Chủ đề Tổ hợp và Xác suất trong chương trình giải tích THPT là chủ đề hoàn toàn mới trong đó xuất hiện rất nhiều những thuật ngữ, kí hiệu, khái niệm mới. Vì vậy việc dạy và học chủ đề này đương nhiên sẽ chứa đựng những khó khăn nhất định. Hơn nữa, người GV tốt nghiệp ĐHSP khi đã từng được học Xác suất thống kê, nhưng có thể nhiều năm sau tốt nghiệp không dùng đến, bởi vậy trong họ chỉ giữ lại một vài ấn tượng mơ hồ về Xác suấtthống kê. Trong khi đó những chủ đề khác, chẳng hạn như hàm số, phương trình, bất phương trình, giới hạn,... không rơi vào trường hợp như vậy. Về Lí thuyết Xác suất, sẽ được đưa vào dạy trên toàn Quốc vào năm học 20072008 trong chương trình Toán lớp 11. Nó cũng đã từng được dạy thí điểm vào một số năm của thập niên 90 cho học sinh chuyên ban lớp 12 và chương trình thí điểm phân ban hiện tại (Trong khi đó, ở nhiều nước trên thế giới, Xác suất đã được dạy từ cấp THCS). Trong các kì thi mang tính chất quyết định thì cho đến thời điểm hiện tại cũng chưa có những bài toán về Xác suất. Ít ra thì phải từ kì thi năm 2009 mới có những bài về Xác suất. Điều này trong một chừng mực nào đó cũng làm cho GV có sự coi nhẹ.
Trang 1M t công vi c nào đó có th đ ộ ệ ể ượ c th c hi n theo m t trong hai ph ự ệ ộ ươ ng án A ho c B N u ph ặ ế ươ ng
án A có m cách th c hi n, ph ự ệ ươ ng án B có n cách th c hi n và không trùng v i b t kì cách nào ự ệ ớ ấ trong ph ươ ng án A thì công vi c đó có ệ m + n cách th c hi n. ự ệ
Qui t c nhân: ắ
M t công vi c nào đó có th bao g m hai công đo n A và B N u công đo n A có ộ ệ ể ồ ạ ế ạ m cách th c hi n ự ệ
và ng v i m i cách đó có ứ ớ ỗ n cách th c hi n công đo n B thì công vi c đó có ự ệ ạ ệ m.n cách th c hi n. ự ệ
Cho k ph n t khác nhau: a ầ ử 1, a2, …, ak M t cách s p x p n ph n t trong đó g m n ộ ắ ế ầ ử ồ 1 ph n t a ầ ử 1, n2
ph n t a ầ ử 2, …, nk ph n t a ầ ử k theo m t th t nào đó đ ộ ứ ự ượ c g i là m t hoán v l p c p n và ki u c a ọ ộ ị ặ ấ ể ủ
Trang 2Cho t p A g m n ph n t M t dãy g m k ph n t c a A, trong đó m i ph n t có th đ ậ ồ ầ ử ộ ồ ầ ử ủ ỗ ầ ử ể ượ ặ ạ c l p l i nhi u l n, đ ề ầ ượ ắ c s p x p theo m t th t nh t đ nh đ ế ộ ứ ự ấ ị ượ c g i là m t ch nh h p l p ch p k c a n ọ ộ ỉ ợ ặ ậ ủ
n C
Trang 3D NG 1: LIÊN QUAN Đ N TÍNH CH T CHIA H T Ạ Ế Ấ Ế
Câu 1: T các ch s ừ ữ ố1, 3 , 4, 8 l p các s t nhiên có sáu ch s , trong đó ch s ậ ố ự ữ ố ữ ố 3 có m t đúng ặ
ba l n, các ch s còn l i có m t đúng m t l n Trong các s đ ầ ữ ố ạ ặ ộ ầ ố ượ ạ c t o thành nói trên, Ch n ọ
ng u nhiên m t s Tính xác su t đ s đ ẫ ộ ố ấ ể ố ượ c Ch n chia h t cho ọ ế 4?
L i gi i ờ ả
G i s c n tìm là ọ ố ầ abcdef v i ớ a b c d e f , , , , , 1,3,4,8 .
S p x p ch s ắ ế ữ ố 3 vào 3 trong 6 v trí, có ị C63 cách S p x p ắ ế 3 ch s ữ ố1 4; 8 vào 3 v trí còn l i cóị ạ
3! Cách V y có t t c ậ ấ ả C63.3! 120 s ố
M t s chia h t cho ộ ố ế 4 khi và ch khi hai ch s t n cùng t o thành ỉ ữ ố ậ ạ 1 s chia h t cho ố ế 4
Trong các s trên, s l y chia h t cho ố ố ấ ế 4 có t n cùng là ậ 48, 84 Trong m i trỗ ường h p có ợ C43 4cách s p x p ch s ắ ế ữ ố 3 và 1 vào 4 v trí còn l i, suy ra có ị ạ 8 s chia h t cho ố ế 4.
Trang 4Câu 2: G i ọ A là là t p h p các s t nhiên có chín ch s đôi m t khác nhau Ch n ng u nhiên m t ậ ợ ố ự ữ ố ộ ọ ẫ ộ
s t nhiên thu c vào t p ố ự ộ ậ A Tính xác su t đ Ch n đ ấ ể ọ ƣ c m t s thu c ợ ộ ố ộ A và s đó chia ố
Câu 3: G i ọ S là t p h p các ậ ợ ước s nguyên dố ương c a s ủ ố 43200 L y ng u nhiên hai ph n t thu c ấ ẫ ầ ử ộ S.
Tính xác su t l y đấ ấ ược hai ph n t là hai s không chia h t cho ầ ử ố ế 5.
Có C842 cách Ch n ng u nhiên hai ph n t thu c ọ ẫ ầ ử ộ S.
M i ỗ ước nguyên dương không chia h t cho ế 5 c a s ủ ố 43200 là m t s có d ng ộ ố ạ 2 3 5i j 0
Suy ra s các ố ướ ủc c a 43200 không chia h t cho ế 5 trong t p ậ S là 7.4 28 .
Do đó có C282 cách l y hai ph n t thu c ấ ầ ử ộ S mà không chia h t cho ế 5.
Suy ra xác su t l y đấ ấ ược hai s không chia h t cho ố ế 5 trong S là
2 28 2 84
9 23
C P C
Câu 4: Cho t p h p ậ ợ A 0;1;2;3;4;5;6;7 T t p ừ ậ A có th l p để ậ ược bao nhiêu s t nhiên có ố ự 6 ch sữ ố
khác nhau đôi m t sao cho các s này là s l và ch s đ ng v trí th 3 luôn chia h t cho ộ ố ố ẻ ữ ố ứ ở ị ứ ế 6?
L i gi i ờ ả
G i s c n tìm là: ọ ố ầ n a a a a a a 1 2 3 4 5 6
S ố n có tính ch t:ấ
Trang 5Câu 5: Trong t p h p các s t nhiên có ậ ợ ố ự 4 ch s ta Ch n ng u nhiên m t s Tính xác su t đ ữ ố ọ ẫ ộ ố ấ ể
Ch n đ ọ ượ c m t s chia h t cho ộ ố ế 7 và ch s hàng đ n v b ng ữ ố ơ ị ằ 1.
L i gi i ờ ả
S các s t nhiên có ố ố ự 4 ch s là ữ ố 9999 1000 1 9000
Gi s s t nhiên có ả ử ố ự 4 ch s chia h t cho ữ ố ế 7 và ch s hàng đ n v b ng ữ ố ơ ị ằ 1 là: abc 1
Ta có abc 1 10 abc 1 3 abc 7 abc 1 chia h t cho ế 7 khi và ch khi ỉ 3 abc 1 chia h t cho ế 7
là s nguyên khi và ch khi ố ỉ h 3 1 t
Khi đó ta được: abcd 7 t 2 100 7 t 2 999
Câu 6: G i ọ A là t p h p t t c các s t nhiên có ậ ợ ấ ả ố ự 5 ch s Ch n ng u nhiên m t s t t p ữ ố ọ ẫ ộ ố ừ ậ A, tính
xác su t đ Ch n đ ấ ể ọ ượ c m t s chia h t cho ộ ố ế 7 và ch s hàng đ n v b ng ữ ố ơ ị ằ 1.
L i gi i ờ ả
Trang 6S các s t nhiên có ố ố ự 5 ch s là ữ ố 99999 10000 1 90000
Gi s s t nhiên có ả ử ố ự 5 ch s chia h t cho ữ ố ế 7 và ch s hàng đ n v b ng ữ ố ơ ị ằ 1 là: abcd 1
Ta có abcd 1 10 abcd 1 3 abcd 7 abcd 1 chia h t cho ế 7 khi và ch khi ỉ 3 abcd 1 chia h t ế
là s nguyên khi và ch khi ố ỉ h 3 1 t
Khi đó ta được: abcd 7 t 2 1000 7 t 2 9999
Câu 7: G i ọ S là t p h p t t c các s t nhiên có ậ ợ ấ ả ố ự 5 ch s Ch n ng u nhiên m t s t t p ữ ố ọ ẫ ộ ố ừ ậ S, xác su t đ Ch nấ ể ọ
được m t s chia h t cho ộ ố ế 7 và ch s hàng đ n v b ng ữ ố ơ ị ằ 1 là
L i gi i ờ ả S các s t nhiên có ố ố ự 5 ch s là: ữ ố 9.104¾¾® W =n( ) 9.10 4
Gi s s t nhiên có ả ử ố ự 5 ch s chia h t cho ữ ố ế 7 và ch s hàng đ n v b ng ữ ố ơ ị ằ 1 là abcd1
Ta có abcd1 10= abcd+ =1 3.abcd+7.abcd+ chia h t cho 1 ế 7 Û 3.abcd+ chia h t cho 1 ế 7
là s nguyên khi và ch khi ố ỉ h=3t+1.
P =
Câu 8: T các ch s ừ ữ ố 0,1, 2,3, 4,5 l p các s t nhiên có ba ch s đôi m t khác nhau L y ng u ậ ố ự ữ ố ộ ấ ẫ
nhiên m t s v a l p Tính xác su t đ l y đ ộ ố ừ ậ ấ ể ấ ượ ố c s không chia h t cho ế 3
Trang 7Khi a b c A A A A , , 1, 2, ,3 4 m i trỗ ường h p l p đợ ậ ược 4 s th a mãn yêu c u.ố ỏ ầ
Khi a b c A A A A , , 5, 6, 7, 8 m i trỗ ường h p l p đợ ậ ược 6 s th a mãn yêu c u.ố ỏ ầ
Trang 82010 2008
10 16161.9
Câu 10: T các ch s ừ ữ ố1, 2,3, 4,5, 6,7,8 l p các s t nhiên có tám ch s đôi m t khác nhau L y ậ ố ự ữ ố ộ ấ
ng u nhiên m t s v a l p Tính xác su t đ l y đ ẫ ộ ố ừ ậ ấ ể ấ ượ ố c s chia h t cho ế 1111
n
n n
Có 4! cách Ch n c p s trên, m i c p s có ọ ặ ố ỗ ặ ố 2 hoán v nên có ị 4!.24 s chia h t cho ố ế 1111.
G i ọ A: "S t nhiên đố ự ượ ấc l y chia h t cho ế 1111" n A 4!.24.
Xác su t c a bi n c ấ ủ ế ố A là P A 1051
Câu 11: Cho t p ậ X 1; 2; ;8 G i ọ A là t p các s t nhiên có 8 ch s đôi m t khác nhau đậ ố ự ữ ố ộ ượ ậ ừc l p t
X L y ng u nhiên m t s t t p ấ ẫ ộ ố ừ ậ A Tính xác su t đ s đấ ể ố ượ ấc l y chia h t cho 2222.ế
L i gi i ờ ả
Ta có n 8!.G i s đọ ố ượ ấ ừc l y t A có d ngạ a a a a 1 2 8.
Vì 2222 2.1111 , h n n a 2 và 1111 là 2 s nguyên t cùng nhau nênơ ữ ố ố
8 2 2
2222
a a
Trang 9có th hoán v cho nhau, đ ng th i hai ph n t trong m i bể ị ồ ờ ầ ử ỗ ộ
có cũng có th hoán v cho nhau nên có t t c ể ị ấ ả 3
3! 2! cách Ch n.
ọTóm l i, ta có ạ 3
Câu 12: M t h p đ ng ộ ộ ự 20 viên bi khác nhau được đánh s t ố ừ1 đ n ế 20 L y ba viên bi t h p trên r i c ngấ ừ ộ ồ ộ
s ghi trên đó l i H i có bao nhiêu cách l y đ k t qu thu đố ạ ỏ ấ ể ế ả ược là m t s chia h t cho ộ ố ế 3
Trang 10Câu 13: G i ọ S là t p h p các s t nhiên có ậ ợ ố ự 8 ch s đôi m t khác nhau Ch n ng u nhiên m t s t nhiênữ ố ộ ọ ẫ ộ ố ự
thu c vào t p ộ ậ S Tính xác su t đ Ch n đấ ể ọ ược m t s thu c ộ ố ộ S và s đó chia h t cho ố ế 9.
Câu 14: G i ọ X là t p h p các s t nhiên ch n có ậ ợ ố ự ẵ 4 ch s đôi m t khác nhau đ ữ ố ộ ượ ậ ừ c l p t các ch ữ
s ố 0;2;3; 4;5;7;8 Ch n ng u nhiên m t s t nhiên thu c vào t p ọ ẫ ộ ố ự ộ ậ X Tính xác su t đ Ch n ấ ể ọ
đ ượ c chia h t cho ế 4.
Câu 15: Cho X là t p h p các s t nhiên có ậ ợ ố ự 6 ch s đôi m t khác nhau mà t ng các ch s b ng ữ ố ộ ổ ữ ố ằ
18 Ch n ng u nhiên m t s t nhiên thu c vào t p ọ ẫ ộ ố ự ộ ậ X tính xác su t đ Ch n đ ấ ể ọ ượ c là s ố
ch n ẵ
Câu 16: T các ch s ừ ữ ố1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, l p đậ ược bao nhiêu s t nhiên có ố ự 6 ch s đôi m t khácữ ố ộ
nhau sao cho t ng c a ba ch s hàng ch c nghìn, hàng nghìn và hàng trăm b ng ổ ủ ữ ố ụ ằ 9?
Câu 17: M t h p ch a ộ ộ ứ 11 qu c u đả ầ ược đánh s theo th t t ố ứ ự ừ1 đ n ế 11, l y ng u nhiên ấ ẫ 6 qu c u Tínhả ầ
xác su t đ t ng c a các s đấ ể ổ ủ ố ược ghi trên 6 qu c u đó là s l ả ầ ố ẻ
Câu 18: M t h p đ ng chín qu c u gi ng nhau đ ộ ộ ự ả ầ ố ượ c đánh s t ố ừ1 đ n ế 9 H i ph i l y ít nh t bao ỏ ả ấ ấ
nhiêu qu c u đ xác su t có ít nh t m t qu ghi s chia h t cho ả ầ ể ấ ấ ộ ả ố ế 4 và l n h n ớ ơ
56
Câu 19: G i S là t p h p t t c các s t nhiên có ọ ậ ợ ấ ả ố ự 4ch s l p đữ ố ậ ượ ừ ậc t t p h p ợ X 1, 2,3, 4,5, 6,7,8,9
.Ch n ng u nhiên m t s t t pọ ẫ ộ ố ừ ậ X Tính xác su t đ s Ch n đấ ể ố ọ ược là s chia h t cho ố ế 6.
Câu 20: Có bao nhiêu s t nhiên có b n ch s mà t ng c a các ch s đó chia h t cho 5?ố ự ố ữ ố ổ ủ ữ ố ế
Câu 21: Cho t p ậ A 0;1;2;3;4;5;6 G i ọ S là t p h p g m ậ ợ ồ 5 ch s khác nhau Ch n t các ph n t c a ữ ố ọ ừ ầ ử ủ
t p ậ A Ch n ng u nhiên m t s t t p ọ ẫ ộ ố ừ ậ S Tính xác su t đ s đấ ể ố ược Ch n chia h t cho ọ ế 15.
Câu 22: Cho t p ậ A 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 G i ọ S là t p các s t nhiên có ậ ố ự 4 ch s l p t ữ ố ậ ừ A Ch n ọ
ng u nhiên m t s t ẫ ộ ố ừ S, xác su t đ s đấ ể ố ược Ch n chia h t cho ọ ế 6 b ngằ
Câu 23: Cho K là t p h p các s t nhiên có b n ch s Ch n ng u nhiên m t s t ậ ợ ố ự ố ữ ố ọ ẫ ộ ố ừ K Tính xác su t đ ấ ể
s đố ược Ch n có t ng các ch s là b i c a ọ ổ ữ ố ộ ủ 4.
Câu 24: G i ọ X là t p h p các s t nhiên có ậ ợ ố ự 5 ch s đữ ố ượ ậ ừc l p t các ch s ữ ố1, 2, 4,5, 7 th a mãn ch s ỏ ữ ố2
có m t đúng ặ 3 l n, các ch s còn l i có m t không quá ầ ữ ố ạ ặ 1 l n T t p h p ầ ừ ậ ợ X l y ng u nhiên ấ ẫ 1 s ốTính xác su t đ l y đấ ể ấ ượ ốc s chia h t cho ế 3:
Câu 25: G i ọ X là t p h p các s t nhiên có ậ ợ ố ự 3 ch s đữ ố ược thành l p t các ch s ậ ừ ữ ố 2,0,1,8 Ch n ng uọ ẫ
nhiên m t ph n t t t p ộ ầ ử ừ ậ X Tính xác su t đ ph n t đấ ể ầ ử ược Ch n là s chia h t cho ọ ố ế 3.
Lo¹i 2: Sè lÇn xuÊt hiÖn cña ch÷ sè
Câu 26: T ừ 10 ch s ữ ố 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 l p đậ ược bao nhiêu s t nhiên th a: là s có ố ự ỏ ố 8 ch s ,ữ ố
trong đó có 2 ch s l khác nhau và ữ ố ẻ 3 ch s ch n khác nhau mà m i ch s ch n có m t đúng ữ ố ẵ ỗ ữ ố ẵ ặ 2
Trang 11V i m i cách Ch n trên ta có: s các s có ớ ỗ ọ ố ố 8 ch s trong đó có ữ ố 2 ch s l khác nhau và ữ ố ẻ 3 ch s ữ ố
T ừ 2 bước trên suy ra s các ch s th o đ bài là: ố ữ ố ả ề 504000 75600 428400 số
Câu 27: T t p h p t t c các s t nhiên có năm ch s mà các ch s đ u khác ừ ậ ợ ấ ả ố ự ữ ố ữ ố ề 0, l y ng u nhiên m t s ấ ẫ ộ ố
Tính xác su t đ trong s t nhiên đấ ể ố ự ượ ấc l y ra ch có m t ba ch s khác nhau.ỉ ặ ữ ố
gTr ườ ng h p ợ 1: C hai ch s còn l i cùng b ng m t trong ba ch s ả ữ ố ạ ằ ộ ữ ố a b c; ; : có 3 cách; m i hoán ỗ
v t ị ừ 5! hoán v c a ị ủ 5 ch s ; nh ng c ữ ố ư ứ 3! hoán v c a các v trí mà ị ủ ị a a a; ; chi m ch thì ch t o ra ế ỗ ỉ ạcùng m t s ộ ố n, nên trong TH1 này có
5!
3 603!
s t nhiên ố ự
gTr ườ ng h p ợ 2: M t trong hai ch s còn l i b ng m t trong ba ch s ộ ữ ố ạ ằ ộ ữ ố a b c; ; và ch s kia b ng ữ ố ằ
m t ch s khác trong ba ch s đó: có ộ ữ ố ữ ố 3 cách; m i hoán v t ỗ ị ừ 5! hoán v c a ị ủ 5 ch s ; nh ng cữ ố ư ứ2! hoán v c a các v trí mà ị ủ ị b b, chi m ch thì ch t o ra cùng m t s ế ỗ ỉ ạ ộ ố n, nên trong TH2 này có5!
3 90
2!.2!
s t nhiên ố ựSuy ra 3
Trang 12Câu 28: Có bao nhiêu s t nhiên có ố ự 4 ch s sao cho trong m i s đó có m t ch s xu t hi n hai ữ ố ỗ ố ộ ữ ố ấ ệ
Suy ra trường h p này có ợ 9.8.8.C32 1728 s thõa mãn.ố
V y theo quy t c c ng, có ậ ắ ộ 216 1944 1728 3888 s th a mãn yêu c u bài toán.ố ỏ ầ
Câu 29: Ch n ng u nhiên ba s đôi m t khác nhau t t p h p ọ ẫ ố ộ ừ ậ ợ A1;2;3; 20 Tính xác su t đ trong ấ ể
ba s đ ố ượ c Ch n không có hai s t nhiên liên ti p ọ ố ự ế
Trang 13Cõu 33: T t p h p cỏc s t nhiờn cú ừ ậ ợ ố ự 5 ch s mà cỏc ch s đ u khỏc ữ ố ữ ố ề 0, l y ng u nhiờn m t s Tớnh xỏcấ ẫ ộ ố
su t đ trong s t nhiờn l y ra ch cú m t ba ch s khỏc nhau.ấ ể ố ự ấ ỉ ặ ữ ố
Cõu 34: Cú bao nhiờu s t nhiờn cú tỏm ch s trong đú cú ba ch s 0, khụng cú hai ch s 0 nào đ ngố ự ữ ố ữ ố ữ ố ứ
Loại 3: Liên quan đến vị trí
Cõu 37: Cú bao nhiờu s t nhiờn cú 6 ch s khỏc nhau trong đú 2 s k nhau khụng cựng là s l ?ố ự ữ ố ố ề ố ẻ
Trang 14Câu 38: Cho các ch s ữ ố 0,1, 2,3, 4,5 Có bao nhiêu s g m có 4 ch s khác nhau đố ồ ữ ố ược thành l p t các chậ ừ ữ
s đã cho, trong đó hai ch s ố ữ ố 0 và 1 không đ ng c nh nhau?ứ ạ
4.A 480 s có ch s ố ữ ố 0 đ ng đ u.ứ ầ
V y có ậ 4200 480 3720 s có 7 ch s c n tìm và ch a b s ố ữ ố ầ ứ ộ ố123.
Tr ườ ng h p 2: ợ S ph i tìm ch a b ố ả ứ ộ 321.
L p lu n tậ ậ ương t ta có: ự 3720 s có 7 ch s c n tìm và ch a b s ố ữ ố ầ ứ ộ ố 321.
Trang 15K t lu n: có ế ậ 3720.2 7440 s c n tìm.ố ầ
Câu 40: T các ch s ừ ữ ố 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , l p đ ậ ượ c bao nhiêu s t nhiên g m ố ự ồ 8 ch s sao cho trong ữ ố
m i s đó có đúng ba ch s ỗ ố ữ ố 1 , các ch s còn l i đôi m t khác nhau và hai ch s ch n ữ ố ạ ộ ữ ố ẵ không đ ng c nh nhau ? ứ ạ
5!
3! A
.
Câu 41: T các ch s ừ ữ ố 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , ta l p đ ậ ượ c bao nhiêu s t nhiên có ố ự 6 ch s , ữ ố
mà các ch s đôi m t khác nhau và trong đó hai ch s k nhau không cùng là s l ? ữ ố ộ ữ ố ề ố ẻ
Câu 42: V i các ch s ớ ữ ố 1, 2, 3 , 4, 5 , 6 , 7 có th l p đ ể ậ ượ c bao nhiêu s g m b y ch s khác nhau ố ồ ả ữ ố
sao cho ba ch s l không đ ng c nh nhau? ữ ố ẻ ứ ạ
L i gi i ờ ả
G i ọ A là t p h p các s g m b y ch s khác nhau Ta có ậ ợ ố ồ ả ữ ố n A 7!.
B là t p các s g m ậ ố ồ 7 ch s khác nhau mà s l không đ ng c nh nhau.ữ ố ố ẻ ứ ạ
Trang 16nhau đã k hai l n.ể ầ
Tính n D
:+) G i ọ a a a a1, , ,2 3 4 , v i ớ a a a a1, , ,2 3 4 1,3,5,7 , suy ra 4! 24 hoán v c a ị ủ .
+) V i m i b ớ ỗ ộ , s các hoán v d ng ố ị ạ , , , a a a5 6 7 là: 4! 24
hoán v ị n D 4!.4! 576 .
V y ậ n C 2880 576 2304 .
Do đó s hoán v theo yêu c u là ố ị ầ n B 7! 2304 2736 .
Câu 43: T các ch s ừ ữ ố 1 và 4 thi t l p đ ế ậ ượ c bao nhiêu s t nhiên có ố ự 10 ch s sao cho s t o ữ ố ố ạ
thành không có s nào có hai ch s ố ữ ố1 đ ng c nh nhau? ứ ạ
L i gi i ờ ả
Ch x y ra các trỉ ả ường h p sau:ợ
Tr ườ ng h p 1: ợ 1 ch s ữ ố1 và 9 ch s ữ ố 4:
+) X p ế 9 ch s ữ ố 4 thành hàng ngang: có 1 cách x p.ế
Khi đó, ta có 10 v trí có th x p s 1, đó là ị ể ế ố 8 kho ng tr ng gi a các s ả ố ữ ố 4 và hai đ u.ầ
+) X p s ế ố1 vào m t trong ộ 10 v trí nói trên: có ị C101 cách x p.ế
Suy ra trường h p ợ 1 có C101 cách x p.ế
Tr ườ ng h p 2: ợ 2 ch s ữ ố1 và 8 ch s ữ ố 4:
+) X p ế 8 ch s ữ ố 4 thành hàng ngang: có 1 cách x p.ế
Khi đó, ta có 9 v trí có th x p hai s 1, đó là ị ể ế ố 7 kho ng tr ng gi a các s ả ố ữ ố 4 và hai đ u.ầ
+) X p s ế ố1 vào hai trong 9 v trí nói trên: có ị C92 cách x p.ế
Suy ra trường h p ợ 2 có C92 cách x p.ế
Tr ườ ng h p 3: ợ 3 ch s ữ ố1 và 7 ch s ữ ố 4:
+) X p ế 7 ch s ữ ố 4 thành hàng ngang: có 1 cách x p.ế
Khi đó, ta có 8 v trí có th x p ba s 1, đó là ị ể ế ố 6 kho ng tr ng gi a các s ả ố ữ ố 4 và hai đ u.ầ
+) X p s ế ố1 vào ba trong 8 v trí nói trên: có ị C83 cách x p.ế
Suy ra trường h p ợ 3 có C83 cách x p.ế
Tr ườ ng h p 4: ợ 4 ch s ữ ố1 và 6 ch s ữ ố 4:
+) X p ế 6 ch s ữ ố 4 thành hàng ngang: có 1 cách x p.ế
Khi đó, ta có 7 v trí có th x p b n s 1, đó là ị ể ế ố ố 5 kho ng tr ng gi a các s ả ố ữ ố 4 và hai đ u.ầ
+) X p s ế ố1 vào b n trong ố 7 v trí nói trên: có ị C74 cách x p.ế
Suy ra trường h p ợ 4 có C74 cách x p.ế
Tr ườ ng h p 5: ợ 5 ch s ữ ố1 và 5 ch s ữ ố 4:
Trang 17+) X p ế 5 ch s ữ ố 4 thành hàng ngang: cú 1 cỏch x p.ế
Khi đú, ta cú 6 v trớ cú th x p năm s 1, đú là ị ể ế ố 4 kho ng tr ng gi a cỏc s ả ố ữ ố 4 và hai đ u.ầ
+) X p s ế ố1 vào năm trong 6 v trớ núi trờn: cú ị C65 cỏch x p.ế
Cõu 44: Trong h p ch a cỏc th đ ộ ứ ẻ ượ c ghi dóy s g m sỏu ch s khỏc nhau Tớnh xỏc su t đ rỳt ố ồ ữ ố ấ ể
đ ượ c m t th cú ghi cỏc ch s ộ ẻ ữ ố 1, 2, 3 , 4, trong đú cỏc ch s ữ ố 1, 2 khụng đ ng c nh nhau ứ ạ
và cỏc ch s ữ ố 3 , 4 khụng đ ng c nh nhau ứ ạ
Cõu 45: G i ọ E là t p cỏc s t nhiờn cú ậ ố ự 5 ch s đ c l p t cỏc ch s ữ ố ượ ậ ừ ữ ố 0;1;2;3;4;5. Ch n ng u ọ ẫ
nhiờn m t s thu c t p ộ ố ộ ậ E Tớnh xỏc su t đ s đ ấ ể ố ượ c Ch n là s ch n, cú đỳng hai ch s ọ ố ẵ ữ ố 0
và khụng đ ng c nh nhau, cỏc ch s cũn l i cú m t khụng quỏ m t l n ứ ạ ữ ố ạ ặ ộ ầ
Cõu 46: Cú bao nhiờu s t nhiờn cú ố ự 7 ch s th a món đ ng th i cỏc đi u ki n sau: Hai ch s đ ng c nh ữ ố ỏ ồ ờ ề ệ ữ ố ứ ạ
nhau thỡ khỏc nhau, cỏc ch s đ ng gi a thỡ khỏc ch s đ ng đ u và đ ng cu i.ữ ố ứ ữ ữ ố ứ ầ ứ ố
Cõu 47: M t chi c h p đ ng ộ ế ộ ự 8 viờn bi màu xanh được đỏnh s t ố ừ1 đ n ế 8, 9 viờn bi màu đ đỏ ược đỏnh s ố
t ừ1 đ n ế 9 và 10 viờn bi màu vàng được đỏnh s t ố ừ1 đ n ế 10 M t ngộ ười Ch n ng u nhiờn ọ ẫ 3 viờn
bi trong h p Tớnh xỏc su t đ ộ ấ ể 3 viờn bi được Ch n cú s đụi m t khỏc nhau ọ ố ộ
Cõu12: Cho A là t p h p cỏc s t nhiờn cú ậ ợ ố ự 2 ch s khỏc nhau đữ ố ượ ậc l p thành t t p h pừ ậ ợ
Cõu15: T p ậ S g m cỏc s t nhiờn cú ồ ố ự 6 ch s khỏc nhau đữ ố ược thành l p t cỏc ch s : ậ ừ ữ ố 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8 Ch n ng u nhiờn m t s t t p ọ ẫ ộ ố ừ ậ S Xỏc su t đ s đấ ể ố ược Ch n khụng cú ọ 2 ch s ch n đ ngữ ố ẵ ứ
c nh nhau làạ
Cõu 50: G i ọ X là t p h p t t c cỏc s t nhiờn cú ậ ợ ấ ả ố ự 8ch s đ ữ ố ượ ậ ừ c l p t cỏc ch s ữ ố 1, 2 , 3, 4 , 5, 6,
7, 8, 9 L y ng u nhiờn m t s trong t p ấ ẫ ộ ố ậ X G i ọ A là bi n c l y đ ế ố ấ ượ ố c s cú đỳng hai ch ữ
s ố 1, đỳng hai ch s ữ ố 2 , b n ch s cũn l i đụi m t khỏc nhau, đ ng th i cỏc ch s gi ng ố ữ ố ạ ộ ồ ờ ữ ố ố
nhau khụng đ ng li n k nhau Xỏc su t c a ứ ề ề ấ ủ A b ng: ằ
Loại 4: Liên quan đến lớn hơn , nhỏ hơn.
Cõu 51: Cú bao nhiờu s t nhiờn cú b n ch s ố ự ố ữ ố abcd th a món ỏ a b c d ?
L i gi i ờ ả
+ Trường h p 1: ợ a b c d thỡ cú 8 7 6 5 4 3 2 1 36 s th a món.ố ỏ
+ Trường h p 2: ợ a b c d thỡ cú C82C72 C22 84s th a món.ố ỏ
Trang 18G i s t nhiên có ọ ố ự 4 ch s khác nhau đữ ố ượ ấ ừc l y t các ch s ữ ố 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 là abcd.
S ố abcd không l n h n ớ ơ 2503 ta có 3 trường h p:ợ
TH1: S có d ng ố ạ 250d thì có 2 s : ố 2501, 2503.
TH2: S có d ng ố ạ 2bcd thì b 0;1;3;4 nên có 4.5.4 80 s ố
TH3: S có d ng ố ạ 1bcd thì có 6.5.4 120 s ố
V y có ậ 2 80 120 202 s th a yêu c u bài toán.ố ỏ ầ
Câu 53: T các ch s ừ ữ ố 0 , 1, 2, 3 , 4 l p các s ch n có ậ ố ẵ 4 ch s đôi m t khác nhau L y ng u nhiên ữ ố ộ ấ ẫ
Trang 19Câu 55: T các ch s ừ ữ ố 0,1,2,3,4,5 l p ra t t c các s t nhiên có b n ch s đôi m t khác nhau Ch nậ ấ ả ố ự ố ữ ố ộ ọ
ng u nhiên hai s trong các s đẫ ố ố ượ ậc l p Tính xác su t đ trong hai s đấ ể ố ược Ch n có ít nh t m t sọ ấ ộ ố
Câu 56: Cho t p ậ A 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 Có bao nhiêu cách Ch n m t b 3 s phân bi t c a ọ ộ ộ ố ệ ủ A đ hi uể ệ
c a 2 s b t kỳ trong 3 s đó có giá tr tuy t đ i không nh h n 2 ủ ố ấ ố ị ệ ố ỏ ơ
Trang 20Cõu 59: Cú bao nhiờu s nguyờn dố ương cú 5 ch s ữ ố abcde sao cho a b c d e.
Cõu 60: B n ạ A Ch n ng u nhiờn m t s t nhiờn t ọ ẫ ộ ố ừ ừ1 đ n ế 2018, b n ạ B Ch n ng u nhiờn m t s t nhiờnọ ẫ ộ ố ự
t ừ1 đ n ế 4016 Tớnh xỏc su t đ s b n ấ ể ố ạ A Ch n luụn bộ h n s b n ọ ơ ố ạ B Ch n.ọ
Cõu 61: Cho t p ậ A 1, 2,3, , 2018 K
Cú bao nhiờu cỏch Ch n ra ọ 5 s t t p ố ừ ậ A mà cỏc s đú l p thành m tố ậ ộ
c p s nhõn tăng cú cụng b i là m t s nguyờn dấ ố ộ ộ ố ương
Cõu 62: Cú bao nhiờu s t nhiờn cú ố ự 7 ch s mà tớch c a cỏc ch s b ng ữ ố ủ ữ ố ằ 1800.
A n5. B n6. C n9. D n4.
Dạng 2: các bài toán đếm số phơng án tính xác suất liên quan đến ngời hoặc đồ vật
Cõu 65: Ng ườ i ta dựng 18 cu n sỏch bao g m 7 cu n sỏch Toỏn, 6 cu n sỏch Lý và 5 cu n sỏch Húa ố ồ ố ố ố
đ làm ph n th ể ầ ưở ng cho 9 h c sinh m i h c sinh nh n đ ọ ỗ ọ ậ ượ c 2 cu n sỏch khỏc th lo i ố ể ạ Tớnh xỏc su t đ hai h c sinh A và B nh n đ ấ ể ọ ậ ượ c ph n th ầ ưở ng gi ng nhau ố
L i gi i ờ ả
Đ m t h c sinh nh n để ộ ọ ậ ược 2 quy n sỏch th lo i khỏc nhau, ta chia ph n thể ể ạ ầ ưởng thành ba lo i : ạToỏn + Lý ; Toỏn + Húa; Lý + Húa
Trang 21G i ọ , , x y z ( , , x y z N l n l t là s h c sinh nh n đ c b ph n th ng Toán + Lý ; Toán + ) ầ ượ ố ọ ậ ượ ộ ầ ưở Hóa; Lý + Hóa Khi đó, ta có h sau : ệ
Câu 66: M t trộ ường h c có ọ 25 giáo viên nam và 15 giáo viên n trong đó có đúng hai c p v ch ng Nhàữ ặ ợ ồ
trường Ch n ng u nhiên ọ ẫ 5 người trong s ố 40 giáo viên trên đi công Ch n có đúng m t c p vọ ộ ặ ợ
- S cách Ch n 3 ng ố ọ ườ ấ i b t kì trong 38 ng ườ i là C383 .
- S cách Ch n 3 ng ố ọ ườ i trong s 38 ng ố ườ i mà có c p ặ C D ,
Trang 22Chi đoàn l p 12A g m 40 đoàn viên, trong đó có m t ngớ ồ ộ ười tên là An và m t ngộ ười tên là Bình Ban
ch p hành chi đoàn bao g m m t bí th , m t phó bí th và ấ ồ ộ ư ộ ư n y viên đủ ược b u t 40 đoàn viên c aầ ừ ủ
chi đoàn
a Có th l p đ ể ậ ượ c bao nhiêu ban ch p hành chi đoàn 12A v i s y viên ấ ớ ố ủ n7, còn An và
Bình m i ng ỗ ườ i gi m t ch c v là bí th ho c phó bí th ? ữ ộ ứ ụ ư ặ ư
b M t ban ch p hành c a chi đoàn 12A đ ộ ấ ủ ượ c g i là đ t chu n ọ ạ ẩ A n u An và Bình đ u là0 ế ề
y viên ban ch p hành, đ ng th i không gi ch c v bí th và phó bí th Xác đ nh giá tr
2.A cách.
b S ph n t c a không gian m u là ố ầ ử ủ ẫ A C382 38n
Ch n 2 ngọ ườ ừi t 38 ngườ ể ữi đ gi ch c v bí th ho c phó bí th có ứ ụ ư ặ ư
2 38
A .
Ch n thêm y viên có ọ ủ
2 36
tr l i sai không đả ờ ược đi m và không b tr đi m M t thí sinh là c 10 câu, m i câu Ch n m tể ị ừ ể ộ ả ỗ ọ ộ
phương án ng u nhiên Tính xác su t đ thí sinh đó đ t t 7,0 đi m tr lên.ẫ ấ ể ạ ừ ể ở
Trang 23M t h c sinh tham d kỳ thi môn Toán H c sinh đó ph i làm m t đ tr c nghi m khách quan g mộ ọ ự ọ ả ộ ề ắ ệ ồ
10 c u h i M i câu có 4 đáp án khác nhau, trong đó ch có m t đáp án đúng H c sinh sẽ đầ ỏ ỗ ỉ ộ ọ ược ch mấ
đ n u tr l i đúng ít nh t 6 câu Vì h c sinh đó không h c bài nên ch Ch n ng u nhiên đáp ánỗ ế ả ờ ấ ọ ọ ỉ ọ ẫtrong c 10 câu h i Tính xác su t đ h c sinh thi đ ả ỏ ấ ể ọ ỗ
L i gi i ờ ả
Trong m t câu xác su t tr l i đúng là ộ ấ ả ờ
1.4
Trong m t câu xác su t tr l i sai là ộ ấ ả ờ
3.4
H c sinh đó thi đ trong các trọ ỗ ường h p sau:ợ
Trường h p 1: đúng 6 câu và sai 4 câuợ
S cách Ch n 6 câu đúng trong 10 câu là ố ọ C106
Xác su t đ 6 câu đúng đ ng th i 4 câu còn l i đ sai là: ấ ể ồ ờ ạ ề
1 10
1 3
3 10
1 3
5 10
14
Câu 70: M t công ty nh n độ ậ ược 30 h s c a ồ ơ ủ 30người mu n xin vi c vào công ty, trong đó có ố ệ 15 người bi tế
ti ng Anh, ế 8người bi t ti ng Pháp và ế ế 14người không bi t ti ng Anh và ti ng Pháp Công ty c n ế ế ế ầ
Trang 24tuy n ể 5người bi t ít nh t ti ng Anh ho c ti ng Pháp Tính xác su t đ trong ế ấ ế ặ ế ấ ể 5 ngườ ượi đ c Ch n cóọ
Câu 71: Trong kỳ thi h c sinh gi i c p trọ ỏ ấ ường, m t trộ ường THPT đã dùng 7cu n sách tham kh o môn Toán,ố ả
6 cu n sách tham kh o môn V t lý, ố ả ậ 5cu n sách tham kh o môn Hóa h c đ làm ph n thố ả ọ ể ầ ưởng cho
9h c sinh có k t qu cao nh t Các cu n sách cùng th lo i: Toán, V t lí, Hóa h c đ u gi ng nhau ọ ế ả ấ ố ể ạ ậ ọ ề ố
M i h c sinh nh n thỗ ọ ậ ưởng sẽ được hai cu n sách khác th lo i Trong s ố ể ạ ố 9h c sinh trên có hai h c ọ ọ
sinh tên là An và Bình Tìm xác su t đ hai h c sinh An và Bình có ph n thấ ể ọ ầ ưởng gi ng nhau.ố
Xét phép th : “Trao ph n thử ầ ưởng cho 9 h c sinh”, suy ra ọ C C C94 .53 22 1260.
Xét bi n c : “An và Bình có ph n thế ố ầ ưởng gi ng nhau”.ố
TH1: An và Bình cùng nh n sách Toán – V t lí, có ậ ậ
2 3 2
7 .5 2 210
C C C TH2: An và Bình cùng nh n sách Toán – Hóa, có ậ
4 1 2
7 .3 2 105
C C C TH3: An và Bình cùng nh n sách V t lí – Hóa h c, có ậ ậ ọ
4 3
7 3 35
C C