Skkn toán học thpt (4)

BÁO CÁO SÁNG KIẾN MỘT SỐ Ý TƯỞNG KHAI THÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THPT QUA CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO LIÊN QUAN TỚI HÀM SỐ I.. Do vậy chúng t

MỤC LỤC

Trang

THÔNG TIN VỀ SÁNG KIẾN ………

I Điều kiện, hoàn cảnh tạo ra sáng kiến ……… 2

II Mô tả giải pháp ……… 3

1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến ……… 4

1.1 Thực trạng trong việc dạy và học Toán … …… ……… 4

1.2 Một số năng lực Toán học cần phát triển ………….… ……… 5

1.3 Tóm tắt một số nội dung kiến thức liên quan ……… 6

2 Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến ……… 8

Phần 2.1: Khai thác mối quan hệ giữa các điểm đặc biệt của hàm số … 8

2.1.1 – Mối quan hệ giữa điểm đạt giá trị lớn nhất, điểm đạt giá trị nhỏ nhất với điểm cực trị ……… 8

2.1.2 – Mối quan hệ về dấu của giá trị hàm số tại điểm liên tục và trong lân cận của điểm đó ……… 16

2.1.3 – Mối quan hệ giữa không điểm của hàm số và vấn đề giá trị của hàm số không đổi dấu ……… 22

2.1.4 – Quan hệ giữa số không điểm và số điểm cực trị của hàm số đa thức……… 26

Bài tập vận dụng ………

35 Phần 2.2: Khai thác các tính chất đặc biệt của hàm số …… 39

Bài tập vận dụng ……… 52

Hướng dẫn giải bài tập vận dụng ……… 53

III Hiệu quả do sáng kiến mang lại ……… 61

IV Cam kết không sao chép và vi phạm bản quyền ……… 62

TÀI LIỆU THAM KHẢO ……….

BÁO CÁO SÁNG KIẾN

MỘT SỐ Ý TƯỞNG KHAI THÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ

NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THPT

QUA CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO LIÊN QUAN TỚI HÀM SỐ

I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

Đổi mới giáo dục là điều tất yếu và đang diễn ra ở khắp các mặt của

ngành giáo dục nước ta, trong đó xu hướng thay đổi quan trọng bậc nhất là các

hoạt động dạy và học, đánh giá diễn ra theo phẩm chất và năng lực đúng của

người học, giúp phát triển năng lực cho người học Ở môn Toán, năng lực Toán

học có những đặc thù riêng và cần thiết phải phát hiện và bồi dưỡng cho học

sinh, nhất là những học sinh có tố chất tốt để có thể trở thành nguồn nhân lực

tốt cho xã hội

Bắt đầu từ năm học 2016-2017, bài thi Tốt nghiệp THPT và tuyển sinh

Đại học, cao đẳng theo cách gọi trước đây đối với môn Toán chuyển sang hình

thức trắc nghiệm (ta tạm gọi là thi tốt nghiệp THPT) Kể từ năm học đó đến

nay các dạng câu hỏi trong bài thi này ngày càng phong phú về nội dung, cách

phát biểu và có những yêu cầu sâu hơn về kiến thức, kĩ năng mà học sinh cần

được trang bị Nội dung ứng dụng của hàm số (ứng với kiến thức thuộc Chương

1 và Chương 2 của Đại số và Giải tích 12) là mảng được khai thác nhiều nhất

và có tập trung nhiều câu hỏi vận dụng cao Để tiếp cận được những câu hỏi

này trong đề thi thường đòi hỏi ở học sinh phải có những năng lực Toán học

tốt Do vậy chúng tôi thấy cần thiết phải rèn luyện cho học sinh những kĩ năng

cơ bản, kĩ thuật tiếp cận vấn đề ở những câu hỏi vận dụng cao, thông qua đó

phát triển năng lực Toán học cho các em để không chỉ đáp ứng yêu cầu trước

mắt của bài thi mà còn là cách thức tư duy, tiếp cận và giải quyết vấn đề trong

cuộc sống Các nội dung trong báo cáo này bàn về định hướng phát triển năng

lực Toán học cho học sinh khi học mảng ứng dụng của hàm số và đạo hàm đã

được chúng tôi triển khai qua một số năm khi giảng dạy môn Toán cho học sinh

lớp 12 tiếp cận chương trình thi THPT quốc gia Đây có thể là những giải pháp

tốt đáp ứng được yêu cầu hiện tại của việc học và thi Toán ở THPT, đồng thời

tiếp cận đúng theo chương trình giáo dục phổ thông mới đang triển khai

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP

Tóm tắt: Trong phần này, báo cáo sẽ trình bày những nội dung sau:

Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến:

- Nêu thực trạng trong việc dạy và học Toán để thi trắc nghiệm hiện nay

- Một số năng lực Toán học cần phát triển cho học sinh hiện nay

- Tóm tắt một số nội dung kiến thức liên quan tới hàm số (giải tích)

Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến:

Phần này trong báo cáo trình bày một ý tưởng cụ thể nhằm phát triển

năng lực Toán học cho học sinh THPT thông qua việc tiếp cận các câu hỏi vận

dụng cao có nội dung về hàm số ở chương trình lớp 12 Thông qua việc trình

bày một số ý tưởng sau đây, các tác giả muốn nhấn mạnh điều: Năng lực Toán

học của học sinh không chỉ hình phát huy qua việc tiếp cận các vấn đề theo các

quy trình “chuẩn” nói chung đã được trang bị mà còn có thể phát triển qua việc

hiểu đúng, hiểu sâu bản chất của bài toán và sáng tạo trong việc liên kết các

mạch kiến thức với nhau để có công cụ mới

Các giải pháp trình bày trong báo cáo bao gồm:

Một là: Khai thác mối quan hệ giữa các điểm đặc biệt của hàm số

- Mối quan hệ giữa điểm đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất với điểm cực trị

- Mối quan hệ về dấu của giá trị hàm số tại điểm liên tục và trong lân cận của

điểm đó

- Mối quan hệ giữa không điểm của hàm số và vấn đề hàm số không đổi dấu

Hai là: Khai thác các tính chất đặc biệt của hàm số (tính đơn điệu, tính chẵn

lẻ, …)

Điểm mới và sáng tạo của báo cáo là:

- Từ ý tưởng hình thành các Mệnh đề dùng trong suy luận nhanh các

câu hỏi trắc nghiệm vận dụng cao Các Mệnh đề này cũng là nền

tảng cho việc sáng tạo bài toán mới của giáo viên

- Thể hiện tính liên hệ chặt chẽ giữa các mạch kiến thức giải tích có

liên quan tới hàm số, xem đó như là một trong các biện pháp quan

trọng để phát triển năng lực giải quyết vấn đề Toán học

- Chú trọng sử dụng phương tiện toán học (máy tính cầm tay) đáp ứng

yêu cầu thực tế của việc làm bài trắc nghiệm

1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến:

1.1 Thực trạng trong việc dạy và học Toán để thi trắc nghiệm hiện nay

Liên quan tới báo cáo này, chúng tôi quan tâm tới hai vấn đề chính trong

dạy và học Toán hiện nay: Một là việc dạy học phát triển năng lực người học,

hai là tác động của việc thi trắc nghiệm môn Toán tới cách học bộ môn của học

sinh hiện nay Bên cạnh những mặt tích cực mà phương pháp đánh giá kiểm tra

bằng hình thức trắc nghiệm tạo ra thì có không ít những điều hạn chế và mâu

thuẫn đang phát sinh:

- Mâu thuẫn giữa việc dạy học môn Toán nhằm phát triển năng lực học

sinh, hướng tới cái hay cái đẹp nội tại của môn Toán và tính ứng dụng của Toán

trong đời sống với việc học để làm bài thi trắc nghiệm (bài thi mà ở đó ít thể

hiện được các yêu cầu đặc trưng riêng của môn Toán)

- Không ít học sinh học để thi trắc nghiệm, chạy theo cách học “giải

nhanh, giải tắt” mà bỏ qua tính chặt chẽ trong các lập luận Toán học, không

nắm rõ bản chất các vấn đề lý thuyết Nhiều trường hợp điểm bài đánh giá bằng

hình thức trắc nghiệm không phản ánh đúng năng lực Toán học của học sinh

đó

- Trong giải bài tập toán, phần lớn học sinh gặp khó khăn ở bước tìm

cách giải Học sinh thường áp dụng máy móc các công thức hay thuật toán (điều

này hầu như ít thành công ở câu hỏi vận dụng cao mang tính phân loại), không

có thói quen chuyển hướng tư duy Học sinh cũng có thói quen dừng lại khi đã

tìm được một lời giải cho bài toán, không tìm kiếm lời giải khác hay các bài

toán tương tự hoặc thay đổi giả thiết bài toán hay khái quát hóa bài toán Thói

quen này làm cho học sinh thấy mệt mỏi trong học toán khi lượng câu hỏi và

dạng bài trắc nghiệm khá nhiều, không nhìn ra điểm chốt kiến thức kĩ năng

chính trong câu hỏi, không thấy được mối liên hệ của các kiến thức với nhau

- Học sinh bị “mất gốc” khi học tiếp bộ môn Giải tích ở bậc Đại học vì

ở bậc THPT đã không học và làm bài toán theo đúng bản chất Toán học

1.2 Một số năng lực Toán học cần phát triển cho học sinh hiện nay

Trước khi đưa được Toán học vào đời sống, thấy được ứng dụng của

Toán trong đời sống, có lẽ cần phát triển những năng lực đặc thù cho học sinh

để việc học và làm Toán trở về với đúng “chất” của Toán Một số năng lực sau

đây đóng vai trò rất quan trọng, đặc biệt đối với những học sinh có khả năng tư

duy tốt về Toán trong bối cảnh chung là đánh giá học sinh qua trắc nghiệm:

- Năng lực tư duy và lập luận toán học

- Năng lực giải quyết vấn đề toán học

- Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán

Chi tiết về những năng lực trên có trong tài liệu tham khảo [2]-trang 9

đến trang 15, có thể nói gọn một số yêu cầu cần phát triển cho học sinh là: Phải

đúng đắn, không cảm tính, ngộ nhận về chiều suy luận …), nhìn bài toán ở

nhiều góc độ để có hướng giải quyết sáng tạo, có thói quen khai thác kiến thức

và khai thác bài toán, biết sử dụng các công cụ (máy tính) hỗ trợ việc giải toán

1.3.2 – Hàm số liên tục tại điểm:

1.3.3 – Đạo hàm của hàm số tại một điểm:

1.3.4 – Điều kiện đủ để hàm số đồng biến

+ Nếu f '

 

 

Lưu ý : Nếu f'

 





 





1.3.5 – Điểm cực trị của hàm số:

Định nghĩa: Cho hàm số f x xác định và liên tục trên khoảng

   

Định lý Fermat: Nếu hàm số f x có đạo hàm trên khoảng

   

1.3.6 – Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Định nghĩa: Cho hàm số f x xác định trên K Khi đó:

 

 

,min

2 Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến:

Phần 2.1: Khai thác mối quan hệ giữa các điểm đặc biệt của hàm số

2.1.1 – Mối quan hệ giữa điểm đạt giá trị lớn nhất, điểm đạt giá trị nhỏ

nhất với điểm cực trị

Ý tưởng:

Điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất có thể là

điểm cực trị của hàm số

Mệnh đề 1 Giả sử hàm số f x có đạo hàm trên khoảng

   

 

 

Tương tự, có thể chứng minh được các kết quả sau:

0

- Nếu trên





 

0

x thì /

 

nào sau đây đúng?

A m  B m  













Phân tích:

* Đây là kiểu bài biện luận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất theo tham số

* Cách giải quyết theo mạch tư duy thông thường sẽ là:

- Tìm đạo hàm;

- Tính giá trị hàm số tại các điểm tới hạn và hai đầu mút và so sánh

để xác định giá trị lớn nhất (tùy thuộc theo các trường hợp của m);

- Giải điều kiện về giá trị lớn nhất bằng 2

* Khó khăn khi tiến hành theo cách trên:

Ta thấy

2 /

y có nghiệm khi nào và khi có nghiệm thì phải so sánh các nghiệm

giá trị trở lên phức tạp

m m

để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x , đồng thời bài toán còn lại là D

trường hợp khảo sát trực tiếp hàm số đề bài cho khó khăn và không chỉ ra được

điểm xảy ra dấu bằng hoặc điểm xảy ra dấu bằng lại là điểm biên (không dùng

Hướng 1: Tiếp cận theo phương pháp “cô lập-khảo sát”, bất phương trình cho

Việc cô lập trở nên phức tạp hơn khi phải xét các trường hợp về dấu của

Hướng 2: Phát hiện thấy x  thỏa mãn bất phương trình và dấu bằng của bất 1

Ví dụ 4 Xét tất cả các tham số thực m thỏa mãn bất phương trình

Hướng 2: Dùng Mệnh đề 1 khi phát hiện dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra

tại x  Bài toán có nội dung: 0

- Cách 1: Dự đoán tính đúng sai bằng MTCT với Mode 8 (bảng giá trị)

Bàn luận thêm về hai hướng tiếp cận của Ví dụ 4 đã trình bày ở trên:

- Ở cả hai hướng đều có bước khảo sát một hàm cụ thể để xác định

miền giá trị của hàm số Khi làm trắc nghiệm có thể dự đoán miền giá

trị thông qua MTCT với chức năng Mode 8, điều này có thể giúp học

sinh phán đoán được đáp án

x

giản Hai trở ngại với học sinh ở đây (khi trình bày lời giải logic) là

- Khi giảng dạy những ví dụ kiểu này cần rèn luyện cho học sinh tư

duy linh hoạt trong giải toán, mỗi điểm nhấn ở mỗi hướng đi có thể

là điểm nút của một câu hỏi khác Chẳng hạn có thể đề cập tới một số

câu hỏi sau đây sau khi chúng ta đã phân tích Ví dụ 4:

Câu hỏi 1 Tìm tất cả các số thực m để bất phương trình 2 x 3xmx có 2

nghiệm thực x

Đáp án là: m   , bởi vì bất phương trình luôn có nghiệm x  0

Câu hỏi 2 Tìm tất cả các số thực m để bất phương trình 2 x 3xmx có 2

Thực chất Câu hỏi 3 hiểu như là bài toán ngược của Ví dụ 4

2.1.2 – Mối quan hệ về dấu của giá trị hàm số tại điểm liên tục và trong lân

cận của điểm đó

Ý tưởng: Nếu hàm số liên tục tại điểm x thì dấu của giá trị hàm số có thể 0

không thay đổi trong một lân cận chứa x Điều này có thể giúp ta giải quyết 0

các bài toán liên quan đến việc xét dấu của một hàm số trong các lân cận Bài

toán về điểm cực trị là một kiểu bài như vậy khi ta cần khảo sát sự đổi dấu của

Quy tắc I – tìm cực trị

Để chính xác hóa ý tưởng trên, chúng ta xây dựng hệ thống mệnh đề sau:

Mệnh đề 2: Giả sử hàm số f x liên tục tại điểm

 

Nếu f x  thì tồn tại khoảng

 





 

 

Nếu f x  thì tồn tại khoảng

 





 

 

Chứng minh:

+ Ta biết f x

 

 

 

 

 

minh

02

với A x là hàm liên tục trên khoảng

  



 

Chứng minh: Ta dùng phương pháp phản chứng, giả sử A x 

 

Hệ quả 2.2: Cho x0

 

 

/

0 n , ;

f x  x x  A x  x a b

với A x là hàm liên tục trên khoảng

  



 

Chứng minh: Từ giả thiết A x  nên xảy ra đúng một trong hai trường

 

Từ hai trường hợp trên có các phát biểu (i), (ii) được chứng minh

f x có nghiệm xx0 nhưng không dễ

0 k

chứng minh xin dành cho bạn đọc) sẽ giúp giải quyết vấn đề:

f x u x A x  x a b với A x là hàm liên tục trên

 

Khi đó:

Ví dụ 5 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn điều kiện hàm

Phân tích: Các bài toán tìm điều kiện để hàm số f x đạt cực trị tại điểm

 

nên việc thử lại tất cả các giá trị của m gặp khó khăn, quy tắc II để tìm cực trị

cũng không hiệu quả trong bài toán này Để giải quyết bài toán này đòi hỏi việc

khai thác được tính chất “đảo dấu” của đạo hàm khi biến x chạy qua giá trị 0

Hướng giải: Xét hàm số cho có đạo hàm liên tục trên  ,

+ Giả sử hàm số đạt cực đại tại x  Theo Hệ quả 2.1 ta có 0 A

 

từ âm sang dương khi biến x chạy qua 0, theo Quy tắc I-tìm cực trị

có x  là điểm cực tiểu, không thỏa mãn yêu cầu 0

y x  x  xx x

dương sang âm khi biến x chạy qua 0, theo Quy tắc I-tìm cực trị có

0

x  là điểm cực đại, thỏa mãn yêu cầu

Như vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa mãn, chọn phương án B

Ví dụ 6 (Đề THPT QG năm 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m thỏa mãn điều kiện hàm số 8

 





cực trị của hàm số

tiểu, thỏa mãn yêu cầu

Vậy có đúng bốn giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu, chọn phương án A

Ví dụ 7 Cho hàm số f x có đạo hàm trên  là

 

năng Mode8

Hướng 2:

Trường hợp 2: A

 

2.1.3 – Mối quan hệ giữa không điểm của hàm số và vấn đề giá trị của hàm

số không đổi dấu

Ý tưởng:

Điểm biên của các khoảng mà khi biến chạy qua đó thì giá trị của hàm

số đổi dấu có thể là không điểm của hàm số (điểm mà tại đó giá trị của hàm số

bằng 0; nghiệm)

Ngược lại, không điểm của hàm số có thể là điểm biên của những khoảng

mà trên mỗi khoảng đó giá trị hàm số không đổi dấu

Mệnh đề 3:

- Nếu f x liên tục trên

  



 





 

- Nếu f x liên tục trên

  



 





 

- Nếu f x liên tục trên

  



 





 

- Nếu f x liên tục trên

  



 





 

Chứng minh:

Ta chỉ cần chứng minh cho phát biểu đầu tiên, các phát biểu còn lại là

Giả sử f x liên tục trên

   

 





 





Phát biểu còn lại trong Mệnh đề 4 được chứng minh tương tự

Mệnh đề 5: Giả sử f x liên tục trên khoảng

  







 Mỗi phát biểu trong Mệnh đề 5 có chiều ngược lại nói chung là không

đúng, do đó khi sử dụng mệnh đề này cần thiết phải thử lại đối với

Giả sử x0





 

   

 

 

Ví dụ 8 Có bao nhiêu giá trị của tham số m sao cho hàm số

12

Ví dụ 9 Có bao nhiêu giá trị của tham số m để bất phương trình

Với điều kiện xác định x  thì 0 3





Vậy có đúng hai giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu, chọn phương án C

2.1.4 – Quan hệ giữa số không điểm và số điểm cực trị của hàm số đa thức

Ý tưởng: Xét lớp các hàm số là đa thức với bậc cho trước, khi đó đồ thị của nó

luôn có “dáng điệu” thuộc một trong hữu hạn các kiểu định trước, tức là số

điểm cực trị của nó có thể định được theo cách không dùng các quy tắc I, II

trình bày trong sách giáo khoa

Chẳng hạn, một hàm số đa thức bậc ba có ba nghiệm thực phân biệt thì

nó có đúng hai điểm cực trị Câu hỏi đặt ra là có liên hệ nào giữa số nghiệm

của hàm số đa thức với số điểm cực trị của nó hay không? Chúng ta có những

kết quả sau đây:

Mệnh đề 6: Nếu hàm đa thức bậc n có đủ n nghiệm thực phân biệt





n  

Chứng minh: Giả sử P x là đa thức bậc n và

 

 

là n  và có 1 n  nghiệm thực phân biệt Như vậy 1 /

 

Hệ quả: Nếu P x là hàm đa thức bậc n thì:

 

thực phân biệt

Hệ quả này có được do phép suy từ đồ thị quen thuộc, đó là từ đồ thị của hàm

số P x suy sang đồ thị của hàm số

 

 

là n và có n nghiệm thực nhưng không nhất thiết phân biệt thì số điểm cực trị

của P x xác định như thế nào? Chúng tôi thu được kết quả phát biểu trong

 

Mệnh đề 7 tiếp theo sau đây

Mệnh đề 7: Xét đa thức P x có bậc là n và có đủ n nghiệm thực, trong đó

 

có k nghiệm bội chẵn và t nghiệm bội lẻ Khi đó số điểm cực trị của hàm đa

Chứng minh Mệnh đề 7:

j

m n

m n

k t

i i

+ Kết luận về điểm cực trị của hàm số

Điểm khó khăn khi tiến hành theo các bước trên nằm ở chỗ tìm nghiệm (tìm số

Một số hướng giải quyết khó khăn trên:

Hướng 1: Dùng Mệnh đề 6 hay là định lý Rolle, ta thấy f x là đa thức bậc

 

phương án C

Nói thêm về hướng đi này trong trường hợp câu hỏi đặt ra là “xác định rõ số

1 2 2023

- Sử dụng tính chất của hàm số liên tục không đảo dấu trên mỗi khoảng

liên tục và không chứa nghiệm, tính chất đảo dấu qua các nghiệm đơn và

 

/

lim

f x thể hiện qua trục sau:

Hướng 2: Thử các trường hợp nhỏ và phán đoán quy nạp

f x có ít nhất 2023 nghiệm thực

phân biệt

f x là đa thức bậc 2023 nên kết hợp những điều trên suy ra nó có

Ví dụ 11 Hàm số y x33x24x có bao nhiêu điểm cực trị? 1

+ Suy ra bảng biến thiên (dáng điệu đồ thị) của hàm số y f x

 

Hướng 2: Sử dụng MTCT với chức năng Table (Mode 8) để thiết lập bảng giá

trị, dựa vào tính tăng giảm của bảng giá trị suy ra số điểm cực trị

Lưu ý cách làm này dễ gây ra ngộ nhận vì việc lựa chọn STEP chưa đủ

nhỏ có thể khiến bảng giá trị “bỏ qua” một số vị trí điểm cực trị

tối đa này khi và chỉ khi