Tài liệu Chuyên đề Chia đa thức một biến đã sắp xếp

Các dạng bài tập: Dạng 1: Chia đa thức một biến đã sắp xếp Phép chia hết Phương pháp: Bước 1: Nhân số chia với một biểu thức sao cho giá trị khi nhân bằng giá trị mũ cao nhất của số bị c

Trang 1

I Lý thuyết:

Hai đa thức tùy ý A và B của cùng một biến B0, tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho A B Q R  , trong đó:

R được gọi là dư trong phép chia A cho B

R bằng 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B

Khi R0 thì phép chia A cho B là phép chia hết

II Các dạng bài tập:

Dạng 1: Chia đa thức một biến đã sắp xếp (Phép chia hết)

Phương pháp:

Bước 1: Nhân số chia với một biểu thức sao cho giá trị khi nhân bằng giá trị mũ cao nhất của số bị chia Bước 2: Lấy đa thức bị chia trừ đi tích vừa nhân được

Bước 3: Quay về bước 1 đến khi dư cuối cùng bằng 0

Bài 1: Thực hiện phép tính

a) 6x217x12 : 2  x3

b) 2x33x23x2 : 2  x1

c) x34x2 x 4 : x21

d) 3x42x311x24x10 : x22

Giải a) Thực hiện phép chia ta được:

2

6x 17x12

-

2

6x 9x

8x12

-

8x12

0

2x3

3x4

Vậy: 6x217x12 : 2  x33x4

luan van, khoa luan 1 of 66.

Trang 2

b) Thực hiện phép chia ta được:

2x 3x 3x2

-

3 2

2x x

2

2x 3x2

-

2

2x x

4x 2

 

2x1

x  x

Vậy 2x33x23x2 : 2  x 1 x2 x 2

c) Thực hiện phép chia ta được:

x  x  x

-

3

x x

2

4x 4

-

2

4x 4

0

2 1

x  4

x

Vậy x34x2 x 4x2  1 x 4

d) Thực hiện phép chia ta được:

3x 2x 11x 4x10

-

4

2x 5x 4x10

-

3

2

5x 10

-

2

5x 10

0

2 2

x 

2

3x 2x5

Vậy 3x42x311x24x10 : x223x22x5

a) 3a32a23a2 : a21

b) x52x4x36 :x x22x1

c) x32x2x y2 3xy3 :x x23x

Trang 3

a) Thực hiện phép chia ta được:

3a 2a 3a2

-

3

3a 3a

2

2a 2

-

2

2a 2

0

2 1

a 

3a2

Vậy 3a32a23a2 : a2 1 3a2

5 2 4 3 4 2 2

x  x x  x  x

-

5 2 4 3

x  x x

2x 4x 2x

-

2x 4x 2x

0

2 2 1

x  x

3 2

x  x

Vậy x52x4x34x22 :x x22x 1 x32x

x  x x y xy x

-

2 3

x  x

 

x y  xy x

-

x y  x y

0

2 3

x  x

1 

x y

Vậy x32x2x y2 3xy3 :x x23x  x 1 y

Trang 4

4 3 2 2 2 2 2 2

x  x x y  y 

-

x x x y

2x 2y 2

-

2x 2y 2

0

2 2 1

x y 

2 2

x 

Vậy x43x2x y2 22y22 : x2y2 1 x22

Dạng 2: Chia đa thức một biến đã sắp xếp (Phép chia có dư)

Phương pháp:

Bước 3: Quay về bước 1 đến khi đa thức dư có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia

a) 3x27x9 : x1

b) 5x33x22 : x3

c) 2x34 : x21

d) x42x34x210 : 2  x3

Giải a) Thực hiện phép chia ta được:

2

3x 7x9

-

2

3x 3x

10x9

-

10x10 19

1

x

3x10

Vậy 3x27x9 : x 1 3x10 dư 19

Trang 5

5x 3x 2

-

5x 15x

2

12x 2

-

2

12x 36x

36x2

-

36x108 110



3

x

2

5x 12x36

Vậy 5x33x22 : x35x212x36 dư -110

3

2x 4

-

3

2x 2x

2x4

2 1

x  2x Vậy 2x34 : x2 1 2x dư 2x4

Trang 6

4 2 3 4 2 10

x  x  x 

-

3

4 3 2

x

x 

3 2

7

2

x x

-

2

5 10

4x 

-

2

15 10

8x 

-

8x 16 115 16



2x3

3 7 3 5 15

x  x  x

Vậy  4 3 2    3 7 2 5 15

16

 Dạng 3: Chia đa thức một biến đã sắp xếp có chứa tham số m

Phương pháp:

Bước 3: Quay về bước 1 đến khi đa thức dư cuối cùng bằng 0 hoặc đa thức dư có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia

a) mx22x m 2 : x1

b)x33mx23m1 : x1

c)mx32x2mx2 : x21

Giải

Trang 7

a) Thực hiện phép chia ta được:

mx  x m 

-

2

mx mx

2x mx m  2

2m x  2 m

-

2m x  2 m

0

1

x

2 

mx m

Vậy mx22x m 2 : x 1 mx 2 m

x  mx  m

-

3 2

x x

2 2

3mx x 3m1

3m1x23m1

-

3m1x23m1x

3m 1x 3m 1

-

3m 1x 3m 1

0

1

x

x  m x m

Vậy x33mx23m1 : x 1 x23m1 x 3m1

mx  x mx

-

3

mx mx

2

2x 2

-

2

2x 2

0

2 1

x  2

mx

Vậy mx32x2mx2 : x2 1 mx2

Trang 8

Dạng 4: Tìm m để số bị chia chia hết cho số chia

Có 3 phương pháp giải cụ thể như sau:

Phương pháp 1: Thực hiện phép chia

Bước 1: Thực hiện chia đa thức chứa tham số ở dạng 3

Bước 2: Để số bị chia chia hết cho số chia thì phần dư bằng 0

Bước 3: Giải tìm ra m

Bài 1: Xác định giá trị a và b để đa thức x4ax3bx23 chia hết cho đa thức x21

Giải d) Thực hiện phép chia ta được:

x ax bx 

-

4 2

x x

-

3

ax ax

1b x 2ax3

-

1b x 2 1 b

4

  

2 1

x 

 

x ax b

Ta có: x4ax3bx23 : x2 1 x2ax 1 b dư   ax 4 b

Để là phép chia hết thì 0 0

Vậy với 0

4

a b





  

 thì đa thức

x ax bx  chia hết cho x21 Bài 2: Tìm m để đa thức mx3x22m1 chia hết cho đa thức x2

Trang 9

Ta có:

mx x  m

-

3 2 2

mx  mx

x  mx  m

1 2 m x 22m1

-

1 2 m x 22 1 2  m x

2 4 m x 2m1

-

2 4 m x 2 2 4  m

3 10m

2

x

Vậy mx3x22m1 : x2mx2 1 2m x  2 4 m dư 3 10m

Để là phép chia hết thì 3 6 0 1

2

Bài 3: Tìm m để đa thức 5m32m23m1 chia hết cho đa thức 2m21

Giải Thực hiện phép chia ta được

5m 2m 3m1

-

3 5 5 2

m

m 

2

m

-

2

2m 1

5 3

2

2m 1

2m 

Ta có  3 2   2  5

2

m

2

m



Để là phép chia hết thì 0 0

2

Vậy với m0 thì đa thức 5m32m23m1 chia hết cho đa thức 2m21

Phương pháp 2: Hệ số bất định

Trang 10

bước giải như sau:

Bước 1: Dựa vào bậc cao nhất của số bị chia và số chia ta gọi dạng tổng quát của thương

Bước 2: Nhân thương với số chia và chuyển biểu thức về dạng tổng quát

Bước 3: Cho các hạng tử của biểu thức ở bước 2 và số bị chia bằng nhau, giải tìm được giá trị cần tìm Bài 1: Xác định giá trị a và b để đa thức x4ax3bx23 chia hết cho đa thức x21

Giải Cách 1: Giải theo phương pháp 1

Cách 2: Phương pháp hệ số bất định

Giả sử đa thức x4ax3bx23 chia hết cho x21, ta được thương là nhị thức bậc hai có dạng:

2

x Bx C Nhân thương với số chia rồi đồng nhất thức với đa thức x4ax3bx23, ta được:

x2Bx C x  2 1 x4ax3bx2c

3

C

 





 



Vậy với 0

4

a b





  

 thì đa thức

x ax bx  chia hết cho x21 Chú ý: Ta có thể đặt nhị thức bậc hai dạng tổng quát là Ax2Bx C , tuy nhiên do đa thức bị chia có x4

vì vậy coi như A1

Bài 2: Xác định giá trị a để đa thức x4x33x2 x a chia hết cho đa thức x2 x 2

Giải Giả sử đa thức x4x33x2 x a chia hết cho x2 x 2, ta được thương là nhị thức bậc hai có dạng: Ax2Bx C Nhân thương với số chia rồi đồng nhất thức với đa thức x4x33x2 x a, ta được:

Ax2Bx C x  2 x 2x4x33x2 x a

Trang 11

Vậy với a 2 thì đa thức x4x33x2 x a chia hết cho đa thức x2 x 2

Bài 3: Xác định giá trị a để đa thức ax3x25 chia hết cho đa thức x2 x 1

Giải Giả sử đa thức ax3x25 chia hết cho x2 x 1, ta được thương là nhị thức bậc nhất có dạng: Bx C Nhân thương với số chia rồi đồng nhất thức với đa thức ax3x25, ta được:

Bx C x   2   x 1 ax3x25

1 0 5

B a

B C

C





   



 



không thỏa mãn

Vậy không có giá trị nào của a để đa thức ax3x25 chia hết cho x2  x 1

Phương pháp 3: Phương pháp trị số riêng

Với mọi cặp đa thức A x  và B x  , luôn tồn tại đa thức Q x  và R x  sao cho:

       

A x B x Q x R x , trong đó:

+) A x  là số bị chia; B x  là số chia; Q x  là thương và R x  là phần dư

+) Với bậc của R x  bé hơn bậc B x 

+) Phép chia hết là phép chia R x 0

Bước 1: Đưa phép chia về dạng A x B x Q x    (1)

Bước 2: Thay giá trị x để B x 0 vào phương trình (1)

Bước 3: Giải ra ta tìm được giá trị cần tìm

Bài 1: Xác định giá trị a và b để đa thức x4 ax3bx23 chia hết cho đa thức x21

Giải Cách 1: Giải theo phương pháp 1

Cách 2: Giải theo phương pháp 2

Cách 3: Phương pháp trị số riêng

Trang 12

x ax bx   x  Q x với mọi x (1)

+) Với x1, thay vào (1) ta được: 1   a b 3 0 (2)

+) Với x 1, thay vào (1) ta được: 1   a b 3 0 (3)

Từ (2) và (3) ta có hệ phương trình 4 0

4 0

a b

   



   

 Cộng 2 vế của phương trình ta được: 2b    8 0 b 4 Thay vào phương trình (2)  a 0 Vậy với a 0 và b 4 thì đa thức x4ax3bx23 chia hết cho x2 1

Bài 2: Xác định giá trị a và b để đa thức ax3bx23x9 chia hết cho đa thức x2 2x3

Giải Gọi thương của phép chia là Q x  khi đó ta có:

ax bx  x  x  x Q x

    

+) Với x1, thay vào (1) ta được a b   3 9 0 (2)

+) Với x 3, thay vào (1) ta được: 27a9b  9 9 0 (3)

Từ (2) và (3) ta có hệ phương trình: 6 0

a b

  



   

 Trừ 2 vế của phương trình ta được: 2a    4 0 a 2 Thay vào phương trình (2)  b 8

Vậy với a  2 và b8 thì đa thức ax3bx23x9 chia hết cho đa thức x22x3

Bài 3: Tìm x Z để đa thức 2x2 x 3 chia hết cho 2x1

Giải

Ta có: 2 2 3 2 1 3 3

x x

x

 

Để 2x2 x 3 chia hết cho 2x1 thì 3 phải chia hết cho 2x1

Tức là 2x1 phải là ước của 3

Vậy để đa thức 2x2 x 3 chia hết cho 2x1 thì x   2; 1;0;1

Trang 13

Bài 1: Thực hiện phép chia:

Dạng 2: Sắp xếp đa thức theo luỹ thừa giảm dần rồi thực hiện phép chia:

Bài 1: Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần và thực hiện phép chia:

Dạng 3: Tìm x, biết:

Trang 14

2 1

2

b x  x x  x  x  

Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử rồi thực hiện phép chia:

Dạng 5: Sử dụng hằng đẳng thức để thực hiện phép chia:

Bài 1: Làm phép chia bằng cách áp dụng hằng đẳng thức:

2

3

a x  x y y x y

Dạng 6: Tìm đa thức M biết:

Dạng 7: Tìm a và b để A chia hết cho B với:

a A x  x  x  a và B x 2 2x 3

b) A x 7x 10x  a1 x b a  và B x 2 6x 5

Trang 15

Dạng 1: Thực hiện phép chia:

Dạng 2: Sắp xếp các đa thức theo luỹ thừa giảm dần rồi tính:

2

3

x







2 2 2

3 3

5

x

2

6 26 4



2

15 5

5



Trang 16

2

14 7

2

5

2 5

x

 

Dạng 3: Tìm x, biết:

1 0

1

x

  

 

2

2 1

2

3

4

10

x x

 

3

6 14

x

 

2

1 2

x x

  Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử rồi thực hiện phép chia:

Trang 17

 

3

1

7

Dạng 5: Sử dụng hằng đẳng thức để thực hiện phép:

2

1

x

 

3

2 2

2

x

3

2 2 2

2

25 5 2 2

     

   

2 2

2 4

2

: : :

2 3

2

3 2

3

x



3

2

3

x









Dạng 6: Tìm đa thức M biết:

2

2 2

1

M x

Trang 18

2

3

1

M x

2

Dạng 7: Tìm a và b để A chia hết cho B với:

a A x  x  x  a và B x 2 2x 3

Thực hiện A chia cho B ta được đa thức dư a 4 Vì Achia hết cho Bnên

a      a

b) A x 7x 10x  a1 x b a  và ?i

Thực hiện A chia cho B ta được đa thức dư a2 x    a b 5 Vì Achia hết cho Bnên

a 2 x    a b 50 với mọi giá trị x

Hay  2 05 0 23

b

a b

       

========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	667,32 KB