn, nờn khi đặt điờ̀u kiợ̀n các biờ̉u thức lượng giác thọ̃t khéo léo sao cho lúc khai căn khụng có giá trị tuyợ̀t đụ́i, có nghĩa là luụn luụn dương

- Mụ̣t sụ́ phương pháp lượng giác hóa thường gặp:

Bài toán có chứa Lượng giác hóa bằng cách đặt

Trang 20

Ví dụ: Giải phương trình: 4x3- 3x= 1 x- 2 ( )*

Bài giải

● Điều kiện: - � �1 x 1

● Đặt x=cost, t � p �� 0; 1 x- 2 = 1 cos t- 2 = sin t2 = sint =sint

( )* �4cos t 3cost3 - =sint cos3t cos t

Trang 21

Nhận xét: Bài toán này (đã xét ở trên) cũng có thể giải bằng phơng pháp ợng giác, tuy nhiên với bài này cách giải bằng lợng giác chỉ mang tính chất thamkhảo

l-HD: Đặt

4 2 4

Khi đó phơng trình trở thành sin3 ycos3 y 2 sin cosy y

Đặt sinycosy z z � , �� 2; 2�� (chính xác là z ���1; 2��), biến đổi phơng trình

ta đợc z3 2.z2 3z 2 0 �(z 2)(z 2 1)( z 2 1) 0 

� z 2�z 1 2.Nếu z 2 thì thì

5 TỔNG HỢP ĐỀ CÁC TRƯỜNG NĂM 2017 - 2018

Cõu 1 (Trõ̀n Hưng Đạo) Giải phương trình sau trờn tọ̃p sụ́ thực:

Trang 22

p s

a b a b

x x



�

� � �

Thử lại thỏa mãn Vậy nghiệm phương trình là x1 hoặc x2

Câu 2 (Lê Quý Đôn) Giải hệ phương trình sau:

Trang 23

Câu 3 (Chu Văn An) Giải hệ phương trình:

2 2

Trang 24

Do x� nên phương trình đã cho có nghiệm là : 1 1 5

Vậy y� 0, khi đó ta coi phương trình   1 là phương trình bậc hai ẩn x, phương trình này có nghiệm

khi và chỉ khi   � ' 1 y3 0 y 1 3  

Tương tự coi phương trình   2 là phương trình bậc hai ẩn x, phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi    ' 1 y4� � 0  1 � � y 1 4  

Từ hai điều kiện   3 và   4 suy ra y   1

Thay vào phương trình   1 ta được x  1, giá trị này thỏa mãn phương trình   2

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất     x y ;   1; 1

Câu 7 (Đăk Mil) Giải phương trình: 13 x2x4 9 x2x4 16, x��

Trang 25

x x x

0 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm  x y ;     1;0 

Câu 11 (Trường Chinh) Giải hệ phương trình : 1 1 4( )2 3( )

Điều kiện: x y  � 0 Đặt u  x y u  ; � 0

Khi đó phương trình x y     1 1 4( x y  )2 3( x y  ) trở thành:

Trang 26

KL : Hệ có nghiệm x1, 1

1

4 1

Câu 13 (Nguyễn Tất Thành) Giải phương trình sau: 4 x2 22 3x x2 8 (1)

223

143

22942

3

42

x x x

x

x x

143

223

29

42

x x x

x

x x

143

223

94

23

42

x x

3223

94

2

3

4

02

2

x x

x

)2(

0414

3

222

43

222

x

x x

Vậy pt(1) có 2 nghiệm x1 x2

Định dạng
Số trang	26
Dung lượng	1,78 MB