Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng ôn thi hsg

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI. Đây là một tài liệu rất hay giúp các thầy cô giáo ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn toán phần phương pháp toạ độ trong mặt phẳng. Tài liệu là tổng hợp các câu đã thi học sinh giỏi nội dung đường thẳng đường tròn trên toàn quốc. chắc chắn tài liệu sẽ giúp các thầy cô giảm thời gian soạn giáo án ôn thi HSG, một công việc mất rất nhiều thời gian và trí tuệ

ÔN THI HỌC SINH GIỎI

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TRONG CÁC ĐỀ THI HSG

Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho tam giác có góc đều nhọn Gọi là trực tâm

của tam giác ; lần lượt là giao điểm của với đường tròn ngoại tiếptam giác Tìm tọa độ trực tâm của tam giác biết

Từ đó ta có phương trình đường phân giác trong và ngoài của góc :

Do nằm khác phía đối với đường phân giác trong nên suy ra phương trình của đường thẳng

Tương tự phương trình đường thẳng

Câu 2: (1.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác ngoại tiếp đường tròn tâm

Biết đường cao xuất phát từ đỉnh của tam giác có phương trình:

và là giao điểm thứ hai của với đường tròn ngoại tiếp tam giác Tìm tọa độcác đỉnh của tam giác biết có hoành độ âm và thuộc đường thẳng có phương trình

Lời giải

đi qua và nên có phương trình :

Gọi là chân đường cao xuất phát từ đỉnh Tọa độ điểm thỏa mãn hệ :

Gọi là giao điểm thứ hai của với đường tròn ngoại tiếp tam giác

cân tại hay là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Suy ra nằm trên đường tròn tâm bán kính có phương trình

Khi đó tọa độ là hệ của nghiệm:

Do có hoành độ âm nên

đi qua và vuông góc nên có phương trình:

Khi đó là nghiệm của hệ:

Vậy

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ

1 Viết phương trình đường cao , phân giác trong của biết , ,

2 Cho , Đường phân giác trong góc của cắt tại vàchia thành hai phần có tỉ số diện tích bằng (phần chứa điểm có diện tích nhỏ hơndiện tích phần chứa điểm ) Gọi và Tính

Lời giải

1

Mà

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ , cho cân tại Đường thẳng có phương trình

, đường thẳng có phương trình Biết điểm thuộc cạnh , tìm tọa độ các đỉnh

Toạ độ điểm là nghiệm của hệ phương trình Suy ra

Phương trình đường phân giác của góc là ↔

Do tam giác cân tại nên đường phân giác trong kẻ từ cũng là đường cao

Trường hợp 1: Xét là đường cao của tam giác kẻ từ

+ Phương trình đường thẳng đi qua là vuông góc với là

hợp này không thỏa mãn.

Trường hợp 2: Xét là đường cao của tam giác kẻ từ

+ Phương trình đường thẳng là

Vậy

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác , với , trọng tâm của tam giác

nằm trên đường thẳng Tìm tọa độ đỉnh biết diện tích tam giác bằng

Tương tự ta có:

Từ (1), (2) và (3), ta có:

Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình vuông có tâm Trung điểm cạnh là

, trung điểm đoạn là Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, biết đỉnh thuộc

Lời giải

H

J M

B A

+ Đường thẳng đi qua nhận làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình

+ Có nên tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình Giải hệphương trình ta được

+ Gọi là trung điểm Ta có

+ Gọi Có và khác phía với

Ta có

Thay vào phương trình (1) ta được

Cách 2: Theo đáp án của tỉnh Bắc Ninh:

Gọi là độ dài cạnh hình vuông

Với (thỏa mãn)(vì khi đó cùng phía so với )

Với (loại) (vì khi đó cùng phía so với )

Vậy tọa độ các đỉnh hình vuông là

Câu 8: Trong mặt phẳng , cho tam giác có trọng tâm , đỉnh , , đỉnh thuộc

đường thẳng Biết diện tích tam giác bằng đơn vị diện tích, hãy tìm tọa

Câu 9Trong mặt phẳng tọa độ , cho hình vuông , là trung điểm cạnh , là điểm

thuộc cạnh sao cho , đường thẳng có phương trình là Tìm tọa

độ điểm biết có hoành độ dương

Câu 10: Trong mặt phẳng , cho đường tròn tâm có phương trình , tam giác

nội tiếp đường tròn và đường phân giác trong góc có phương trình Biếtrằng hai điểm và cách đều đường thẳng và điểm có hoành độ dương Tính diện tíchtam giác

Lời giải

Ta có Tọa độ giao điểm của đường phân giác trong góc và là nghiệm của hệ

Suy ra có hai giao điểm , (Vì có hoành độ dương)

Đường thẳng vuông góc nên phương trình có dạng:

Chú ý: có thể không cần tìm tọa độ của , mà ta cũng có thể tính được diện tích như sau:

(sử dụng pitago)

Câu 11: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình vuông tâm , gọi là trọng tâm tam giác

Điểm thuộc đoạn sao cho Tìm tọa độ đỉnh và viết phươngtrình cạnh , biết đường thẳng có phương trình và đỉnh có hoành độ nhỏhơn

Lời giải

+) Ta có nên là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

⇒ tam giác vuông cân tại

+) Đường thẳng đi qua và vuông góc với

Câu 12: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình vuông và điểm thuộc cạnh

Đường thẳng qua và vuông góc với cắt tại Gọi là trung điểm ,

đường thẳng cắt tại Tìm tọa độ điểm biết , , và

có tung độ dương

Lời giải

Ta có vì và (cùng phụ với )

Suy ra vuông cân

Đường thẳng đi qua và vuông góc với nên có phương trình

Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác :

Tọa độ điểm

thỏa hệ

Giải hệ ta được tọa độ , , ( )

Đường thẳng qua và nên có phương trình

Đường thẳng qua và vuông góc với nên có phương trình

Câu 13: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn tâm

Gọi , lần lượt là trung điểm của các cạnh và ; các điểm và tương ứng làhình chiếu vuông góc của và trên các đường thẳng và

a) Chứng minh rằng là đường trung trục của đoạn thẳng

b) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác , biết rằng , và đường thẳng

có phương trình

Lời giải

H M

E

I

C D

Mà góc (số đo góc ở tâm bằng nửa cung bị chắn)

Mà ( do cung nằm trên đường tròn tâm , đường kính )

Suy ra là đường trung trực của cạnh

b)Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác , biết rằng , và đường thẳng cóphương trình

Gọi là hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng suy ra

Vì và đối xứng qua nên là trung điểm của suy ra

Đường thẳng đi qua và nên có phương trình:

Đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với nên có phương trình:

Câu 14: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho hình chữ nhật có Gọi là trung

điểm của đoạn và là trọng tâm tam giác Viết phương trình đường thẳng Biết

Nếu thì đường thẳng qua và vuông góc với nên có phương trình là

Nếu thì đường thẳng qua và vuông góc với nên có phương trình là

Câu 15: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình chữ nhật ABCD, có đỉnh , đỉnh C nằm trên

đường thẳng Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho , biết

là hình chiếu vuông góc của D lên đường thẳng BE Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật ABCD

Lời giải

C(2t+5;t) N(6;-2)

A(-3;1)

E

D B

Ta có tứ giác nội tiếp nên (cùng bù với )

Câu 16: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác nội tiếp đường tròn ,

đường thẳng AC đi qua điểm Gọi M, N là chân các đường cao kẻ từ đỉnh B và C Tìm tọa

độ các đỉnh tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng MN là và điểm A có hoành độ âm

Gọi lần lượt là giao điểm của và với đường tròn

Tứ giác nội tiếp nên (cùng chắn cung )

Tứ giác nội tiếp nên (cùng chắn cung )

là giao điểm của và đường tròn nên tọa độ của là nghiệm của hệ

3

x y

Lại có là giao điểm của và nên tọa độ của là nghiệm của hệ

Đường thẳng vuông góc với nên có phương trình

Câu 17: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình chữ nhật , có đỉnh , đỉnh nằm

trên đường thẳng Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho , biết

là hình chiếu vuông góc của lên đường thẳng Xác định tọa độ các đỉnh còn lạicủa hình chữ nhật

Câu 18: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng và đường tròn

Từ điểm nằm trên đường thẳng kẻ 2 tiếp tuyến đếnđường tròn với là tiếp điểm Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác

Ta có .

Giải phương trình ta được

*Với thì trung điểm là , phương trình đường tròn đường kính là

* Với thì trung điểm là , phương trình đường tròn đường kính

Câu 19: Trong mặt phẳng tọa độ , cho tam giác nội tiếp đường tròn tâm , có đường cao

Gọi là hình chiếu của lên tia , cắt tại Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác

Lời giải

Nhận xét: Theo giả thiết thì không thể trùng với là tam giác thường

Kẻ đường kính của đường tròn vuông tại

Có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình

Có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình

Câu 20: Trong mặt phẳng , cho tam giác cân tại Gọi là điểm trên cạnh sao cho

và là hình chiếu vuông góc của trên Điểm là trung điểm Xác định tọa độ đỉnh , biết đỉnh nằm trên đường thẳng có phương trình

Lời giải

Gọi là trung điểm của

Gọi là giao điểm của với đường thẳng qua và song song với

là hình chữ nhật nội tiếp đường tròn có đường kính là và

Ta có là đường trung bình của tam giác song song với

nằm trên đường tròn đường kính nằm trên đường

Câu 21: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho hình thang vuông vuông tại và , có

Gọi là điểm thuộc cạnh sao cho Điểm thuộc cạnh sao cho tam giác cân tại Phương trình đường thẳng là Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang biết thuộc đường thẳng và điểm thuộc đường thẳng

Lời giải

+) Đặt

Xét có

Gọi là chân đường vuông góc hạ từ , kẻ vuông góc với Ta có

Phương trình đường thẳng có véc tơ chỉ phương

+) Điểm thuộc đường thẳng nên

Câu 22: Cho tam giác nội tiếp đường tròn tâm , trọng tâm , các điểm ,

lần lượt đối xứng với qua và , điểm thuộc đường thẳng Viếtphương trình đường tròn

Lời giải

Ta thấy và vuông góc với các dây cung , nên đi qua các trung điểm , của

và Kết hợp tính đối xứng của các điểm , qua các cạnh , , ta có các tứ giác

Hơn nữa, ta có ( vì cùng song song ) và bằng nhau nên là hình bình hành

Phương trình là , và đi qua nên có phương trình là

Gọi là trung điểm của thì tọa độ của và là và

Mặt khác,

Câu 23: Trong mặt phẳng , cho hình chữ nhật , Điểm thuộc cạnh sao cho

, là trung điểm của Gọi là giao điểm của và Viết phương trìnhđường tròn ngoại tiếp tam giác Biết điểm , đường thẳng có phương trình

, điểm có hoành độ là số nguyên.

Lời giải

Gọi là trung điểm của , là giao điểm của và

Ta có , là trung điểm của và nên

Gọi là trung điểm của , khi đó ,

Phương trình đường trong ngoại tiếp tam giác là:

Câu 24: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn tâm

Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và ; các điểm và tương ứng làhình chiếu vuông góc của và trên các đường thẳng và

a) Chứng minh rằng là đường trung trực của đoạn thẳng

b) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác , biết rằng , và đường thẳng

có phương trình

Lời giải

a) Ta có , suy ra tứ giác nội tiếp đường tròn tâm , đường kính Mặt khác , suy ra ngũ giác nội tiếp đường tròn đường kính

Mà (số đo góc ở tâm bằng nửa cung bị chắn)

Mà do cung nắm trên đường tròn tâm , đường kính

Suy ra là đường trung trực của đoạn thẳng

b)

Ta có Do và đối xứng nhau qua (theo câu 6a) nên

Gọi là trung điểm nên (do ) Do đó

Mà nên phương trình đường thẳng :

Mặt khác: nên phương trình đường thẳng

Vậy tọa độ các đỉnh của là: , ,

a) Tìm giao điểm của hai đường tròn và

b) Gọi giao điểm có tung độ dương của và là viết phương trình đường thẳng đi qua cắt và theo hai dây cung có độ dài bằng nhau

Lời giải

a) Tọa độ các giao điểm của và là nghiệm của hệ phương trình:

.Vậy và cắt nhau tại hai điểm và

+) TH1: Đường thẳng đi qua cắt và tại 2 điểm khác

Theo giả thiết ta có:

có tâm , bán kính

có tâm , bán kính

Gọi và là giao điểm của đường thẳng đi qua cắt và thỏa , với không trùng

Gọi và lần lượt là trung điểm của , Vì là trung điểm của đoạn nên

là trung điểm của đoạn

Gọi là trung điểm của đoạn

+) TH2: Đường thẳng đi qua 2 điểm cũng thỏa mãn

Ta có Chọn VTPT của đường thẳng là

Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn cần tìm là và

Câu 26: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho hình bình hành có , phương trình

đường chéo , điểm B có hoành độ âm Gọi là trung điểm cạnh và

là điểm thuộc đoạn thẳng thỏa mãn Tìm tọa độ các đỉnh ,biết diện tích tam giác bằng 4

Lời giải

Trên đoạn thẳng ta có là trung điểm của

Khi đó

Gọi là trung điểm của Suy ra là đường trung bình của tam giác

Ta có: là đường trung bình của tam giác

* Gọi suy ra là hình chiếu của lên

Vì Khi đó,

Với là trung điểm , suy ra

Vì là trung điểm nên suy ra

Mặt khác, là trung điểm nên suy ra

Câu 27: Cho tam giác có Gọi là giao điểm của chân đường phân giác trong góc với

, điểm và lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên và Đặt , tính tỉ

A B

Câu 28: Trong mặt phẳng tọa độ , cho tam giác vuông tại , đỉnh , phân giác trong góc

có phương trình Viết phương trình đường thẳng , biết diện tích tam giác bằng 36 và đỉnh có hoành độ dương

Lời giải

K

D H B

Phương trình đường thẳng :

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình

Ta có tam giác cân tại là trung điểm

Câu 29: Trong mặt phẳng tọa độ cho hình thang với hai đáy là và Biết diện tích hình

thang bằng (đơn vị diện tích), đỉnh và trung điểm cạnh là Viết phươngtrình tổng quát của đường thẳng biết đỉnh có hoành độ dương và nằm trên đường thẳng

Ta có: ; .

Đường thẳng đi qua và nhận véc tơ là véc tơ chỉ phương

Phương trình tổng quát của đường thẳng là:

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Câu 30: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình thang với hai đáy và Biết diện tích

hình thang là 14 (đơn vị diện tích), đỉnh , và trung điểm cạnh là

Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thang biết đỉnh có hoành độ dương và nằm trên đường thẳng :

Lời giải

Gọi là giao điểm của và

Vì , mà nên

Câu 31: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho hình vuông , điểm là trọng tâm tam

giác Đường thẳng đi qua vuông góc với và cắt tại điểm Tìm tọa độcác đỉnh của hình vuông biết rằng đỉnh có tung độ lớn hơn 1

Bài 32:Trong mặt phẳng , cho đường tròn với đường thẳng

Qua thuộc đường thẳng , kẻ 2 tiếp tuyến , đến đường tròn với , là tiếp điểm Tìm tọa độ điểm thỏa mãn để đạt giá trị lớn nhất (với là tâmđường tròn ) là

(Cách khác: Theo góp ý của thầy Nguyễn Mạnh Hà).

Vậy có 2 điểm thỏa mãn bài toán: hoặc

Bài 33 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác cân tại có phương trình hai cạnh là , điểm thuộc đoạn thẳng Tìm tọa độ điểm sao cho có giá trị nhỏ nhất

- Phương trình các đường phân giác góc A là:

- Do Δ cân tại nên phân giác trong ( ) của góc vuông góc với BC

- , khi đó đi qua và có vtpt ;

Phương trình cạnh : , Tọa độ  :

Tọa độ  :

Khi đó  ; ngược hướng ; nằm hai phía ( ) ( thỏa mãn)

Khi đó  ; cùng hướng (loại)

- , khi đó đi qua và có vtpt

Bài 34 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có Các đường tròn nội tiếp

và ngoại tiếp của tam giác ABC có tâm lần lượt là và Lập phương trình đường thẳng BC

pt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là

Đường thẳng AI có pt

AI cắt đường tròn (K; R) tại điểm thứ hai

Do I là tâm nội tiếp suy ra D là điểm chính giữa của cung BC

Đường thẳng BC có vtpt nên BC có pt