CHIA đa THỨC một BIẾN đã sắp xếp

CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾPA... Dạng 2: Tính nhanh Cách giải: Sử dụng các quy tắc tính toán hoặc dùng hằng đẳng thức để tính nhanh các phép chia Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân

CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP

A Tóm tắt lý thuyết

1) Phép chia hết: Là phép chia có đa thức dư bằng 0

Quy tắc chia:

- Sắp xếp các hạng tử theo lũy thừa giảm dần của biến

- Lấy hạng tử cao nhất của đa thức bị chia chia cho hạng tử cao nhất của đa thức chia ta được thương là 1

- Nhân thương 1 với đa thức chia và lấy đa thức bị chia trừ đi tích đó

- Lấy hạng tử cao nhất của đa thức vừa tìm được chi cho hạng tử cao nhất đa thức chia ta được thương là 2

- Tiếp tục lặp lại các bước trên đến khi nhận được hiệu bằng 0

2) Phép chia có dư:Là phép chia có đa thức dư khác 0

Quy tắc chia: Làm tương tự phép chia hết đến khi thu được đa thức dư có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia

*) Chú ý: Với hai đa thức tùy ý A và B của cùng một biến (B 0) tồn tại duy nhất một cặp

đa thức Q và R sao cho A BQ R  , trong đó R 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B

 cho hai đa thức A và B B  0 tồn tại duy nhất hai đa thức Q và R sao cho A BQ R  +) Nếu R 0 thì A chia hết cho B

+) Nếu R 0 và bậc của R nhỏ hơn bậc của B thì ta có phép chia có dư và dư là R

B Bài tập áp dụng

Dạng 1: thực hiện phép tính Cách giải: Áp dụng quy tắc chia đa thức cho đa thức để thực hiện phép chia

Bài 1: Thực hiện phép tính a) x3  x2 5x 3 : x 3 b) 2x3  5x2  2x 3 : 2  x2  x 1

x5   x3 x2 1 : x3  1

b) 2x3  5x2  2x 3 : 2  x2    x 1 x 3

c) x5   x3 x2 1 : x3   1 x2  1

Bài 2:

Sắp xếp các đa thức theo lũy thùa giảm dần của biến rồi tính

a) 5x2  3x3   15 9 : 5 3x   x b)  4x2  x3 20 5 :  x x 4

c)  x2 6x3  26x 21 : 3 2   x d) 2x4  13x3   15 5x 21x2 : 4x x  2 3

Lời giải

5x  3x   15 9 : 5 3x  x x  3

b)  4x2  x3 20 5 :  x x  4 x2  5

c)  x2 6x3  26x 21 : 3 2   x  3x2  4x 7

d) 2x4  13x3   15 5x 21x2 : 4x x    2 3 2x2  5x 3

Bài 3: Thực hiện phép chia a) 3x3  10x2  5 : 3  x 1 b) x3  4x 7 : x2  2x 1

c) 4x3  3x2  1 : x2  2x 1 d) 2x4  11x3  19x2  20x 9 : x2  4x 1

Lời giải

a)  3 2     2 

3x  10x  5 : 3x  1 x  3x  1 4

b) x3  4x 7 : x2  2x      1 x 2  x 5

c) 4x3  3x2  1 : x2  2x  1 4x 11  26x 10

d) 2x4  11x3  19x2  20x 9 : x2  4x  1 2x2    3x 5 3x 4

Dạng 2: Tính nhanh Cách giải: Sử dụng các quy tắc tính toán hoặc dùng hằng đẳng thức để tính nhanh các phép

chia

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử rồi thực hiện phép chia

a 24x5  9x3  18x2: 3x b  5x4  12x3  13x2 : 2  x2

c  8x5  x3 2x2: 2x2 d 14x6  21x4  35x2 : 7  x2

Lời giải

24x  9x  18x : 3x 3 8x x  3x  6 : 3x x 8x  3x  6x

b)  4 3 2  2 5 2 13

c)  8x5  x3 2x2: 2x2   2x4  3x2  5

d)  6 4 2  2 3 1

2

Bài 2: Sử dụng hằng đẳng thức để thực hiện phép chia

a x2  2x 1 : x 1 b 2x4  8x2  8 : 4 2   x2

c 125 8  x3: 4 x 10 d 1 3  x3  3x6 x9 :   1 x3

Lời giải

a)  2      2 

x  x x  x x  x

b) 2x4  8x2  8 : 4 2   x2  x2 2

2

a a2  6ab 9b2:a 3b b  3 2 2 3  2

c a4  2a b2 2 b4 : a2  2ab b 2

Lời giải

a)  2 2     2 

b)  3 2 2 3   2  3 2

c)  4 2 2 4  2 2  2

Bài 4: Thực hiện phép chia bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử

a (x5  x3 x2 1) : (x31) b (x25x6) : (x3)

c (x3 x2 12) : (x2) d (x66x412x28) : (2x2)

Lời giải

a (x5  x3 x2 1) : (x3 1) x21

b (x25x6) : (x  3) x 2

c (x3 x2 12) : (x 2) [(x3 8) (x24)]:(x-2)(x-2)(x23x6) : (x 2) x23x6

d (x66x412x28) : (2x2) ( x22)(x44x2   4) x4 4x24

Bài 5: Sử dụng hằng đẳng thức để thực hiện phép chia

a (8x327) : (2x3) b (x66x412x28) : (2x2)

c ( 8 a348a b2 96ab264 ) : (b3 a2 )b

Lời giải

a (8x327) : (2x 3) 4x26x9

b (x66x412x28) : (2x2) ( x22)(x44x24) : (2x2)  x4 4x24

c ( 8 a348a b2 96ab264 ) : (b3 a2 )b  8(a2 )b 2

Dạng 3: Tìm đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước Cách giải: chuyển vế và thực hiện phép chia

Bài 1: Tìm đa thức M

a x35x2   x 5 (x 5).M b (x24x3).M 2x413x314x215x

Lời giải

a x35x2    x 5 (x 5).M M (x35x2 x 5) : (x 5) x21

b (x24x3).M 2x413x314x215xM 2x25x

Bài 2: Tìm đa thức M

c 2x6 x4 2x2 1 M.(2x2 1) d (x2 x 1).M x4 x3 4x2 5x3

Lời giải

c 2x6  x4 2x2 1 M.(2x2 1) M x4 1

d (x2 x 1).M x4 x3 4x25x 3 M x22x3

Dạng 4: Tìm điều kiện để phép chia hết Cách giải: Thực hiện phép chia sau đó đồng nhất đa thức dư với đa thức 0

Bài 1: Tìm a để

a (x3 3x a) (Mx1)2 b (x4 x3 6x2  x a) (Mx2 x 5)

c (x39x217x25a) (Mx22x3) d (x43x32x22 ) (a Mx1)

e (x4 9x321x2 x a) (Mx2 x 2)

Lời giải

a (x3 3x a) (Mx1)2  a 2 b (x4 x3 6x2 x a) (Mx2   x 5) a 5

c (x39x217x25a) (Mx22x  3) a 4 d (x43x32x22 ) (a Mx1)

e (x4 9x321x2 x a) (Mx2 x 2)

Bài 2: Tìm a và b để đa thức A chia hết cho đa thức B

a A x 49x321x2ax b B x ;  2 x 2

b A x 4  7x3  10x2  a 1x b a B x  ;  2 - 2x 3

Lời giải

a

( 1) ( 30) 0

M

b

M

Bài 3: Tìm các số nguyên n để giá trị của biểu thức

a (2n2 n 7) (Mn2) b (n36n2 7n4) (Mn2)

Lời giải

a (2n2 n 7) (Mn2)

b (n3 6n2 7n 4) ( Mn  2) 22 ( Mn    2) n 2 U(22)

c (3n310n25) (3M n  1) 4 (3M n1)

Bài 4:

Tìm giá trị nguyên của m để

2

2 1

n

 

 là số nguyên?

Lời giải

(5)

2n    3n 3 (2n 1)(n   2) 5 2n  1 U      1; 5 n 0;1; 2;3 

Bài 5:

Cho hai đa thức A98m m 36m5m626 10 m B4;   1 m m3

a Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của m thì thương của phép chia A cho B là một bội của 6

b Xác định giá trị nguyên của m để đa thức dư = 0

Lời giải

a Đặt phép chia A cho B ta được thương là m3 6m2 11m 6 và dư 17m2  81m 20

3 6 2 11 6 ( 3 2 ) (5 2 5 ) (6 6) ( 1)( 2)( 3) 6

b Đa thức dư:

5( / )

( ) 4

 





 



Bài 6:

Tìm a và b biết đa thức x3 ax b khi chia cho đa thức x 1dư 4 còn khi chia cho đa thức x 5

Đặt A x  3 ax b

Vì A chia cho x 1 dư 4, ta viết thành A x 1  P 4

Tại x    1 1 a b 0.P    4 4 b 3 a(1)

Tương tự ta có: 5 3  5a b  112  5a b   13 0 2 

Thay (1) và (2) thu được: 5a        3 a 13 0 a 4 b 7

Bài 7:

Tìm m và n biết đa thức x3mx2n khi chia cho đa thức x 3dư là 27 còn khi chia cho đa thức x 1 được dư là 7

Lời giải

Đặt A x  3 mx2 n A;  3  27 9  m n  27   n 9 ;m A           1 1 m n 7 m n 8

1;n 9

m

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm đa thức M, biết

a (2x39x215x 9) M.(2x3) b (2x22x1).M 6x44x3 x2 x

Lời giải

a (2x39x215x 9) M.(2x3)

b (2x22x1).M 6x44x3 x2 x

Bài 2:

Tìm a và b để đa thức A chia hết cho đa thức B với:

a A4x315x224x 3 a B x;  24x7

b A x 43x3 x2 (2a3)x 3b a B x;  23x1

Lời giải

a) Tìm được a  10

b)

3 2

1 2

a

b

 



 



M

Bài 3:

b) Đa thức ax3bx2c chia cho đa thức x dư -3 còn khi chia cho đa thức x24 được dư là

4x 11

Lời giải

a) Đặt A x   x3 2ax b x M  1

Ta có A 1    0 1 2a b      0 b 1 2 1 ;a   A      2 3 8 4a b  3 2   a 1;b 1

b) Đặt B x  ax3 bx2 c

Ta có B 0      3 c 3

Vì B x x : 2  4 được dư là 4x  11 B x  x2  4  P 4x   11 x 2 x 2  P 4x 11

Tại x  2 B 2  4.2 11     3 8a 4b c   3

x  B         a b c  

Giải ra ta được: a1;b 2