Skkn toán học thpt (3)

3 BÁO CÁO SÁNG KIẾN I ĐIỀU KIỆN, HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Những bài toán phương trình hàm ngày nay đã trở nên rất phổ biến đối với các bạn học sinh yêu Toán vì chúng đã xuất hiện thường xuyên trong[.]

BÁO CÁO SÁNG KIẾN

I ĐIỀU KIỆN, HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

Những bài toán phương trình hàm ngày nay đã trở nên rất phổ biến đối với các bạn học sinh yêu Toán vì chúng đã xuất hiện thường xuyên trong các đề thi học sinh giỏi các cấp cüng như kì thi chọn đội tuyển quốc gia, VMO hay các kì thi khu vực

và quốc tế mà ta được biết đến Đặc biệt, trong các lớp dạng phương trình hàm, thì dạng phương trình hàm trên các tập rời rạc là một mảng được ít các học sinh chú ý tới bởi độ khó và chưa được tiếp xúc nhiều đồng thời ngoài việc sử dụng các kï thuật

xử lý phương trình hàm cơ bản chúng ta còn phải sử dụng các tính chất số học rất đặc sắc cûa tập rời rạc như là: tính chia hết, tính chất cûa số nguyên tố, cûa số chính phương, Trong sáng kiến này chúng tôi sẽ đề cập tới một số phương pháp giải các bài toán phương trình hàm trên tập rời rạc và một số bài toán phương trình hàm khác hay và khó với những lời giâi vô cùng đặc sắc nhằm giúp bạn đọc có thể

có nhiều cách nhìn khác về mảng toán này đồng thời cüng như chuẩn bị cho các kì học sinh giỏi, olympic

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP:

1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến:

Những bài toán phương trình hàm ngày nay đã trở nên rất phổ biến đối với các bạn học sinh yêu Toán vì chúng đã xuất hiện thường xuyên trong các đề thi học sinh giỏi các cấp cüng như kì thi chọn đội tuyển quốc gia, VMO hay các kì thi khu vực và quốc tế mà ta được biết đến Đặc biệt, trong các lớp dạng phương trình hàm, thì dạng phương trình hàm trên các tập rời rạc là một mảng được ít các học sinh chú ý tới bởi độ khó và chưa được tiếp xúc nhiều đồng thời ngoài việc sử dụng các kï thuật

xử lý phương trình hàm cơ bân chúng ta còn phải sử dụng các tính chất số học rất đặc sắc cûa tập rời rạc như là: tính chia hết, tính chất cûa số nguyên tố, cûa số

chính phương,

Các em học sinh bậc Trung học phổ thông thường gặp một số khó khăn khi tiếp cận các khái niệm liên quan phương trình hàm trên các tập rời rạc , đặc biệt là kỹ năng ứng dụng các nguyên lý của tổ hợp (nguyên lý cực hạn, nguyên lý sắp thứ tự tốt, …) vào việc làm bài tập Những học sinh mới bắt đầu làm quen với phương trình hàm chưa hiểu tường tận tư tưởng cũng như phương pháp tiếp cận lý thuyết, đặc biệt là khâu vận dụng kiến thức vào giải toán trong những tình huống khác nhau

Để hiểu và vận dụng tốt lý thuyết phương trình hàm trên các tập rời rạc và vận dụng kiến thức đó vào giải toán thì thông thường học sinh phải có kiến thức nền tảng tương đối đầy đủ và chắc chắn về đại số, số học, tổ hợp Đó là một khó khăn rất lớn đối với giáo viên và học sinh khi giảng dạy và học tập phần phương trình hàm trên các tập rời rạc

Đề tài “Một số ứng dụng giải phương trình hàm trên các tập rời rạc” được chọn

để giới thiệu với các thầy cô giáo và các em học sinh những kinh nghiệm của chúng tôi khi giảng dạy chủ đề “Phương trình hàm” trong chương trình THPT chuyên, và đồng thời thông qua đề tài này chúng tôi muốn nhấn mạnh tầm quan trọng của các kiến thức của các phân môn khác được áp dụng để giải phương trình hàm trên các tập rời rạc và một số bài toán khác xuất hiện trong các kì thi Quốc tế, khu vực và Olympic quốc gia của một số nước

2 Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến:

Thông qua đề tài “Một số ứng dụng giải phương trình hàm trên các tập rời rạc” chúng tôi cũng rất mong muốn nhận được góp ý trao đổi của các bạn đồng nghiệp, các bậc cha mẹ học sinh và các em học sinh Chúng tôi mong muốn đề tài này góp một phần nhỏ để việc dạy chuyên đề “Phương trình hàm” hiệu quả nhất và giúp các

em học sinh có khả năng vận dụng các kiến thức của số học, tổ hợp, … vào giải các bài toán phương trình hàm trên các tập rời rạc một cách tốt nhất

A CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ:

1 Ánh xạ, đơn ánh, toàn ánh, song ánh

1.1 Ánh xạ

Định nghĩa: Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần

tử x của X với một (và chỉ một) phần tử của Y Phần tử này được gọi là ảnh của x qua ánh xạ f và được kí hiệu là f(x)

(i) Tập X được gọi là tập xác định của f Tập hợp Y được gọi là tập giá trị của f (ii) Ánh xạ f từ X đến Y được kí hiệu là f X: Y

1.2 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh

a Định nghĩa Ánh xạ f X: Y được gọi là đơn ánh nếu với aX b, X mà ab thì f a  f b , tức là hai phần tử phân biệt sẽ có hai ảnh phân biệt  

Từ định nghĩa ta suy ra ánh xạ f là đơn ánh khi và chỉ khi với aX b, X mà

   

f a f b , ta phải có  a b

b Định nghĩa Ánh xạ f X: Y được gọi là toàn ánh nếu với mỗi phần tử  y Y đều tồn tại một phần tử  x X sao cho y f x Như vậy f là toàn ánh nếu và chỉ  

nếu Y  f X  

c Định nghĩa Ánh xạ f X: Y được gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa

là toàn ánh Như vậy ánh xạ f X: Y là song ánh nếu và chỉ nếu với mỗi  y Y , tồn tại và duy nhất một phần tử  x X để y f x  

1.3 Ánh xạ ngược của một song ánh

a Định nghĩa Ánh xạ ngược của f, được kí hiệu bởi f 1, là ánh xạ từ Y đến X gán cho mỗi phần tử  y Y phần tử duy nhất xX sao cho y f x Như vậy  

1

b Chú ý Nếu f không phải là song ánh thì ta không thể định nghĩa được ánh xạ ngược

của f Do đó chỉ nói đến ánh xạ ngược khi f là song ánh

2 Dãy truy hồi tuyến tính

2.1 Dãy truy hồi tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng

n

u r A n B n  n  A B

2.3 Dãy truy hồi cấp 1 dạng u n1 f u n n , 

Đặt v n φ u n Khi đó ta được một dãy truy hồi mới theo v đơn giản hơn n

2.4 Dãy truy hồi cấp 2 dạng u n2 f u u n , n1, n

 Nếu hàm số đã cho là hàm nhân tính, ta thường hay xét đến giá trị hàm số tại các điểm là số nguyên tố hoặc dãy vô hạn các số nguyên tố

 Sử dụng các đẳng thức và bất đẳng thức số học

 Và đặc biệt nhất, trong một số bài toán, hệ cơ số đếm có thể dùng để xây dựng nhiều dãy số có tính chất số học thú vị Trong hệ cơ số 10 chúng ta có thể rất khó nhận ra quy luật của dãy, nhưng nếu chọn được hệ cơ số phù hợp thì bài toán có thể giải quyết đơn giản hơn rất nhiều

Nếu g2, g   , với g là cơ số đếm, thì mọi số nguyên dương M đều biểu

diễn duy nhất dưới dạng: M a a1 2 a n g a g1 n1a g2 n2 a n1ga n, trong đó

1

1a g1; 0a i g1, i 2, n

Cơ số đếm mà hay được sử dụng trong các bài toán phương trình hàm trên tập rời rạc là 2 và 3

B MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP RỜI RẠC   , , 

I Sử dụng nguyên lý quy nạp

Phương pháp quy nạp không hề xa lạ trong môn toán, nó là công cụ thực sự hiệu quả để giải các bài toán xác định trên tập số nguyên (tất nhiên vẫn có quy nạp trên tập số thực, quy nạp hình học, nhưng ta chỉ xét đến những dạng quen thuộc của phương pháp quy nạp mà thôi)

Điều quan trọng là việc thiết lập giá trị hàm số tại các điểm lớn hơn về các điểm

đã biết giá trị hàm số (theo giả thiết quy nạp), cụ thể ta cần để ý đến những đẳng thức truy hồi đã biết

Hướng dẫn: Giả sử f :* là hàm số thoả mãn các điều kiện của bài toán *

Trong (ii), cho mn ta được 1 f  1  f  1 2 f  1  , (do 1   *

Nhận xét 1.1 Các điều kiện đã nêu trong bài toán là rất chặt và đã được sử dụng một

cách tối đa vào phương pháp quy nạp toán học để giải Tuy nhiên, chỉ cần làm "yếu"

đi một trong những điều kiện đó thì việc giải bài toán mới đã bắt đầu khó khăn, đòi hỏi một số kỹ thuật khác Ta xét bài toán sau

1.2 Bài 1.2 Tìm tất cả các hàm số f :* thoả mãn đồng thời các điều kiện: *

Hướng dẫn: Giả sử f :* là hàm số thoả mãn các điều kiện của bài toán *

Trong (ii), cho mn ta được 1 f 1  f 1 2 f 1  , (do 1   *

Nhận xét 1.2 Khi điều kiện (b) được làm yếu đi so với điều kiện bài toán 1.1 thì điểm

mấu chốt ở đây là chứng minh được f  3  Nếu thay đổi điều kiện (i) của bài toán 31.1 thì có thể xảy ra trường hợp bài toán không có nghiệm Ta cùng xét bài 1.3

1.3 Bài 1.3 Tìm tất cả các hàm số f :* thoả mãn đồng thời các điều kiện: *

Hướng dẫn: Giả sử f :* là hàm số thoả mãn các điều kiện i) và ii) *

Trong (ii), cho m  ta được 1       *

n n

f n      n

Thử lại, hàm số    1 *

,2

n n

f n      thoả mãn đề bài n

Vậy tất cả các hàm số cần tìm là    1 *

,2

Hướng dẫn: Giả sử f :* là hàm số thoả mãn các điều kiện i) và ii) *

+) Trong (ii), cho mn ta được 0   2   

f  f  f  (do f  0   ) +) Trong (ii), cho m 0 ta được  2 2 

1.6 Bài 1.6 (Iran 1995) Tìm tất cá các hàm số f :\ 0  thoả mãn điều kiện

Theo nguyên lý quy nạp, ta có f n  n 1,   n

Thử lại, ta thấy hàm f n  n 1,   thoả mãn đề bài n

Vậy tất cả các hàm số cần tìm là f n n1,   n

1.8 Bài 1.8 (Việt Nam TST 2005)

Tìm tất cả các hàm số f : thoả mãn điều kiện

Bổ đề: Với mọi số nguyên dương lớn hơn 10, lập phương của nó đều có thể biểu diễn

được dưới dạng tổng của 5 lập phương của các số nguyên khác có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn nó

Khi đó để khử 8k xuất hiện ở trong 3 2k 13, ta chọn 2k13; ta thấy vẫn còn số hạng chứa k bậc hai trong đó, ta chọn tiếp hai biểu thức khác có chứa k cùng

hai hằng số bằng cách dùng tham số như sau:

Giả sử hai biểu thức cần tìm có dạng ak b , ak b , a b,   và hai số 

f  f  f  , (do f 0  ) Trong (1), cho yz ta có 0

Trong (1), cho x2, y  ta được z 0   3   3  3    3 3 

Như vậy, ta đã chứng minh được (*) đúng với mọi k,k10

Với k10, k  , theo bổ đề ta có lập phương của * kcó thể biểu diễn được dưới dạng tổng của 5 lập phương của các số nguyên khác có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn nó

Hơn nữa, với các số , , ,a b c m n p  thoả mãn , , a3b3c3m3n3 p3 và ta đã

1.10 Bài 1.10 Tìm tất cả các hàm số f :*  thoả mãn điều kiện

Vậy bổ đề 2 được chứng minh

*) Trở lại bài toán: Giả sử f :* là hàm số thoả mãn điều kiện *

 

f f n  f n  n   n (1) Trong (1), cho n  ta được 1 f f  1  f 2  3

 Nếu a  ta có 1 2 f f  1  f a  f 1 a1 (mâu thuẫn)

 Nếu a 2 ta có 2 f f  1  f a  f  2  (mâu thuẫn) 1

 Nếu a  ta có 2 2 f f  1  f a  f 3    (mâu thuẫn) 4 a 1

Do đó trường hợp 1 không thoả mãn

 Nếu n không thoả mãn  n  n 1n thì  n  n 1 n 1 và

n1  n  1

- Giả sử bài toán đúng với n, n 1, , 1, 0, 1, 2, , n1,n

- Ta chứng minh bài toán cũng đúng với  n 1;n 1

Hoặc ta có thể sử dụng tính chẵn, lẻ của hàm số để đưa về quy nạp trên tập 

Trong iii), cho n   ta được 2 f f  0 2  2 f 3    2 1 3

Trong ii), cho n  ta được 3 f f  3  3 f 2    3 1  2

Trong iii), cho n   ta được 1 f f  1 2  1 f  2    1 1 2

Trong ii), cho n  ta được 2 f f  2  2 f  1    2 1  1

Ta chứng minh f n  1 n,   (1) n

+) Đẳng thức (1) đúng với n   2; 1; 0; 1; 2 

+) Giả sử đẳng thức (1) đúng với n  2 ,k 2k1, , 1, 0, 1, , 2 , 2 k k1 , k 

+) Ta đi chứng minh (1) cũng đúng với n  2k2;2k1; 2k2; 2k3

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có

 2  1  2  2 1;  2 1 1  2 1 2

f  k    k  k f  k    k  k

ii) Tồn tại số nguyên dương N sao cho f n  N,   n

Hướng dẫn: Giả sử f : là hàm số thoả mãn các điều kiện của bài toán

Trong i), cho nk 0 ta được f  0  f  0 2 f  0  hoặc 1 f  0  0

*) Nếu f  0  , trong i), cho 0 n  ta được 0 f k 0,   k

Thử lại ta thấy hàm f k 0,   thoả mãn bài toán k

*) Nếu f  0  , trong i) cho 1 k  ta được 0

+) Trường hợp 2: f 1  1

Khi đó từ (1) và (2) ta có   2 

f  f   ; f  3 2f    2 f 1  f  1    2 1 1Giả sử f k 11, f k  , , với 1 k  2

Thử lại, hàm số này thoả mãn đề bài

Vậy, tất cả các hàm số thoả mãn đề bài là:

Hướng dẫn: Giả sử f :* là hàm số thoả mãn các điều kiện của bài toán *

Lời giải 1 Gọi    *

d  f n n  Theo nguyên lý sắp thứ tự tốt thì d tồn tại và duy nhất

Lặp lại các quá trình trên ta có được f  1  f  2  f  3   f n  (*)

Đặt g n  f n 1 Ta có 1

 

g g n  f g n    f f n   f n   g n

Suy ra g n cũng là một nghiệm của phương trình hàm  

Theo trên ta có g 1  hay 1 f  2  2

2.4 Bài 2.4 Tìm tất cả các hàm số f :* thoả mãn đồng thời các điều kiện: *

f n f n  f n    n

ii) Tồn tại x   sao cho 0 * f x 0 1

Hướng dẫn: Giả sử f :* là hàm số thoả mãn yêu cầu bài toán *

x  x f x  ) +) Nếu x1 1 f x 11x1 thì f x  1 1 (vô lý vì 1   *

f x    Như vậy trong mọi trường hợp ta đều có điều mâu thuẫn Do đó x  1 1

f n c    , với n c   là một hằng số thì hàm này thoả mãn đề bài *

*) Nếu tồn tại m n   sao cho , * f m  f n 

Gọi ,a b là hai số nguyên dương thoả mãn

f a  f b  f m  f n m n  (*) Giả sử f a  f b  Khi đó ta có    3 2      2     3

2.6 Bài 2.6 Tìm tất cả các hàm số f : thoả mãn điều kiện

Trong (1), cho mn ta được 0 f  0  0

Trong (1), cho m  ta được 0 f f n    f n ,   n

Theo giả thiết ta có

Do đó một điểm là điểm bất động của hàm f khi và chỉ khi nó là bội của k

Từ đó ta xây dựng hàm f n như sau: 0 

Chọn n 0 0 và k  số nguyên không âm tuỳ ý 1 n n1, 2, ,n k1

Với mọi n   , nếu nqkr,q r, , 0 r k thì f n0 qkn k r

Ta chứng minh hàm f0 n như trên thoả mãn đề bài

Thật vậy, với mọi ,m n   mà mqkr n tk,  s q r t s, , , , , 0 r k, 0 s k

ii) Tồn tại x   sao cho 0 * f x 0 a.

III Sử dụng dãy số và các tính chất của ánh xạ, hàm số

Ta có thể sử dụng các kết quả sau khi giải các bài toán về phương trình hàm trên tập rời rạc:

1 Sử dụng các kết quả của dãy số

1.1 Dãy truy hồi tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng

n

u r A n B n  n  A B

1.3 Dãy truy hồi cấp 1 dạng u n1 f u n n , 

Phương pháp: Biến đổi để đưa về dạng      

1.4 Dãy truy hồi cấp 2 dạng u n2 f u u n , n1, n

Đặt v n φ u n Khi đó ta được một dãy truy hồi mới theo v đơn giản hơn n

2 Sử dụng các tính chất của ánh xạ (đơn ánh, toàn ánh, song ánh) hoặc các tính chất của hàm số như tính tuần hoàn, tính đơn điệu

3 Một số ví dụ áp dụng

3.1 Bài 3.1 Tìm tất cả các hàm số f : thoả mãn đồng thời các điều kiện:

i) f  1  1;

ii) 2f k f n   k2f n k3f n f k   ,k n, ,nk

Hướng dẫn: Giả sử f : là hàm số thoả mãn đề bài

Trong (ii), cho nk ta được 0

3

1110

3.3 Bài 3.3 Tìm tất cả các hàm số f : thoả mãn điều kiện

 

f f n  f n  n k   n , trong đó k là số tự nhiên cho trước

Hướng dẫn: Giả sử f : là hàm số thoả mãn đề bài

Xét dãy  a n xác định bởi a0 , với n n   và a n1 f a n ,   n

Nếu C  thì với n lẻ đủ lớn ta có 0 a  (mâu thuẫn với n 0 a n, n  )

Nếu C  thì với n chẵn đủ lớn ta có 0 a  (mâu thuẫn với n 0 a n, n  )

3.4 Bài 3.4 Tìm tất cả các hàm số f : thoả mãn điều kiện

Xét dãy  a n xác định bởi a0 , với n n   và a k1g a k ,   k

Khi đó ta có a k36a k13a k24a k, k a k33a k26a k14a k 0, k  Xét phương trình đặc trưng 3326  4 0

Phương trình này có 3 nghiệm 1 1, 2, 3 1 3 2 cos sin