Skkn toán học thpt (10)

Môn Toán ở trường phổ thông góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học cho học sinh; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ h

MỤC LỤC

I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN………….Trang 1-3

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP……… 4-208

2.1 Dạng toán liên quan đến kinh doanh, đầu tư, tài chính 16-19 2.2 Dạng toán tích hợp liên môn giữa Toán học và Hóa học 20-21 2.3 Dạng toán tích hợp liên môn giữa Toán học và Sinh học 22-23 2.4 Dạng toán tích hợp liên môn giữa Toán học và Vật lí 24 2.5 Dạng toán liên quan đến một số yếu tố tổng hợp khác 25-26

4.4 Hai dạng phương trình quy về bậc hai……… 74-77

5.1 Hệ thức lượng trong tam giác……… ……….78-95

5.2 Các phép toán về vecto và ứng dụng………96-107

6.1 Biểu thức tọa độ của các phép toán về vecto……… ………108-113

6.2 Phương trình đường thẳng……… 114-125

6.3 Phương trình đường tròn……… 126-133

6.4 Phương trình đường elip……….…134-144

6.5 Phương trình đường hypebol……….……….145-164

6.6 Phương trình đường parabol……….… 171-174

6.7 Ba đường Conic……… ……….… 175-178

8.1 Một số yếu tố của Thống kê……… 186-197

8.2 Xác suất của biến cố……….……… …198-208

III HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI 209

IV LỜI CAM ĐOAN……… 210

BÁO CÁO SÁNG KIẾN

I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

1 Nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện GD&ĐT

Nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục

và đào tạo nêu rõ: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực Chuyển từ học chủ yếu trên lớp sang tổ chức hình thức học tập đa dạng, chú ý các hoạt động xã hội, ngoại khóa, nghiên cứu khoa học Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông trong dạy và học”

Để thực hiện tốt mục tiêu về đổi mới căn bản, toàn diện GD&ĐT theo Nghị quyết

số 29-NQ/TW, cần có nhận thức đúng về bản chất của đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực người học và một số biện pháp đổi mới phương pháp dạy học theo hướng này Đổi mới phương pháp dạy học đang thực hiện bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học, nghĩa là

từ chỗ quan tâm đến việc HS học được cái gì đến chỗ quan tâm HS vận dụng được cái gì qua việc học Để đảm bảo được điều đó, phải thực hiện chuyển từ phương pháp dạy học theo lối "truyền thụ một chiều" sang dạy cách học, cách vận dụng kiến thức, rèn luyện kỹ năng, hình thành năng lực và phẩm chất Tăng cường việc học tập trong nhóm, đổi mới quan hệ giáo viên - học sinh theo hướng cộng tác có ý nghĩa quan trọng nhằm phát triển năng lực xã hội

2 Đặc thù của môn Toán trong Chương trình Giáo dục Phổ thông 2018

Toán học ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống, những kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc sống một cách

có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển Môn Toán ở trường phổ thông góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học cho học sinh; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn; tạo lập sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa Toán học với thực tiễn Nội dung môn Toán thường mang tính logic, trừu tượng, khái quát Do đó, để hiểu và học được Toán, chương trình Toán ở trường phổ thông cần bảo đảm sự cân đối giữa “học” kiến thức và “vận dụng” kiến thức vào giải quyết vấn đề cụ thể Trong quá trình học và áp dụng toán học, học sinh luôn có cơ hội sử dụng các phương tiện công nghệ, thiết bị dạy học hiện đại, đặc biệt là máy tính điện tử và máy tính cầm tay hỗ trợ quá trình biểu diễn, tìm tòi, khám phá kiến thức, giải quyết vấn

đề toán học

Trong chương trình giáo dục phổ thông 2018, môn Toán giúp học sinh có cái nhìn tương đối tổng quát về toán học, hiểu được vai trò và những ứng dụng của toán học trong thực tiễn, những ngành nghề có liên quan đến toán học để học sinh có cơ sở định hướng nghề nghiệp, cũng như có khả năng tự mình tìm hiểu những vấn đề có liên quan đến toán học trong suốt cuộc đời Đặc biệt là những học sinh có định hướng khoa học tự nhiên và công nghệ được chọn học một số chuyên đề học tập Các chuyên đề này nhằm tăng cường

kiến thức về toán học, kĩ năng vận dụng kiến thức toán vào thực tiễn, đáp ứng sở thích, nhu cầu và định hướng nghề nghiệp của học sinh

Chương trình môn Toán xoay quanh và tích hợp ba mạch kiến thức: Số, Đại số và Một số yếu tố giải tích; Hình học và Đo lường; Thống kê và Xác suất

Chương trình môn Toán chú trọng tính ứng dụng, gắn kết với thực tiễn hay các môn học, hoạt động giáo dục khác, đặc biệt với các môn Khoa học, Khoa học tự nhiên, Vật lí, Hoá học, Sinh học, Công nghệ, Tin học để thực hiện giáo dục STEM, gắn với xu hướng phát triển hiện đại của kinh tế, khoa học, đời sống xã hội và những vấn đề cấp thiết có tính toàn cầu Điều này còn được thể hiện qua các hoạt động thực hành và trải nghiệm trong giáo dục toán học với nhiều hình thức như: thực hiện những đề tài, dự án học tập

về Toán, đặc biệt là những đề tài và dự án về ứng dụng toán học trong thực tiễn; tổ chức trò chơi học toán, câu lạc bộ toán học, diễn đàn, hội thảo, cuộc thi về Toán,… tạo cơ hội giúp học sinh vận dụng kiến thức, kĩ năng và kinh nghiệm của bản thân vào thực tiễn một

b) Có những kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản, thiết yếu về: – Đại số và Một số yếu tố giải tích: Tính toán và sử dụng công cụ tính toán; sử dụng

ngôn ngữ và kí hiệu đại số; biến đổi biểu thức đại số và siêu việt (lượng giác, mũ, lôgarit), phương trình, hệ phương trình, bất phương trình; nhận biết các hàm số sơ cấp cơ bản (luỹ thừa, lượng giác, mũ, lôgarit); khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số bằng công cụ đạo hàm; sử dụng ngôn ngữ hàm số, đồ thị hàm số để mô tả và phân tích một số quá trình và hiện tượng trong thế giới thực; sử dụng tích phân để tính toán diện tích hình phẳng và thể tích vật thể trong không gian

– Hình học và Đo lường: Cung cấp những kiến thức và kĩ năng (ở mức độ suy luận logic)

về các quan hệ hình học và một số hình phẳng, hình khối quen thuộc; phương pháp đại

số (vectơ, toạ độ) trong hình học; phát triển trí tưởng tượng không gian; giải quyết một

số vấn đề thực tiễn đơn giản gắn với Hình học và Đo lường

– Thống kê và Xác suất: Hoàn thiện khả năng thu thập, phân loại, biểu diễn, phân tích

và xử lí dữ liệu thống kê; sử dụng các công cụ phân tích dữ liệu thống kê thông qua các

số đặc trưng đo xu thế trung tâm và đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm và ghép nhóm; sử dụng các quy luật thống kê trong thực tiễn; nhận biết các mô hình ngẫu nhiên, các khái niệm cơ bản của xác suất và ý nghĩa của nó trong thực tiễn

c) Góp phần giúp học sinh có những hiểu biết tương đối tổng quát về các ngành nghề gắn với môn Toán và giá trị của nó; làm cơ sở cho định hướng nghề nghiệp sau trung học phổ thông; có đủ năng lực tối thiểu để tự tìm hiểu những vấn đề liên quan đến toán học trong suốt cuộc đời

Môn Toán góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực toán học (biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán) bao gồm các thành phần cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán – Thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự tương đồng và khác biệt trong những tình huống tương đối phức tạp và lí giải được kết quả của việc quan sát

– Sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề

– Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề Giải thích, chứng minh, điều chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học

– Thiết lập được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, sơ đồ, hình vẽ, bảng biểu, đồ thị, ) để mô tả tình huống đặt ra trong một số bài toán thực tiễn

– Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập

– Lí giải được tính đúng đắn của lời giải (những kết luận thu được từ các tính toán là có

ý nghĩa, phù hợp với thực tiễn hay không) Đặc biệt, nhận biết được cách đơn giản hoá, cách điều chỉnh những yêu cầu thực tiễn (xấp xỉ, bổ sung thêm giả thiết, tổng quát hoá, )

để đưa đến những bài toán giải được

– Xác định được tình huống có vấn đề; thu thập, sắp xếp, giải thích và đánh giá được độ tin cậy của thông tin; chia sẻ sự am hiểu vấn đề với người khác

– Thực hiện và trình bày được giải pháp giải quyết vấn đề

– Đánh giá được giải pháp đã thực hiện; phản ánh được giá trị của giải pháp; khái quát hoá được cho vấn đề tương tự

– Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép (tóm tắt) được tương đối thành thạo các thông tin toán học cơ bản, trọng tâm trong văn bản nói hoặc viết Từ đó phân tích, lựa chọn, trích xuất được các thông tin toán học cần thiết từ văn bản nói hoặc viết

– Lí giải được (một cách hợp lí) việc trình bày, diễn đạt, thảo luận, tranh luận các nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học trong sự tương tác với người khác

– Sử dụng được một cách hợp lí ngôn ngữ toán học kết hợp với ngôn ngữ thông thường

để biểu đạt cách suy nghĩ, lập luận, chứng minh các khẳng định toán học

– Thể hiện được sự tự tin khi trình bày, diễn đạt, thảo luận, tranh luận, giải thích các nội dung toán học trong nhiều tình huống không quá phức tạp

– Nhận biết được tác dụng, quy cách sử dụng, cách thức bảo quản các công cụ, phương tiện học toán (bảng tổng kết về các dạng hàm số, mô hình góc và cung lượng giác, mô hình các hình khối, bộ dụng cụ tạo mặt tròn xoay, )

– Sử dụng được máy tính cầm tay, phần mềm, phương tiện công nghệ, nguồn tài nguyên trên mạng Internet để giải quyết một số vấn đề toán học

– Đánh giá được cách thức sử dụng các công cụ, phương tiện học toán trong tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP

1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến

Trong chương trình môn Toán hiện hành học sinh cũng đã được tiếp cận, trải nghiệm một số bài toán có yếu tố thực tiễn trong một số chuyên đề, chẳng hạn hệ phương trình 3

ẩn, hệ thức lượng trong tam giác hay đường elip nhưng chưa có hệ thống và chiều sâu Học sinh tỏ rõ sự lúng túng, không tự tin hay chưa có những phương pháp tiếp cận một cách bài bản khi giải quyết các bài toán có yếu tố thực tiễn

2 Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến

Sáng kiến bao gồm 8 chủ đề và tập trung xoáy vào 3 mạch kiến thức: Số, Đại số và Một số yếu tố giải tích; Hình học và Đo lường; Thống kê và Xác suất Sáng kiến đã khai thác và phát triển toàn diện các bài toán có yếu tố thực tiễn trong rất nhiều lĩnh vực, chẳng hạn như lĩnh vực: kinh tế, y tế, công nghệ thông tin…; được thể hiện trong hầu hết các bài học hay trong từng chủ đề, chuyên đề Điểm mới nhất của sáng kiến là đã khai thác chuyên sâu các bài toán có yếu tố thực tiễn liên quan đến ứng dụng của ba đường Conic (elip, hypebol và parabol)

Sáng kiến định hướng phát triển năng lực và hình thành phẩm chất, chú trọng vào việc

“Sau mỗi bài học, học sinh làm được gì” thay vì chỉ quan tâm đến “Học sinh học được gì“ theo quan điểm định hướng kiến thức trước đây Học sinh sẽ hình thành được các năng lực Toán học: tư duy và lập luận toán học; mô hình hóa toán học; giải quyết vấn đề

toán học; giao tiếp toán học; sử dụng công cụ, phương tiện toán học qua các chủ đề

Sáng kiến thể hiện tốt tinh thần đổi mới của chương trình GDPT 2018, đó là tích hợp

liên môn, liên kết giữa môn Toán với các môn học khác, chẳng hạn như:

• Tích hợp liên môn giữa môn Toán học với môn Hóa học:

Bài toán 3.5 Một nhà máy sản xuất hai loại

thuốc trừ sâu nông nghiệm A và B Cứ sản xuất

mỗi loại thùng A thì nhà máy thải ra 0, 25kg

khí carbon dioxide CO và 2 0,60 kg khí sulfur

dioxide SO sản xuất mỗi loại thùng B thì nhà 2,

máy thải ra 0,50 kg khí carbon dioxide CO và 2

định hạn chế sản lượng CO của nhà máy tối đa 2

là 75kgvà SO tối đa là 2 90kgmỗi ngày

a Tìm hệ bất phương trình mô tả số lượng thùng của mỗi loại thuốc trừ sâu mà nhà máy

có thể sản xuất mỗi ngày để đáp ứng các điều kiện ở trên Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đó trên mặt phẳng tọa độ

b Việc nhà máy sản xuất 100 thùng loại A và 80 thùng loại B mỗi ngày có phù hợp với

quy định không?

c Việc nhà máy sản xuất 60 thùng loại A và 160 thùng loại B mỗi ngày có phù hợp với

quy định không?

Bài toán 5.2.22 Phân tử sulfur (SO2)có cấu tạo hình

chữ V, góc liên kết OSO gần bằng 120 0 Người ta biểu

diễn sự phân cực giữa nguyên tử S với mỗi nguyên tử O

bằng các vecto và 1  có cùng phương với liên kết 2

cộng hóa trị, có chiều từ nguyên tử S về mỗi nguyên tử

O và có cùng độ dài là 1,6 đơn vị (tham khảo hình ảnh bên) Cho biết vecto tổng

1 2

 = + được dùng để biểu diễn sự phân cực của cả phân tử SO Tính độ dài của 2 

• Tích hợp liên môn giữa môn Toán học với môn Vật lí:

Bài toán 4.2.15 Một người chơi trên sân cầu lông đơn, có khuynh hướng phát cầu với

góc 300 (so với mặt đất), vận tốc ban đầu của quả cầu là v0 (m s/ ) (bỏ qua sức cản của gió và xem quỹ đạo của cầu luôn nằm trong mặt phẳng thẳng đứng), biết rằng vị trí người đứng phát cầu cách lưới là 4 m

Khi các lần phát cầu với thông tin như sau có được cho là hợp lệ không?

a Vận tốc xuất phát của cầu là v0=12(m s/ ) và vị trí phát cầu cách mặt đất là 0,7 m

b Vận tốc xuất phát của cầu là v0=8(m s/ ) và vị trí phát cầu cách mặt đất là 1,3 m

Bài toán 6.5.24 Khi máy bay bay song song với mặt đất với vận tốc lớn hơn vận tốc của

âm thanh sẽ tạo ra các lớp không khí dao động của hình mặt nón (nón Mạch) (tham khảo hình ảnh dưới đây) và tạo ra tiếng nổ mạnh, gọi là tiếng nổ siêu thanh Những người trên mặt đất nếu nghe thấy tiếng nổ này cùng một thời điểm thì vị trí của họ cùng thuộc một

đường hypebol Hãy giải thích điều này

• Tích hợp liên môn giữa môn Toán học với môn Sinh học:

Bài toán 2.5 Quang hợp là quá trình thu và nhận

chuyển hóa năng lượng ánh sáng mặt trời của thực

vật, tảo và một số vi khuẩn để tạo ra hợp chất hữu

cơ (đường glucose) phục vụ bản thân cũng như

làm nguồn thức ăn cho hầu hết các sinh vật trên

Trai Đất (Theo SGK Sinh học 11, nhà xuất bản

Giáo dục Việt Nam, 2017) Cân bằng phương trình

phản ứng quang hợp (dưới điều kiện ánh sáng và

chất diệp lục): CO2 +H20→C H O6 12 6 +O2

Bài toán 6.4.14 Trong y học, máy tán sỏi ngoài cơ thể hoạt động

theo nguyên lí sử dụng sóng xung kích hội tụ tập trung vào viên

sỏi trong cơ thể để phá vỡ nó thành vụn nhỏ Các vụn sôi nhỏ này

sau đó sẽ được cơ thể bệnh nhân bài tiết ra ngoài Để làm điều này,

người ta đặt một nguồn phát sóng tại tiêu điểm của gương phản xạ

elip Bác sĩ sẽ điều chỉnh máy hoặc vị trí nằm của bệnh nhân sao

cho viên sỏi ở tiêu điểm còn lại (tham khảo hình ảnh bên)

sai e =0,92 Khi thao tác

điều trị bằng máy tán sỏi này thì cần đặt nguồn phát sóng cách vị

trí viên sỏi một khoảng bằng bao nhiêu cm? Kết quả được làm tròn đến hàng phần mười

Bài toán 8.2.7 Bệnh bạch tạng ở người do đột biến

gen lặn trên nhiễm sắc thể thường, alen trội tương

ứng quy định người bình thường Một cặp vợ

chồng có người chồng bị bệnh, người vợ không bị

bệnh này Họ dự định sinh hai người con ở hai lần

sinh một cách tự nhiên Tính xác suất để họ sinh

được cả hai người con không bị bệnh?

• Tích hợp liên môn giữa môn Toán học với môn Địa lí

Bài toán 6.2.16 Một bản tin dự báo thời tiết thể hiện

đường đi trong 12 giờ của một cơn bão trên mặt

phẳng tọa độ Trong khoảng thời gian đó, tâm bão di

chuyển thẳng đều từ vị trí có tọa độ (13,8; 108,3) đến

vị trí có tọa độ (14,1; 106,3 ) Hãy xác định tọa độ vị

trí M của tâm bão tại thời điểm 9 giờ trong khoảng

thời gian 12 giờ của dự báo

Bài toán 6.2.9 Theo Google Maps, sân bay Nội Bài có vĩ độ 21,2 Bắc, kinh độ 0 0

105,8

Đông, sân bay Đà Nẵng có vĩ độ 0

16,1 Bắc, kinh độ 108, 20Đông Một máy bay, bay từ

Nội Bài đến sân bay Đà Nẵng Tại thời điểm t giờ, tính từ lúc xuất phát, máy bay ở vị trí

có vĩ độ x0 Bắc, kinh độ y0Đông được tính theo công thức

153

21, 2

409

a Hỏi chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất mấy giờ?

b.Tại thời điểm 1giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay

qua vĩ tuyến 17 ( 0

17 Bắc) chưa?

Bài toán 6.3.2 Một nhóm bạn tham quan

tại khu du lịch Suối Tiên đang xác định nơi

dừng chân cắm trại để ăn trưa Nhà hàng

được miễn phí vận chuyển thức ăn

Bài toán 5.1.23 Trên bản đồ địa lí, người

ta thường gọi tứ giác với bốn đỉnh lần lượt là

các thành phố Hà Tiên, Châu Đốc, Long

Xuyên, Rạch Giá là tứ giác Long Xuyên Dựa

theo các khoảng cách đã cho trên hình vẽ, tính

khoảng cách giữa Châu Đốc và Rạch Giá

Bài toán 5.1.33 Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, đi theo hướng S700E với vận tốc

70km h/ Biết rằng tàu đi được 90 phút thì động cơ

của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với

vận tốc 8km h/ Sau 2 giờ kể từ khi động cơ bị hỏng,

tàu neo đậu được vào một hòn đảo

a Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu

b Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đâu

(Chú thích: Hướng S0E là hướng tạo với hướng nam góc  và tạo với hướng đông 0góc 900 − Các hướng 0 0 0

S W N E N W cũng được định nghĩa tương tự)

• Tích hợp liên môn giữa môn Toán học với môn Lịch sử

Bài toán 5.1.19 Cột cờ Lũng Cú

là cột cờ Quốc gia, nằm ở đỉnh

Lũng Cú hay còn gọi là đỉnh núi

Rồng (Long Sơn) thuộc xã Lũng

phù điêu bằng đá xanh mô phỏng hoa văn của mặt trống

đồng Đông Sơn và những họa tiết minh họa các giai

đoạn qua từng thời kì lịch sử cuả đất nước, cũng như

con người, tập quán của các dân tộc ở Hà Giang Trên

đỉnh cột là Quốc kì Việt Nam có diện tích 2

54m , biểu tượng cho 54 dân tộc ở nước ta Từ chân cột cờ và đỉnh

bệ cột cờ bạn Nam đo được góc nâng (so với phương

nằm ngang) tới một vị trí dưới chân núi lần lượt là 450

và 500 (tham khảo hình ảnh dưới đây) Hỏi chiều cao

của đỉnh Lũng Cú so với chân núi bằng bao nhiêu mét?

• Tích hợp liên môn giữa Toán học với Thiên văn học

Bài toán 6.4.8 Ta biết rằng Mặt Trăng chuyển động quanh

Trái Đất theo một quỹ đạo là một Elip mà Trái Đất là một

tiêu điểm Elip có chiều dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là

Precalculus: Real Mathematics, Real People, Cengage)

Tính khoảng cách ngắn nhất và khoảng cách dài nhất từ Trái

Đất đến Mặt Trăng (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn),

biết rằng các khoảng cách đó đạt được khi Trái Đất và Mặt Trăng nằm trên trục lớn Elip Bài toán 6.7.1 Một tàu vũ trụ nằm trong một quỹ đạo tròn

và ở độ cao 148 kmso với bề mặt Trái Đất (tham khảo hình

ảnh bên) Sau khi đạt được vận tốc cần thiết để thoát khỏi

lực hấp dẫn của Trái Đất, tàu vũ trụ sẽ đi theo quỹ đạo

parabol với tâm Trái Đất là tiêu điểm; điểm khởi đầu của

quỹ đạo này là đỉnh parabol quỹ đạo

a Viết phương trình chính tắc parabol quỹ đạo (1 đơn vị

đo trên mặt phẳng tọa độ ứng với 1 km trên thực tế, lấy bán

kính Trái Đất là 6371 km)

b Giải thích vì sao, kể từ khi đi vào quỹ đạo parabol, càng

ngày, tàu vũ trụ càng xa Trái Đất

Bài toán 6.6.10 Kính thiên văn vô tuyến lớn thứ hai thế

giới đặt tại đài quan sát Arecibo ở Puerto Rico có cấu tạo

như một ăng ten Parabol khổng lồ với mặt cắt là một

parabol (P) có đường kính 305 m, độ sâu của chảo là 61m

và bộ thu sóng đặt tại tiêu điểm của (P) (được đỡ bởi các

dây cáp từ ba tòa tháp xung quanh) Trước khi bị đổ sập

và ngừng hoạt động vào ngày 01/12/2020, kính thiên văn

này là biểu tượng của ngành thiên văn giúp săn lùng các

tín hiệu bên ngoài Trái Đất Hãy tính khoảng cách từ bộ

thu sóng của kính thiên văn đến đỉnh của parabol

Bài toán 6.7.3 Một số loại kính thiên văn sử dụng

kết hợp cả gương parabol và gương hypebol để thu

nhận tín hiệu Hình dưới đây mô tả mặt cắt của

kính thiên văn Cassegrain “cổ điển” gồm một

parabol và hypebol có cùng tiêu điểm F Chùm tín

hiệu song song với Ox đến gặp parabol sẽ phản xạ

đến tiêu điểm F Chùm tia phản xạ này khi gặp

gương hypebol đặt trước tiêu điểm F sẽ hội tụ đến

tiêu điểm F’ còn lại của hypebol, cũng là nơi đặt

bộ thu tín hiệu của kính thiên văn

Cho biết tiêu cự của hypebol là 10 m và khoảng cách từ vị trí đặt bộ thu đến đỉnh V 1

của parabol và đỉnh V của hypebol lần lượt là 2 F V' 1 =1,8mvà F V' 2 =8,2m Hãy viết phương trình chính tắc của parabol và hypebol nói trên

Sáng kiến không những chú trọng đến tính liên môn giữa môn Toán với các môn học

khác mà các bài toán trong sáng kiến cũng có tính cập nhật và hướng tới những kì thi còn

khá mới mẻ, chẳng hạn như kì thi “đánh giá năng lực” do trường Đại học Quốc gia tổ

chức hay kì thi “đánh giá tư duy” do trường Đại học Bách khoa Hà nội tổ chức trong

năm học 2020-2021 và 2021-2022 Chẳng hạn như các bài toán dưới đây được trích ra

từ phần thi “Tự luận” trong đề thi “đánh giá tư duy” và được xem là những bài toán có

sự phân loại cao các đối tượng học sinh nhằm chọn được những học sinh có năng lực tốt

Bài toán 4.1.17 (Trích từ phần thi Tự luận-đề thi “đánh giá tư duy” năm 2020)

Giả sử giá điện sinh hoạt trong mỗi tháng dành cho các hộ gia đình được cho bởi bảng:

Mức kWh điện tiêu thụ Giá bán điện (VNĐ/kWh)

Mức 1: từ 0 đến 100 kWh 1600

Mức 2: từ trên 100 đến 300 kWh 2000

a Thiết lập công thức liên hệ giữa số kWh điện tiêu thụ và số tiền tương ứng phải trả

Nếu một hộ gia đình phải trả số tiền điện là 420000 VNĐ cho một tháng thì số kWh điện

tiêu thụ của hộ gia đình trong tháng đó là bao nhiêu?

b Tháng 6, một hộ gia đình có mức tiêu thụ điện trong khoảng 100 đến 300 kWh, tháng

7 có mức tiêu thụ điện nhiều hơn tháng 6 là 210 kWh và phải trả số tiền bằng 2,5 lần

tháng 6 Cho biết mức tiêu thụ điện của hộ gia đình đó trong tháng 6 là bao nhiêu kWh?

c Giả sử do ảnh hưởng của dịch Covid, sang tháng 8, Nhà nước giảm trừ mỗi hộ gia đình

10% điện phải trả theo hóa đơn, nhưng không quá 80000 VNĐ cho một hóa đơn Nếu

một hộ gia đình trả 885000 VNĐ thì trong tháng 8 số kWh điện tiêu thụ của hộ gia đình

đó là bao nhiêu?

Bài toán 1.7 (Trích từ phần thi Tự luận-đề thi “đánh giá tư duy” năm 2022)

Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách khoa Hà Nội công bố điểm thi ba môn

Đại số, Giải tích 1, Giải tích 2 của một lớp sinh viên, có 108 sinh viên đạt điểm A Biết rằng:

• Có 43 sinh viên đạt điểm A môn Giải tích 1;

• Có 32 sinh viên đạt điểm A môn Giải tích 2;

• Có 54 sinh viên đạt điểm A môn Đại số;

• Có 09 sinh viên đạt điểm A môn Giải tích 1 và Đại số;

• Có 08 sinh viên đạt điểm A môn Giải tích 2 và Đại số;

• Có 03 sinh viên đạt điểm A cả ba môn

Hãy xác định:

a Số sinh viên đạt điểm A môn Đại số và Giải tích 1, nhưng không đạt điểm A môn

Giải tích 2;

b Số sinh viên chỉ đạt điểm A môn Đại số;

c Số sinh viên đạt điểm A hai môn Giải tích 1 và Giải tích 2

NỘI DUNG BÁO CÁO CHỦ ĐỀ 1: TẬP HỢP Bài toán 1.1 Tại vòng chung kết của một trò chơi trên truyền hình, có 100 khán giả tại

trường quay có quyền bình chọn cho hai thí sinh A và B Biết rằng có 85 khán giả bình chọn cho thí sinh A, 72 khán giả bình chọn cho thí sinh B và 60 khán giả bình chọn cho

cả hai thí sinh này Có bao nhiêu khán giả đã tham gia bình chọn? Có bao nhiêu khán giả

không tham gia bình chọn?

Hướng dẫn

Ta vẽ sơ đồ ven: Hình A kí hiệu cho số khản giả

tại trường quay bình chọn cho thí sinh A Hình

B kí hiệu cho số khản giả tại trường quay bình

chọn cho thí sinh B Ta gọi số phần tử của một

tập hữu hạn A bất kỳ là n A ( )

• Theo giả thiết, ta có: n A =( ) 85;n B =( ) 72 ;

n AB = Ta đi tìm số khán giả bình chọn

cho ít nhất một trong hai thí sinh A hoặc B, tức

là đi tìm số phần tử của tập hợp AB, hay n A( B)= ?

• Trước hết, ta cộng các số n(A) và n(B) Nhưng như vậy thì những phần tử thuộc vào giao của A và B được đếm hai lần Do vậy từ tổng n A( ) ( )+n B ta phải trừ đi n A(  và B)thu được kết quả: n A(  =B) ( ) ( ) (n A +n B −n AB)

Thay các giá trị của n A( );n B ;( ) n A(  ta được B) n A( B)=85 72 60 97.+ − =

• Kết luận: Vậy có 97 khán giả tham gia bình chọn và có 100 97− =3 khán giả không

tham gia bình chọn cho thí sinh nào

Bài toán 1.2 Trong một cuộc Hội nghị khách hàng của công ty K, số khách hàng có thể nói được ngoại ngữ tiếng Anh là 912 người, có thể nói được ngoại ngữ tiếng Pháp 653

người ; số khách hàng nới được cả hai ngoại ngữ tiếng Anh và Pháp là 435 người; không

có ai nói ba ngoại ngữ trở lên Hỏi có bao nhiêu người dự Hội nghị ?

Hướng dẫn

Ta vẽ sơ đồ ven: Hình A kí hiệu cho số khách hàng nói

được ngoại ngữ tiếng Anh Hình B kí hiệu cho số khách

hàng nói được ngoại ngữ tiếng Pháp Ta gọi số phần tử

của một tập hữu hạn A bất kỳ là n A Theo giả thiết, ( )

ta có: n A =( ) 912;n B =( ) 653; n A( B)=435 Để đi

tìm số người tham gia Hội nghị, ta cần tìm số phần tử

của tập hợp AB,hay n A(  = B) ?

Trước hết, ta cộng các số n(A) và n(B) Nhưng như

vậy thì những phần tử thuộc vào giao của A và B được đếm hai lần Do vậy từ tổng

Bài toán 1.3 Để phục vụ cho một hội nghị quốc tế, ban tổ chức huy động 35 người phiên dịch tiếng Anh, 30 người phiên dịch tiếng Pháp, trong đó có 16 người phiên dịch được

cả hai thứ tiếng Anh và Pháp Hãy trả lời các câu hỏi sau:

a Ban tổ chức đã huy động bao nhiêu người phiên dịch cho hội nghị đó?

b Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Anh?

c Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Pháp?

Hướng dẫn

Ta vẽ sơ đồ ven: Hình A kí hiệu cho số

người phiên dịch được tiếng Anh Hình B

kí hiệu cho số người phiên dịch được

tiếng Pháp Ta gọi số phần tử của một tập

hữu hạn A bất kỳ là n A Theo giả thiết, ( )

ta có n A =( ) 35;n B =( ) 30 ; n A(  =16 B)

a Để đi tìm số người phiên dịch trong Hội

nghị mà Ban tổ chức huy động được ta cần

tìm số phần tử của tập hợp AB, hay n A( B)= ?

Trước hết, ta cộng các số n(A) và n(B) Nhưng như vậy thì những phần tử thuộc vào giao của A và B được đếm hai lần Do vậy từ tổng n A( ) ( )+n B ta phải trừ đi n A(  B)

và được: n A B(  =) ( ) ( ) (n A +n B −n A B )

Thay các giá trị của n A( );n B ;( ) n A B(  ta được ) n A( B)=35 30 16+ − =49

Kết luận: Ban tổ chức đã huy động được 49 người phiên dịch cho hội nghị đó

b Số người phiên dịch được tiếng Anh là 35 và số người phiên dịch được cả thứ tiếng Anh và Pháp là 16 Khi đó số người chỉ phiên dịch được tiếng Anh là 35 16 19.− =

c Số người phiên dịch được tiếng Pháp là 30 và số người phiên dịch được cả thứ tiếng Anh và Pháp là 16 Khi đó số người chỉ phiên dịch được tiếng Pháp là 30 16 14.− =

Bài toán 1.4 Trong số 45 học sinh của lớp 10A có 15 bạn xếp học lực giỏi, 20 bạn xếp

loại hạnh kiểm tốt, trong đó có 10 bạn vừa có hạnh kiểm tốt, vừa có lực học giỏi Hỏi:

a Lớp 10 A có bao nhiêu bạn được khen thưởng, biết rằng muốn được khen thưởng bạn

đó phải có học lực giỏi hoặc hạnh kiểm tốt?

b Lớp 10A có bao nhiêu bạn chưa được xếp loại học lực giỏi và chưa có hạnh kiểm tốt?

Hướng dẫn

a Sử dụng biểu đồ Ven để giải bài toán tập hợp

• Theo giả thiết, số học sinh đạt học lực giỏi và có hạnh kiểm tốt là 10 học sinh

• Số học sinh đạt học lực giỏi là 15 và số học sinh đạt học lực giỏi và hạnh kiểm tốt là

10 Vậy số học sinh đạt học lực giỏi và không có hạnh kiểm tốt là 15 10 5− = học sinh

• Số học sinh đạt hạnh kiểm tốt là 20 và số học sinh đạt học lực giỏi và hạnh kiểm tốt là

10 Số học sinh có hạnh kiểm tốt và không học lực giỏi là 20 10 10− = học sinh

• Vậy số học sinh được khen thưởng là 10 5 10 25+ + = học sinh

b Vậy số học sinh chưa xếp học lực giỏi và chưa có hạnh kiểm tốt là 45 25 20− = học sinh

Bài toán 1.5 Một cuộc khảo sát về khách du lịch thăm vịnh Hạ Long cho thấy trong 1410 khách du lịch được phỏng vấn có 789 khách du lịch đến thăm động Thiên Cung, 690 khách du lịch đến đảo Titop Toàn bộ khách được phỏng vấn đã đến ít nhất một trong hai

địa điểm trên Hỏi có bao nhiêu khách du lịch vừa đến thăm động Thiên Cung vừa đến

thăm đảo Titop ở vịnh Hạ Long?

Hướng dẫn

Ta vẽ sơ đồ ven: Hình A kí hiệu cho số khách du

lịch đến thăm động Thiên Cung Hình B kí hiệu

cho số khách du lịch đến thăm đảo Titop Ta gọi

Thay các giá trị của n A( );n B ;( ) n A(  ta được B) n A( B)=789+690 1410 69.− =

Kết luận: Có 69 khách du lịch vừa đến thăm động Thiên Cung vừa đến thăm đảo Titop

Đảo Titop nằm trong biển Vịnh Hạ Long, thuộc thành phố Hạ Long, tỉnh Quảng Ninh, cách cảng tàu du lịch Bãi Cháy 7 8 km− về phía đông nam Dưới chân đảo là bãi tắm có hình vầng trăng ôm trọn lấy chân đảo, bãi cát tuy nhỏ nhưng rất thoáng đãng và yên tĩnh, bốn mùa nước sạch và trong xanh

Ngày 22–11–1962, Chủ tịch Hồ Chí Minh cùng nhà du hành vũ trụ người Liên

Xô G.Titop lên thăm đảo Để ghi dấu kỷ niệm chuyến đi đó, Chủ tịch Hồ Chí Minh

đã đặt tên cho đảo là đảo Titop (Theo tuoitre.vn)

Hình ảnh Đảo Tiptop

Bài toán 1.6 Lớp 10A có 7 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Lý, 6học sinh giỏi Hóa,

3 học sinh giỏi cả Toán và Lý, 4 học sinh giỏi cả Toán và Hóa, 2 học sinh giỏi cả Lý và

Hóa, 1 học sinh giỏi cả 3 môn Toán, Lý, Hóa Tính số học sinh giỏi ít nhất một môn

(Toán, Lý, Hóa) của lớp 10A

Hướng dẫn

Số học sinh giỏi Lý, Toán không giỏi Hóa là: 3 –1=2

Số học sinh giỏi Toán, Hóa không giỏi Lý là: 4 –1=3

Số học sinh giỏi Lý, Hóa không giỏi Toán là: 2–1 =1

Số học sinh chỉ giỏi Toán là: 7− + + =(3 2 1) 1

Số học sinh chỉ giỏi Lý là: 5−(2 1 1+ + =) 1

Số học sinh chỉ giỏi Hóa là: 6− + + =(3 1 1) 1

Số học sinh giỏi ít nhất một môn= Số học sinh chỉ giỏi Toán + Số học sinh chỉ giỏi Lý

+ Số học sinh chỉ giỏi Hóa + Số học sinh giỏi Lý, Toán không giỏi Hóa + Số học sinh

giỏi Toán, Hóa không giỏi Lý + Số học sinh giỏi Lý, Hóa không giỏi Toán + Số học

sinh giỏi cả 3 môn = 1 + 1 + 1 + 2 + 3 + 1 + 1 = 10 học sinh.

Cách khác: Goi A B C, , lần lượt là tập các học sinh giỏi Toán, Lí, Hóa

Theo giả thiết, ta có: n A( )=7,n B( )=5,n C( )=6

• Tập hợp A B gồm các học sinh giỏi Toán-Lí và n A( B)= 3

• Tập hợp A C gồm các học sinh giỏi Toán-Hóa và n A( C)= 4

• Tập hợp B C gồm các học sinh giỏi Lí-Hóa và n B( C)= 2

• Tập hợp A B C  gồm các học sinh giỏi cả ba môn Toán-Lí-Hóa và n A(   = B C) 1

• Tập hợp A B C  gồm các học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn Toán-Lí -Hóa

Từ công thức: n X(  =Y) ( ) ( ) (n X +n Y −n X  ta chứng minh được công thức Y)

n A B C =n A +n B +n C −n AB −n AC −n BC +n A B C

Khi đó n A(  B C)= + + − − − + = học sinh 7 5 6 3 4 2 1 10

Kết luận: Số học sinh giỏi ít nhất một môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10A là 10 học sinh

Bài toán 1.7 (Trích từ phần thi Tự luận-đề thi “đánh giá tư duy” năm 2022)

Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách khoa Hà Nội công bố điểm thi ba môn

Đại số, Giải tích 1, Giải tích 2 của một lớp sinh viên, có 108 sinh viên đạt điểm A Biết

• Có 43 sinh viên đạt điểm A môn Giải tích 1;

• Có 32 sinh viên đạt điểm A môn Giải tích 2;

• Có 54 sinh viên đạt điểm A môn Đại số;

• Có 09 sinh viên đạt điểm A môn Giải tích 1 và Đại số;

• Có 08 sinh viên đạt điểm A môn Giải tích 2 và Đại số;

• Có 03 sinh viên đạt điểm A cả ba môn

Hãy xác định:

a Số sinh viên đạt điểm A môn Đại số và Giải tích 1, nhưng không đạt điểm A môn

Giải tích 2;

b Số sinh viên chỉ đạt điểm A môn Đại số;

c Số sinh viên đạt điểm A hai môn Giải tích 1 và Giải tích 2

2

3

1

c Số sinh viên đạt điểm

A môn Giải tích 1 hoặc

Giải tích 2 bằng số sinh

viên đạt điểm A trừ đi số

sinh viên chỉ đạt điểm A

môn Đại số và bằng

108 40 68− = sinh viên

Số sinh viên đạt điểm A

hai môn Giải tích 1 và

CHỦ ĐỀ 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 3 ẨN 2.1 Dạng toán liên quan đến kinh tế, kinh doanh, đầu tư, tài chính

Bài toán 2.1.1 Một đại lí bán ba mẫu máy điều hoà A, B và C, với giá bán mỗi chiếc

theo từng mẫu lần lượt là 8 triệu đồng, 10 triệu đồng và 12 triệu đồng Tháng trước, đại

lí bán được 100 chiếc gồm cả ba mẫu và thu được số tiền là 980 triệu đồng Tính số lượng máy điều hoà mỗi mẫu đại lí bán được trong tháng trước, biết rằng số tiền thu được từ bán máy điều hoà mẫu A và mẫu C là bằng nhau

Hướng dẫn

Gọi số lượng máy điều hoà mỗi mẫu A, B, C đại lí bán được trong tháng trước lần lượt

là x, y, z Theo đề bài ta có:

– Đại lí bán được 100 chiếc gồm cả ba mẫu, suy ra x+y+z=100 (1)

– Số tiền thu được là 980 triệu đồng, suy ra 8x+10y+12z=980 hay 4x+5y+6z=490 (2) – Số tiền thu được từ bán máy điều hoà mẫu A và mẫu C là bằng nhau, suy ra 8x=12z hay 2x–3z=0 (3)

Kết luận: Vậy số lượng máy điều hoà mỗi mẫu A, B, C mà đại lí đã bán được trong

tháng trước lần lượt là 30, 50, 20 chiếc

Bài toán 2.1.2 Một chủ cửa hàng bán lẻ mang 1500000 đồng đến ngân hàng đổi tiền xu

để trả lại cho người mua Ông đổi được được tất cả 1450 đồng tiền xu các loại 2000 đồng,

1000 đồng và 500 đồng Biết rằng số tiền xu loại 1000 đồng bằng hai lần hiệu số tiền xu của loại 500 đồng với số tiền xu loại 2000 đồng Hỏi mỗi loại có bao nhiêu đồng tiền xu

Hướng dẫn

Gọi , ,x y zlần lượt là số đồng xu loại 2000 đồng, 1000 đồng và 500 đồng Ta có hệ:

Kết luận: Vậy ông chủ cửa hàng đó đổi được 350 đồng xu loại 2000 đồng, 500 đồng xu loại 1000 đồng và 600 đồng xu loại 500 đồng

Bài toán 2.1.3 Một tuyến cáp treo có ba loại vé sau đây: vé đi lên giá 250 nghìn đồng;

vé đi xuống giá 200 nghìn đồng và vé hai chiều giá 400 nghìn đồng Một ngày nhà ga cáp treo thu được tổng số tiền là 251 triệu đồng Tìm số vé bán ra mỗi loại, biết rằng nhân viên quản lí cáp treo đếm được 680 lượt người đi lên và 520 lượt người đi xuống

Hướng dẫn

Gọi số vé bán ra loại đi lên, đi xuống và hai chiều lần lượt là x, y, z Theo đề bài ta có:

– Nhà ga cáp treo thu được tổng số tiền là 251 triệu đồng, suy ra

250000x+200000y +400000z =251000000 hay 5x+4y+8z=5020 (1)

– Có 680 lượt người đi lên, suy ra x+z=680 (2)

– Có 520 lượt người đi xuống, suy ra y+z=520 (3)

Kết luận: Vậy số vé bán ra loại đi lên, đi xuống và hai chiều lần lượt là 220, 60, 460

Bài toán 2.1.4 Một cửa hàng giải khát chỉ phục vụ ba loại sinh tố: xoài, bơ và mãng cầu

Để pha mỗi li (cốc) sinh tố này đều cần dùng đến sữa đặc, sữa tươi và sữa chua với công

Gọi số li sinh tố mỗi loại xoài, bơ, mãng cầu cửa hàng bán được trong ngày hôm qua lần

lượt là x, y, z Theo đề bài ta có:

– Cửa hàng đã dùng hết 2 lít hay 2000 ml sữa đặc, suy ra phương trình

20x+10y+20z=2000 hay 2x +y +2z =200 (1)

– Cửa hàng đã dùng hết 12,8 lít hay 12800 ml sữa tươi, suy ra phương trình:

100x+120y +100z=12800 hay 5x+6y +5z=640 (2)

– Cửa hàng đã dùng hết 2,9 lít hay 2900 ml sữa chua, suy ra phương trình

30x+20y+20z=2900 hay 3x+2y+2z=290 (3)

Kết luận: Vậy số li sinh tố mỗi loại xoài, bơ, mãng cầu mà cửa hàng đã bán được trong

ngày hôm qua lần lượt là 50, 40, 30

Bài toán 2.1.5 Vé vào xem một vở kịch có ba mức giá khác nhau tuỳ theo khu vực ngồi

trong nhà hát Số lượng vé bán ra và doanh thu của ba suất diễn được cho bởi bảng sau

Suất diễn Số vé bán được Doanh thu (triệu đồng)

Khu vực 1 Khu vực 2 Khu vực 3

Hướng dẫn

Gọi giá vé ứng với mỗi khu vực 1, khu vực 2, khu vực 3 lần lượt là x, y, z (triệu đồng)

Dựa vào bảng trên ta có hệ phương trình:

Bài toán 2.1.6 Bác Nhân có 650 triệu đồng dự định gửi tiết kiệm vào các ngân hàng A,

B và C Biết các ngân hàng A, B, C trả lãi suất lần lượt là 8%/năm, 7,5%/năm và 7%/năm

Để phù hợp với nhu cầu, bác Nhân mong muốn sau một năm, tổng số tiền lãi bác nhận được là 50 triệu đồng và số tiền bác gửi vào ngân hàng B lớn hơn số tiền gửi vào ngân hàng C là 100 triệu đồng Hãy tính giúp bác Nhân số tiền gửi vào mỗi ngân hàng sao cho đáp ứng được yêu cầu của bác

Hướng dẫn

Gọi số tiền bác Nhân gửi vào mỗi ngân hàng A, B, C lần lượt là x, y, z (triệu đồng) – Tổng số tiền bác có là 650 triệu đồng, suy ra x+y+z=650 (1)

– Tổng số tiền lãi bác nhận được sau một năm là 50 triệu đồng, suy ra

8%x+7,5%y + 7%z =50 hay 8x+7,5y +7z=5000 (2)

– Số tiền bác gửi vào ngân hàng B lớn hơn số tiền gửi vào ngân hàng C là 100 triệu đồng,

Bài toán 2.1.7 Bác Việt có 330740 nghìn đồng, bác chia số tiền này thành ba phần và

đem đầu tư vào ba hình thức : Phần thứ nhất bác đầu tư vào chứng khoán với lãi thu được 4% một năm; phần thứ hai bác mua vàng thu lãi 5% một năm và phần thứ ba bác gửi tiết kiệm với lăi suất 6% một năm Sau một năm, kể cả gốc và lãi bác thu được ba món tiền bằng nhau Hỏi tổng số tiền cả gốc và lãi bác thu được sau một năm là bao nhiêu?

Hướng dẫn

Gọi số tiền bác Việt đầu tư vào chứng khoán, mua vàng, gửi tiết kiệm lần lượt là x, y, z

(nghìn đồng) Theo đề bài ta có:

– Tổng số tiền là 330740 nghìn đồng, suy ra x+y+z=330740 (1)

– Số tiền kể cả gốc lẫn lãi bác Việt thu được từ ba khoản là x + 4%x, y + 5%y, z + 6%z

Vì bác thu được ba món tiền bằng nhau nên x+ 4%x =y+5%y =z+6%z

⇒ 104%x = 105%y = 106%z ⇒ 104x –105y = 0 (2) và 105y –106z =0 (3)

Bài toán 2.1.8 Một quỹ đầu tư dự kiến dành khoản tiền 1,2 tỉ đồng để đầu tư vào cổ

phiếu Các cổ phiếu được phân thành ba loại: rủi ro cao, rủi ro trung bình và rủi ro thấp Ban Giám đốc của quỹ ước tính các cổ phiếu rủi ro cao, rủi ro trung bình và rủi ro thấp

sẽ có lợi nhuận hằng năm lần lượt là 15%, 10% và 6% Nếu đặt ra mục tiêu đầu tư có lợi nhuận trung bình là 9%/năm trên tổng số vốn đầu tư, thì quỹ nên đầu tư bao nhiêu tiền vào mỗi loại cổ phiếu? Biết rằng, để an toàn, khoản đầu tư vào các cổ phiếu rủi ro thấp

sẽ gấp đôi tổng các khoản đầu tư vào các cổ phiếu thuộc hai loại còn lại

Hướng dẫn

Gọi số tiền nên đầu tư vào mỗi loại cổ phiếu rủi ro cao, rủi ro trung bình và rủi ro thấp

lần lượt là x, y, z (tỉ đồng) Theo đề bài ta có:

– Tổng số tiền đầu tư là 1,2 tỉ; suy ra phương trình: x+y+z =1,2 (1)

– Mục tiêu đầu tư có lợi nhuận trung bình là 9%/năm trên tổng số vốn đầu tư, suy ra

15%x+10%y +6%z=9% 1,2 hay 15x+10y+6z=10,8 (2)

– Khoản đầu tư vào các cổ phiếu rủi ro thấp sẽ gấp đôi tổng các khoản đầu tư vào các cổ

phiếu thuộc hai loại còn lại, suy ra z=2(x+y) hay 2x+2y–z=0 (3)

Bài toán 2.1.9 Xét thị trường chè, cà phê và ca cao Gọi x, y và z lần lượt là giá của 1 kg

chè, 1 kg cà phê và 1 kg ca cao (đơn vị: nghìn đồng, x≥0, y≥0, z ≥ 0) Các lượng cung và

lượng cầu của mỗi sản phẩm được cho như bảng sau:

– Loại A có chứa 18% nitơ, 4% photphat và 5% kali;

– Loại B có chứa 20% nitơ, 4% photphat và 4% kali;

– Loại C có chứa 24% nitơ, 3% photphat và 6% kali

Hỏi công ty sản xuất bao nhiêu kilôgam mỗi loại phân bón trên?

Biết rằng công ty đã dùng hết 26400 kg nitơ, 4900 kg photphat, 6200 kg kali

Hướng dẫn

Gọi khối lượng mỗi loại phân bón A, B, C lần lượt là x, y, z (kilôgam) Theo đề bài ta có

– Công ty dùng hết 26400 kg nitơ nên ta có phương trình: 18%x+20%y+24%z=26400

Vậy khối lượng mỗi loại phân bón A, B, C lần lượt là 40000kg, 60000kg và 30000kg

Bài toán 2.2.2 Cho A, B và C là ba dung dịch cùng loại acid có nồng độ khác nhau Biết

rằng nếu trộn ba dung dịch mỗi loại 100 ml thì được dung dịch nồng độ 0,4 M (mol/lít);

nếu trộn 100 ml dung dịch A với 200 ml dung dịch B thì được dung dịch nồng độ 0,6 M;

nếu trộn 100 ml dung dịch B với 200 ml dung dịch C thì được dung dịch nồng độ 0,3 M

Hỏi mỗi dung dịch A, B và C có nồng độ bao nhiêu?

Hướng dẫn

Gọi nồng độ của mỗi dung dịch A, B, C lần lượt là x, y, z (M) Theo đề bài ta có:

–Nếu trộn ba dung dịch mỗi loại 100 ml thì được dung dịch có nồng độ 0,4M;

Kết luận: Vậy nồng độ của mỗi dung dịch A, B, C lần lượt là 0,4 M; 0,7 M; 0,1 M

Bài toán 2.2.3 Một nhà hoá học có ba dung dịch cùng một loại acid nhưng với nồng độ

khác nhau là 10%, 20%, 40% Trong một thí nghiệm, để tạo ra 100 ml dung dịch nồng độ

18%, nhà hoá học đã sử dụng lượng dung dịch nồng độ 10% gấp bốn lần lượng dung dịch

nồng độ 40% Tính số mililít dung dịch mỗi loại mà nhà hoá học đã sử dụng trong thí

nghiệm đã cho

Hướng dẫn

Gọi lượng dung dịch mỗi loại acid 10%, 20% và 40% mà nhà hoá học sử dụng lần lượt

là x, y, z (mililít) Theo đề bài ta có: x+y+z =100 (1)

– Dung dịch mới có nồng độ 18%, suy ra 10% 20% 40% 18% 2 4 180.

Bài toán 2.2.4 Xăng sinh học E5 là hỗn hợp xăng không chì truyền thống và cồn sinh

học Trong loại xăng này chứa 5% cồn sinh học Khi động cơ đốt cháy lượng cồn trên

thì xảy ra phản ứng hoá học: C2H6O + O2

0

t CO2 + H2O Hãy cân bằng phương trình đó

Hướng dẫn

Gọi x, y, z, t lần lượt là bốn số nguyên dương thoả mãn: xC2H6O + yO2 t zCO0 2 + tH2O

Số nguyên tử C ở hai vế bằng nhau, ta có 2x=z (1)

Số nguyên từ H ở hai vế bằng nhau, ta có 6x = 2t hay 3x =t (2)

Số nguyên từ O ở hai vế bằng nhau, ta có x+2y=2z+t (3)

Thay (1) và (2) vào (3) ta được x+2y=2.2x+3x hay y=3x

Vậy y=3x, z=2x, t=3x Để phương trình có hệ số đơn giản, chọn x =1,suy ra y=3, z=2, t=3 Vậy phương trình cân bằng phản ứng hoá học là C2H6O + 3O2 t 2CO0 2 + 3H2O

Bài toán 2.2.5 Quang hợp là quá trình thu và nhận chuyển hóa

năng lượng ánh sáng mặt trời của thực vật, tảo và một số vi

khuẩn để tạo ra hợp chất hữu cơ (đường glucose) phục vụ bản

thân cũng như làm nguồn thức ăn cho hầu hết các sinh vật trên

Trai Đất Cân bằng phương trình phản ứng quang hợp (dưới điều

kiện ánh sáng và chất diệp lục): CO2 +H20→C H O6 12 6 +O2

Hướng dẫn

Giả sử x y z t, , , là bốn số nguyên dương thỏa mãn: xCO2 + yH20→zC H O6 12 6 +tO2

Vì số nguyên tử carbon, hydrogen và oxygen ở hai vế phải bằng nhau nên ta có hệ

phương trình

66

2.3 Dạng toán có yếu tố tích hợp liên môn giữa Toán học và Sinh học Bài toán 2.3.1 Ba loại tế bào A, B, C thực hiện số lần nguyên phân lần lượt là 3,4,7 và

tổng số tế bào con tạo ra là 480 Biết rằng khi chưa thực hiện nguyên phân, số tế bào loại

B bằng tổng số tế bào loại A và loại C Sau khi thực hiện nguyên phân, tổng số tế bào con loại A và loại C được tạo ra gấp hai lần số tế bào con loại B được tạo ra Tính số tế bào

mỗi loại A, B, C lúc ban đầu

Hướng dẫn

Gọi số tế bào con mỗi loại A, B, C lúc ban đầu lần lượt là x, y, z Theo đề bài ta có:

– Ba loại tế bào A, B, C thực hiện số lần nguyên phân lần lượt là 3, 4, 7; suy ra số tế bào con mỗi loại A, B, C được tạo ra lần lượt là 23x, 24y và 27z hay 8x, 16y và 128z

– Tổng số tế bào con tạo ra là 480, suy ra 8x+16y+128z=480 (1)

– Khi chưa thực hiện nguyên phân, số tế bào loại B bằng tổng số tế bào loại A và loại C,

suy ra y=x+z hay x–y+z=0 (2)

– Sau khi thực hiện nguyên phân, tổng số tế bào con loại A và loại C được tạo ra gấp hai

lần số tế bào con loại B được tạo ra, suy ra 8x+128z=2.16y hay x–4y+16z=0 (3)

Kết luận: Vậy số tế bào mỗi loại A, B, C lúc ban đầu lần lượt là 8, 10 và 2

Bài toán 2.3.2 Ba loại tế bào A, B, C thực hiện số lần nguyên phân lần lượt là 3, 4, 5 và

tổng số tế bào con tạo ra là 216 Biết rằng khi chưa thực hiện nguyên phân, số tế bào loại

C bằng trung bình cộng số tế bào loại A và loại B Sau khi thực hiện nguyên phân, tổng

số tế bào con loại A và loại B được tạo ra ít hơn số tế bào con loại C được tạo ra là 40 Tính số tế bào mỗi loại A, B, C lúc ban đầu

Hướng dẫn

Gọi số tế bào con ban đầu mỗi loại A, B, C lần lượt là x, y, z Theo đề bài ta có:

– Ba loại tế bào A, B, C thực hiện số lần nguyên phân lần lượt là 3, 4, 5 Suy ra số tế bào con mỗi loại A, B, C lần lượt là 23x, 24y, 25z hay 8x, 16y, 32z

– Tổng số tế bào con tạo ra là 216, suy ra 8x+16y+32z=216 hay x+2y+4z=27 (1)

– Khi chưa thực hiện nguyên phân, số tế bào loại C bằng trung bình cộng số tế bào loại

A và loại B, suy ra z=1

2(x+y) hay x +y–2z=0 (2)

– Sau khi thực hiện nguyên phân, tổng số tế bào con loại A và loại B được tạo ra ít hơn

số tế bào con loại C được tạo ra là 40, suy ra 8x+16y =32z–40 hay x+2y–4z= –5 (3)

Kết luận: Vậy số tế bào con ban đầu mỗi loại A, B, C lần lượt là 5, 3, 4

Bài toán 2.3.3 Ba tế bào A, B, C sau một số lần nguyên phân tạo ra 168 tế bào con Biết

số tế bào A tạo ra gấp bốn lần số tế bào B tạo ra và số lần nguyên phân của tế bào C nhiều

hơn số lần nguyên phân của tế bào B là bốn lần Tính số lần nguyên phân của mỗi tế bào

Hướng dẫn

Gọi số lần nguyên phân của mỗi tế bào A, B, C lần lượt là x, y, z Theo đề bài ta có:

– Sau nguyên phân tạo ra 168 tế bào con, suy ra 2x+2y +2z=168 (1)

– Số tế bào A tạo ra gấp bốn lần số tế bào B tạo ra, suy ra 2x =4.2y hay 2x–4.2y=0 (2) – Số lần nguyên phân của tế bào C nhiều hơn số lần nguyên phân của tế bào B là bốn

lần, suy ra y+4=z, suy ra 2 y+ 4=2z hay 16.2y–2z =0 (3)

Suy ra x=5, y=3, z=7 Vậy số lần nguyên phân của mỗi tế bào A, B, C lần lượt là 5, 3, 7

Bài toán 2.3.4 Một khu rừng ngập mặn có diện tích là 1

ha Bằng kĩ thuật viễn thám, người ta ước lượng sinh khối

trên mặt đất của rừng này là 87, 2 tấn/ha Người ta đếm

được trong các ô tiêu chuẩn 2

100m có tổng số 161 cây,

trong đó số cây bần bằng 15% tổng số cây mắm và cây

đước Khối lượng trung bình của một cây bần là 10 ,kg

cây đước là 5kg và cây mắm là 1 kg Hãy tính sinh khối của từng loài trên 1 ha rừng

(sinh khối là tổng trọng lượng của sinh vật sống trong sinh quyển hoặc số lượng sinh vật sống trên một đơn vị diện tích, theo sinh học 12, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2017)

Hướng dẫn

Đổi 82,7tấn=87200kg ha; 1 =10000m2 Gọi , ,x y z theo thứ tự là số cây bần, cây đước

và cây mắm trong 1 ha rừng ngập mặn nói trên

Nhận xét: Trong 100m có tổng 161 cây nên 2 10000m có số cây là 2 161.10000 16100

x= y + z hay 20x−3y−3z = Khối lượng trung bình cây bần là 10 ,0 kg cây đước

là 5 kg và cây mắm là 1kg nên ta có phương trình 10 x+5y+ =z 87200

Vậy theo bài ra ta có hệ phương trình

Khi đó, sinh khối bần là 10x=21000kg ha/ =21tấn/ha, sinh khối bần là

5y=65250kg ha/ =62, 25tấn/ha, sinh khối bần là z =950kg ha/ =0,95tấn/ha

Bài toán 2.3.5 Trong trang trại sản xuất gà giống,

việc lựa chọn tỉ lệ giữa gà trống và gà mái rất quan

trọng Nếu quá nhiều gà trống thì không hiệu quả

kinh tế, nếu ít gà trống quá thì ảnh hưởng đến hiệu

quả sản xuất gà giống Các nghiên cứu chỉ ra rằng

tỉ lệ giữa gà trống và gà mái để sản xuất gà giống

hiệu quả nhất là 1: 10,5 Một đàn gà trưởng thành

có tổng 3000 con, trong đó tỉ lệ giữa gà trống và

gà mái là 5: 3 Cần chuyển bao nhiêu gà trống cho

mục đích nuôi lấy thịt để hiệu quả cao nhất?

2.4 Dạng toán có yếu tố tích hợp liên môn giữa Toán học và Vật lí Bài toán 2.4.1 Cho một mạch điện kín như hình vẽ Biết

các điện trở R =1 0,25; R =2 0,36; R =3 0,45 và

hiệu điện thế giữa hai đầu đoạn mạch U =60V Gọi I1 là

cường độ dùng điện của mạch chính và I2; I3 là cường

độ dòng điện của hai mạch rẽ Tính I1, I2 và I3

Tổng cường độ dòng điện ra vào tại điểm B bằng nhau nên

ta có I = +I1 I2( )1 Hiệu điện thế giữa hai điểm A, C là

4

15 0

4 15

Tổng cường độ dòng điện ra vào tại điểm B bằng nhau nên

ta có I1 + =I2 I3( )1 Hiệu điện thế giữa hai điểm A, B là

2.5 Dạng toán liên quan đến một số yếu tố tổng hợp khác

Bài toán 2.5.1 Trong một đợt ủng hộ các

bạn học sinh ở vùng bị bão lũ miền Trung

vừa qua, bạn Phan Vũ Bình Minh học sinh

lớp 3 ở Thái Nguyên đã đập lợn tiết kiệm

Bài toán 2.5.2 Trong kho tàng văn hóa dân gian

Việt Nam có bài toán “Trăm trâu trăm cỏ” sau đây:

Trâu đứng ăn năm, Trâu nằm ăn ba, Lụ khụ trâu già,

Ba con một bó, Trăm con ăn cỏ, Trăm bó no nê

Hỏi có bao nhiêu trâu đứng, trâu nằm, trâu già?

Hướng dẫn

Gọi số trâu đứng là x, số trâu nằm là y, số trâu già là z (với x, y, z là những số nguyên

dương nhỏ hơn 100) Ta có hệ phương trình:

4

.1

2003

Mà z là số nguyên dương nên z {76,77,78,79,80,81,82,83,84}.

Mặt khác x là số nguyên dương nên 100 4

x y z

x y z

x y z

Bài toán 2.5.3 Bác Việt có 12 ha đất canh tác để

trồng ba loại cây: ngô, khoai tây và đậu tương Chi

phí trồng 1 ha ngô là 4 triệu đồng, 1 ha khoai tây

là 3 triệu đồng và 1 ha đậu tương là 4,5 triệu đồng

Do nhu cầu thị trường, bác đã trồng khoai tây trên

phần diện tích gấp đôi diện tích trồng ngô Tổng

chi phí trồng ba loại cây trên là 42,25 triệu đồng

Hỏi diện tích trồng mỗi loại cây là bao nhiêu?

Bài toán 2.5.4 Một nhà máy có ba bộ phận cắt, may, đóng gói để sản xuất ba loại sản

phẩm: áo thun, áo sơ mi, áo khoác Thời gian (tính bằng phút) của mỗi bộ phận để sản

xuất 10 cái áo mỗi loại được thể hiện trong bảng sau:

Bộ phận Thời gian (tính bằng phút) để sản xuất 10 cái

Áo thun Áo sơ mi Áo khoác

Bài toán 2.5.5 Cô Tiên cầm thẻ ra cây ATM rút tiền, cô cần rút 5 triệu đồng Biết rằng

máy ATM chỉ chứa các đồng tiền mệnh giá 100000 đồng, 200000 đồng và 500000 đồng

và máy ATM xuất tiền một cách ngẫu nhiên Hỏi cô Tiên nhận được bao nhiêu đồng

100000 đồng, 200000 đồng và 500000 đồng?

CHỦ ĐỀ 3: HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

Các bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn xuất hiện

nhiều trong các bài toán kinh tế, như là những ràng buộc trong các bài toán sản xuất, bài toán phân phối hàng hóa…Chủ đề này cung cấp cách biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ nhằm tối ưu hóa các vấn đề liên quan đến đời sống, đặc biệt là các bài toán kinh tế, sản xuất kinh doanh

Bài toán 3.1 Nhân ngày Quốc tế Thiếu nhi 1-6,

một rạp chiếu phim phục vụ các khán giả một bộ

phim hoạt hình Vé được bán ra có hai loại:

Loại 1 (dành cho trẻ từ 6-13 tuổi): 50.000 đồng/vé;

Loại 2 (dành cho người lớn trên 13 tuổi): 100.000

đồng/vé

Người ta tính toán rằng, để không phải bù lỗ thì số tiền vé thu được ở rạp chiếu phim này phải đạt tối thiểu 20 triệu đồng Hỏi số lượng vé bán được trong những trường hợp nào thì rạp chiếu phim phải bù lỗ?

x= y= thỏa mãn bất phương trình trên

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình trên là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O

và không kể đường thẳng d Vậy nếu bán được số vé loại 1 là x và số vé loại 2 là y mà

điểm ( )x y nằm trong miền tam giác OAB không kể cạnh AB thì rạp phim sẽ phải bù lỗ ;Nếu điểm ( )x y nằm trên đoạn thẳng AB thì rạp chiếu phim hòa vốn ;

Nhận xét: Nếu bán được 150 vé loại 1 và 150 vé loại 2 thì rạp chiếu phim có lãi

Nếu bán được 200 vé loại 1 và 100 vé loại 2 thì rạp chiếu phim hòa vốn Nếu bán được 100 vé loại 1 và 100 vé loại 2 thì rạp chiếu phim bù lỗ

Bài toán 3.2 Quảng cáo sản phẩm trên

truyền hình là một hoạt động quan trọng

trong kinh doanh của các doanh nghiệp

Theo Thông báo số 10/2019, giá quảng

cáo trên VTV1 là 30 triệu đồng cho 15

giây/1 lần quảng cáo vào khoảng 20h30;

là 6 triệu đồng cho 15 giây/1 lần quảng

cáo vào khung giờ 16h00-17h00 Một

công ty dự định chi không quá 900 triệu

đồng để quảng cáo trên VTV1 với yêu

cầu quảng cáo về số lần phát như sau:

ít nhất 10 lần quảng cáo vào khoảng

20h30 và không quá 50 lần quảng cáo vào

khung giờ 16h00-17h00 Gọi x y lần ,

lượt là số lần phát quảng cáo vào khoảng

20h30 và vào khung giờ 16h00-17h00

Tìm xvà y sao cho tổng số lần xuất hiện quảng cáo của công ty là nhiều nhất

Hướng dẫn

Gọi x y lần lượt là số lần phát quảng cáo vào ,

khoảng 20h30 và vào khung giờ 16h00-17h00

Theo giả thiết, ta có x ,y ,x10,0 y 50

Tổng số lần phát quảng cáo là S = + x y

Số tiền công ty cần chi là S =30x+6y (triệu đồng)

Do công ty dự định chi không quá 900 triệu đồng

Bài toán trở thành: Tìm các số tự nhiên ,x y là nghiệm của hệ bất phương trình sao cho

biểu thức S = + đạt giá trị lớn nhất Bây giờ ta đi xác định miền nghiệm của bất x y

phương trình (1) Miền nghiệm của bất phương trình (1) là miền tứ giác ABCD với tọa

độ các đỉnh như sau: A(30;0 ,) (B 20;50 ,) (C 10;50 ,) (D 10;0) (xem hình vẽ trên):

Người ta chứng minh được: Biểu thức S = + đạt giá trị lớn nhất tại một trong các x y

đỉnh của tứ giác ABCD Tính giá trị của biểu thức S x y= + tại các cặp số ( )x y là tọa độ ;

của các đỉnh của tứ giác ABCD rồi so sánh các giá trị đó Từ đó tìm được giá trị lớn nhất của S bằng 70 khi x=20,y=50 (ứng với tọa độ đỉnh B)

Kết luận: Vậy để phát được số lần quảng cáo nhiều nhất thì số lần phát quảng cáo vào

khoảng 20h30 là 20 lần và vào khung giờ 16h00-17h00 là 50 lần

Bài toán 3.3 Một phân xưởng sản xuất hai kiểu mũ Thời gian để làm ra một chiếc mũ

kiểu thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian làm ra chiếc mũ kiểu thứ hai Nếu chỉ sản xuất toàn kiểu mũ thứ hai thì trong 1 giờ phân xưởng làm được 60 chiếc Phân xưởng làm việc

8 tiếng mỗi ngày và thị trường tiêu thụ tối đa trong một ngày là 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai Tiền lãi khi bán một chiếc mũ kiểu thứ nhất là 24 nghìn đồng, một chiếc mũ kiểu thứ hai là 15 nghìn đồng Tính số lượng mũ kiểu thứ nhất

và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu được cao nhất

Hướng dẫn

Gọi x, y lần lượt là số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân

xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu được cao nhất (Điều kiện: x ,y )

Trong một ngày thị trường tiêu thụ tối đa 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ

kiểu thứ hai nên ta có: 0 ≤ x≤ 200; 0 ≤ y ≤ 240

Tiền lãi khi bán một chiếc mũ kiểu thứ nhất là 24 nghìn và một chiếc mũ kiểu thứ hai là

15 nghìn nên tổng số tiền lãi khi bán mũ là S=24x+15y

Nếu chỉ sản xuất toàn kiểu mũ thứ hai thì trong một giờ phân xưởng làm được 60 chiếc nên thời gian để làm một chiếc mũ kiểu thứ hai là 1

60 (giờ)

Thời gian làm ra một chiếc kiểu mũ thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian làm ra một chiếc

mũ kiểu thứ hai nên thời gian để làm một chiếc mũ kiểu thứ nhất là 2 1 1

sao cho biểu thức S=24x+15y có giá trị lớn nhất

Trước hết, ta xác định miền nghiệm của hệ (I)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền ngũ giác ACDEO với A(0; 240), C(120; 240), D(200; 80), E(200;0), O(0; 0) (như hình vẽ bên)

Người ta chứng minh được: Biểu thức S=24x+15y có giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác ACDEO Tính giá trị của biểu thức S=24x+15y tại các cặp số (x; y) là tọa độ các đỉnh của ngũ giác ACDEO So sánh giá trị của biểu thức T tại các đỉnh, ta thấy

S đạt giá trị lớn nhất bằng 6480 khi x=120 và y =240 ứng với tọa độ đỉnh C

Vậy để tiền lãi thu được là cao nhất, trong một ngày xưởng cần sản xuất 120 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai Khi đó số tiền lãi là 6480 nghìn đồng

Bài toán 3.4 Một chuỗi nhà hàng ăn nhanh bán đồ ăn từ 10h00 sáng đến 22h00 mỗi

ngày Nhân viên phục vụ của nhà hàng làm việc theo hai ca, mỗi ca 8 tiếng, ca I từ 10h00 đến 18h00 và ca II từ 14h00 đến 22h00 Tiền lương của nhân viên được tính theo giờ (bảng bên) Để mỗi nhà hàng hoạt động được thì cần tối thiểu 6 nhân viên trong khoảng 10h00–14h00, tối thiểu 24 nhân viên trong khoảng thời gian cao điểm 14h00–18h00 và không quá 20 nhân viên trong khoảng 18h00–22h00 Do số lượng khách trong khoảng 14h00–22h00 thường đông hơn nên nhà hàng cần số nhân viên ca II ít nhất phải gấp đôi

số nhân viên ca I Em hãy giúp

chủ chuỗi nhà hàng chỉ ra cách

huy động số lượng nhân viên

cho mỗi ca sao cho chi phí tiền

lương mỗi ngày là ít nhất

Hướng dẫn

Gọi số nhân viên ca I cần huy động là x (nhân viên), số nhân viên ca II cần huy động

là y (nhân viên) ( x ,y )

Do ca I từ 10h00–18h00 và ca II từ 14h00–22h00 nên số nhân viên trong thời gian từ

14h00–18h00 chính là tổng số nhân của 2 ca và là x + y (nhân viên), x + y > 0

Vì cần tối thiểu 6 nhân viên trong khoảng 10h00–14h00 (ca I) nên x ≥ 6

Vì mỗi nhà hàng cần tối thiểu 24 nhân viên

trong khoảng thời gian cao điểm từ 14h00–18h00

(giao giữa hai ca) nên x+y ≥ 24 Cần không quá

20 nhân viên trong khoảng 18h00–22h00

(trong khoảng thời gian này chỉ còn lại y nhân

viên của ca II làm) nên 0 < y ≤ 20 Do số lượng

khách trong khoảng 14h00–22h00 thường đông

hơn nên nhà hàng cần số nhân viên ca II ít nhất

phải gấp đôi số nhân viên ca I nên y ≥ 2x

Tiền lương trong 1 giờ ở ca I là 20000 đồng nên 1 nhân viên làm việc 1 ngày trong ca

I có tiền lương là 20000.8 =160 000 đồng Tiền lương trong 1 giờ của ca II là 22 000 đồng nên 1 nhân viên làm việc 1 ngày trong ca II có tiền lương là 22000.8=176000 đồng

Do đó tổng chi phí tiền lương cho x nhân viên ca I và y nhân viên ca II trong một ngày

là T=160000x+176000y (đồng) Khi đó bài toán trở thành: Tìm x, y là nghiệm của hệ bất

phương trình

624

2

x

x y y

sao cho biểu thức T=160000x+176000y có giá trị là nhỏ nhất

Miền nghiệm của hệ trên là miền tứ giác ABCD với A(6;18), B(6;20), C(10;20), D(8;16) Biểu thức T =160000x+176000 y có giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác

ABCD Tính giá trị của biểu thức T tại các cặp số (x; y) là tọa độ các đỉnh của tứ giác

Tìm được T nhỏ nhất bằng 4096000 khi x =8 và y =16 ứng với tọa độ đỉnh D

Vậy để chi phí tiền lương mỗi ngày là ít nhất thì chuỗi nhà hàng cần huy động 8 nhân viên ca I và 16 nhân viên ca II, khi đó chi phí tiền lương cho 1 ngày là 4096000 đồng

y=20

x=6

Bài toán 3.5 Một nhà máy sản xuất hai loại thuốc trừ sâu

nông nghiệp A và B Cứ sản xuất mỗi loại thùng A thì nhà

máy thải ra 0, 25kg khí carbon dioxide CO và 0,60 kg khí 2

sulfur dioxide SO2, sản xuất mỗi loại thùng B thì nhà máy

thải ra 0,50 kg khí carbon dioxide CO2 và 0, 20kg khí sulfur

dioxide SO2.Biết rằng quy định hạn chế sản lượng CO2của

nhà máy tối đa là 75kg và SO2 tối đa là 90kg mỗi ngày

a Tìm hệ bất phương trình mô tả số lượng thùng của mỗi loại thuốc trừ sâu mà nhà máy

có thể sản xuất mỗi ngày để đáp ứng các điều kiện ở trên Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đó trên mặt phẳng tọa độ

b Việc nhà máy sản xuất 100 thùng loại A và 80 thùng loại B mỗi ngày có phù hợp với

quy định không?

c Việc nhà máy sản xuất 60 thùng loại A và 160 thùng loại B mỗi ngày có phù hợp với

quy định không?

Hướng dẫn

a Gọi x (thùng) là số thùng thuốc trừ sâu loại A được sản xuất ra trong một ngày, y

(thùng) là số thùng thuốc trừ sâu loại B nhà máy sản xuất ra trong một ngày

- Hiển nhiên, ta có: ,x y 0. Khi đó, số khí CO2, SO2 thải ra khi sản xuất x thùng thuốc trừ sâu loại A lần lượt là: 0,25x (kg) và 0,6x (kg) Số khí CO2, SO2 thải ra khi sản xuất y thùng thuốc trừ sâu loại B lần lượt là: 0,5y (kg) và 0,2y (kg)

-Tổng lượng khí CO2 thải ra trong một ngày khi sản xuất x thùng thuốc loại A và y thùng thuốc loại B là: 0,25x+0,5y (kg) Tổng lượng khí SO2 thải ra trong một ngày khi sản xuất

x thùng thuốc loại A và y thùng thuốc loại B là: 0,6x+0,2y (kg)

- Do quy định hạn chế sản lượng CO2 của nhà máy tối đa là 75 kg và SO2 tối đa là 90 kg mỗi ngày nên ta có các bất phương trình sau: 0,25x+0,5y ≤ 75 và 0,6x+0,2y ≤ 90

Vậy, ta có hệ bất phương trình mô tả số

thùng của mỗi loại thuốc trừ sâu mà nhà máy

có thể sản xuất mỗi ngày để đáp ứng các điều

kiện hạn chế trên là:

00

0, 25 0,5 750,6 0, 2 90

x y

phẳng tọa độ Oxy ta được hình vẽ bên:

Vậy miền không tô màu (miền tứ giác OABC, bao gồm cả các cạnh) là phần biểu diễn

miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho

b Việc nhà máy sản xuất 100 thùng loại A và 80 thùng loại B mỗi ngày tương ứng với

Do đó, cặp (100; 80) là nghiệm của hệ bất phương trình Vậy, việc nhà máy sản xuất 100

thùng loại A và 80 thùng loại B mỗi ngày là phù hợp với quy định

c Việc nhà máy sản xuất 60 thùng loại A và 160 thùng loại B mỗi ngày tương ứng với

Do đó, cặp (60; 160) không là nghiệm của hệ bất phương trình Việc nhà máy sản xuất

60 thùng loại A và 160 thùng loại B mỗi ngày không phù hợp với quy định

Bài toán 3.6 Trong năm nay, một cửa hàng điện lạnh dự định kinh doanh hai loại máy

điều hòa: điều hòa hai chiều và điều hòa một chiều với số vốn ban đầu không vượt quá 1,2 tỉ đồng Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá 100 máy cả hai loại

Nếu là chủ cửa

hàng thì em cần

đầu tư kinh doanh

mỗi loại bao nhiêu máy để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Hướng dẫn

Gọi x, y lần lượt là số máy điều hòa hai

chiều và số máy điều hòa một chiều mà chủ

cửa hàng đầu tư (x,y ≥ 0) Vì tổng nhu cầu của

thị trường sẽ không vượt quá 100 máy cả hai

loại nên ta có bất phương trình: x+y ≤100

Số tiền cần để đầu tư là: 20x+10y

(triệu đồng) Vì số vốn ban đầu không vượt

quá 1,2 tỉ đồng nên ta có bất phương trình:

x y

Tại x=20, y=80 thì biểu thức S(x;y)=3,5x+2y đạt giá trị lớn nhất bằng 230

Kết luận: Vậy nếu là chủ cửa hàng thì em cần đầu tư kinh doanh 20 loại điều hòa hai chiều, 80 loại điều hòa một chiều để lợi nhuận thu được là lớn nhất

Điều hòa hai chiều Điều hòa một chiều Giá mua vào 20 triệu đồng/1 máy 10 triệu đồng/1 máy

Lợi nhuận dự kiến 3,5 triệu đồng/1 máy 2 triệu đồng/1 máy

x O

Bài toán 3.7 Một cửa hàng có kế hoạch nhập về hai loại máy tính A và B, giá mỗi chiếc

lần lượt là 10 triệu đồng và 20 triệu đồng với số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng

Loại máy A mang lại lợi nhuận 2,5 triệu đồng cho mỗi máy bán được và loại máy B mang

lại lợi nhuận là 4 triệu đồng mỗi máy Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu mua của khách hàng hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy Giả sử trong một tháng cửa hàng

cần nhập số máy tính loại A là x và số máy tính loại B là y

a Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương

trình rồi xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đó

b Gọi S (triệu đồng) là lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán x máy

tính loại A và y máy tính loại B Hãy biểu diễn S theo x và y

c Tìm số lượng máy tính mỗi loại cửa hàng cần nhập về trong tháng đó để lợi nhuận thu

được là lớn nhất

Hướng dẫn

a Số máy tính loại A cửa hàng cần nhập trong

một tháng là x (máy), số máy tính loại B cửa

hàng cần nhập trong một tháng là y (máy)

(x y , ) Do tổng nhu cầu hàng tháng sẽ

không vượt quá 250 máy nên x+y ≤250 Tổng

số vốn cửa hàng cần nhập hai loại máy A và

máy B là 10x+20y (triệu đồng)

Vì số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng

nên ta có 10x+20y≤4000 hay x+2y≤400

Vậy ta có hệ bất phương trình:

250

x y

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác OACB với O(0;0), A(250;0), C(100;150), B(0; 200)

b Lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán x máy tính loại A và y máy

tính loại B là S(x;y)=2,5x+4y (triệu đồng)

c Tìm giá trị lớn nhất của S(x;y) với (x;y) thuộc miền nghiệm của hệ:

00250

x y

Bài toán 3.8 Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức

ăn mỗi ngày Mỗi kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit Biết rằng gia đình này chỉ

mua nhiều nhất là 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn; giá tiền 1kg thịt bò là 250 nghìn đồng; 1kg thịt lợn là 160 nghìn đồng Giả sử gia đình đó mua x kg thịt bò và y kg thịt lợn

a Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương

trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó

b Gọi S (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn

Hãy biểu diễn S theo x và y

c Tìm số kilôgam thịt mỗi loại mà gia đình cần mua để chi phí là ít nhất

Hướng dẫn

a Vì gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn nên 0≤x≤ 1,6;

0 ≤y≤ 1,1 Nếu mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn thì chứa số đơn vị protein là: 800x+600y Theo giả thiết ta có: 800x+600y ≥900 hay 8x+6y≥9

Nếu mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn thì chứa số đơn vị lipit là: 200x+400y

Do số đơn vị lipit cần ít nhất là 400 đơn vị nên ta có: 200x+400y≥400 hay x+2y≥2

miền tứ giác ABCD với tọa độ các đỉnh là

A(0,6;0,7),B(1,6;0,2), C(1,6;1,1), D(0,3;1,1)

b Số tiền gia đình đó phải trả để mua x kg thịt bò và y kg thịt lợn là: S(x;y)=250x+160y

c Tính giá trị của S tại các đỉnh của tứ giác ABCD ta được:S(0,6;0,7)=262;

S(1,6;0,2)=432; S(1,6;1,1)=576; S(0,3;1,1)=251; giá trị nhỏ nhất của S(x;y) là 251

Kết luận: Vậy gia đình cần mua 0,3 kilôgam thịt bò và 1,1 kilôgam thịt lợn

Bài toán 3.9 Một công ty dự định chi tối đa 160 triệu đồng cho quảng cáo một sản phẩm

mới trong một tháng trên các đài phát thanh và truyền hình Biết cùng một thời lượng quảng cáo, số người mới quan tâm đến sản phẩm trên truyền hình gấp 8 lần trên đài phát thanh, tức là quảng cáo trên truyền hình có hiệu quả gấp 8 lần trên đài phát thanh Đài phát thanh chỉ nhận được quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là 900 giây với chi phí là 80 nghìn đồng/giây Đài truyền hình chỉ nhận được các quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là 360 giây với chi phí là 400 nghìn đồng/giây Hỏi công ty cần đặt thời gian quảng cáo như thế nào để hiệu quả nhất?

Hướng dẫn

Gọi x (giây) là thời lượng quảng cáo trong một tháng

công ty đặt trên đài truyền hình và y (giây) là thời lượng

quảng cáo trong một tháng công ty đặt trên đài phát thanh

(0≤x≤360, 0≤y≤900) Chi phí công ty chi trả cho quảng

cáo trong một tháng là: 400x+80y (nghìn đồng) Vì công

ty dự định chi tối đa 160 triệu đồng cho quảng cáo một sản

phẩm mới nên ta có: 400x+80y ≤160000 hay 5x+y ≤2000

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là một

ngũ giác OABCD với O(0;0), A(0;900), B(220;900), C(360;200), D(360;0) Nếu coi hiệu

quả khi quảng cáo 1 giây trên đài phát thanh là 1 (đơn vị) thì hiệu quả khi quảng cáo 1

giây trên đài truyền hình là 8 (đơn vị) Hiệu quả quảng cáo x (giây) trên đài phát thanh

và y (giây) trên truyền hình được tính bởi công thức S(x,y)= x+8y

Tính giá trị của biểu thức S(x,y) tại các điểm O, A, B, C, D, ta có:

S(0;0)=0; S(0;900)=7200; S(220;900)=7420; S(360;200)=1960; S(360;0)=360;

Suy ra biểu thức S(x,y) đạt giá trị lớn nhất bằng 7420 tại x=220, y=900

Kết luận: Vậy công ty cần đặt thời gian quảng cáo 900 giây trên các đài phát thanh

và 220 giây trên đài truyền hình để đạt hiệu quả cao nhất

1,5

A

1,1

Bài toán 3.10 Bác An đầu tư 1,2 tỉ đồng vào ba loại trái phiếu: trái phiếu chính phủ với

lãi suất 7% một năm, trái phiếu ngân hàng với lãi suất 8% một năm và trái phiếu doanh nghiệp rủi ro cao với lãi suất 12% một năm Vì lí do giảm thuế, bác An muốn số tiền đầu

tư lãi suất chính phủ gấp ít nhất 3 lần số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng Hơn nữa, để giảm thiểu rủi ro, bác An đầu tư không quá 200 triệu đồng cho trái phiếu doanh nghiệp Hỏi bác An nên đầu tư mỗi loại trái phiếu bao nhiêu tiền để lợi nhuận thu được sau một

năm là lớn nhất?

Hướng dẫn

Gọi số tiền bác An đầu tư cho trái phiếu chính phủ,

trái phiếu ngân hàng lần lượt là x, y (triệu đồng)

(0≤x, y≤1200) Khi đó bác An đầu tư cho

trái phiếu doanh nghiệp là 1200–x–y (triệu đồng)

Vì lí do giảm thuế, bác An muốn số tiền đầu tư lãi

suất chính phủ gấp ít nhất 3 lần số tiền đầu tư trái

phiếu ngân hàng nên ta có: x≥3y hay x–3y≥0

Để giảm thiểu rủi ro, bác An đầu tư không quá 200

triệu đồng cho trái phiếu doanh nghiệp nên ta có:

1200–x–y ≤ 200 hay x+y ≥ 1000

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền

tứ giác ABCD với các điểm A(1000;0), B(750;250), C(1200;400), D(1200;0)

Lợi nhuận bác An thu được là: F(x;y)=7%x+8%y+12%(1200–x–y)=144–0,05x–0,04y

(triệu đồng) Tính giá trị của biểu thức F(x;y) tại các điểm A, B, C, D, ta được:

F(1000;0) = 94; F(750;250) = 96,5; F(1200;400) = 68; F(1200;0) = 84;

Suy ra biểu thức F(x;y) có giá trị lớn nhất bằng 96,5 khi x =750, y =250

Kết luận: Vậy bác An nên đầu tư 750 trái phiếu chính phủ, 250 trái phiếu ngân hàng

và 200 trái phiếu doanh nghiệp để lợi nhuận thu được là lớn nhất

Bài toán 3.11 Một công ty đèn Led sản xuất hai đèn chùm trang trí trên hai dây chuyền độc lập Đèn loại 1 sản xuất trên một dây chuyền với công suất 45 chiếc/ngày, đèn loại 2

sản xuất trên dây chuyền với công suất 80 chiếc/ngày Để sản xuất một đèn loại 1 cần 12 linh kiện, để sản xuất một chiếc đèn loại 2 cần 9 linh kiện Tiền lãi khi bán một chiếc đèn loại 1 là 250.000 đồng, tiền lãi khi bán một chiếc đèn loại 2 là 180.000 đồng Hãy lập kế hoạch sản xuất sao cho số tiền lãi thu được nhiều nhất, biết rằng số linh kiện có thể sử

dụng tối đa trong một ngày là 900 linh kiện

Bài toán 3.12 Trên các chuyến bay của các hãng hàng không Việt Nam thường có hai

hạng ghế ngồi là hạng Phổ thông và hạng Thương gia Kinh nghiệm quản lí cho thấy rằng mỗi một chuyến bay nên có ít nhất 8 ghế nhưng không quá 16 ghế hạng Thương gia và

có ít nhất 80 ghế nhưng không quá 120 ghế hạng Phổ thông Tỉ lệ giữa số ghế ngồi hạng Thương gia và số ghế ngồi hạng Phổ thông không vượt quá 1

8 Trong một chuyến bay từ Thành phố Hồ Chí Minh đi Hà Nội, giá tiền cho ghế hạng Thương giá là 4,5 triệu đồng

và ghế hạng Phổ thông là 1,5 triệu đồng Hãy tìm số ghế hạng Thương gia và số ghế hạng Phổ thông để doanh thu của chuyến bay đó đạt được cao nhất

CHỦ ĐỀ 4: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ 4.1 HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

Bài toán 4.1.1 Tại bề mặt đại dương, áp

suất nước bằng áp suất khí quyển và là

1 atm atmosphere Bên dưới mặt nước, áp

suất tăng thêm 1 atm cho mỗi 10 mét sâu

xuống Biết rằng mối liên hệ giữa áp suất

b Một người thợ lặn đang ở độ sâu bao nhiêu nếu người ấy chịu một áp suất là 2,85atm ?

Bài toán 4.1.2 Nhiệt độ sôi của nước không

phải lúc nào cũng là 100 C mà nó phụ thuộc 0

vào độ cao của nơi đó so với mực nước biển

Chẳng hạn Thành phố Hồ Chí Minh có độ

cao xem như ngang mặt nước biển (x=0m)

thì nước có nhiệt độ sôi là 0

100

y= C nhưng ở

thủ đô La Paz của Bolivia, Nam Mỹ có độ

cao x=3600m so với mực nước biển thì

nhiệt độ sôi của nước là y =870C Ở độ cao

trong khoảng vài km, người ta thấy mối liên

hệ giữa hai đại lượng này là một hàm số bậc

nhất y=ax+ có đồ thị như hình vẽ bên: b

a Hãy xác định các hệ số a và b ĐS: Hàm số 13 100

3600

y= − x+

b Thành phố Đà Lạt có độ cao 1500 m so với mực nước biển Hỏi nhiệt độ sôi của

nước ở thành phố này là bao nhiêu? ĐS: Nhiệt độ sôi ở thành phố Đà Lạt là 0

94,6

Bài toán 4.1.3 Trong một cuộc thi

chạy 100m có ba học sinh dự thi

Biểu đồ trong hình bên mô tả quãng

đường chạy được y m theo thời ( )

gian t s của mỗi học sinh ( )

a Đường biểu diễn chạy được của

mỗi học sinh có là đồ thị của

hàm số hay không?

b Học sinh nào về đích đầu tiên?

Hãy cho biết ba học sinh đó có

chạy hết quãng đường theo quy định hay không?

Hướng dẫn

a Đường biểu diễn chạy được của mỗi học sinh có là đồ thị của hàm số

b Từ đồ thị ta thấy học sinh A về đích đầu tiên vì thời gian chạy là ít nhất

Cả ba học sinh đều chạy hết quãng đường 100m theo quy định

Bài toán 4.1.4 Gia đình bạn Sơn sống ở tầng ba, bà ngoại của Sơn sống ở tầng sáu thuộc

cùng một chung cư cao tầng Sơn đi bộ từ nhà mình xuống tầng một để lấy thư và đưa lên

nhà bà ngoại Đưa thư cho bà xong, Sơn quay về nhà mình Đặt y=h t( )là hàm số biểu

thị khoảng cách từ vị trí của Sơn đến mặt đất theo thời gian t từ khi bạn ấy bắt đầu đi cho

đến khi về lại nhà mình (chọn gốc thời gian là lúc Sơn bắt đầu đi lấy thư) Hỏi đồ thị ( )C1

hay ( )C được cho dưới đây là đồ thị của hàm số 2 y=h t( ) Tại sao?

Hướng dẫn

Quan sát đồ thị ( )C ta thấy: Trong khoảng thời gian đầu tiên đồ thị 2 ( )C2 “đi xuống” (hàm số y=h t( )nghịch biến) thể hiện khoảng cách từ vị trí của Sơn đến mặt đất giảm

dần (Sơn đi từ tầng ba xuống tầng một để lấy thư) Trong khoảng thời gian tiếp theo đồ

thị ( )C2 lại “đi lên” (hàm số y=h t( )đồng biến) thể hiện khoảng cách từ vị trí của Sơn

đến mặt đất tăng dần (Sơn đi từ tầng một lên tầng sáu để đưa thư cho bà ngoại) Cuối cùng trong khoảng thời gian còn lại đồ thị ( )C2 “đi xuống” (hàm số y=h t( )nghịch

biến) thể hiện khoảng cách từ vị trí của Sơn đến mặt đất giảm dần (Sơn đi từ tầng sáu

quay trở lại về tầng ba nhà mình) Vậy đồ thị ( )C chính là đồ thị của hàm số 2 y=h t( )

Bài toán 4.1.5 Có hai địa điểm A, B cùng nằm trên một tuyến quốc lộ thẳng Khoảng

cách giữa hai địa điểm A và B là 20km Một xe xuất phát từ A lúc 6 giờ sáng và chạy

với vận tốc 40km h theo chiều từ A đến B Một ô tô xuất phát từ B lúc 8 giờ và chạy /

với vận tốc 80km h theo cùng chiều với xe máy Coi chuyển động của ô tô và xe máy /

là thẳng đều Chọn A làm mốc, chọn thời điểm 6 giờ sáng làm mốc thời gian và chọn

chiều từ A đến B làm chiều dương Khi đó tọa độ của xe máy và ô tô là những đại lượng

biến thiên theo thời gian

a Viết phương trình chuyển động của xe máy và ô tô (tức là công thức của hàm tọa độ

của mỗi xe theo thời gian)

b Vẽ đồ thị hàm tọa độ của xe máy và ô tô trên cùng một hệ tọa độ

c Căn cứ vào đồ thị vẽ được, hãy xác định vị trí và thời điểm ô tô đuổi kịp xe máy

d Kiểm tra lại kết quả tìm được ở câu trên bằng cách giải các phương trình chuyển động

của xe máy và ô tô

b Đồ thị hàm tọa độ của xe máy và ô tô

trên cùng một hệ tọa độ như hình bên

c Hai đồ thị cắt nhau tại điểm

(3,5; 140 Suy ra ô tô đuổi kịp xe )

máy sau thời gian t =3,5giờ, tức là

đuổi kịp lúc 9 giờ 30 phút tại vị trí

Vậy ô tô đuổi kịp xe máy sau t =3,5

giờ, tức là đuổi kịp lúc 9 giờ 30 phút

tại vị trí cách địa điểm A là 140km

Bài toán 4.1.6 Một gia đình muốn mua một chiếc

máy bơm nước Có hai loại với cùng lưu lượng nước

bơm được trong một giờ; loại thứ nhất giá 1,5 triệu

đồng, loại thứ hai giá 2 triệu đồng Tuy nhiên, nếu

dùng máy bơm loại thứ nhất thì mỗi giờ tiền điện

phải trả là 1200 đồng, trong khi dùng máy bơm loại

thứ hai thì chỉ phải trả 1000 đồng cho mỗi giờ bơm Kí hiệu f x và ( ) g x lần lượt là số ( )tiền (tính bằng nghìn đồng) phải trả khi sử dụng máy bơm loại thứ nhất và loại thứ hai trong x giờ (bao gồm tiền điện và tiền mua máy bơm)

a Hãy biểu diễn f x và ( ) g x dưới dạng các biểu thức của ( ) x

b Xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị ấy Hãy phân tích ý nghĩa kinh tế của giao

điểm đó

Hướng dẫn

a Theo giả thiết, ta có các hàm số f x( )=1,2x+1500 và g x( )= +x 2000

b Giải phương trình f x( ) ( )=g x 1,2x+1500= +x 2000 =x 2500

Vậy hai đồ thị y = f x( ) và y=g x( ) cắt nhau tại điểm M(2500;4500 )

Từ đây suy ra sau 2500 giờ sử dụng máy bơm thì số tiền mà gia đình phải trả cho mỗi loại máy bơm là bằng nhau, số tiền đó là 4500000 đồng

Bài toán 4.1.7 Mối liên hệ giữa thang đo nhiệt độ F

(Fahrenheit) và thang đo nhiệt độ C (Celsius) được cho

bởi công thức sau đây:T F =1,8.T C +32, trong đó T C là

nhiệt độ tính theo độ C và T là nhiệt độ tính theo độ F

F Ví dụ T C =00C tương ứng với T F =320F

a Hỏi 25 C tương ứng với bao nhiêu độ F? 0

b Các nhà khoa học đã tìm ra mối liên hệ giữa A là số

tiếng kêu của một con dế trong một phút và T F là nhiệt

độ cơ thể của nó bởi công thức A=5,6.T F −275, trong đó nhiệt độ T tính theo F Hỏi F

nếu con dế kêu 106 tiếng trong một phút thì nhiệt độ của nó khoảng bao nhiêu độ C? (kết

Vậy khi con dế kêu 106 tiếng trong một phút thì nhiệt độ con dế ở khoảng 20,020C

Bài toán 4.1.8 Ở góc của miếng đất hình

chữ nhật, người ta làm một bồn hoa có

dạng một phần tư hình tròn với bán kính

r (tham khảo hình vẽ sau) Bán kính bồn

hoa có kích thước từ 0,5m đến 3m

a Viết công thức của hàm số biểu thị

diện tích bồn hoa theo bán kính r

b Hỏi bán kính của bồn hoa bằng bao

 Kết hợp với điều kiện 0,5 r 3

Ta được r = 2( )m thì bồn hoa có diện tích bằng ( )2

0,5 m