skkn toán học thpt (93)

1. Tên sáng kiến: GÓC ĐỊNH HƯỚNG VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Chương trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia. 3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ 8 2017 đến 5 2018 4. Tác giả:

1 Tên sáng ki n: ế

GÓC Đ NH H Ị ƯỚ NG VÀ M T S NG D NG Ộ Ố Ứ Ụ TRONG GI I TOÁN HÌNH H C PH NG Ả Ọ Ẳ

2 Lĩnh v c áp d ng sáng ki n: ự ụ ế

- Chương trình Toán l p 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên.ớ

- Chuyên đ b i dề ồ ưỡng h c sinh gi i Qu c gia.ọ ỏ ố

BÁO CÁO SÁNG KI N Ế

I ĐI U KI N, HOÀN C NH T O RA SÁNG KI N Ề Ệ Ả Ạ Ế

Hình h c phăng là m t b ph n quan tr ng c a Toán h c Đây là m tọ ộ ộ ậ ọ ủ ọ ộphân môn có tính h th ng ch t chẽ, có tính logic và tr u tệ ố ặ ừ ượng cao R tấnhi u bài toán hình h c ph ng tề ọ ẳ ương đ i khó trong vi c tìm ra l i gi i ho cố ệ ờ ả ặ

ph i qua r t nhi u bả ấ ề ước ch ng minh, bi n lu n ph c t p m i có th đi đ nứ ệ ậ ứ ạ ớ ể ế

k t lu n ế ậ

Đ c bi t, các bài toán hình h c ph ng v góc, đặ ệ ọ ẳ ề ường tròn, đường th ngẳhay nh ng bài toán liên quan đ n phép bi n hình, phép đ ng d ng thữ ế ế ồ ạ ườngkhi n nhi u h c sinh d p khó khăn, lúng túng và d m c ph i sai l m Nh ngế ề ọ ặ ễ ắ ả ầ ữbài toán hình h c ph ng này thọ ẳ ường xu t hi n trong các kì thi H c sinh gi i,ấ ệ ọ ỏcác kì thi Olympic c a các nủ ước trên th gi i Không nh ng th , bài toán hìnhế ớ ữ ế

h c ph ng luôn có v trí quan trong và là nh ng bài toán hay và khó Vi c tìmọ ẳ ị ữ ệ

ra l i gi i cho nh ng bài toán này đòi h i h c sinh không ch n m đờ ả ữ ỏ ọ ỉ ắ ược nh ngữ

ki n th c c b n mà ph i có ki n th c sâu, r ng v phân môn này.ế ứ ơ ả ả ế ứ ộ ề

Trong quá trình h c t p, nghiên c u và công tác, tôi nh n th y vi c gi iọ ậ ứ ậ ấ ệ ảcác bài toán góc, đường tròn, đường th ng hay nh ng bài toán liên quan đ nẳ ữ ếphép bi n hình, phép đ ng d ng, … đòi h i chúng ta ph i xét nhi u trế ồ ạ ỏ ả ề ường

h p và th t v trí các đi m, các góc trong bài toán Đi u này d n đ n vi cợ ứ ự ị ể ề ẫ ế ệ

c ng tr , hay bi n đ i các góc trong quá trình tính toán g p r t nhi u khóộ ừ ế ổ ặ ấ ềkhăn Vi c ng d ng góc đ nh hệ ứ ụ ị ướng vào gi i toán hình h c ph ng t o ra r tả ọ ẳ ạ ấnhi u đi u thu n l i Đó là vi c h c sinh không c n quan tâm đ n v trí cácề ề ậ ợ ệ ọ ấ ế ị

đi m trên hình vẽ, ch c n quan tâm đ n th t các đi m, bi n đ i đúng cácể ỉ ầ ế ứ ự ể ế ổ

h th c và các tính ch t c a góc đ nh hệ ứ ấ ủ ị ướng Các khái ni m và tính ch t c aệ ấ ủgóc đ nh hị ướng không được d y trong chạ ương trình môn Toán THPT, mà chỉ

được gi i thi u s lớ ệ ơ ược trong chương trình Đ i h c.ạ ọ

V i nh ng lí do trên và mong mu n có m t b tài li u v “Góc đ nhớ ữ ố ộ ộ ệ ề ị

hướng” đ gi ng d y cho các h c sinh gi i, tôi đã ch n đ tài ể ả ạ ọ ỏ ọ ề “Góc đ nh ị

h ướ ng và m t s ng d ng trong gi i Toán hình h c ph ng” ộ ố ứ ụ ả ọ ẳ v i m c tiêuớ ụ

nghiên c u các tính ch t c a góc đ nh hứ ấ ủ ị ướng và m t s ng d ng trong gi iộ ố ứ ụ ảtoán hình h c ph ng.ọ ẳ

II MÔ T GI I PHÁP: Ả Ả

1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến:

Trước đây, khi các định nghĩa và tính chất về góc định hướng (góc lượnggiác) chưa được đưa vào chương trình sách giáo khoa, chúng ta v n gi i các bài toánẫ ảhình h c b ng đ nh nghĩa góc hình h c, và m t s bài toán thì l i gi i ph thu cọ ằ ị ọ ộ ố ờ ả ụ ộvào hình vẽ khá r c r i Nhi u bài toán ắ ố ề đòi h i chúng ta ph i xét nhi u trỏ ả ề ường h pợ

và th t v trí các đi m, các góc trong bài toán Đi u này d n đ n vi c c ng tr ,ứ ự ị ể ề ẫ ế ệ ộ ừhay bi n đ i các góc trong quá trình tính toán g p r t nhi u khó khăn ế ổ ặ ấ ề

2 Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến:

Vi c ng d ng góc đ nh hệ ứ ụ ị ướng vào gi i toán hình h c ph ng t o ra r tả ọ ẳ ạ ấnhi u đi u thu n l i Đó là vi c h c sinh không c n quan tâm đ n v trí các đi mề ề ậ ợ ệ ọ ấ ế ị ểtrên hình vẽ, ch c n quan tâm đ n th t các đi m, bi n đ i đúng các h th c vàỉ ầ ế ứ ự ể ế ổ ệ ứcác tính ch t c a góc đ nh hấ ủ ị ướng

N u ta s d ng khái ni m góc đ nh hế ử ụ ệ ị ướng thì cho l i gi i ng n g n, rõờ ả ắ ọràng và không ph thu c vào hình vẽ H n n a, góc đ nh hụ ộ ơ ữ ị ướng giúp đ nh nghĩa cácịphép bi n hình, t đó m ra nh ng ng d ng khác.ế ừ ở ữ ứ ụ

A CÁC KI N TH C CHU N B : Ế Ứ Ẩ Ị

1 Góc đ nh h ị ướ ng gi a hai tia ữ

1.1.Định nghĩa góc định hướng giữa hai tia cùng gốc

Cho góc �xOy Ta nói �xOy là góc định hướng nếu hai cạnh Ox và Oy có

thứ tự xác định Tức là một trong hai cạnh của góc là cạnh đầu , cạnh còn lại làcạnh cuối

NếuOx là cạnh đầu và Oy là cạnh cuối , thì góc định hương được ký hiệu

bằng Ox Oy Hướng của góc là hướng quay quanh đỉnh O của cạnh Ox đến, 

trùng với cạnh Oy và được biểu thị bằng mũi tên cong

Ta quy ước hướng quay theo ngược chiều kim đồng hồ của Ox là hướng

dương Hướng quay ngược lại là âm

Gỉa sử α ( radian ) là số đo của góc �xOy , khi đó số đo của Ox Oy, bằng �α2kπ (*), với k là số nguyên và được ký hiệu bởi Ox Oyα,  �kπ2hoặc Ox Oyα,   kπ2 hoặc Ox Oyα,    kπ 2

Số �α, 0 α π được gọi là giá trị chính của góc Ta quy định góc âm ứng

với giá trị chính α  , góc dương ứng với giá trị chính α (hoặc α)

Giả sử số đo của xOy�  , khi đó số đo của 00 Ox Oy bằng 2kπ hoặc, 

Ox Oyπ,  0 mod 2  Trong trường hợp này Ox Oy được gọi là góc định, hướng không Góc định hướng không không có hướng xác định

1.2 Liên hệ giữa giá trị chính và vị trí hình học của các góc định hướng.

Góc định hướng trong hình học được dùng để xác định vị trí của các tia,của các điểm đối với một đường thẳng và quan hệ giữa các đường thẳng Việcnày lại có liên quan đến giá trị chính của các góc Đây cũng là sự khác biệt giữagóc định hướng trong hình học và lượng giác

*) Cho hai điểm phân biệt ,A B và hai góc , α β với α β, �π π;  Xéthai góc OA OBα O A O B,   ; ' , ' β  Ta thấy rằng O và ' O cùng phía đối với đường thẳng AB nếu và chỉ nếu , α β cùng dấu O và ' O khác phía đối với đường thẳng AB nếu và chỉ nếu , α β khác dấu

*) Cho góc xOy Từ điểm '� O trên tia Ox ta dựng tia ' O z và thấy rằng giá

trị chính của hai góc Ox Oy,  , O x O z cùng dấu khi và chỉ khi Oy và '' , '  O z cùng phía đối với đường thẳng Ox Gia trị chính của hai góc trái dấu khi và chỉ khi

Oy và ' O z khác phía đối với đường thẳng Ox

Ox Oy,   O x O yπ' , '  mod 2  hoặc Ox Oy,   O x O y' , '  mod 3600 .

Hai góc định hướng Ox Oy,  , O x O y được gọi là đối nhau , nếu giá trị' , ' chính của chúng đối nhau và được ký hiệu bằng

Ox Oy,   O x O yπ' , '  mod 2  hoặc Ox Oy,   O x O y' , '  mod 3600.

1.3 Định nghĩa góc định hướng giữa hai tia khác gốc

Giả sử O x1 và O y2 là hai tia có gốc khác nhau và không song song Gọi O

là giao của hai đường thẳng O x1 và O y2 Vì Ox và Oy cùng chiều với O x1 và O y2 ,

nên ta định nghĩa góc định hướng với tia đầu O x1 và tia cuối O y2 là gócOx Oy ,, được ký hiệuO x O y 1 , 2 

Nếu hai tia O x1 và O y2 song song hoặc trùng nhau thì số đo của góc

O x O yπ1 , 2  0 mod 2  hoặc O x O yπ1 , 2   mod 2π  Ta chứng minh được rằngnếu ' 'O x và ' ' O y là hai tia tương ứng cùng chiều với O x1 và O y2 , thì

O x O y1 , 2   O x O yπ' ', ' ' mod 2   không phụ thuộc vào cách chọn điểm 'O

Ta ký hiệu P là giao của ' ' O x và Oy ; Q là giao của ' ' O y và Ox Ta có

Ox Oy,   Px Py',   O x O y' ', ' '

b a

a b>0

a b<0 b

x

y O

O

O 1

2

x x'

y'

y

Nếu u v,

r r

là các véc tơ cùng chiều với O x1 và O y2 , thì góc định hướng tạo

bởi hai véc tơ u v,

Chứng minh: Nếu , B D cùng thuộc cung chứa góc dựng trên dây AC , thì chúng cùng phía đối với AC Tức làBA BC,  ; DA DC cùng hướng., 

Vậy α và β cùng dấu Mặt khác số đo của

các góc hình học tương ứng bằng nhau Vì vậy giátrị chính của hai góc bằng nhau

Ngược lại nếu giá trị chính của hai góc bằngnhau , thì chúng cùng dấu Tức là các đỉnh ,B D

cùng phía đối với AC Giả sử các giá trị này dương., khi đó số đo của các góc

hình học tương ứng bằng nhau

Vậy ,B D cùng nhìn đoạn AC dưới những góc cùng số đo Theo tính chất

của cung chứa góc ta suy ra đpcm

b a

a b>0

a b<0 b

1.4 Các phép toán trên tập hợp các góc định hướng.

Cho hai góc ,a b

Tổng của hai góc ,a b là một góc định hướng j mà số đo bằng tổng số đo

của hai góc đã cho và được ký hiệu a b  jπmod 2 

Hiệu của hai góc ,a b là một góc định hướng g mà số đo bằng hiệu số đo

của hai góc đã cho và được ký hiệu a b gπ  mod 2 

Tich của a với số thực k là góc định hướng d mà số đo bằng tích của a với

k và được ký hiệu d ak kaπ  mod 2 

Từ đó ta có hệ thức liên hệ giữa 3 góc định hướng

Hệ thức Salơ: Với 3 tia bất kỳ O x O y O z1 , 2 , 3 , ta có

O x O y1 , 2   O y O z2 , 3   O x O zπ1 , 3  mod 2 

b a

a b>0

a b<0 b

z

x

z y

2 Góc định hướng giữa hai đường thẳng.

Định nghĩa: Cho hai đường thẳng cắt nhau x và y Ký hiệu O là giao

điểm của chúng

Góc định hướng từ x đến y , được ký hiệu bằng  x y , là góc tạo bởi x và, 

y với ,x y có thứ tự xác định Trong ký hiệu này x là cạnh đầu còn y là cạnh cuối Hướng của góc là hướng quay quanh O của cạnh đầu x đến trùng với cạnh cuối y và được biểu thị bằng mũi tên cong Hướng quay của x ngược chiều kim đồng hồ là hướng dương.

Hướng ngược lại là âm

Giả sử a là số đo của góc hình học tạo bởi x và y (0 < a ) , khi đó số đocủa góc  x y là a kπ,   hoặc a kπ  , với k là số nguyên và được ký hiệu bởi

 x y,   a kπ (*) hoặc  x y,    a kπ (**)

� 2



Để cho gọn ta viết x y,   �aπmod  hoặc  x y,   �amod 1800 .

b a

a b>0

a b<0 b

2 1

a b>0

a b<0 b

A x

y

z O

O'

*) Tổng hoặc hiệu số đo của hai góc định hướng tạo bởi hai đường thẳng

là một góc định hướng có số đo bằng tổng hoặc hiệu các góc đã cho Tích của mộtgóc định hướng với một số thực là một góc định hướng có số đo bằng tích của sốthực với góc đã cho

Hệ thức Salơ: Nếu , , x y z là các đường thẳng bất kỳ, thì

 x y,   y z,   x z,  mod

Bổ đề 2 Cho hai điểm phân biệt , A B và góc a với a�0; Quỹ tích giao

điểm M của hai đường thẳng , x y lần lượt qua , A B sao cho x y,   là mộta

đường tròn đi qua hai điểm ,A B và trừ ra hai điểm này.

x z; 

Chứng minh: Từ điều kiện đã cho suy ra số đo các

góc hình học tương ứng là �AMB a hoặc

�

AMB  a

Vì vậy quỹ tích điểm M là một trong hai cung tròn

cố định ứng với số đo 2a hoặc 2 2a được dựng

trên dây AB

Tổng số đo hai cung này là 2 , tức là cả đường tròn

Vì M không nằm trên đường thẳng AB , nên các

điểm ,A B không thuộc quỹ tích.

3 Một số kết quả:

Kết quả 1: Bốn điểm , , , A B C D cùng nằm trên một đường thẳng hoặc cùng nằm

trên một đường tròn khi và chỉ khi  AB AC,   DB DC,  mod hoặc

Kết quả 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Gọi P là giao điểm của

AB và CD ; Q là giao điểm của AC và BD Khi đó

Kết quả 4: Cho ba điểm , , A B C nằm trên đường tròn tâm O Đường thẳng d tiếp

xúc với đường tròn  O tại A khi và chỉ khi d AB,   CA CB,  mod 

a b>0

a b<0 b

a

+) Nếu các đường thẳng ', 'a b lần lượt song song với các đường thẳng ,a b

1 D ng 1 ạ Ch ng minh các đi m cùng thu c m t đ ứ ể ộ ộ ườ ng tròn.

1.1 Ph ươ ng pháp: Cho 4 đi m ể A B C D trong đó không có 3 đi m nào, , , ể

th ng hàng Khi đó ẳ A B C D cùng thu c m t đ ng tròn khi và ch khi , , , ộ ộ ườ ỉ

 AB AC,   DB DC,  mod hoặc   AB AD,   CB CD,  mod 

1.2 M t s ví d áp d ng: ộ ố ụ ụ

Ví d 1 ụ Cho t giác ứ ABCD có AB và CD c t nhau t i ắ ạ E AD và BC c t nhau, ắ

t i ạ F Ch ng minh r ng các đ ng tròn ngo i ti p các tam giác. ứ ằ ườ ạ ế

EBC EAD FAB FCD đ ng quy t i m t đi m ồ ạ ộ ể M (Đi m ể M đ c g i là đi mượ ọ ểMiquel c a t giác toàn ph n ủ ứ ầ ABCDEF ).

L i gi i: ờ ả G i ọ M là giao đi m th hai c a haiể ứ ủ

đường tròn EAD , FAB 

Ví d 2 ụ Cho t giác ứ ABCD có hai đ ng chéo vuông góc v i nhau t i ườ ớ ạ O.

Ch ng minh r ng các đi m đ i x ng v i ứ ằ ể ố ứ ớ O qua các đường th ngẳ

ch khi t giác ỉ ứ XYZT n i ti p.ộ ế

Ta có các t giác ứ ATOX BYOX , , CYOZ DZOT là các t giác n i ti p., ứ ộ ế

Do đó t giác ứ XYZT n i ti p V y t giác ộ ế ậ ứ MNPQ n i ti p (đpcm).ộ ế

Ví d 3 ụ Cho t giác ứ ABCD có � BAD BCD� G i ọ I là trung đi m c a đo n ể ủ ạ AC

Các đi m ể H K L l n l t là hình chi u c a , , ầ ượ ế ủ D trên BC CA AB Ch ng, , . ứ

minh r ng các đi m ằ ể I H K L cùng thu c m t đ ng tròn., , , ộ ộ ườ

E

F

K L

C

Phân tích:

N

P Q

C

O

D

B

bài toán này, vi c đi ch ng minh 4 đi m

hướng trong vi c ch ng minh bài toán này.ệ ứ

L i gi i: ờ ả Không m t tính t ng quát, gi s t giác ấ ổ ả ử ứ ABCD có h ng d ng.ướ ươ

G i ọ    O1 , O l n l t là đ ng tròn ngo i ti p tam giác 2 ầ ượ ườ ạ ế ABD CBD Đ ng, . ườ

th ng ẳ AB c t đ ng tròn ắ ườ  O t i đi m th hai là 2 ạ ể ứ E đ ng th ng ; ườ ẳ BC c tắ

đường tròn  O t i đi m th hai là 1 ạ ể ứ F .

*) Ta có , ,H K L l n l t là hình chi u c a ầ ượ ế ủ D trên BC CA AB nên các b 4, , ộ

đi m ể A D K L và , , ,, , , C D K H cùng thu c m t đ ng tròn.ộ ộ ườ

K t h p v i ế ợ ớ I là trung đi m c a đo n ể ủ ạ AC suy ra IL EC ||

Ch ng minh tứ ương t ta có tam giác ự DCF cân t i ạ F và IH AF ||

*) Ta có tam giác ADE cân t i ạ D và tam giác DCF cân t i ạ F nên suy ra

EA ED,   AD AE,   AD AB,   FD FB,   FD FC,   CF CD,  mod 

Do đó các tam giác DAE DFC đ ng d ng cùng h ng, ồ ạ ướ

Suy ra các tam giác DAF DEC đ ng d ng cùng h ng, ồ ạ ướ

*) T (1) và (2) ta suy ra ừ  KH KL,   IH IL,  mod 

V y các đi m ậ ể I H K L cùng thu c m t đ ng tròn., , , ộ ộ ườ

Ví d 4 ụ Bên trong tam giác ABC l y m t đi m ấ ộ ể M Các đ ng th ng. ườ ẳ, ,

C 1

M A

B 1

V y các đi m ậ ể P Q R S cùng thu c m t đ ng tròn., , , ộ ộ ườ

Ví d 5.ụ Cho tam giác ABC G i ọ H E l n l t là tr c tâm và tâm đ ng tròn, ầ ượ ự ườEuler c a tam giác ủ ABC Đ ng th ng qua ườ ẳ A vuông góc v i ớ HE c t ắ BC t iạ

K Ch ng minh r ng ứ ằ H E và tâm đ ng tròn Euler c a các tam giác, ườ ủ,

ABK ACK cùng thu c m t đ ng tròn.ộ ộ ườ

L i gi i: ờ ả

G i ọ E E b, c l n lầ ượt là tâm đường tròn

Euler c a các tam giác ủ ABK ACK ;,

1 ,   ,  mod 

2 E X E D b b E E E D b b

Do đó các đi m ể H E E D, , b, cùng thu c m t độ ộ ường tròn

Ch ng minh tứ ương t ta cũng đự ược H E E D, , c, cùng thu c m t độ ộ ường tròn

V y ậ H E E E D, , b, c, cùng thu c m t độ ộ ường tròn (đpcm)

Ví d 6 ụ Cho t giác ứ ABCD có AB c t ắ CD t i ạ E , AD c t ắ BC t i ạ F G i ọ X,, ,

Y Z T l n l t là tâm đ ng tròn ngo i ti p các tam giác ầ ượ ườ ạ ế ADE BCE ABF, , ,

CDF G i ọ S là đi m Miquel c a tam giác ể ủ ABF và đ ng th ng ườ ẳ CDE Ch ng. ứminh r ng năm đi m ằ ể X Y Z T S cùng thu c m t đ ng tròn., , , , ộ ộ ườ

D

H A

B đ : ổ ề Cho hai đường tròn    O1 , O c t2 ắ

nhau t i hai đi m ạ ể A B Hai đi m , ể M M1, 2

theo th t thu c ứ ự ộ    O1 , O sao cho B n m2 ằ

gi a ữ M M1, 2 Khi đó các tam giác AM M1 2 và

Ch ng minh tứ ương t ta có ự M A M M2 , 2 2  O A O O2 , 2 1 mod

V y các tam giác ậ AM M1 2 và AO O1 2 đ ng d ng cùng hồ ạ ướng

M t khác theo b đ trên thì các tamặ ổ ề

giác SXY SAB đ ng d ng cùng h ng, ồ ạ ướ

và SA XZ SB YZ, 

Suy ra SX SY,   SA SB,   ZX ZY,  mod 

Do đó 4 đi m ể X Y Z S cùng thu c m t đ ng tròn (2), , , ộ ộ ườ

T (1) và (2) suy ra năm đi m ừ ể X Y Z T S cùng thu c m t đ ng tròn., , , , ộ ộ ườ

Ví d 7 ụ Cho tam giác ABC không vuông có , O H l n l t là tâm đ ng trònầ ượ ườngo i ti p và tr c tâm Các đi m ạ ế ự ể A B C1, 1, 1 thu c độ ường tròn  O sao cho

A

E

F B

M 2 B

A

O 1

O 2

M 1

Trướ ếc h t ta xét m t b đ :ộ ổ ề

B đ : ổ ề Cho tam giác n i ti p độ ế ường tròn tâm O Các đi m ể A B C1, 1, 1 thu cộ

đường tròn  O sao cho AA BB CC1, 1, 1 đôi m t song song Các độ ường th ngẳ, ,

G i ọ M là giao đi m th hai c a ể ứ ủ d A v iớ

 O và d là đ ng th ng qua ườ ẳ O , vuông

Mà d B qua B và d B  AC nên suy ra M�d B

A 1

G i ọ A3 là giao đi m th hai c a ể ứ ủ AH và

+) Ch ng minh các đứ ường th ng đ ng quyẳ ố

G i giao đi m c a hai đọ ể ủ ường b t kì và ch ng minh giao đi m đó cũngấ ứ ểthu c các độ ường th ng còn l i thông qua vi c ch ng minh ba đi m th ng hàng.ẳ ạ ệ ứ ể ẳ

I

A 3 H

A 1

+) Cho hai đường th ng ẳ d d1, 2

+) Nh n xét 1: ậ Đường th ng đia qua 3 đi m ẳ ể I J K đ c g i là đ ng, , ượ ọ ườ

th ng Simson c a ẳ ủ M đ i v i tam giác ố ớ ABC .

+) Nh n xét 2: ậ Đây là m t k t qu quen thu c trong hình h c Tuyộ ế ả ộ ọnhiên n u không dùng góc đ nh hế ị ướng đ ch ng minh thì c n xét r t nhi uể ứ ầ ấ ề

trường h p và vi c c ng góc, bi n đ i góc g p nhi u khó khăn, lúng túng.ợ ệ ộ ế ổ ặ ề

+) Nh n xét 3: ậ Ta còn có th ch ng minh m t k t qu m nh h n:ể ứ ộ ế ả ạ ơ

Cho tam giác ABC n i ti p đ ộ ế ườ ng tròn  O và đi m ể M G i ọ , , I J K l n ầ

l ượ t là hình chi u vuông góc c a ế ủ M lên các đ ườ ng th ng ẳ BC CA AB Ch ng, , ứ minh r ng ằ I J K th ng hàng khi và ch khi , , ẳ ỉ M thu c đ ng tròn ộ ườ  O

I J

K

O A

M

+) Nh n xét 4: ậ Trong trường h p đi m ợ ể M không thu c đ ng trònộ ườ  O

thì các đi m ể I J K không th ng hàng và tam giác , , ẳ IJK đ c g i là tam giác bànượ ọ

đ p c a đi m ạ ủ ể M đ i v i tam giác ố ớ ABC .

2 B qua trỏ ường h p đ n gi nợ ơ ả

tam giác ABC vuông.

Xét trường h p tam giác ợ ABC

+) Nh n xét 1: ậ Đường th ng đi qua 4 đi m ẳ ể H X Y Z đ c g i là, , , ượ ọ

đường th ng Steiner c a ẳ ủ M đ i v i tam giác ố ớ ABC.

+) Nh n xét 2: ậ Đường th ng Steiner c a ẳ ủ M đ i v i tam giác ố ớ ABC là

Cho tam giác ABC nh n, tr c tâm ọ ự H và d là m t đ ng th ng b t kìộ ườ ẳ ấ

qua H G i ọ d d d a, b, c l n lầ ượt là đường th ng đ i x ng v i đẳ ố ứ ớ ường th ng ẳ dqua BC CA AB Ch ng minh r ng , , . ứ ằ d d d a, b, c đ ng quy t i m t đi m n m trênồ ạ ộ ể ằ

đường tròn ngo i ti p tam giác ạ ế ABC .

A

G i ọ O là tâm đường tròn ngo i ti p tam giác ạ ế ABC , các đi m ể A B C1, 1, 1 là giao

đi m th hai c a ể ứ ủ AH BH CH v i đ ng tròn , , ớ ườ  O

Khi đó A B C1, 1, 1 theo th t đ i x ng v i ứ ự ố ứ ớ H qua BC CA AB , ,

Suy ra P1 thu c độ ường tròn  O (3)

Ch ng minh tứ ương t ta có ự P P2, 3 thu c độ ường tròn  O (4)

Vì m i đỗ ường th ng ẳ d d d a, b, c ch có t i đa 2 giao đi m v i đỉ ố ể ớ ường tròn

 O nên t (1), (2), (3), (4) ta suy ra ừ P1 � �P2 P3 hay d d d a, b, c đ ng quy t iồ ạ

m t đi m n m trên độ ể ằ ường tròn ngo i ti p tam giác ạ ế ABC .

*) Nh n xét: ậ T bài toán này, ta có th ch ng minh đừ ể ứ ược bài toán sau:

Cho tam giác ABC và d là m t đ ộ ườ ng th ng b t kì G i ẳ ấ ọ d d d a, b, c l n l ầ ượ t

là đ ườ ng th ng đ i x ng v i đ ẳ ố ứ ớ ườ ng th ng ẳ d qua BC CA AB Ch ng minh r ng, , . ứ ằ

, ,

a b c

d d d đ ng quy khi và ch khi đ ồ ỉ ườ ng th ng ẳ d đi qua tr c tâm ự H c a tam giác ủ

ABC H n n a đi m đ ng quy n m trên đ ng tròn ngo i ti p tam giác ơ ữ ể ồ ằ ườ ạ ế ABC

Ví d 3 ụ (Trích đ thi Olympic duyên h i và đ ng b ng B c B năm 2015) ề ả ồ ằ ắ ộ

Cho hai đường tròn  O và 1  O c t nhau t i 2 ắ ạ A B , AX AY l n l t là, ầ ượcác đường kính c a ủ  O và 1  O G i 2 ọ O là trung đi m c a ể ủ XY ; I là đi mểthu c độ ường phân giác c a góc ủ �XAY sao cho OI không vuông góc v i ớ XY và

I không thu c hai đ ng tròn Đ ng th ng đi qua ộ ườ ườ ẳ A vuông góc v i ớ AI l nầ

lượ ắt c t các đường tròn  O , 1  O t i các đi m 2 ạ ể E F khác A IX c t đ ng, ắ ườtròn  O t i đi m th hai 1 ạ ể ứ K , IY c t đ ng tròn ắ ườ  O t i đi m th hai 2 ạ ể ứ L

1 G i ọ C là giao đi m c a ể ủ EF v i ớ IX Ch ng minh r ng ứ ằ OE là ti pếtuy n c a đế ủ ường tròn CEK 

2 Ch ng minh r ng 3 đứ ằ ường th ng ẳ EK FL OI đ ng quy., , ồ

         

21

Do đó OE là ti p tuy n c a đế ế ủ ường tròn CEK

2 Ta có �AKI  �ALI 900 nên 4 đi m ể A I K L cùng thu c đ ng tròn đ ng, , , ộ ườ ườ

Ch ng minh tứ ương t câu 1) ta có ự OF là ti p tuy n c a đ ng tròn ế ế ủ ườ DFL

M t khác t giác ặ ứ EFYX là hình thang vuông t i ạ E F và O là trung đi m c a, ể ủ

XY nên suy ra OE OF Do đó P O CEK/   OE2 OF2 P O DFL/  

Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AC và AB lần lượt

tại các điểm B0 và C0 Phân giác trong của các góc B và C cắt trung trực của đoạn

AL (AL là phân giác trong góc A và L là chân đường phân giác trong đó) lần lượt tại

Q và P

1 Chứng minh rằng các đường thẳng PC QB BC0, 0, đồng quy tại điểm X.

2 Giả sử O O1, 2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABL và

ACL Các điểm B C1, 1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của C, B tương ứng lên các

đường phân giác trong của góc B, C Chứng minh rằng các đường thẳng

O C O B BC đồng quy tại điểm Y.

L i gi i: ờ ả

Y X

1 G i ọ Q’ là giao đi m th hai c a để ứ ủ ường th ng ẳ BI và đường tròn ngo i ti pạ ế

tam giác ABL Khi đó ' Q A Q L ' � Q’ n m trên trung tr c c a ằ ự ủ AL suy ra

Từ các kết quả trên ta được B C0 0||PQ, A C0 0||LP, A B0 0||LQ, kết hợp với hai tam

giác A B C LQP0 0 0, cùng hướng nên theo bổ đề 2.2.1 tồn tại một phép vị tự

k

X

V L�A Q�B P�C suy ra PC QB LA0, 0, 0 đồng quy tại X.

2 Trước hết ta chứng minh B C1, 1 nằm trên đường thẳng B C0 0 Thật vậy, do tứ giác

Do k : 0, 0, 0

X

V L�A Q�B P�C nên  1 1

k X

V I C , kết hợp với C1 nằm trên đường

thẳng CI nên C A1 0 C B1 0 �kC A1 0 kC B1 0�I L I Q1  1 Mặt khác I1 nằm trên

trung trực của PQ nên I A I L1  1 Do đó I A I L I Q1  1  1 �I1 là tâm đường tròn

ngoại tiếp của tam giác ABL hay I1 �O1 suy ra O C1 1 đi qua điểm X.

Chứng minh tương tự ta được I2 �O2 suy ra O B2 1 đi qua điểm X, kết hợp với X

nằm trên đường thẳng BC suy ra O C O B BC1 1, 2 1, đồng quy tại điểm X.

Ví dụ 5 (Đề thi đề xuất thi Olympic duyên h i và đ ng b ng B c B ả ồ ằ ắ ộ năm 2013)

Trong m t ph ng, cho ba đặ ẳ ường tròn w w w1, 2, 3 đôi m t ti p xúc ngoàiộ ếnhau P1 là ti p đi m c a ế ể ủ w1 và w3; P2 là ti p đi m c a ế ể ủ w2 và w3; P3 là ti p đi mế ể

c a ủ w1 và w2 G i ọ A B là hai đi m thu c đ ng tròn , ể ộ ườ w3 sao cho ,A B khác

P P và AB là đường kính c a ủ w3 Đường th ng ẳ AP1 c t đắ ường tròn w1 t iạ

đi m th hai là ể ứ X ; đ ng th ng ườ ẳ BP2 c t đắ ường tròn w2 t i đi m th hai là ạ ể ứ Y ;

các đường th ng ẳ AP BP2, 1 c t nhau t i ắ ạ Z Ch ng minh r ng các đi m . ứ ằ ể X Y Z, ,

Gọi O O O1, 2, 3 lần lượt là tâm của các đường tròn w w w1, 2, 3

O4 là tâm đ ng phẳ ương c a ba đủ ường tròn w w w1, 2, 3

w4 là đường tròn ngo i ti p tam giác ạ ế O O O1 2 3

Vì w w w1, 2, 3 đôi m t ti p xúc ngoài nhau và ộ ế O4 là tâm đ ng phẳ ương c a baủ

đường tròn w w w1, 2, 3 nên suy ra O P4 12 O P4 22 O P4 32�O P O P4 1  4 2 O P4 3

Ví d 6 ụ Cho t giác ứ ABCD n i ti p đ ng tròn ộ ế ườ  O G i ọ E là giao đi m c aể ủ

AD và BC , F là giao đi m c a ể ủ AB và CD , G là giao đi m c a ể ủ AC và BD

Đường tròn  AGD và đ ng tròn  ườ CGB c t nhau t i đi m th hai là  ắ ạ ể ứ I ,

đường tròn  AGB và đ ng tròn  ườ CGD c t nhau t i đi m th hai là  ắ ạ ể ứ H

1 Ch ng minh r ng ứ ằ E H O th ng hàng và , , ẳ F I O th ng hàng., , ẳ

2 Ch ng minh r ng ứ ằ OI EG và OH FG T đó suy ra ừ O là tr c tâm ự

tam giác EFG .

Lời giải:

I F

G

B

A

O E

Suy ra 4 điểm , , ,O A B I cùng thuộc một đường tròn  w 1

Chứng minh tương tự ta có 4 điểm , , ,C D O I cùng thuộc đường tròn  w 2

Mặt khác do FA FB FC FD.  . nên suy ra F thuộc trục đẳng phương của hai đườngtròn  w và 1  w Do đó , ,2 F I O th ng hàng.ẳ

Ch ng minh tứ ương t ta có ự OH FG Suy ra O là tr c tâm tam giác ự EFG

Ví dụ 7 Cho hai đường tròn    O1 , O cắt nhau tại hai điểm ,2 A B phân biệt Một đường thẳng qua B , cắt    O1 , O lần lượt tại , 2 K M Gọi d là đường thẳng song

song với AM và tiếp xúc với  O tại 1 Q Đường thẳng AQ cắt lại  O tại P 2

Chứng minh rằng tiếp tuyến tại P của đường tròn  O song song với 2 AK

của d C và d A; C1 là giao điểm của d A và d B Gọi H H, 1 lần lượt là trực tâm của

tam giác ABC và tam giác A B C1 1 1 Chứng minh rằng đường thẳng d đi qua trung

điểm của đoạn HH1

Lời giải:

C 0

B 0

+) Gọi A B C2, 2, 2 theo thứ tự là trung điểm các đoạn AA BB CC1, 1, 1; H2 là trung

điểm của đoạn HH1

Theo giả thiết suy ra B C1 1 �d C A A, 1 1 �d B, A B1 1 �d C

+) M t khác t (1) suy ra ặ ừ ABC và A B C1 1 1 đ ng d ng cùng hồ ạ ướng

Mà A B C2, 2, 2 theo thứ tự là trung điểm các đoạn AA BB CC1, 1, 1

Nên ABC và A B C2 2 2 đ ng d ng cùng hồ ạ ướng (3)

T đó suy ra ừ B H C A2 2, 2 2  B H B H2 2, 1 1  B H AC1 1, 1 1  AC A C1 1, 2 2 mod 

+) G i ọ S là đi m Miquel c a t giác toàn ph n ể ủ ứ ầ BCB C AA0 0 0

Do A B C2, 2, 2 tương ng là tâm c a các đứ ủ ường tròn  AB C0 0 , BC A0 0 , CA B 0 0Nên  0 0 0   0 0 0 0  2 0 2 0  2 2 2  

T (4) và (6) suy ra đừ ường th ng ẳ d đi qua H2 (đpcm)

Ví d 9 (Đ thi ch n HSG Qu c gia năm 2012) ụ ề ọ ố

Cho t giác l i ứ ồ ABCD n i ti p độ ế ường tròn tâm O và có các c p c nhặ ạ

đ i không song song G i ố ọ M N t ng ng là giao đi m c a các đ ng th ng, ươ ứ ể ủ ườ ẳ

AB và CD , AD và BC G i ọ P Q S T t ng ng là giao đi m các đ ng phân, , , ươ ứ ể ườgiác trong c a các c p góc ủ ặ MAN và �� MBN , � MBN và � MCN , � MCN và � MDN ,

�

MDN và � MAN Gi s b n đi m ả ử ố ể P Q S T đôi m t phân bi t., , , ộ ệ

1 Ch ng minh r ng b n đi m ứ ằ ố ể P Q S T cùng thu c m t đ ng tròn., , , ộ ộ ườ

G i ọ I là tâm c a đủ ường tròn đó