1 I Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến Mục tiêu giáo dục của chúng ta hiện nay là đào tạo những con người lao động tự chủ, năng động, sáng tạo có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, góp phầ[.]
Trang 1I Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến
Mục tiêu giáo dục của chúng ta hiện nay là đào tạo những con người lao động tự chủ, năng động, sáng tạo có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, góp phần xây dựng đất nước giàu mạnh, xã hội công bằng và văn minh, đưa đất nước Việt Nam tiến nhanh trên con đường phát triển hòa nhập với thế giới ở đầu thế kỉ XXI Đứng trước tình hình đó, Bộ Giáo dục và Đào tạo, Sở Giáo dục và Đào tạo cũng như nhà trường đã đề ra nhiều biện pháp tích cực Một trong những biện pháp đó là cải tiến chương trình dạy học, cải tiến phương pháp dạy của thầy và phương pháp học của trò, phải có cuộc cách mạng thực sự về phương pháp giáo dục, cũng như cách thức tổ chức kiểm tra chất lượng học sinh để hưởng ứng cuộc vận động của Bộ trưởng Bộ GD - ĐT về chống tiêu cực trong thi cử và bệnh thành tích trong giáo dục
Đối với bộ môn Toán - Bộ môn then chốt của khoa học tự nhiên, thì một trong những khâu quan trọng của quá trình cải tiến chương trình dạy học là tiếp nhận và giải quyết một vấn đề theo nhiều hướng khác nhau, cố gắng tìm đến bản chất của
nó, từ đó có mối liên hệ giữa các bài toán riêng lẻ với nhau
II Mô tả giải pháp
1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
Có lẽ, Số Học là phân nhánh Toán Học có lịch sử lâu đời nhất Rất nhiều các câu hỏi quan trọng của Toán Học hiện đại cũng thuộc hoặc liên quan mật thiết đến lĩnh vực này
Giả thuyết Riemann, một trong 7 bài toán thiên niên kỷ do Viện Toán Clay đề ra cũng liên quan trực tiếp đến tính phân bố của các số nguyên tố trên trục số thực R Vấn đề này hấp dẫn đến mức David Hilbert từng nói “Nếu Tôi thức dậy sau một giấc ngủ 1000 năm, câu hỏi đầu tiên của Tôi sẽ là :giả thuyết Riemann đã được chứng minh chưa?”
Ở một khía cạnh khác, rất nhiều nhà Toán Học cho rằng, trong các phân nhánh của Toán Học bao gồm Số Học, Hình Học, Đại Số, Giải Tích, Xác suất – Thống Kê (cách phân chia này có tính chất rất tương đối), Số Học chính là phân nhánh có nhiều thách thức nhất Câu hỏi tự nhiên nảy sinh là Vì SAO HỌ NGHĨ NHƯ VẬY? Năm 1994, Andrew Wiles chứng minh định lý cuối cùng của Fermat và từ đó Toán học mất đi con gà đẻ trứng vàng Người ta nói như vậy, vì để chinh phục định lý của Fermat, những nhà Toán Học đã tạo ra rất nhiều công cụ, kỹ thuật mới, không chỉ trong Số Học mà còn trong Đại Số, Giải Tích để xử lý một bài toán Số Học!!! Câu trả lời của câu hỏi trên cũng nằm ở đây, nếu so sánh Số Học với các phân nhánh Toán Học khác thì những công cụ, kỹ thuật chưa phong phú bằng Do đó, để giải
Trang 2quyết một vấn đề Số Học, người ta có thể nghĩ đến công cụ thuộc phân nhánh Toán Học khác
2 Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
Sáng kiến này được viết cũng với ý tưởng như vậy Chúng tôi muốn khai thác sâu
lý thuyết Nhóm, một công cụ trong Đại Số để giải quyết, sáng tạo những bài toán
Số Học ở trình độ THPT Báo cáo sẽ cung cấp một cái nhìn mới về một số đối tượng trong Số Học mà học sinh cũng đã quen thuộc như phần tử nghịch đảo trong modulo, cấp số, căn nguyên thủy Tuy nhiên, có hai khó khăn chính khi thực hiện
đề tài này được diễn đạt thông qua 2 câu hỏi:
1 Lý thuyết Nhóm là một lý thuyết rất rộng, sâu Vậy ở mức độ THPT, ta nên chọn lọc những mảng kiến thức nào để giới thiệu cho học sinh? Xin tóm tắt bằng một câu hỏi:
Dạy học sinh cái gì?
2 Lý thuyết Nhóm chỉ được dạy một cách chính quy, với một hệ thống các ký hiệu, quy ước cho sinh viên đại học, vậy làm thế nào để diễn đạt những quy ước, ký hiệu này cho học sinh phổ thông mà không phải dùng đến hệ thống các ký hiệu, quy ước trên Xin tóm tắt bằng một câu hỏi:
Dạy học sinh tư duy và trình bày như thế nào?
Với mục tiêu trả lời 2 câu hỏi trên, báo cáo của chúng tôi có những đóng góp cụ thể như sau:
• Hệ thống lại lý thuyết nhóm một cách phù hợp hơn với học sinh THPT và hướng dẫn cách tư duy, vận dụng lý thuyết nhóm vào việc giải một số bài toán Số Học
• Hướng dẫn cách trình bày lời giải một bài toán Số Học có sử dụng công cụ lý thuyết nhóm một cách tương đối phù hợp ở mức độ học sinh THPT
Về cấu trúc của nội dung sáng kiến, chúng tôi có 3 phần chính:
• Phần I: Chúng tôi trình bày những mảng lý thuyết quan trọng, ngoài ra chúng tôi có giới thiệu 2 định lý mặc dù không thể áp dụng trực tiếp vào lời giải, nhưng
có ích rất nhiều trong việc tư duy tìm ra lời giải sơ cấp của bài toán Ngoài ra, chúng tôi đưa ra một số bài tập lý thuyết để củng cố lại các đơn vị kiến thức này
• Phần II: Chúng tôi đưa ra một số bài toán thực tế đã được dùng trong các kì thi học sinh giỏi, với mỗi bài toán chúng tôi phân tích cấu trúc nhóm xuất hiện như thế nào và hướng tìm ra lời giải của những bài toán này Sau đó, chúng tôi trình bày lời giải hoàn chỉnh
Trang 3• Phần III: Chúng tôi kết luận và đề ra hướng phát triển cho sáng kiến này Với tinh thần cầu thị, chúng tôi hy vọng chuyên đề này một mặt có thể giúp đỡ các thầy cô trong công tác giảng dạy HSG, một mặt khác, cũng mong các thầy cô đóng góp ý kiến, chỉnh sửa những chỗ chưa hợp lý trong bản thảo này
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!
Các tác giả
Trang 4Kiến thức chuẩn bị
Một đối tượng trong Toán học có cấu trúc thì sẽ dễ nghiên cứu hơn rất nhiều Hơn nữa, người ta nhận thấy những tập hợp quen thuộc như tập số tự nhiên, tập số nguyên, tập số hữu tỷ, đều có những điểm chung về cấu trúc Đây cũng là một trong những động lực cho sự ra đời của lý thuyết nhóm Để mở đầu, ta hãy cùng tìm hiểu một số định nghĩa và ví dụ phổ biến Phần lý thuyết này có liên hệ với khái niệm phần tử nghịch đảo trong modulo của một số tự nhiên, cấp của một số và căn nguyên thủy
1.1 Nhóm, nhóm con
Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp G khác rỗng và một phép toán ∗ Cặp (G, ∗) được gọi một một nhóm nếu nó thỏa mãn 4 tính chất:
1 Tập G đóng với phép toán ∗, tức là a, b ∈ G thì a ∗ b = c ∈ G
2 Tính kết hợp: Với mọi a, b, c ∈ G thì (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
3 Tồn tại phần tử đơn vị: tồn tại phần tử e ∈ G sao cho ∀ a ∈ G thì a ∗ e = e ∗ a = a
4 Tồn tại phần tử nghịch đảo: Với mọi phần tử a ∈ G thì tồn tại phần tử b ∈ G sao cho a ∗ b = b ∗ a = e Phần tử b còn gọi là phần tử nghịch đảo của phần tử a và ký hiệu là a−1
Chú ý:
• Phép toán ∗ ở đây thường là phép cộng, nhân, hoặc ánh xạ hợp
• Nếu tập Gcó hữu hạn phần tử thì (G, ∗) còn được gọi là một nhóm hữu hạn
• Lực lượng của tập Gcòn gọi là cấp của nhóm G
• Nhóm (G, ∗) gọi là một nhóm giao hoán nếu với mọi a, b ∈ G thì a ∗ b = b ∗ a Từ giờ, nếu không có lưu ý nào thì ta chỉ xét những nhóm giao hoán vì đây là đối tượng xuất hiện chủ yếu trong các bài toán mà ta quan tâm
4
Trang 5Ví dụ 1.1.2 Các cặp (Z, +), (Q, +), (Q∗, ) đều là các nhóm.
Thật vậy, ta thấy:
• Nhóm (Z, +) có phần tử đơn vị là số 0 Phần tử nghịch đảo của a là −a
• Nhóm (Q, +) có phần tử đơn vị là số 0 Phần tử nghịch đảo của x là −x
• Nhóm(Q∗, ) có phần tử đơn vị là số 1 Phần tử nghịch đảo của a là 1a
Ví dụ 1.1.3 Các cặp (N, +), (Q, ) đều không phải là nhóm
Thật vậy, ta thấy:
• Cặp (N, +) thì mọi số nguyên dương đều không tồn tại phần tử nghịch đảo
• Cặp (Q, ) thì không tồn tại phần tử nghịch đảo của số 0
Ký hiệu Zp là tập tất cả các lớp thặng dư phân biệt trong modulo p với p là một số nguyên tố Chứng minh rằng:
a) Cặp (Zp, +) là một nhóm
b) Cặp (Z∗p, )là một nhóm với Z∗p là tập tất cả các lớp thặng dư phân biệt khác
0 trong modulo p
Lời giải:
a) Ta có thể kiểm tra(Zp, +) là một nhóm vì
• Tập Zp đóng với phép cộng của 2 lớp thặng dư
• Phép toán này có tính chất kết hợp
• Nhóm này có phần tử đơn vị là lớp thặng dư 0
• Phần tử nghịch đảo của lớp thặng dư a bất kỳ là lớp−a
Chú ý rằng đây là nhóm hữu hạn, giao hoán và có cấp n
b) Tương tự như vậy (Z∗p, )cũng là một nhóm vì
• Tập Z∗p đóng với phép nhân của 2 lớp thặng dư
• Phép toán này có tính chất kết hợp
• Nhóm này có phần tử đơn vị là lớp thặng dư 1
Trang 6• Với mỗi lớp thặng dư a khác lớp 0 thì a và p nguyên tố cùng nhau Do đó, theo Bezout, sẽ tồn tại hai số nguyên b, d sao cho
ab + cd = 1
Hay ab ≡ 1 (mod p) và lớp thặng dư b là phần tử nghịch đảo của lớp thặng dư a Hơn nữa, đây là nhóm hữu hạn, giao hoán có cấpn − 1
Cho n là một số nguyên dương Ký hiệu Sn là tập tất cả các hoán vị của tập
{1, , n} Chứng minh Sn với phép toán hợp của hai hoán vị là một nhóm
Lời giải:
Ta ký hiệu phép toán hợp của hai hoán vị là◦
• Ta thấy hợp 2 song ánh là 1 song ánh nên Sn đóng phép toán hợp 2 ánh xạ
• Phép toán này có tính chất kết hợp
• Nhóm này có phần tử đơn vị là ánh xạ đồng nhất
• Phần tử đơn vị là ánh xạ đồng nhất Phần tử nghịch đảo của một hoán vị f là ánh xạ ngược f−1
Vậy (Sn, ◦) là một nhóm Có thể thấy đây là nhóm hữu hạn có cấp n! nhưng không phải là nhóm giao hoán
Cho(G, ) là một nhóm Chứng minh sự duy nhất của phần tử đơn vị và sự duy nhất của phần tử nghịch đảo của một phần tử trong nhóm G
Lời giải:
Giả sử x, y đều là phần tử đơn vị của nhóm (G, ) Khi đó x.y = x nhưng đồng thời
x.y = y, do đó x = y
Ký hiện phần tử nghịch đảo của nhóm Glà e Giả sử phần tử nghịch đảo của a là
b và c Vậy
ab = ba = ac = ca = e
Ta xét a.b = e vậy c.a.b = c, nhưng c.a = e nên theo tính chất kết hợp, ta có e.b = c
hayb = c Tóm lại trong một nhóm thì phần tử đơn vị và phần tử nghịch đảo của một phần tử là duy nhất
Trang 7Bài tập lý thuyết 4 ∗∗
Cho n là một số tự nhiên khác không Chứng minh (Z∗n, ) là một nhóm trong modulo n với Z∗n là tất cả các lớp thặng dư ứng với tất cả các số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng n và nguyên tố cùng nhau với n
Lời giải:
Bộ (Z∗n, )thỏa mãn các điều kiện của một nhóm:
• Tích của 2 số tự nhiên nguyên tố cùng nhau với nthì cũng là 1 số nguyên tố cùng nhau với n Do đó Z∗n đóng với phép toán nhân hai lớp thặng dư
• Phần tử đơn vị 1 ∈Z∗n
• Phép toán nhân hai lớp thặng dư đương nhiên có tính kết hợp
• Lấy phần tử a ∈ Z∗n thì (a, n) = 1 nên tồn tại c, d ∈ Z sao cho ac + nd = 1 Ta chú ý rằng (c, n) = 1, nên ta có thể chọn phần tử nghịch đảo của lớp thặng dư a
chính là lớp thặng dư c
Định nghĩa 1.1.4 Cho nhóm (G, ∗), tập con H của G với phép toán ∗ gọi là một nhóm con của nhóm G nếu (H, ∗) là một nhóm
Cho nhóm (G, ∗), tập con H của Gvới phép toán ∗là một nhóm con của G khi
và chỉ khi a−1.b ∈ H với mọi a, b ∈ H
Lời giải: Ta thấy các điều kiện của 1 nhóm đều thỏa mãn:
• Tập H chứa phần tử đơn vị vì lấy a ∈ H thì e = a−1.a ∈ H
• Phép toán ∗ hiển nhiên có tính chất kết hợp vì (G, ∗) là một nhóm
• Với mỗi phần tử a ∈ H thì a−1∗ e = a−1 ∈ B (do e ∈ H theo chứng minh trên)
• Lấy a, b ∈ H thì a−1∈ H, vậy (a−1)−1∗ b = a ∗ b ∈ H
Định lí 1.1.5 (Lagrange) Cho (G, ) là một nhóm hữu hạn và H là một nhóm con của G Khi đó lực lượng của G chia hết cho lực lượng của H
Chứng minh Ta gọi H = {h1, , hk} Lấy 2 phần tử a, b ∈ G và định nghĩa
aH = {a.h1, , a.hk}; bH = {b.h1, , b.hk}
Trang 8Ta đi chứng minh nếu 2 tậpSa vàSb hoặc giao nhau bằng rỗng hoặc phải trùng nhau Thật vậy, giả sử tồn tại a.hi = b.hj thì a = b.hj.h−1i = b.ht với ht = hj.h−1i ∈ H Do
đó, mọi phần tử
a.hl = b.ht.hl = b.(ht.hl) ∈ bH
Vậy aH ⊂ bH, tương tự bH ⊂ aH, hay aH = bH Ta lại để ý rằng, nếu gọi G = {a1, , ag} thì ta xét g tập a1H, , agH, theo nhận xét trên ta thấy ngay các phần
tử của G đều xuất hiện vì H chứa phần tử đơn vị Hơn nữa, các phần tử trong một tập aiH đều phân biệt Thật vậy, giả sử ta có aih1 = aih2 thì a−1i aih1 = a−1i aih2 hay
ta cóh1 = h2 (vô lý!)
Do đó, ta nhận thấy tất cả các phần tử của G đều được phân bố vào các tập
a1H, , agH, hai tập bất kỳ trong các tập trên hoặc giao nhau hoặc trùng nhau Vì vậy số phần tử của G chính là số các tập đôi một phân biệt trong g tập trên và nhân với H Nói cách khác |G| chia hết cho |K| Một cách ngắn gọn: cấp của một nhóm luôn chia hết cho cấp của mọi nhóm con của nhóm đó
Định lí 1.1.6 (Cauchy) Cho nhóm G hữu hạn và có cấp chia hết cho một số nguyên
tố p, khi đó tồn tại phần tử x trong nhóm G có cấp p
Định lí 1.1.7 (Sylow) Cho nhómG hữu hạn và có cấp chia hết cho lũy thừa của một
số nguyên tố dạng pn, khi đó tồn tại tồn tại nhóm con nhóm G có cấp pn
1.2 Hệ sinh, hệ sinh cực tiểu của một nhóm, nhóm Cyclic
Định nghĩa 1.2.1 Cho (G, ) là một nhóm hữu hạn và S là một tập con của G Ta định nghĩa nhóm sinh bởi G là nhóm con có ít phần tử nhất mà chứa S Ta ký hiệu nhóm sinh bởi S là < S >
Nhận xét: Với giả thiết như trong định nghĩa trên, ta thấy:
(i) Nhóm < S > chính là giao của tất cả các nhóm con của G chứa tập S
(ii) Nếu ta ký hiệu S = {s1, , sn} thì mỗi phần tử x trong S đều có thể biểu diễn (có thể biểu diễn này không duy nhất) ở dạng
x = sα1
1 sαn
n với αi là các số tự nhiên ∀ i = 1, , n
(iii) Với mỗi nhóm hữu hạn G đều tồn tại một tập hữu hạn các phần tử của G mà nhóm sinh của các phần tử này chính là G Một ví dụ đơn giản chính là tập tất
cả các phần tử củaG Trong tất cả các tập hợp sinh ra G, tập hợp có ít phần tử
Trang 9nhất được gọi là hệ sinh cực tiểu của G, rõ ràng với nhóm hữu hạn, hệ sinh cực tiểu với hữu hạn phần tử luôn tồn tại
a) Chứng minh tập tất cả những số nguyên chia hết cho một số tự nhiên k > 1
tùy ý với phép cộng là một nhóm con của nhóm (Z, +)
b) Với mọi số tự nhiên n thì (Zn, +) là một nhóm có thể sinh ra bởi bất kỳ lớp thặng dư a với điều kiện (a, n) = 1
Lời giải:
a) Ta kiểm tra dễ dàng các điều kiện của nhóm đều thỏa mãn
b) Lấy số a bất kỳ mà (a, n) = 1, khi đó tồn tại c, d nguyên sao cho ac + dn = 1 Vậy với mọi phần tửb trong Zn, ta có thể biểu diễn nó ở dạng ac + ac + ac ≡ b(mod n) với b tích ac
Định nghĩa 1.2.2 Nhóm G gọi là một nhóm cyclic nếu nó có hệ sinh chỉ gồm một phần tử Hay về mặt ký hiệu ta có G =< a > với a ∈ G
Nhận xét:
1 Các phần tử của một nhóm Cyclic sinh bởi một phần tửacó dạnga, a2, ak−1, ak =
e với e là phần tử đơn vị
2 Ta chú ý số k chính là cấp của nhóm Cyclic sinh bởi a
ChoG là một nhóm có cấp pvới plà một số nguyên tố Khi đó Glà một nhóm Cyclic
Lời giải:
Lấy một phần tử tùy ý a khác phần tử đơn vị Ta xét nhóm sinh bởi phần tử a Đây là một nhóm Cyclic và có cấp lớn hơn 1 do nó chứa ít nhất 2 phần tử là phần tử đơn vị và a Do đó cấp của nhóm này là ước của nhóm G Mặt khác cấp của G là số nguyên tố p chỉ có đúng 1 ước lớn hơn 1 là p Do đó G =< a >, hay G là một nhóm Cyclic
Chứng minh lại định lý Fermat nhỏ và định lý Euler thông qua lý thuyết nhóm
Lời giải:
a) Ta chứng minh định lý Fermat Vớip nguyên tố, xét nhóm nhân (Z∗p, ), nhóm này
Trang 10cóp − 1 phần tử Với mỗi số tự nhiêna nguyên tố cùng nhau vớip, ta xét nhóm Cyclic sinh bởi a trong Z∗p, ký hiệu cấp của nhóm này k thì ak ≡ 1 (mod p) Mặt khác nhóm Cyclic sinh bởi a lại là nhóm con của nhóm nhân (Z∗p, ), do đó k|(p − 1) Hay ta có
ap−1= (ak)(p−1)/k ≡ 1 (mod p)
b) Ta chứng minh định lý Euler Theo bài tập lý thuyết 4, ta thấy(Z∗n, )là một nhóm, hơn nữa cấp của nhóm này chính là ϕ(n) Hoàn toàn tương tự như chứng minh của định lý Fermat, ta xây dựng nhóm cyclic cho phần tử a bất kỳ trong Z∗n thì cấp của nhóm cyclic này cũng là ước của ϕ(n) Từ đó ta có
aϕ(n) ≡ 1 (mod n)
Trang 11Bài tập
Trong phần này, chúng ta sẽ cùng nghiên cứu một số bài tập tiêu biểu Cấu trúc nhóm trong một số bài tập thể hiện khá rõ, cũng có một số bài tập cấu trúc này chỉ thoáng qua, nhưng nếu nhận ra sự xuất hiện của cấu trúc nhóm thì bài toán cũng trở nên thân thiện hơn và đôi khi cho ta một chút gợi ý Độ khó của các bài tập trong phần này tăng dần theo số dấu ∗ ở phần đề bài
Giả sử
1 + 1
2+
1
3+ · · · +
1
2026 =
a b
với phân số ab là phân số ở dạng tối giản Chứng minh rằng 2027 là ước của a
Phân tích bài toán:
Trước hết, ta kiểm tra được 2027 là một số nguyên tố Do đó Z∗2027 là một nhóm với phép nhân Do đó, trong Z∗2027, mỗi phần tử i ∈ {1, 2, , 2026}đều có phần tử nghịch đảo lài−1 Vì vậy, về mặt cảm giác, ta có thể tưởng tượng 1i = i−1 Do đó
1 + 1
2 +
1
3 + · · · +
1
2026 =
2026 X i=1
i−1=
2026 X i=1
i = 2026.2027
Vậy
2026.2027
a
b ⇒ 2026.2027.b = 2a =⇒ 2027|a
Lời giải:
Quy đồng mẫu số, ta dẫn đến
1.2 .2026 + 1.3.4 .2026 + · · · + 1.2 .2025
a b
=⇒ (1.2 .2026 + 1.3.4 .2026 + · · · + 1.2 .2025).b = a.2026!
=⇒ (2026! + 2026!.2−1+ · · · + 2026!.2026−1)b ≡ a.2026! (mod 2027)
11