Chuyen de chia da thuc

CHUYÊN ĐỀ TÍNH CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC TÍNH CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 Khái niệm +) Đa thức chia hết cho đa thức khi và chỉ khi tồn tại đa thức sao cho Tức là +) Với 2 đa thức một[.]

TÍNH CHIA H T Đ I V I ĐA TH C Ế Ố Ớ Ứ

A KI N TH C C B N Ế Ứ Ơ Ả

1 Khái ni m ệ

+) Đa th c ứ chia h t cho đa th c ế ứ khi và ch khi t n t i đa th c ỉ ồ ạ ứ sao cho

T c là ứ +) V i 2 đa th c m t bi n ớ ứ ộ ế và tùy ý, t n t i duy nh t 2 đa th c ồ ạ ấ ứ và sao cho: ( ho c ặ có b c nh h n b c c a ậ ỏ ơ ậ ủ ) N uế

thì ta có phép chia h t, còn không thì ta có phép chia có d ế ư

+) Đ nh lý Bezout ị (phát bi u năm 1770 b i nhà toán h c Pháp Étienne Bézout (1730-1783) ể ở ọ )

“Khi đa th c ứ chia cho nh th c ị ứ đ c d là ượ ư thì ”

+) L ượ c đ Horner ồ (Ph ng pháp đ t tên theo nhà toán h c ng i Anh William George Horner, ươ ặ ọ ườ

m c dù các ph ng pháp này đã đ c bi t đ n tr c đó b i Paolo Ruffini và sáu trăm năm tr c b i ặ ươ ượ ế ế ướ ở ướ ở nhà toán h c Trung Qu c T n C u Thi u ọ ố ầ ử ề )

cho nh th c ị ứ ta đ c ượ , khi đó đ c tìm nh sau:ượ ư

sau:

Bậ

c

0

1

2

3

…

Sau khi l p xong l c đ , ta l y giá tr các ô tô màu làm k t qu , t c làậ ượ ồ ấ ị ở ế ả ứ

2 Tính ch t ấ

c)

II Tìm d c a phép chia mà không th c hi n phép chia ư ủ ự ệ

1 Đa th c chia có d ng x-a (a là h ng s ) ứ ạ ằ ố

*Ph ng pháp: ươ

+ S d ng đ nh lí B duử ụ ị ơ

+S d ng s đ Hoocneử ụ ơ ồ

1.1 Đ nh lí B du ị ơ

a)Đ nh lí: ị S d c a phép chia đa th c f (x) cho nh th c x-a đúng b ng f(a)ố ư ủ ứ ị ứ ằ

Ví d : ụ Tìm s d c a phép chia da th c f(x) = xố ư ủ ứ 243+x27+x9+x3+1 cho x+1

Gi i:ả

Theo đ nh lí B du ta có s d c a phép chia f(x) cho x+1 đúng băng f(-1)ị ơ ố ư ủ

Có f(-1)= (-1)243+(-1)27+(-1)9+(-1)3+1=-3

V y s d c a phép chia đa th c f(x) cho x+1 b ng -3.ậ ố ư ủ ứ ằ

b) H qu ệ ả

+) f(x) (x-a) f(a)=0

+) Đa th c f(x) có t ng các h s b ng 0 thì f(x) ứ ổ ệ ố ằ (x-1)

+) Đa th c f(x) có t ng các h s c a các h ng t b c ch n b ng t ng các h s c a các h ng ứ ổ ệ ố ủ ạ ử ậ ẵ ằ ổ ệ ố ủ ạ

t b c l thì f(x) ử ậ ẻ (x+1)

1.2 S đ Hooc-ne.ơ ồ

a) S đơ ồ

Ví d 1 : Tìm đa th c th ng và d cu phép chia đa th c xụ ứ ươ ư ả ứ 3-5x2+8x-4 cho x-2 mà không c n ầ

th c hi n phép chia.ự ệ

GV th c hi n m u:ự ệ ẫ

Ví d 2:(xụ 3-7x+6):(x+3)

HS th c hi n VD2.ự ệ

GV t ng quát:ổ

V i đa th c f(x)=aớ ứ 0xn+a1xn-1+a2xn-2+… +an-1x+an.

Ta có sơ đồ Hoocne:

a B0=a0 b1=a.b0+a1 b2=a.b1+a2 …… bn-1=a.bn-2+an-1 r=a.bn-1+an

b,Ch ng minh s đ (Nâng cao phát tri n ) ứ ơ ồ ể c,Áp d ng s đ Hooc –ne đ tính giá tr c a đa th c f(x) t i x=a (Đ c SGK/68)ụ ơ ồ ể ị ủ ứ ạ ọ

2 Đa th c chia có b c t b c hai tr lên ứ ậ ừ ậ ở

*Ph ng pháp ươ

Cách1: Tách ra đa th c b chia nh ng đa th c chia h t cho đa th c chia ở ứ ị ữ ứ ế ứ

Cách2: Xét giá tr riêng (s d ng khi đa th c chia có nghi m )ị ử ụ ứ ệ

Ví d :Tìm d khi chia f(x) =xụ ư 7+x5+x3+1 cho x2-1

C1: f(x)=x7+x5+x3+1=(x7-x)+(x5-x)+(x3-x) +3x+1

=x(x6-1)+x(x4-1)+x(x2-1)+3x+1

Có x6-1 x2-1;x4-1 x2-1;x2-1 x2-1

f(x): x2 -1 d 3x+1ư

C2: Có f(x)=(x2-1).Q(x)+ax+b v i m i x (1)ớ ọ

Đ ng th c (1) đúng v i m i x ,nên ẳ ứ ớ ọ

V i x=1 có f(x)=a+b=4ớ

x=-1 có f(-1)=-a+b=-2

a=3;a=1

V y d là 3x+1ậ ư

*Chú ý :

+) an-bn a-b ( a b)

an+bn a+b (n l ;aẻ -b)

+) xn-1 x-1

x2n-1 x2-1 x-1; x-1

x4n-1 x4-1 x2-1; x2 +1

x3n-1 x3-1 x2+x+1

III Ch ng minh m t đa th c chia h t cho 1 đa th c ứ ộ ứ ế ứ

* Ph ng pháp ươ : có 4 cách

C1:Phân tích đa th c b chia thành nhân t có ch a đa th c chia (đ/n~ A=B.Q)ứ ị ử ứ ứ

C2:Bi n đ i đa th c b chia thành t ng các đa th c chia h t cho đa th c chia(t/ch t)ế ổ ứ ị ổ ứ ế ứ ấ

C3:S d ng các bi n đ i t ng đ ng ử ụ ế ổ ươ ươ

f(x) g(x) f(x) g(x) g(x)

C4:Ch ng t r ng m i nghi m c a đa th c chia ứ ỏ ằ ọ ệ ủ ứ đ u là nghi m c a đa th c b chia ề ệ ủ ứ ị

B.Các d ng bài t p ạ ậ

D ng 1:Tìm d c a phép chia (không làm tính chia) ạ ư ủ

Ph ng pháp: ươ S d ng các pp trong ph n II lí thuy t ử ụ ầ ế

Bài1:Tìm d c a phép chia x ư ủ 41 cho x 2 +1

Gv g i ý đ HS ch n đ c đúng ph ng phápợ ể ọ ượ ươ

HS: x41=x41-x+x=x(x40-1)+x

=x[(x4)10-1]+x

=x[(x2-1)(x2+1)]10+x

x[(x2-1)(x2+1)]10+x:(x2+1) d xư

Bài 2.Tìm d c a phép chia f(x) =x ư ủ 50 +x 49 + +x 2 +x+1 cho x 2 -1.

Gv g i ý đ HS ch n đ c đúng ph ng phápợ ể ọ ượ ươ

HS: Ch n cọ ách xét giá tr riêng vì đa th c có nghi m ị ứ ệ

Bài 3.Đa th c f(x) khi chia cho x+1 d 4 , chia cho x ứ ư 2 +1 d 2x+3 ư

Tìm ph n d khi chia f(x) cho (x+1)(x ầ ư 2 +1)

HD: Có f(x)=(x+1).A(x)+4 (1)

f(x)=(x2+1).B(x)+2x+3 (2)

f(x)=(x+1)(x2+1).C(x) +ax2+bx+c (3)

=(x+1)(x2+1).C(x)+a(x2+1)+bx+c-a

=(x2+1)[C(x).(x+1)+a]+bx+(c-a) (4)

T (2) và (4) ừ b=2;c-a=3

b=2;c= ;a=

V y đa th c d là ậ ứ ư x2+2x+

D ng 2: Tìm đa th c th a mãn đi u ki n cho tr ạ ứ ỏ ề ệ ướ c.

Ph ng pháp ươ : Xét giá tr riêng ị

Bài 1: V i giá tr nào c a a và b thì đa th c f(x)= x ớ ị ủ ứ 3 +ax 2 +bx+2 chia cho x+1 d 5; chia cho x+2 thì d ư ư 8.

HD:

Vì f(x)= x3+ax2+bx+2 chia cho x+1 d 5; chia cho x+2 thì d 8 nên ta có:ư ư

f(x)=(x+2).H(x)+8

V i x=-1 ta có f(-1)=-1+a-b+2=5 (1)ớ

V i x=-2 ta có f(-2)=-8+4a-2b+2=8 (2)ớ

T (1) và (2) ta có: a=3; b=-1.ừ

Bài 2: Tìm đa th c f(x) bi t f(x) chia cho x-3 thì d 7; chia cho x-2 thì d 5; chia cho (x-3)(x-2) đ c ứ ế ư ư ượ

th ng là 3x và còn d ươ ư

HD:

Theo bài ta có:

f(x)= (x-3).A(x)+7

f(x)=(x-2).B(x)+5

f(x)=3x(x-3)(x-2)+ax+b

các đ ng th c tren đúng v i m i x nên:ẳ ứ ớ ọ

+V i x=2 có f(2)=5=> 2a+b=5ớ

+V i x=3 có f(3)=7=> 3a+b=7ớ

 a=2; b=1

Do đó d là 2x+1ư

F(x)= 3x(x-2)(x-3)+2x+1+3x3-15x2+20x+1

D ng 3: Ch ng minh chia h t ạ ứ ế

Ph ng pháp: ươ S d ng các pp trong ph n III lí thuy t ử ụ ầ ế

Bài 1: Ch ng minh r ng: x ứ ằ 50 +x 10 +1 chia h t cho x ế 20 +x 10 +1

HD:Đ t xặ 10=t=> c n ch ng minh tầ ứ 5+t+1 chia h t cho tế 2+t+1

Có t5+t+1=t5-t2+t2+t+1=t2(t-1)(t2+t+1)+( t2+t+1) t2+t+1

Ch ng t xứ ỏ 50+x10+1 chia h t cho xế 20+x10+1

Bài 2: (x 2 -x 9 -x 1945 ) (x 2 -x+1)

HD:

x2-x9-x1945=(x2-x+1)+(-x9-1)+(-x1945+x)

Có x2-x+1 x2-x+1

x9+1 x3+1 nên x9+1 x2-x+1

x1945-x=x(x1944-1)=x((x6)324-1) x6-1 nên x1945-x x3+1 nên x1945-x x2-x+1

Ch ng t (xứ ỏ 2-x9-x1945) (x2-x+1)

Bài t p v nhà: ậ ề

Bài 1: Tìm d khi chia các đa th c sau:ư ứ

a) x43: (x2+1)

b) (x27+x9+x3+x):(x-1)

c) (x27+x9+x3+x):(x2-1)

d) (x99+x55+x11+x+7): (x+1)

e) (x99+x55+x11+x+7): (x2+1)

Bài 2: Ch ng minh r ng:ứ ằ

a) x10-10x+9 chia h t cho (x-1)ế 2

b) x8n+x4n +1 chia h t cho xế 2n+xn +1( v i n là s t nhiên)ớ ố ự

c) x3m+1 +x3n+2 +1 chia h t cho xế 2+x +1( v i m, n là s t nhiên)ớ ố ự

Bài 3: Cho đa th c f(x), các ph n d trong các phép chia f(x) cho x và cho x-1 l n l t là 1 và 2 ứ ầ ư ầ ượ Hãy tìm ph n d trong phép chia f(x) cho x(x-1)ầ ư

Bài 4 : T×m ®a thøc f(x) biÕt r»ng f(x) chia cho x - 3 th× dư 2, f(x) chia cho x + 4 th× dư 9, cßn

f(x) chia cho x2 +x - 12 th× ®ưîc thư¬ng lµ x2 + 3 vµ cßn dư

Ngư

i th c hi n:

Nguy n Th Th o ễ ị ả

Đánh giá, nh n xét chuyên đ : ậ ề

………

………

………

………

………