Toán học Chuyên đề về đa thức35178

Phép nhân đa th c... Ch ng minh.

C H H  U U  Y Y  Ê Ê  N        V V     A T  T H H   C 

T 

T r r    n N  N a a  m D  D n   n  g  ( 

( h h  t t  t t  p p  : :  / /  / /  /  l l  a a  i i  s s  a a  c c  .  p p  a a  g g  e e  .  t t  l l  l  s s    u t  t m m    , ,  ,  t t  n   n  g h  h p  p   p  ) 

A T  T H H    C 

a th c là m t trong nh ng khái ni m trung tâm c a toán h c. Trong ch ng trình 

ph  thông, chúng ta đã làm quen v i khái ni m đa th c t  b c trung h c c  s , t  

nh ng phép c ng, tr , nhân đa th c đ n phân tích đa th c ra th a s , dùng s  đ   Horner đ  chia đa th c, gi i các ph ng trình đ i s  

Bài gi ng này s  h  th ng hoá l i nh ng ki n th c c  b n nh t v  đa th c 1 bi n,  các d ng toán th ng g p v  đa th c.   cu i bài s  đ  c p 1 cách s  l c nh t v  

đa th c nhi u bi n. 

1.  a th c và các phép toán trên đa th c 

1.1.  nh ngh a.  a th c trên tr ng s  th c là bi u th c có d ng 

P(x) = anx n + an­1x n­1 + … + a1x + a0, trong đó ai ∈ R và an ≠ 0. 

ai đ c g i là các h  s  c a đa th c, trong đó an đ c g i là h  s  cao nh t và a0 

đ c g i là h  s  t  do. 

n đ c g i là b c c a đa th c và ký ki u là n = deg(P). Ta quy  c b c c a 

đa th c h ng P(x) = a0 v i m i x là b ng 0 n u a0 ≠0 và b ng n u a0 = 0. 

 ti n l i cho vi c vi t các công th c, ta quy  c v i đa th c P(x) b c n thì v n 

có các h  s  ak v i k > n, nh ng chúng đ u b ng 0. 

T p h p t t c  các đa th c 1 bi n trên tr ng các s  th c đ c ký hi u là R[x]. 

N u các h  s  đ c l y trên t p h p các s  h u t , các s  nguyên thì ta có khái 

ni m đa th c v i h  s  h u t , đa th c v i h  s  nguyên và t ng  ng là các t p 

h p Q[x], Z[x]. 

1.2.  a th c b ng nhau 

=

=

=

k 

k 

k 

m 

k 

k 

k  x  Q  x  b  x 

a 

x 

P 

0 

0 

)  (  ,  ) 

(  b ng nhau khi và ch  khi m = n và ak = bk 

v i m i k=0, 1, 2, …, m. 

1.3. Phép c ng, tr  đa th c.

Cho hai đa th c ∑ ∑

=

=

=

k 

k 

k 

m 

k 

k 

k  x  Q  x  b  x 

a 

x 

P 

0 

0 

)  (  ,  ) 

đa th c P(x) và Q(x) đ c th c hi n theo t ng h  s  c a xk, t c là

∑

=

±

=

±  max{  , } 

0 

)  ( 

)  (  ) 

k 

k 

k 

k  b  x 

a 

x 

Q 

x 

P 

Ví d :  (x 3 + 3x 2 – x + 2) + (x 2 + x – 1) = x 3 + 4x 2 + 1. 

1.4. Phép nhân đa th c. 

=

=

=

k 

k 

k 

m 

k 

k 

k  x  Q  x  b  x 

a 

x 

P 

0 

0 

)  (  ,  ) 

th c có b c m+n và có các h  s  đ c xác đ nh b i

∑

=

−

=  k

i  i  k  i 

k  a  b 

c 

0   

Ví d : (x 3 + x 2 + 3x + 2)(x 2 +3x+1) = (1.1)x 5 + (1.3 + 1.1)x 4 + (1.1 + 1.3 + 3.1)x 3 +  (1.1 + 3.3 + 2.1)x 2 + (3.1 + 2.3)x + (2.1) = x 5 + 4x 4 + 7x 3 + 12x 2 + 9x + 1. 

1.5. B c c a t ng, hi u và tích c a các đa th c 

T  các đ nh ngh a trên đây, d  dàng suy ra các tính ch t sau đây 

nh lý 1. Cho P(x), Q(x) là các đa th c b c m, n t ng ng. Khi đó 

a) deg(P±Q) ≤ max{m, n} trong đó n u deg(P) ≠ deg(Q) thì d u b ng x y 

ra. Trong tr ng h p m = n thì deg(P±Q) có th  nh n b t c  giá tr  nào ≤ m. 

b) deg(P.Q) =  m + n. 

1.6. Phép chia có d  

nh lý 2. V i hai đa th c P(x) và Q(x) b t k , trong đó deg(Q) ≥ 1, t n t i duy 

nh t các đa th c S(x) và R(x) tho  mãn đ ng th i các đi u ki n: 

i)  P(x) = Q(x).S(x) + R(x) 

ii)  deg(R) < deg(Q) 

Ch ng minh. T n t i. Ta ch ng minh b ng quy n p theo m = deg(P). N u deg(P) 

< deg(Q) thì ta có th  ch n S(x) ≡ 0 và R(x) = P(x) tho  mãn đ ng th i các đi u 

ki n i) và ii). Gi  s  m ≥ n và đ nh lý đã đ c ch ng minh v i các đa th c có b c 

nh  h n m. Ta ch ng minh đ nh lý đúng v i các đa th c b c m. Gi  s

∑

∑

=

=

=

k 

k 

k 

m 

k 

k 

k  x  Q  x  b  x 

a 

x 

P 

0 

0 

)  (  ,  ) 

( 

Xét đa th c

)   

(  ) 

( 

)  (  ) 

(  ) 

( 

1 

1 

1 

0 

0 

1 

1 

1

+













−

=

+ +

− + + + +

=

−

=

−

−

−

−

−

−

− 

m 

n 

n 

m 

m 

n 

n 

n 

m 

n 

m 

m 

m 

m 

m 

n 

m 

n 

m 

x 

b 

b 

a 

a 

b 

x 

b 

x 

b 

a 

a 

x 

a 

x 

a 

x 

a 

x 

Q 

x 

b 

a 

x 

P 

x 

H 

Do h  s  c a x m   hai đa th c b  tri t tiêu nên b c c a H(x) không v t quá m­1.  Theo gi  thi t quy n p, t n t i các đa th c S*(x), R*(x) sao cho 

H(x) = S*(x).Q(x) + R*(x) 

Nh ng khi đó 

)  ( 

*  ))  ( 

*  ( 

)  (  ) 

(  ) 

b 

a 

x 

Q 

x 

b 

a 

x 

H 

x 

P  m  n 

n 

m 

n 

m 

n 

m = + + +

V y đ t S(x) = (am/bn)x m­n + S*(x) và R(x) = R*(x) ta đ c bi u di n c n tìm cho  P(x). 

Duy nh t. Gi  s  ta có hai bi u di n P(x) = S(x).Q(x) + R(x) và P(x) = S*(x).Q(x)  + R*(x) tho  mãn đi u ki n ii). Khi đó Q(x).(S(x)­S*(x)) = R*(x) – R(x). Ta có,  theo đi u ki n ii) và đ nh lý 1 thì ded(R*(x) – R(x)) < deg(Q). M t khác, n u S(x)  –  S*(x)  không  đ ng  nh t  b ng  0  thì  deg(Q(x).(S(x)­S*(x)))  =  deg(Q(x))  +  deg(S(x)­S*(x)) ≥ deg(Q). Mâu thu n vì hai v  b ng nhau. 

Theo ký hi u c a đ nh lý thì S(x) đ c g i là th ng s  và R(x) đ c g i là d  s   trong phép chia P(x) cho Q(x). 

Phép ch ng minh nói trên c ng cho chúng ta thu t toán tìm th ng s  và d  s  

c a phép chia hai đa th c, g i là phép chia dài (long division) hay s  đ  Horner. 

Ví d : Th c hi n phép chia 3x 3 – 2x 2 + 4x + 7 cho x 2 + 2x 

3x 3 – 2x 2 + 4x + 7  |  x 2 + 2x  3x 3 + 6x 2  | 3x ­ 8 

­ 8x 2 + 4x + 7 

­ 8x 2 + 16

20x + 7 

V y ta có 3x 3 – 2x 2 + 4x + 7 chia x 2 + 2x đ c 3x – 8, d  20x + 7. 

1.7. S  chia h t.  c và b i. 

Trong phép chia P(x) cho Q(x), n u d  s  R(x) đ ng nh t b ng 0 thì ta nói 

r ng đa th c P(x) chia h t cho đa th c Q(x). Nh  v y, P(x) chia h t cho Q(x) n u 

t n t i đa th c S(x) sao cho P(x) = Q(x).S(x). Trong tr ng h p này ta c ng nói 

Q(x) chia h t P(x), Q(x) là  c c a P(x) ho c P(x) là b i c a Q(x). Ký hi u t ng 

ng là Q(x) | P(x) và P  ⋮ (  x ) Q ( x ). 

Cho P(x) và Q(x) là các đa th c khác 0.  c chung l n nh t c a P(x) và Q(x) là 

đa th c D(x) tho  mãn đ ng th i các đi u ki n sau: 

i)  D(x) là đa th c đ n kh i, t c là có h  s  cao nh t b ng 1 

ii)  D(x) là  c chung c a P(x) và Q(x), t c là D(x) | P(x) và D(x) | Q(x)  iii)  N u D’(x) c ng là  c chung c a P(x) và Q(x) thì D(x) c ng là  c 

c a D’(x). 

T ng t , ta có khái ni m b i chung nh  nh t c a hai đa th c. 

Cho P(x) và Q(x) là các đa th c khác 0. B i chung l n nh t c a P(x) và Q(x) là đa 

th c M(x) tho  mãn đ ng th i các đi u ki n sau: 

iv)  M(x) là đa th c đ n kh i, t c là có h  s  cao nh t b ng 1 

v)  M(x)  là  b i  chung  c a  P(x)  và  Q(x),  t c  là  P(x)  |  M(x)  và  Q(x)  | 

M(x)  vi)  N u M’(x) c ng là b i chung c a P(x) và Q(x) thì M’(x) c ng là b i 

c a M(x). 

Ký  hi u  UCLN  và  BCNN  c a  hai  đa  th c  P(x),  Q(x)  là  GCD(P(x),  Q(x)),  LCM(P(x), Q(x)) hay đ n gi n h n là (P(x), Q(x)), [P(x), Q(x)]. 

Hai đa th c P(x), Q(x) đ c g i là nguyên t  cùng nhau n u (P(x), Q(x)) = 1. 

1.8. Thu t toán Euclide 

  tìm  c  chung  l n  nh t  c a  hai  đa  th c  P(x),  Q(x),  ta  s   d ng  thu t  toán 

Euclide sau đây: 

nh lý 3. Gi  s  có hai đa th c P(x), Q(x), trong đó deg(P) ≥ degQ. Th c hi n 

phép chia P(x) cho Q(x) đ c th ng s  là S(x) và d  s  là R(x). Khi đó 

N u R(x) = 0 thì (P(x), Q(x)) = q* ­1 Q(x), trong đó q* là h  s  cao nh t c a 

đa th c Q(x) 

N u R(x) ≠ 0 thì (P(x), Q(x)) = (Q(x), R(x)) 

Ch ng minh. N u R(x) = 0 thì P(x) = Q(x).S(x). Khi đó đa th c q* ­1 Q(x) rõ ràng  tho  mãn t t c  các đi u ki n c a UCLN. 

N u R(x) ≠ 0, đ t D(x) = (P(x), Q(x)), D’(x) = (Q(x), R(x)). Ta có D(x) | P(x) –  Q(x).S(x) = R(x), suy ra D(x) là  c chung c a Q(x), R(x), theo đ nh ngh a c a  D’(x), ta có D’(x) là  c c a D(x). M t khác D’(x) | Q(x)S(x) + R(x) = P(x), suy 

ra D’(x) là  c chung c a P(x), Q(x), theo đ nh ngh a c a D(x), ta có D(x) là  c 

c a D’(x). T  đây, do D và D’ đ u là các đa th c đ n kh i, ta suy ra D = D’

nh lý trên gi i thích cho thu t toán Euclide đ  tìm UCLN c a hai đa th c theo 

nh  ví d  d i đây: 

Ví d : Tìm c chung l n nh t c a hai đa th c  x 5 – 5x + 4 và x 3 – 3x 2 + 2. 

Ta l n l t th c hi n các phép chia 

x 5 – 5x + 4 cho x 3 – 3x 2 + 2 đ c  x 2 + 3x + 9  d   25x 2 – 11x – 14 

x 3 – 3x 2 + 2 cho 25x 2 – 11x – 14 đ c (25x – 64)/625, d  (354/625)(x­1)  25x 2 – 11x – 14 cho x­1 đ c 25x + 14 d  0 

V y (x 5 – 5x + 4, x 3 – 3x 2 + 2) = x – 1. 

L u ý, trong quá trình th c hi n, ta có th  nhân các đa th c v i các h ng s  khác 

0. Ví d  trong phép chia cu i cùng, thay vì chia 25x 2 – 11x – 14 cho (354/625)(x­ 

1) ta đã chia cho x – 1. 

1.9. Tính ch t c a phép chia h t 

Nh c l i, hai đa th c P(x), Q(x) đ c g i là nguyên t  cùng nhau n u (P(x), Q(x)) 

= 1. Ta có đ nh lý thú v  và có nhi u  ng d ng sau v  các đa th c nguyên t  cùng 

nhau: 

nh lý 4. (Bezout) Hai đa th c P(x) và Q(x) nguyên t  cùng nhau khi và ch  khi 

t n t i các đa th c U(x), V(x) sao cho P(x).U(x) + Q(x).V(x) = 1. 

Ch ng minh. Gi  s  t n t i các đa th c U(x) và V(x) tho  mãn đi u ki n P(x).U(x)  + Q(x).V(x) = 1.  t D(x) = (P(x), Q(x)) thì D(x) | P(x), D(x) | Q(x) suy ra D(x) | 1 

= P(x).U(x) + Q(x).V(x). Suy ra D(x) = 1. 

Ng c l i, gi  s  (P(x), Q(x)) = 1. Ta ch ng minh t n t i các đa th c U(x) và V(x)  sao  cho  P(x).U(x)  +  Q(x).V(x)  =  1.  Ta  ch ng  minh  b ng  quy  n p  theo  m  =  min{deg(P), deg(Q)}. 

N u m = 0 thì đi u c n ch ng minh là hi n nhiên. Ch ng h n n u deg(Q) = 0 thì Q 

= q là  h ng s   và ta ch  c n ch n  U(x) = 0, V(x) = q ­1 thì ta đ c P(x).U(x)  +  Q(x).V(x) = 1. 

Gi   s   ta  đã  ch ng  minh  đ nh  lý  đúng  đ n  m.  Xét  hai  đa  th c  P(x),  Q(x)  có  min{deg(P),  deg(Q)}  =  m+1.  Không  m t  tính  t ng  quát,  gi   s   m+1  =  deg(Q). 

Th c hi n phép chia P(x) cho Q(x) đ c th ng là S(x) và d  là R(x). Không th  

x y ra tr ng h p R(x) = 0 vì khi đó 1 = (P(x), Q(x)) = q* ­1 Q(x). Vì v y, ta có 

1 = (P(x), Q(x)) = (Q(x), R(x))

Lúc này, do min(deg(Q), deg(R)) = deg(R) < m +1 nên theo gi  thi t quy n p, t n 

t i các đa th c U*(x), V*(x) sao cho   Q(x)V*(x) + R(x)U*(x) = 1. Thay R(x) =  P(x) – Q(x).S(x), ta đ c 

Q(x)V*(x) + (P(x) – Q(x)S(x))U*(x) = 1 

Hay 

P(x)U*(x) + Q(x)(V*(x) – S(x)U*(x)) = 1 

t U(x) = U*(x), V(x) = V*(x) – S(x)U*(x) ta đ c đpcm. 

Tính ch t c a phép chia h t 

i) Q | P, Q | R suy ra Q | P + R hay t ng quát h n Q | P.U + R.V v i U, V là các đa 

th c b t k  

ii) Q | P, P | R suy ra Q | R (tính b c c u) 

iii) Q | P, P | Q suy ra t n t i s  th c khác 0 a sao cho Q = aP (ta g i P và Q là các 

đa th c đ ng d ng) 

iv) N u Q1 | P1 và Q2 | P2 thì Q1.Q2 | P1.P2. 

v) N u Q | P.R và (P, Q) = 1 thì Q | R. 

vi) N u Q | P, R | P và (Q, R) = 1 thì Q.R | P 

Ch ng minh. Các tính ch t i­iv) là hi n nhiên xu t phát t  đ nh ngh a Q | P ó t n 

t i S sao cho P = Q.S. 

 ch ng minh các tính ch t v) và vi), ta s  áp d ng đ nh Bezout. 

v) T  gi  thi t Q | P.R và (P,Q) = 1 suy ra t n t i S sao cho P.R = Q.S và U, V sao  cho P.U + Q.V = 1 

Khi đó  R = (P.U+Q.V).R = (P.R)U + Q.V.R = Q.S.U + Q.V.R = Q.(SU+VR) suy 

ra Q | R. 

vii) T  gi  thi t Q | P, R | P và (Q, R) = 1 suy ra  P = Q.S. Vì P = Q.S chia h t cho 

R, mà (Q, R) = 1 nên theo v) suy ra S chia h t cho R, t c là S = R.S1. V y P = Q.S 

= (Q.R).S1 suy ra P chia h t cho Q.R. 

1.10. Các ví d có l i gi i 

Bài toán 1. Tìm t t c  các c p s  a, b sao cho x 4 + 4x 3 + ax 2 + bx + 1 là bình 

ph ng c a m t đa th c. 

Gi i: N u x 4 + 4x 3 + ax 2 + bx + 1 là bình ph ng c a m t đa th c thì đa th c đó 

ph i có b c 2. Gi  s  

x 4 + 4x 3 + ax 2 + bx + 1 = (Ax 2 + Bx + C) 2 

ó  x 4 + 4x 3 + ax 2 + bx + 1 = A 2 x 4 + 2ABx 3 + (2AC + B 2 )x 2 + 2BCx + C 2 

ng nh t h  s  hai v , ta đ c

Không m t tính t ng quát, có th  gi  s  A = 1, suy ra B = 2. C có th  b ng 1 ho c 

­1. N u C = 1 thì a = 6, b = 4. N u C = ­1 thì a = 2, b = ­4. 

V y có hai c p s  (a, b) tho  mãn yêu c u bài toán là (6, 4) và (2, ­4). 

Bài toán 2. Cho đa th c P(x) và hai s  a, b phân bi t. Bi t r ng P(x) chia cho x­a 

d  A, P(x) chia cho x­b d  B. Hãy tìm d  c a phép chia P(x) cho (x­a)(x­b). 

Gi i: Gi  s  P(x) = (x­a)(x­b)Q(x) + Cx + D. L n l t thay x = a, b, ta đ c 

A = Ca + D, B = Cb + D 

T  đó suy ra  C = (A­B)/(a­b), D = A – (A­B)a/(a­b) = (aB – bA)/(a­b). 

Bài toán 3. Tìm d  trong phép chia x 100 cho (x – 1) 2 . 

Gi i: Gi  s  x 100 = (x­1) 2 Q(x) + Ax + B. Thay x = 1, ta đ c 

1 = A + B. 

L y đ o hàm hai v  r i cho x = 1, ta đ c 

100 = A 

T  đó suy ra d  là 100x – 99. 

Bài toán 4. Tìm a, b, c bi t r ng đa th c P(x) = x 3 + ax 2 + bx + c chia h t cho x­2 

và chia x 2 – 1 d  2x. 

Gi i: T  các đi u ki n đ  bài suy ra P(2) = 0,  P(1) = 2 và P(­1) = ­2, t c là 

8 + 4a + 2b + c = 0 

1 + a + b + c = 2 

–1 + a – b + c = ­2 

T  đó suy ra b = 1, a = ­10/3, c = 10/3. T  đó P(x) = x 3 – (10/3)x 2 + x + 10/3. 

Bài toán 5. Ch ng minh r ng v i m i giá tr  c a n, đa th c (x+1) 2n+1 + x n+2 chia 

h t cho đa th c x 2 + x + 1. 

Gi i: 

Cách 1. (Quy n p theo n) V i n = 0, đi u ph i ch ng minh là hi n nhiên. Gi  s  ta 

đã có (x+1) 2n+1 + x n+2 chia h t cho x 2 + x + 1. Khi đó 

(x+1) 2n+3 + x n+3 = (x 2 +2x+1)(x+1) 2n+1 + x n+3

≡ x(x+1) 2n+1 + x n+3 = x((x+1) 2n+1 + x n+2 ) ≡ 0 (mod (x 2 +x+1) 

Cách 2. (Dùng s  ph c)  a th c x 2 + x + 1 có hai nghi m là 

2 

3 

1  i ±

−

=

ch ng minh P(x) chia h t cho x 2 + x + 1 ta ch  c n ch ng minh P(α) = 0.  i u này 

t ng đ ng v i vi c ch ng minh

0 

2 

3 

1 

2 

3 















 − + +















Chuy n các s  ph c sang d ng l ng giác r i dùng công th c Moivre, ta có đi u  này t ng đ ng v i 

0 

3 

2  ) 

2  (  sin 

3 

2  ) 

2  (  cos 

3 

) 

1 

2  (  sin 

3 

) 

1 

2 

( 









 + +











 + +











+











i u này đúng vì (2n+1)π/3 ­ (n+2)2π/3 = π. 

Bài toán 6. Tìm t t c  các giá tr  n sao cho x 2n + x n + 1 chia h t cho x 2 + x + 1. 

Gi i: 

Cách 1: Ta nh n th y x 3 ≡1 mod x 2 + x + 1. Do đó 

x 2(n+3) + x n+3 + 1 ≡ x 2n + x n + 1 (mod x 2 + x + 1) 

Do đó ta ch  c n xét v i n = 0, 1, 2. Rõ ràng 

V i n = 0, 3 không chia h t cho x 2 + x + 1 

V i n = 1, x 2 + x + 1 chia h t cho x 2 + x + 1 

V i n = 2, x 4 + x 2 + 1 ≡ x + x 2 + 1 chia h t cho x 2 + x + 1 

T  đó suy ra x 2n + x n + 1 chia h t cho x 2 + x + 1 khi và ch  khi n có d ng 3k+1 

ho c 3k+2. 

Cách 2: (S  ph c) T ng t  nh  bài 5, ta có P(x) = x 2n + x n + 1 chia h t cho x 2 + x  +  1  khi  và  ch   khi  P(α)  =  0.  Áp  d ng  công  th c  Moivre,  ta  có  đi u  này  t ng 

đ ng v i 

0 

1 

3 

2  sin 

3 

2  cos 

3 

4  sin 

3 

4 









 +











 +











 +











i u này x y ra khi n không chia h t cho 3. 

Bài toán 7. Ch ng minh r ng (x m – 1, x n – 1) = x (m,n) – 1. 

Gi i: Gi  s  d = (m, n) thì rõ ràng x m – 1 = (x d ) m’ – 1 chia h t cho x d – 1 và t ng 

t  x n – 1 chia h t cho x d . Suy ra x d – 1 là  c chung c a x m ­ 1, x n – 1. Gi  s  D(x) 

là m t  c chung c a x m ­ 1, x n – 1. Vì d = (m, n) nên t n t i các s  nguyên d ng 

u, v sao cho d = mu – nv. Khi đó D(x) là  c c a (x mu – 1) – (x nv ­1) = x nv (x d ­1). Vì  (x m ­1, x nv ) = 1 nên (D(x), x nv ) = 1, suy ra D(x) là  c c a x d – 1, suy ra xd – 1 là 

c chung l n nh t c a x m – 1 và x n – 1. 

1.11. Bài t p 

1. Ch ng minh r ng m i đa th c đ n kh i b c 2n đ u có th  vi t d i d ng q 2 + r 

v i q, r là các đa th c và deg(r) < n

2. Tìm d  trong phép chia x 100 – 2x 51 + 1 cho x 2 – 1. 

3. Tìm a, b sao cho (x­1) 2 | ax 4 + bx 3 + 1. 

4. Cho P(x) là đa th c v i h  s  nguyên. Ch ng minh r ng không t n t i các s   nguyên phân bi t a, b, c sao cho P(a) = b, P(b) = c, P(c) = a. 

5. Cho P(x) là đa th c v i h  s  nguyên. Bi t r ng P(2) chia h t cho 5 và P(5) chia 

h t cho 2. Ch ng minh r ng P(7) chia h t cho 10. 

6. (Rumani 1962) Cho α là s  th c tho  mãn đi u ki n sin(α) ≠ 0. Ch ng minh 

r ng v i m i giá tr  n ≥ 2, đa th c 

P(x) = x n sin(α) – xsin(nα) + sin(n­1)α 

chia h t cho đa th c Q(x) = x 2 – 2xcos(α) + 1. 

7. (M  1976) Gi  s  P(x), Q(x), R(x) và S(x) tho  mãn đ ng nh t th c 

P(x 5 ) + xQ(x 5 ) + x 2 R(x 5 ) = (x 4 +x 3 +x 2 +x+1)S(x) 

Ch ng minh r ng đa th c P(x) chia h t cho đa th c x­1. 

8. V i nh ng giá tr  nào c a n ta có 

a) x 2 + x + 1 | (x­1) n – x n – 1  b) x 2 + x + 1 | (x+1) n + x n + 1 

A T  T H H    C V  V À N  N G G  H H  I I    M 

Nghi m c a đa th c đóng m t vai trò quan tr ng trong vi c nghiên c u các tính 

ch t  c a  đa  th c.  Nhi u  tính  ch t  c a  đa  th c  đ c  th   hi n  qua  nghi m  c a  chúng. Ng c l i, vi c nghiên c u tính ch t các nghi m c a đa th c c ng c ng là 

m t trong các v n đ  trung tâm c a đ i s  

2.1. Ví d  m  đ u 

Xét xem s   α  = 3  3 + 3  + 3 là h u t  hay vô t  

Ta có th  gi i bài toán này b ng cách ch ng minh l n l t các m nh đ  sau: 

1) N u  a  vô t  thì  a vô t  

2) N u  a vô t  thì  3  a vô t  

3)  3 vô t  

Nh ng ta c ng có th  có m t cách ti p c n khác nh  sau: 

1) Tìm đa th c v i h  s  nguyên nh n α làm nghi m 

2) Ch ng minh r ng đa th c này không có nghi m h u t  

Vi c tìm đa th c v i h  s  nguyên nh n α làm nghi m đ c ti n hành nh  sau

0 

33 

72 

48 

12 

3  ) 

3  ) 

3  (( 

3 

3  ) 

3  ( 

3 

3 

3 

3 

3 

3 

3 

6 

9 

12 

2 

2 

3 

2 

3 

3 

3

= +

− +

−

⇒

=

−

−

⇒ +

=

−

⇒ + +

=

⇒ + +

= 

x  x

α

α

α

α

α

α 

V n đ  còn l i là ch ng minh (*) không có nghi m h u t  Vi c này s  đ c th c 

hi n   cu i bài. 

2.2. Nghi m c a đa th c, đ nh lý Bezout. 

nh ngh a. S  th c a (trong m t s  tr ng h p, ta xét c  các s  ph c) đ c g i 

là nghi m c a đa th c P(x) = anx n + an­1x n­1 + …+ a1x + a0 n u P(a) = 0, t c là 

ana n + an­1a n­1 + …+ a1a + a0 = 0. 

Ta có đ nh lý đ n gi n nh ng r t có nhi u  ng d ng sau đây v  nghi m c a đa 

th c: 

nh lý 5. a là nghi m c a đa th c P(x) khi và ch  khi P(x) chia h t cho x – a. 

nh lý này là h  qu c a đ nh lý sau: 

nh lý 6. S  d  trong phép chia đa th c P(x) cho x – a là P(a). 

C  đ nh lý 5 và đ nh lý 6 đ u đ c g i là đ nh lý Bezout.   ch ng minh đ nh lý 

6, ta ch  c n ch ng minh P(x) – P(a) chia h t cho x – a. Nh ng đi u này là hi n  nhiên vì 

P(x) – P(a) = an(x n ­a n ) + an­1(x n­1 ­a n­1 ) + … + a1(x­a) 

và 

x k – a k = (x­a)(x k­1 + x k­2 a + …+ a k­1 ) 

T  đ nh lý 5, ta có th  có m t đ nh ngh a khác cho nghi m c a đa th c nh  sau: a 

là nghi m c a đa th c P(x) n u P(x) = (x­a)Q(x) v i Q(x) là m t đa th c nào đó. 

V i đ nh ngh a này, ta có th  phát tri n thành đ nh ngh a v  nghi m b i. 

nh ngh a. a đ c g i là nghi m b i r c a đa th c P(x) n u P(x) = (x­a) r Q(x) v i 

Q(a) ≠ 0. 

2.3.  nh lý Vieta 

nh lý 7. Xét đa th c P(x) ∈ R[x]. N u x1, x2, …, xk là các nghi m phân bi t c a  P(x) v i các b i r1, r2, …, rk t ng  ng thì P(x) chia h t cho (x­x1) r1 (x­x2) r2 …(x­ 

xk) rk . 

Ch ng minh:  i u này là hi n nhiên theo đ nh ngh a và do các đa th c (x­xi) ri đôi 

m t nguyên t  cùng nhau