CHUYÊN ĐỀ VỀ ĐA THỨC

 Trong các kỳ thi dạng toán này luôn có, chiếm 1 đến 5 điểm trong bài thi.. Khả năngtính toán dẫn đến sai số thường thì không nhiều nhưng nếu biểu thức quá phức tạp nêntìm cách chia nhỏ

CHƯƠNG II : ĐA THỨC

1 Định lý Bezout

Số dư trong phép chia f(x) cho nhị thức x – a chính là f(a)

Hệ quả: Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x – a

Dạng 1 Tính giá trị của đa thức

Bài toán: Tính giá trị của đa thức P(x,y,…) khi x = x0, y = y0; …

Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp các giá trị của x, y vào đa thức để tính Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đối với đa thức một biến)

Từ đây ta có công thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k ≥ 1

Giải trên máy: - Gán giá x0 vào biến nhớm M

- Thực hiện dãy lặp: bk-1 ALPHA M + ak

Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ Ans

1.498465582

Nhận xét:  Phương pháp dùng sơ đồ Horner chỉ áp dụng hiệu quả đối với máy fx-220

và fx-500A, còn đối với máy fx-500 MS và fx-570 MS chỉ nên dùng phương pháp tínhtrực tiếp có sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS có thể thế các giá trị củabiến x nhanh bằng cách bấm CALC , máy hỏi X? khi đó khai báo các giá trị của biến x

ấn phím là  xong Để có thể kiểm tra lại kết quả sau khi tính nên gán giá trị x0 vàomột biến nhớ nào đó khác biến Ans để tiện kiểm tra và đổi các giá trị

  235678 SHIFT STO X

Dùng phím mũi tên lên một lần (màn hình hiện lại biểu thức cũ) rồi ấn phím  là xong

 Trong các kỳ thi dạng toán này luôn có, chiếm 1 đến 5 điểm trong bài thi Khả năngtính toán dẫn đến sai số thường thì không nhiều nhưng nếu biểu thức quá phức tạp nêntìm cách chia nhỏ bài toán tránh vượt quá giới hạn bộ nhớ của máy tính sẽ dẫn đến sai

kết quả (máy tính vẫn tính nhưng kết quả thu được là kết quả gần đúng, có trường hợpsai hẳn).

Dạng 2: Tìm dư trong phép chia đa thức P(x)

cho nhị thức ax + b

Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + r, trong đó r

là một số (không chứa biến x) Thế x b

ALPHA X ^14 ALPHA X ^9 ALPHA X ^5

Kết quả: r = 85,92136979

Dạng 3 Xác định tham số m để đa thức P(x) + m

chia hết cho nhị thức ax + b

Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta luôn được

P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r Muốn P(x) chia hết cho ax +b thì m + r = 0

Cho hai đa thức P(x) = 3x2 - 4x + 5 + m; Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7 + n

Tìm m, n để hai đa thức trên có nghiệm chung 0

1 2

P 

  = ;n = 1

1 2

1 Tim giá trị của m để f(x) + m chia hết cho x+6

2 Với m vừa tìm được ở câu 1 T ính giá trị của đa thức P(x) = f(x) + m khi cho:

x =

2

3 1 1

2

3 1

3 1

Dạng 4: Tìm điều kiện tham số củaP x  thỏa mãn một điều kiện nào đó:

Ví dụ 4.1 : (5 điểm) Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c

a) Tìm a, b, c biết rằng khi x lần lượt nhận các giá trị 1,2 ; 2,5 ; 3,7 thì P(x) có giá trịtương ứng là 1994,728 ; 2060,625 ; 2173,653

b) Tìm số dư r của phép chia đa thức P(x) cho 12x – 1

c) Tìm giá trị của x khi P(x) có giá trị là 1989

, 3 69 , 13

2045 5

, 2 25 , 6

1993 2

, 1 44 , 1

c b a

c b a

c b a

Giải hệ phương trình ta được a =10 ; b =3 ; c = 1975

b) Số dư của phép chia P(x) =x3+10x2+3x+1975 cho 2x+5 chính là giá trị P(-2,5) của đa thức P(x) tại x=-2,5 ĐS ; 2014,375

c) Giải phương trình P(x) =x3+10x2+3x+1975= 1989 hay x3+10x2+3x-14 =0

x=1 ; x= - 9,531128874 ; x= -1,468871126

Ví dụ 4.2:Cho P(x) = x3 + ax2 + bx - 1

1) Xác định số hữu tỉ a và b để x =

5 7

5 7

(x-1)(x2-12x+1) = 0  x = 1 ; x  0,08392 và x  11,916

Ví dụ 4.3:Xác định các hệ số a, b, c của đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 để sao cho P(x) chia hết cho (x – 13) có số dư là 2 và chia cho (x – 14) có số dư là 3

Bài toán mở đầu: Chia đa thức a0x3 + a1x2 + a2x + a3 cho x – c ta sẽ được thương là một

đa thức bậc hai Q(x) = b0x2 + b1x + b2 và số dư r Vậy a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = (b0x2 + b1x+ b2)(x-c) + r = b0x3 + (b1-b0c)x2 + (b2-b1c)x + (r + b2c) Ta lại có công thức truy hồiHorner: b0 = a0; b1= b0c + a1; b2= b1c + a2; r = b2c + a3

Tương tự như cách suy luận trên, ta cũng có sơ đồ Horner để tìm thương và số dư khichia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x-c) trong trường hợp tổng quát

: Tìm thương và dư trong phép chia đa thức P(x) cho (ax +b)

Cách giải:

- Để tìm dư: ta giải như bài toán 1

- Để tìm hệ số của đa thức thương: dùng lược đồ Hoocner để tìm thương trong phépchia đa thức P(x) cho (x +b

(-118) (590) (-2950) (14751) (-73756)

-590 -2950 14751

-73756

* Tính trên máy tính các giá trị trên như sau:

1  ANPHA M + 0 = (-5) : ghi ra giấy -5

 ANPHA M - 3 = (-118) : ghi ra giấy -118

 ANPHA M + 0 = (590) : ghi ra giấy 590

x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 =

= (x + 5)(x6 - 5x5 + 23x4 - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751) – 73756

Vi du5.3: Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 cho (2x - 1)

1 32

64

1 128

256 1

2

4

1 2

16

3 16

64

1 16



VËy: 2

1 16

r 

Dạng 6 Phân tích đa thức theo bậc của đơn thức

Áp dụng n-1 lần dạng toán 2.4 ta có thể phân tích đa thức P(x) bậc n theo x-c:P(x)=r0+r1(x-c)+r2(x-c)2+…+rn(x-c)n

Ví dụ6.1 Phân tích x4 – 3x3 + x – 2 theo bậc của x – 3

Dạng 7 Tìm cận trên khoảng chứa nghiệm dương của đa thức

Nếu trong phân tích P(x) = r0 + r1(x-c)+r2(x-c)2+…+rn(x-c)n ta có ri � 0 với mọi i

= 0, 1, …, n thì mọi nghiệm thực của P(x) đều không lớn hơn c

Ví dụ 7.1: Cận trên của các nghiệm dương của đa thức x4 – 3x3 + x – 2 là c = 3 (Đathức có hai nghiệm thực gần đúng là 2,962980452 và -0,9061277259)

Nhận xét:  Các dạng toán 2.4 đến 2.6 là dạng toán mới (chưa thấy xuất hiện trong

các kỳ thi) nhưng dựa vào những dạng toán này có thể giải các dạng toán khác như phântích đa thức ra thừa số, giải gần đúng phương trình đa thức, …

 Vận dụng linh hoạt các phương pháp giải kết hợp với máy tính có thể

giải được rất nhiều dạng toán đa thức bậc cao mà khả năng nhẩm nghiệm không đượchoặc sử dụng công thức Cardano quá phức tạp Do đó yêu cầu phải nắm vững phươngpháp và vận dụng một cách khéo léo hợp lí trong các bài làm

Dạng.8 tính giá trị của đa thức khi biết một số giá trị khác của đa thức

a b c

lấy 3 phương trình cuối lần lượt trừ cho phương trình đầu và giải hệ gồm 3 phương

trình ẩn a, b, c trên MTBT cho ta kết quả: 5; 25; 12; 10

Tại các giá trị của x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45

Biết rằng khi x nhận các giá trị lần lượt 1, 2, 3, 4 thì Q(x) có các giá trị tương ứng là

P(x) = 1 + x + x2 + x3 + + x8 + x9 tại x = 0,53241

Q(x) = x2 + x3 + + x8 + x9 + x10 tại x = -2,1345

H.Dẫn:

- Áp dụng hằng đẳng thức: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1) Ta có:P(x) = 1 + x + x2 + x3 + + x8 + x9 = ( 1)(1 2 9) 10 1

a) Tính giá trị của đa thức khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4

b) Chứng minh rằng P(x) nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên

Giải:

a) Khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 thì (tính trên máy) P(x) = 0

b) Do 630 = 2.5.7.9 và x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 là nghiệm của đa thức P(x) nên

Bài tập1.8:Cho đa thức P(x) = x8 + 4x7 + 6x6 + 4x5 + x4

1 T ính giá trị của P(x) và (làm tròn đến 0,0001) khi cho x nhận các giá trị :

x + 2008

1 Tính giá trị của f(x) khi cho x nhận các giá trị: 2 ; 1 ; 3;

nguyên5(x-1)x(x+1) chi hết cho 5

x3 - x = x(x2-1) = (x-1)x(x+1) chia hết cho 3 nên

3

3 x

x  nguyênVậy bài toán CM xong

Dạng 2 Tìm dư trong phép chia đa thức P(x)

Bài tập2.4:Tớnh số dư r trong phộp chia     

Bài tập3.1: a)Viết phương trỡnh ấn phớm để:

Tỡm m để đa thức x5  5x4  3x3  5x2  17x m  1395 chiahết cho x 3

b) Với giỏ trị nào của m thỡ đa thức 4x5  9x4  11x2  29x  4 3mchia hết cho 6x + 9

Bài tập3.2:Tỡm m để đa thức x5  5x4  3x3  5x2  17x m  1395

chia hết cho x 3

Bài tập3.3:Cho đa thức P x  x5  3x4  4x3  5x2  6x m

a) Tỡm số dư r trong phộp chia P(x) cho ( x – 3,5 ) khi m = 2005

b) Tỡm giỏ trị m1 để đa thức P(x) chia hết cho x – 3,5

c) Tỡm giỏ trị m2 để đa thức P(x) cú nghiệm x = 3

Bài tập3.4:Cho đa thức P(x) = x4 + x3 + x2 + x + m

a) Tỡm m để P(x) chia hết cho Q(x) = x + 10

Kết quả m = -9090 (2,5đ)

b) Tỡm cỏc nghiệm của đa thức P(x) với giỏ trị vừa tỡm được của m

Kết quả x 1 = -10, x 2  9,49672 (2,5đ)

Bài tập3.5:Cho đa thức P(x) = x4 - 4x3 - 19x2 + 106x + m

a)Tìm m để đa thức P(x) chia hết cho x + 5

b) Với m tìm đợc ở câu a), hãy tìm số d r khi chia đa thức P(x) cho x – 3

Dạng 4: Tỡm điều kiện tham số củaP x 

thỏa món một điều kiện nào đú:

x = 1, 2, 3, 4, 5 Tính giá trị của a, b, c, d, e và tính gần đúng các nghiệm của đa thức đó

Bài tập4.3:Xác định các hệ số a , b ,c của đa thức P(x) ax3 bx2 cx 2007 để sao cho P(x) chia cho (x – 13) có số dư là 1 , chia cho (x – 3) có số dư là 2 và chia cho (x - 14)

có số dư là 3 ( Kết quả lấy với 2 chữ số ở phần thập phân )

Bài tập4.5:Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị của đa thức

Q(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx – 2007 tại các giá trị của

x = 1,15; 1,25; 1,35; 1,45

Bài tập4.6:Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c

Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9

a) Tìm số dư khi chia P(x) cho x – 4 ?

b) Tìm số dư khi chia P(x) cho 2x + 3 ?’

Bài tập4.7 :Biết đa thức Q(x) = x4 + mx3 - 44x2 + nx - 186 chia hết cho x + 2 và nhận x

= 3 là nghiệm Hãy tính giá trị của m và n rồi tìm tất cả các nghiệm còn lại của Q(x) Giải

x4  -10,076473219

Bài tập4.8:Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị của đa thức.

Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2007

Tại các giá trị của x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45

Biết rằng khi x nhận các giá trị lần lượt 1, 2, 3, 4 thì Q(x) có các giá trị tương ứng là

9, 21, 33, 45(Kết quả lấy với 2 chữ số ở phần thập phân)

Bài tập4.8:Biết rằng số dư trong phép chia đa thức

x5 + 4x4 + 3x3 + 2x2 – ax + 7 cho (x + 5) bằng 2007 Tìm a

Dạng 5: Tìm đa thức thương khi chia đa thức cho đơn thức

Bài tập5.1: Khi chia đa thức 2x4 +8x3 -7x2 +8x -12 cho đa thức x – 2 ta được thương là

đa thức Q(x) có bậc là 3 Hãy tìm hệ số của x2 trong Q(x) ?

Bài tập5.2:Cho P(x) = 2 4 3

a)Tìm biểu thức thương Q(x) khi chia P(x) cho x – 5

b)Tìm số dư của phép chia P(x) cho x – 5 chính xác đến 3 chữ số thập phân

Bài tập5.3:Tìm số dư trong phép chia đa thức

x5 – 7,834x3 + 7,581x2 – 4,568x + 3,194 cho x – 2,652

Tìm hệ số của x2 trong đ thức thương của phép chia trên

Dạng 6 Phân tích đa thức theo bậc của đơn thức

Dạng 7 Tìm cận trên khoảng chứa nghiệm dương của đa thức

Dạng8 tính giá trị của đa thức khi biết một số giá trị khác của đa thức

Bài tập8.1: Cho đa thức P x  x5 ax4 bx3 cx2 dx e

và cho biết P(1) = 1 , P(2) = 7 , P(3) = 17 , P(4) = 31 , P(5) = 49

Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) và P(11) ?

Bài tập8.2:Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005

Biết rằng khi x lần lượt nhận giá trị 1, 2, 3, 4 thì giá trị tương ứng của đa thức P(x) lần lượt là 8, 11, 14, 17 Tính giá trị của đa thức P(x) với x = 11, 12, 13, 14, 15

Bài tập8.3:Cho P(x) = x3 + ax2 + bx + c; P(1)=1; P(2)=4; P(3)=9 viết quy trình để tínhP(9) và P(10) ?

Bài tập8.4:Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c

Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9

a) Tìm số dư khi chia P(x) cho x - 4 ?

b) Tìm số dư khi chia P(x) cho 2x + 3 ?

Bài tập8.5:Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2007

Tại các giá trị của x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45

Biết rằng khi x nhận các giá trị lần lượt 1, 2, 3, 4 thì Q(x) có các giá trị tương ứng là 9,

21, 33, 45 (Kết quả lấy với 2 chữ số ở phần thập phân)

Bài tập8.6:Cho P(x) =ax + bx + cx + + m 17 16 15

b, Nhập P(x) = x4 - 10x3 + 35x2 - 48x + 27

vào máy

Dùng lệnh Calc nhập 15 Shift Sto A ;

Calc nhập (-)12 shift Sto B; Nhập ( Alpha

Bài tập8.13: Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c

Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9 Hãy viết quy trình để tính P(9) và P(10) ? (H(x) = x2)

2

(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a,b,c)

Bài tập8.18:- Bài tập8.16: Cho đa thức P x  x4 ax3 bx2  cx d

biết P(1) = 0 , P(2) = 4 , P(3) = 18 , P(4) = 48 Tính P(2007) ? (H(x) =x3-x2)

Bài tập8.19: Cho đa thức f x x4 ax3 bx2 cxd

Biết rằng f 1  6 ; f 2  11 ; f 3  16 ; f 4  21 (H(x) = 5x +1)

a) Hãy tính đúng giá trị của f         5 ;f 6 ; f 7 ; f 8 ; f 9 ( trình bày vắn tắt lời giải)

b) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho f n chia hết cho 24 ( trình bày vắn tắt lời giải)

Bài tập8.20: Cho đa thức P(x) cĩ bậc 4 thoả mãn:

cĩ giá trị là 3; 0; 3; 12; 27; 48 khi x lần lượt nhận giác trị là 1; 2; 3; 4; 5; 6

(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ; e=;f=)

a) Xác định các hệ số a, b, c, d, e, f của P(x)

b) Tính giá trị của P(x) với x = 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20

Bài tập8.24: Cho đa thức P x  x5 ax4 bx3 cx2 dx e

biết P(1) = 1 , P(2) = 7 , P(3) = 17 , P(4) = 31 , P(5) = 49 (H(x) = 2x2 -1)

Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) và P(11) ?

Bài tập8.25: Cho đa thức P x  x5 ax4 bx3 cx2 dx e

và cho biết P(-1) = -2 , P(2) = 4 , P(3) = 10 , P(-4) = 10 , P(5) =

28

(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ; e=;)

Tính P(38) và P(40) ?

Bài tập8.26: Cho đa thức P x  x4 ax3 bx2  cx d

biết P(1) = 0,5 , P(2) = 2 , P(3) = 4,5 , P(4) = 8 (H(x) =1/2 x2) Tính giá trị của a , b , c , d và P(8) , P(2007) ?

Bài tập8.27: Cho đa thức P x  x4 ax3 bx2  cx d

biết P(1) = 4 , P(-2) = 7 , P(3) = 24 , P(-4) = 29

Tính giá trị của a , b , c , d và P(40) , P(2008) ?

(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ;)

d Với n vừa tìm được phân tích Q(x) ra tích các thừa số bậc nhất

Bài tập2: : (Thi khu vực 2002, lớp 9)

a Tìm giá trị của m, n để các đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – 2

b Với giá trị m, n vừa tìm được chứng tỏ rằng đa thức R(x) = P(x) – Q(x) chỉ cĩ mộtnghiệm duy nhất

Bài tập5: : (Thi khu vực, 2003, lớp 9)

a Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m

1 Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003

2 Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho x – 2,5

3 P(x) cĩ nghiệm x = 2 Tìm m?

b Cho P(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33,P(5) = 51 Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11) (H(x) = 2x2 +1)

Bài tập6: (Sở SG Cần Thơ 2002)

Cho f(x)= x3 + ax2 + bx + c

Biết f( )1 7 ;f( 1) 3;f( )1 89

Tính giá trị đúng và gần đúng của f( )2

Bài tập7: (Thi vào lớp 10 chuyên toán cấp III của Bộ GD, 1975)

1 Phân tích biểu thức sau ra ba thừa số: a4 – 6a3 + 27a2 – 54a + 32

2 Từ kết quả câu trên suy ra rằng biểu thức n4 – 6n3 + 272 – 54n + 32 luôn là số chẵnvới mọi số nguyên n

Bài tập11: (Thi học sinh giỏi toán bang New York, Mỹ, 1984)

Bài tập12: (Thi học sinh giỏi toán bang New York, Mỹ, 1988)

Chia P(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + 2x + 1 cho x – 1 được số dư là 5 Chia P(x) cho x –

a Tìm điều kiện m để P(x) có nghiệm là 0,3648

b Với m vừa tìm được, tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức (x -23,55)

c Với m vừa tìm được hãy điền vào bảng sau (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị)

Cho đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d.

Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9 Tính:

a Các hệ số b, c, d của đa thức P(x)

b Tìm số dư r1 khi chia P(x) cho x – 4

c Tìm số dư r2 khi chia P(x) cho 2x +3

Bài tập18: : (Sở GD Hải Phòng, 2004)

Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c

Biết P(1) = -25; P(2) = -21; P(3) = -41 Tính:

a Các hệ số a, b, c của đa thức P(x)

b Tìm số dư r1 khi chia P(x) cho x + 4

c Tìm số dư r2 khi chia P(x) cho 5x +7

d Tìm số dư r3 khi chia P(x) cho (x+4)(5x +7)

Bài tập19: Cho đa thức: P(x)x4a.x3bx2c.xd

a) Tính giá trị của đa thức P(x) tại x = -2 với a = c = -2007 và b = d = 2008

b) Với giá trị nào của d thì đa thức P(x)  ( x -2 ) với a = 2; b = -3; c = 4

c) Tìm số dư và hệ số x2 của phép chia đa thức P(x) cho x - 5 với a = d = -2; b = c= 2.d) Cho biết:P(1) 5 (2) 8 (3) 11 (4) 14  P  P  P  (H(x) = 3x +2)

(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ;)

Bài tập20: (Sở GD Thái Nguyên, 2003)

a Cho đa thức P(x) = x4+ax3 + bx2 + cx + d

Biết P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4) = 48 Tính P(2002)?

(HDgiải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ;)

b Khi chia đa thức 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho đa thức x – 2 ta được thương là đathức Q(x) có bậc 3 Hãy tìm hệ số của x2 trong Q(x)?

Bài tập21: Cho đa thức f(x) bậc 3 với hệ số của x3 là k, k  Z thoả mãn: