SKKN toán học THPT (95)

1. Tên sáng kiến: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CỦA HỌC SINH THÔNG QUA CÁC DẠNG TOÁN VỀ ”HÀM SỐ ẨN, HÀM SỐ HỢP” TRONG KÌ THI THPT QUỐC GIA. 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học 3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 10092017 đến ngày 10062018 4. Tác giả: … Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 100%

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG THPT

-  BÁO CÁO SÁNG KIẾN

 -PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CỦA HỌC SINH THÔNG QUA CÁC DẠNG TOÁN VỀ “HÀM SỐ ẨN, HÀM SỐ HỢP”

TRONG KÌ THI THPT QUỐC GIA

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1. Tên sáng kiến: P H ÁT T R I Ể N N Ă N G LỰC C ỦA H Ọ C S I N H T H Ô N G

BÁO CÁO SÁNG KIẾN

I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

Từ năm học 2016-2017, đối với kì thi THPT Quốc gia,Bộ Giáo dục đã chuyển đổihình thức thi môn Toán từ hình thức thi Tự luận sang hình thức thi Trắc nghiệm.Đây là một sự thay đổi lớn đối với cả giáo viên và học sinh và các cấp quản lí Bắtđầu từ khi thi môn Toán dưới dạng trắc nghiệm cả giáo viên và học sinh đã phải

có những thay đổi trong cách dạy và cách học cho phù hợp Các dạng toán trắcnghiệm vô cùng phong phú và đa dạng đòi hỏi người học phải có nền tảng kiếnthức vững chắc và có cách nhìn nhận vấn đề sâu rộng Những bài toán được khaithác với những ý tưởng mới mẻ cùng với những lời giải đẹp được xuất hiện ngàycàng nhiều trong bài thi trắc nghiệm mà trước kia chưa từng xuất hiện trong các

bài thi tự luận Đặc biệt là những bài toán liên quan đến “Hàm số ẩn, hàm số hợp”mang đậm chất định tính, thiên về lý thuyết, đòi hỏi sự suy luận logic, không

thiên nhiều về định lượng, về kỹ năng tính toán, biến đổi phức tạp Những bàitoán đó rất phù hợp với hình thức thi môn Toán dưới dạng trắc nghiệm và đượcnhững người giải toán, những người yêu toán đón nhận vàquan tâm hàng đầu

“Hàm số hợp” là những hàm số có dạng y f u x   , trong đó u x là một biểu thức nào đó của ,x đối với những hàm số dạng này thì học sinh đã được làm quen

trong chương trình Toán phổ thông, nhưng “Hàm số ẩn”vẫn còn mới mẻ với đại

đa số học sinh “Hàm số ẩn”được đề cập trong chuyên đề này là những hàm số

 

y  f x nhưng chưa có định dạng bằng công thức cụ thể, tức là những hàm số

có thể cho bởi nhiều dạng khác nhau, chẳng hạn như: Bảng biến thiên hoặc hìnhdáng đồ thị của hàm số y  f x  hoặc biểu thức tính đạo hàm f x' , bảng xétdấu của đạo hàm f x' , bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số y  f x' , hoặccho hàm số y  f x  thỏa mãn đẳng thức nào đó ở dạng “phương trình hàm”.

Như vậy những bài toán liên quan đến “Hàm số ẩn, hàm số hợp” vẫn còn hết

sức mới, học sinh còn bỡ ngỡ và tỏ rõ sự lúng túng trước những bài toán lạ Bởi

lẽ để giải quyết được những bài toán trong chuyên đề này đòi hỏi học sinh phải có

nền tảng kiến thức vững chắc, phải được rèn luyện dưới hình thức Tự luận để hìnhdung một cách hệ thống các vấn đề, các dạng bài Ngoài ra học sinh cần một sựsuy luận logic, sắc bén, một cảm nhận tinh tế để đưa ra cách giải bài toán nhanhnhất, đưa ra kết quả chính xác trong thời gian ngắn nhất

Thực trạng trường THPT Trực Ninh học sinh chưa được tiếp cận nhiều vớinhững bài toán liên quan đến “Hàm số ẩn và hàm số hợp” Những em học sinh cóhọc lực khá, giỏi của trường đã có sự quan tâm và có niềm đam mê chinh phục nộidung Toán học này Các em học sinh khá, giỏi quan tâm đến những bài toán liênquan đến “Hàm số ẩn và hàm số hợp”bởi nội dung của Chuyên đề này thườngxuyên xuất hiện trong các đề thi thử THPT Quốc gia của các trường, các Sở Giáodục trong cả nước và đặc biệt trong đề thi Minh họa của Bộ Giáo dục và ở mức

độ khó Các em học sinh phải chiếm lĩnh được nội dung chuyên đề “Hàm số ẩn

và hàm số hợp”thì mới có cơ hội đạt điểm cao môn Toán và cơ hội trúng tuyểnnhững trường Đại học tốp đầu mà các em đang mơ ước Với mong muốn ngàycàng có nhiều em học sinh cảm thấy có hứng thú và có niềm đam mê chinh phụcnhững nội dung Toán học đỉnh cao này vàgiúp học sinh có tầm nhìn một cách hệthống và sâu sắc nhất, làm chủ trong các tình huống, tôi đã mạnh dạn viết chuyên

đề: Phát triển năng lực của học sinh qua dạng toán“hàm số ẩn, hàm số hợp” trong kì thi THPT Quốc gia.

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP

1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến

Trước khi học sinh được tiếp cận và giải quyết những bài toán liên quan đến

“Hàm số ẩn, hàm số hợp”, học sinh đã được tiếp cận và giải quyết những bài

toán, những chuyên đề liên quan đến hàm sốđược định dạng trước bằng công thức(hàm số được cho trước một cách tường minh, chẳng hạn như

  3 3 2 2

y  f x x  x  )một cách hệ thống, bài bản dưới hình thức Tự luận Đó là

những bài toán liên quan đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số, sự đơn điệu (đồngbiến, nghịch biến) của hàm số, cực trị của hàm số, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏnhất của hàm số, đường tiệm cận của đồ thị hàm số, đồ thị của hàm số, sự tươnggiao của các đồ thị hàm số Sự thuận lợi rất lớn đối với những bài toán liên quan

liên quan đến “Hàm số ẩn, hàm số hợp”học sinh chủ yếu sử dụng sự suy luận

logic, sự tương tự hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa, phác họa, mô phỏng hay dựđoán dựa trên những hình ảnh về đồ thị hay bảng biến thiên có trong giả thiết bàitoán

2 Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến

Báo cáo sáng kiến kinh nghiệm là một Chuyên đề bao gồm 8 Chủ đề, trongmỗi Chủ đề được trình bày theo cấu trúc gồm hai phần:

Phần 1: Kiến thức cơ sở: Bao gồm các kiến thức, lý thuyết cơ bản, cốt lõi và các

kiến thức mở rộng, các kết quả mang tính chất tổng quát hóa được sử dụng để giảinhanh, cho kết quả chính xác các ví dụ minh họa điển hình có trong phần 2

Phần 2: Các ví dụ minh họa điển hình: Bao gồm các ví dụ minh họa, đặc trưng

cho các đơn vị kiến thức trọng tâm khác nhau trong chủ đề Các ví dụ này được sắp xếpvới mức độ khó tăng dần và tập trung chủ yếu vào hai cấp độ: Vận dụng thấp và vậndụng cao Để giải quyết được các ví dụ trong mỗi chủ đề, học sinh cần đến sự hỗ trợ

đắc lực của Phần 1: Kiến thức cơ sởtrong chủ đề đó Ngoài ra học sinh cần huy động

tổng lực các phương pháp khác, chẳng hạn như: Phương pháp suy luận logic, phươngpháp tương tự hóa, tổng quát hóa hay đặc biệt hóa bài toán như ví dụ sau đây:

Ví dụ 3.10.(Đề thi thửTHPT Quốc Gia Chuyên LHP Nam Định năm 2017-2018)

Cho hàm sốy  f x  có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

thuộc đoạn 10; 10 để đồ thị hàm sốy f x  m có 11 điểm cực trị?

A 5. B 6. C 7. D 8.

Trong mỗi chủ đề các ví dụ được sắp xếp theo một thứ tự logic, có tính kết nối giữa các

ví dụ với nhau tạo thành một thể thống nhất Các chủ đề trong chuyên đề cũng có mốiliên hệ mật thiết với nhau, chẳng hạn giữa chủ đề 3: “Cực trị” và chủ đề 5 “Sự tươnggiao” thông qua ví dụ sau:

Ví dụ 3.11.Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục

trên � Biết đồ thị của hàm số y f x  như hình vẽ

Chuyên đề này tập trung nhiều ý tưởng mới mẻ và được quan tâm nhất, xuất hiện

trong các đề thi với tần số lớn nhất là các bài toán trong chủ đề 7: Bài toán liên quan đến đồ thị của đạo hàm y  f x'  và những bài toán có tính gợi mở mà tôi

sẽ tiếp tục phát triển viết chuyên sâu hơn trong thời gian tiếp theo là những bài toán

trong chủ đề 8: Tích phân của hàm số ẩn và ứng dụng của tích phân.

Đặc biệt trong mỗi ví dụ kết thúc bằng những bình luận sắc bén nhằm nhấn mạnh

những điểm mấu chốt của bài toán và đưa ra các cách giải khác để so sánh ưu điểm,nhược điểm với phương pháp đã trình bày để làm tăng thêm sự phong phú đa dạngcho lời giải của bài toán Qua đó học sinh thấy được những dấu hiện nổi bật của bàitoán để lựa chọn phương pháp giải toán cho phù hợp với hình thức thi dưới dạng trắcnghiệm Như vậy phần bình luận nhằm tổng kết lại phương pháp đã sử dụng và đưa

ra những phương hướng mới cho lời giải bài toán hay phát triển bài toán thành mộtlớp bài toán rộng hơn, chuyên sâu hơn nhằm giúp học sinh có góc nhìn đầy đủ, thấyđược bức tranh toàn cảnh của bài toán, của vấn đề và học sinh sẽ tự tin hơn, cảm thấy

có hứng thú hơn khi giải các bài toán tương tự trong chuyên đề Sau đây tôi trìnhbày những nội dung cụ thể của giải pháp trong sáng kiến.

Chủ đề 1 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ẨN, HÀM SỐ HỢP

A KIẾN THỨC CƠ SỞ.

1. Bài toán cơ bản về phương trình tiếp tuyến.

a Định lí 1: Cho hàm số y f x  xác định trên khoảng a b và có đạo hàm tại; 

 

0 ;

x �a b Gọi  C là đồ thị của hàm số đó Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến

 với đồ thị  C tại điểm M x f x 0;  0  thì ta có k  f x' 0

b Định lí 2: Phương trình tiếp tuyến  của đồ thị  C của hàm số y f x  tạiđiểm M x f x 0;  0  có phương trình y f x'  0 x x 0  f x 0

2 Một số kết quả cơ bản thường sử dụng.

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến  và k d là hệ số góc của đường thẳng d Khi đó

ta có một số kết quả cơ bản thường được sử dụng sau đây:

+) Nếu tiếp tuyến  song song với đường thẳng d thì ta có k k d.

+) Tiếp tuyến  vuông góc với đường thẳng d khi và chỉ khi k k. d  1.

+) Nếu tiếp tuyến  tạo với đường thẳng d một góc  thì 2 2

1cos

d d

3 Công thức đạo hàm của hàm số hợp.

Định lí: Nếu hàm số u g x   có đạo hàm tại x là u'xvà hàm số y  f u có đạo

hàm tại là u là y'u thì hàm hợp y f g x   có đạo hàm tại x là y'x  y u' ' u x

4 Một số kiến thức mở rộng.

Trong bài học này ngoài việc học sinh nắm được kiến thức cơ bản như phương trìnhtiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm, các công thức liên quan đến hệ số góccủa tiếp tuyến, công thức tính đạo hàm của hàm sốhợp thì học sinh cần biết đến kỹthuật lấy đạo hàm hai vế, kỹ thuật đồng nhất hệ số Chẳng hạn ta có đẳng thức0,

ax  �� thì hệ số 0x a hay đẳng thức ax2019 2018 x2019, �� thì hệx

số a 2018 hay ax2 bx 2019 2017 x22018x2019, �� thì 2017x a và2018

b

B MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA ĐIỂN HÌNH.

Ví dụ 1.1.(Đề thi thửTHPT Quốc GiaKim Liên Hà Nội năm học 2017-2018)

Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y f x  Biết rằng tại các điểm A, B, C đồ thị hàm số

có tiếp tuyến được thể hiện trên hình vẽ Hỏi mệnh đề nào dưới đây đúng?

+) Gọi   1, 2, 3 lần lượt là tiếp tuyến với đồ thị

của hàm số y f x  tại các điểm A B C, , Gọi k k k1, 2, 3 lần lượt là hệ số góc của các

tiếp tuyến   1, 2, 3 Khi đó ta có k1  f x' A , k2  f x' B , k3  f x' C

+) Mặt khác tiếp tuyến 1 song song với trục hoành nên có hệ số góc k1 0, suy ra

Bình luận: Đây là một bài toán đẹp về hình thức và cấu trúc đề bài lẫn nội dung

lời giải Bài toán mang tính chất định tính, thiên về lý thuyết nhằm kiểm tra kiến thức cơbản của học sinh về công thức tính hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại 1 điểmcho trước Đồng thời bài toán kiểm tra được khả năng quan sát tinh tế của học sinh,quan sát về góc tạo bởi tiếp tuyến của đồ thị hàm số với trục hoành Vì thế bài toán có

sự phân hóa rất tốt giữa đối tượng học sinh trung bình và học sinh khá

Ví dụ 1.2.Cho hàm số y f x  xác định và có đạo hàm trên �, thỏa mãn đẳng thức

+) Theo giả thiết ta có f  2x 4f x cosx2 ,x  ��x  1

Thay x  vào 2 vế của đẳng thức trên ta được 0 f  0 4f  0 � f  0 0

+) Ngoài ra tiếp tục lấy đạo hàm 2 vế của đẳng thức (1) ta được

     

2 ' 2f x 4 'f x cosx4f x sinx  ��2, x  2

Thay x vào 2 vế của đẳng thức trên ta được 0 2 ' 0f   4 ' 0f   2� f ' 0  1

+)Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x  tại điểmO0; 0 là

       

: y f ' 0 x 0 f 0 1 x 0 0 x

Bình luận: Bài toán chưa cho hàm số y  f x  một cách tường minh mà chỉ mô ta

thông qua một đẳng thức, điều này làm cho học sinh khá lúng túng, vì trước đó học sinhchỉ được tiếp cận với những bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số chotrước công thức rõ ràng Trước bài toán khá lạ này học sinh cần có những suy luận nhấtđịnh, chẳng hạn ta cần đi tìm các đại lượng f  0 và f ' 0   Từ giả thiết

 2 4  cos 2 , ,

f x  f x x x  �� học sinh lựa chọn một giá trị thích hợp là 0x x để

thay vào đẳng thức trên tìm được f  0 , sau đó để tính được f ' 0  thì một kỹ năngquan trọng ở dạng toán này là đạo hàm hai vế và tính thành thao đạo hàm của hàm sốhợp, cuối cùng thay giá trị thích hợp là x vào hai vế thu được.0

Ví dụ 1.3.(Đề thi thửTHPT Quốc GiaChuyên Hà Tĩnh lần 2 năm học 2018)Cho hàm số y  f x  có đạo hàm liên tục trên � thỏa mãn đẳng thức

x vào đẳng thức (1) ta được

x vào đẳng thức (2) ta được

Bình luận: Ý tưởng của bài toán có sự khác biệt với bài toán trước, bài toán được nâng

cấp ở mức tư duy cao hơn Nếu như bài toán trước chỉ cần lựa chọn 1 giá trị của x để

tìm tung độ của tiếp điểm và hệ số góc của tiếp tuyến thì ở bài toán này học sinh phải

lựa chọn 2 giá trị của x thích hợp là x  và 0

12

xthu được hệ phương trình để tìmđược f  1 và f ' 1 ,  từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến.

Ví dụ 1.4.(Đề thi thửTHPT Quốc GiaHoàng Văn Thụ lần 1 năm học 2018)Cho hàm số y f x  có đồ thị là  C có đạo hàm trên tập số thực , �vàthỏa mãn

4 1 2f  x f ' 1 2 x  1 3f 1x f ' 1x ,  ��x 2

Thay x0 vào đẳng thức (2) ta được 3 ' 1 f    f 2 1 4f    1 ' 1f  1 0 3  

Trường hợp 1: Với f  1 0thay vào đẳng thức (3) không thỏa mãn.

Trường hợp 2: Với f  1  1 thay vào đẳng thức (3) ta được ' 1  1

Bình luận: Kỹ thuật để giải bài toán này giống hệt bài toán trên nhưng kỹ năng tính

toán cao hơn khi học sinh phải tính đạo hàm của những hàm số hợp phức tạp (2 lần hàmhợp) Điều này dẫn đến học sinh có những sai sót nhất định khi phải giải quyết bài toántrong thời gian ngắn

Ví dụ 1.5.(Đề thi học sinh giỏi Thành Phố Hồ Chí Minh năm học 2017-2018)Cho

hàm số y  f x  xác định và có đạo hàm trên �thỏa mãn đẳng thức

Viết phương trình tiếp tuyến của

đồ thị hàm số y f x  tại điểm có hoành độ bằng 0.

Bình luận: Kỹ năng tính đạo hàm của học sinh trong bài toán này được đẩy lên mức

cao hơn khi phải tính đạo hàm của hàm số hợp và của biểu thức dạng tích Điều này dẫnđến kết quả đạo hàm khá cồng kềnh và học sinh dễ nhầm lẫn trong quá trình tính toán

Ví dụ 1.6.(Đề thi thửTHPT Quốc GiaChuyên Lam Sơn lần 3 năm học 2018)Cho hàm số y f x  vày g x   đều có đạo hàm trên �thỏa mãn

2017-  0,

f x � x�� và f32 x 2f22 3 x  x g x2   36x  ��0, x Viếtphương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x  tại điểm có hoành độ bằng 2.

+) Lấy đạo hàm 2 vế đẳng thức (1), ta được đẳng thức

             

3f 2 x f ' 2 x 12f 2 3x f ' 2 3x 2xg x x g x' 36 0, x 2

Thay x0 vào (2) ta được 3f2   2 f ' 2 12f    2 f ' 2 36 0 � f ' 2  1

+) Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f x tại điểm M2; 2 là

: y f ' 2 x 2 f 2 1 x 2 2 x

Bình luận: Điểm mới mẻ của bài toán so với các bài toán trước là giả thiết có sự xuất

hiện của hàm số y g x  , điều này dẫn đến học sinh tỏ ra khá lưỡng lự khi đưa raphương án giải quyết bài toán Tuy nhiên do cấu trúc đặc biệt nên khi thay giá trị thíchhợp x  thì kết quả thu được không phụ thuộc vào hàm số 0 y g x  

Ví dụ 1.7.Cho hai hàm số y f x  và y f f x    có đạo hàm liên tục trên � Gọi

   C1 , C2 lần lượt là đồ thị của các hàm số y  f x  và y  f f x    Biết tiếp tuyến

của đồ thị  C1 tại điểm có hoành độ bằng 1 có phương trình là y x .Viết phương trình

tiếp tuyến của đồ thị  C2 tại điểm có hoành độ bằng 1.

+) Xét hàm số y g x    f f x    có đồ thị là C2 Gọi Mlà điểm có hoành độ bằng 1

thuộc đồ thị C2 Khi đó g 1  f f  1   f  1 1, suy ra điểm M 1; 1

Bình luận: Cấu trúc và ý tưởng của bài toán đã rẽ sang một hướng khác và vì thế kỹ

thuật xử lí bài toán đã thay đổi để thích ứng với yêu cầu đặt ra Đây là mô hình bài toán

có sự kết hợp 2 hay nhiều hàm số Bài toán cho biết phương trình tiếp tuyến của đồ thịnày, yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị kia Bài toán khá lạ và mới mẻ vàlời giải bài toán dựa trên kỹ thuật đồng nhất và sự suy luận logic hết sức tự nhiên

Ví dụ 1.8.Cho các hàm số y f x y ,  f f x   , y  f x 2 4 có đồ thị lần lượt là

   C1 , C2 ,  C3 Biết phương trình tiếp tuyến của các đồ thị    C1 , C tại điểm có2

hoành độ bằng 1 lần lượt có phương trình y 2x1, y 6x1. Phương trình tiếp tuyến

của đồ thị  C tại điểm có hoành độ bằng 1 là 3

Khi đó h' 1  2 ' 3f   12 và điểm P� C3 �P1; f  3  hay P 1; 7

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C tại điểm 3 P 1; 7 là

3: y h' 1 x 1 7 12 x 1 7 12x 5

Bình luận: Bài toán đã có sự tăng cường về số lượng hàm số tham gia bài toán Để

hoàn thành bài toán thì học sinh phải trải qua nhiều bước trung gian Rèn luyện cho họcsinh tư duy kế thừa, biết vận dụng kết quả có được ở bước trước để vận dụng thực hiệnbước sau Chẳng hạn sau khi khai thác giả thiết phương trình tiếp tuyến của hàm số

 ,

y f x học sinh vận dụng kết quả có được để khai thác tiếp phương trình tiếp tuyến

của hàm số y g x    f f x    cuối cùng vận dụng kết quả thu được từ hai hàm số

trên để khai thác tiếp hàm số y h x    f x 2 4  Bên cạnh đó kỹ năng làm việc với

những hàm số hợp cũng được đề cao trong bài toán này

Ví dụ 1.9.(Đề thi thửTHPT Quốc GiaSở Hà Tĩnh nămhọc 2017-2018)

Cho các hàm số y  f x y ,  f f x   , y  f x 2 4

có đạo hàm trên �vàcó đồ thịlần lượt là      C1 , C2 , C3 Đường thẳng x cắt 1      C1 , C2 , C lần lượt tại3

, ,

M N P Biết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C tại điểm M và của đồ thị1  C tại2

điểm N có phương trình y 3x và 12 5.2 y  x Phương trình tiếp tuyến của đồ thị

hay

 

1; 5 

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C tại điểm 2 N1; f  5 

Khi đó h' 1  2 ' 5f   8 và điểm P� C3 �P1; f 5  hay P 1; 7

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C tại điểm 3 P 1; 7 là

3: y h' 1 x 1 7 8 x 1 7 8x 1

Bình luận Kỹ thuật xử lí bài toán này giống hệt bài toán trước, tuy nhiên cách ra đề

theo kiểu luyến lái, cách điệu, không tường minh so với bài toán trước đã làm học sinhgặp nhiều khó khăn hơn

Ví dụ 1.10.(Đề thi thửTHPT Quốc Gia Quảng Ngãi lần 1 năm học 2017-2018)Cho

hàm số y f x  có đạo hàm tại x1 Gọi d d1, 2lần lượt là tiếp tuyến của các đồ thịhàm số y f x  và y g x    xf 2x1 tại điểm có hoành độ bằng 1 Biết rằng

hai đường thẳng d d1, 2 vuông góc với nhau Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng?

+) Theo giả thiết hai tiếp tuyến d d vuông góc với nhau nên1, 2

Bình luận: Bài toán đã có ý tưởng khác biệt so với những bài toán ở trên khi không yêu

cầu trực tiếp là viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số mà hỏi vấn đề liện quanđến tiếp tuyến Cụ thể bài toán đề cập đến mô hình 2 hàm số ứng với 2 đồ thị, bàn vềmối quan hệ hệ số góc của 2 tiếp tuyến Kỹ thuật xử lí bài toán là trước hết học sinh cầnnắm được công thức tính hệ số góc của tiếp tuyến, mối quan hệ về hệ số góc của 2 tiếptuyến vuông góc,sau đó điểm nhấn và là mấu chốt của lời giải bài toán là học sinh phải

nhìn ra đẳng thức    2    

2 f ' 1  f ' 1 f 1 1 0  là phương trình bậc haiẩn t f ' 1 

Ví dụ 1.11.(Đề thi thửTHPT Quốc Gia Cổ Loa lần 2 năm học 2017-2018)Cho hàm

số y  f x  có đạo hàm tại x2 Gọi d d lần lượt là tiếp tuyến của các đồ thị hàm1, 2

số y f x  và y g x    x f2 3x4 tại điểm có hoành độ bằng 2 Biết rằng hai

đường thẳng d d1, 2 vuông góc với nhau Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng?

góc là k2  g' 2   4f  2 12 ' 2 f  

+) Theo giả thiết hai tiếp tuyến d d vuông góc với nhau nên 1, 2 k k1 2  1

Bình luận: Bài toán có cấu trúc giống hệt bài toán trước, chỉ có điều chỉnh nhỏ về độ

phức tạp của biểu thức hàm số Với sự trải nghiệm của bài toán trước, học sinh dễ dàngchinh phục được bài toán này

Ví dụ 1.12.(Đề thi thửTHPT Quốc GiaChuyên Thái Bình năm học 2017-2018)Cho

Bình luận: Đây là bài toán đẹp cả về hình thức, cấu trúc đề bài lẫn nội dung lời

giải Bài toán có sự tham gia cả 3 loại hàm số y f x y g x y h x  ,   ,    khiến

nhiều học sinh chưa thể định hình ngay được cách giải Lời giải bài toán xuất phát từviệc khai thác đạo hàm của hàm số h x 

, từ đó biết vận dụng giả thiết

Chủ đề 2 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ẨN, HÀM SỐ HỢP

A KIẾN THỨC CƠ SỞ.

Cho K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng nào đó của � và hàm số

 

y  f t liên tục trên miền K Khi đó ta có một số kết quả sau đây:

1 Cho hàm số y  f t  đơn điệu trên K Khi đó với mọi u v, thuộc tập K thỏa mãnphương trình f u   f v  khi và chỉ khi u v  .

2 Cho hàm số y f t  đồng biến trên K Khi đó với mọi u v , thuộc tập K thỏa mãn

bất phương trình f u   f v  khi và chỉ khi u v  .

3 Cho hàm số y f t  nghịch biến trên K Khi đó với mọi u v , thuộc tập K thỏamãn bất phương trình f u   f v  khi và chỉ khi u v  .

4 Cho hàm số y f x  đơn điệu trên K thì trên K, phương trình f x  0có nhiều

nhất một nghiệm Điều đó cũng có nghĩa là trên K, phương trình f x  0 nếu có

nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

5 Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên khoảng a b, 

Nếu trên khoảng a b, phương trình f x'  0có n n ��*

nghiệm phân biệt thì trên khoảng a b, phương trình f x  0 có không quá n nghiệm phân biệt Cần lưu ý là kết quả1này khi sử dụng phải chứng minh, chúng ta nên dùng nó như một dấu hiệu để nhậnbiết, còn khi trình bày vào bài làm thì nên lập bảng biến thiên của hàm số f x  trênkhoảng a b, 

6 Giải phương trình bằng phương pháp hàm số đại diện có nghĩa là chúng ta biến đổi

phương trình đã cho về dạng f u x     f v x    , x K� Trong đó hàm số y  f t  làhàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng a b;  và các biểu thức

     , ; ,

u x v x �a b x K� Khi đó phương trình f u x     f v x    �u x   v x

7 Giải bất phương trình bằng phương pháp hàm số đại diện có nghĩa là ta biến đổi bất

phương trình đã cho về dạng f u x     f v x   , x K� Trong đó hàm số

Bình luận: Ta xét bài toán tổng quát: Cho hàm số y f x  có đồ thị hoặc bảng biến

thiên cho trước Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y g x    f u x   .Đối với bài toán này trước hết học sinh phải nắm vững công thức tính đạo hàm của hàm

số hợp Sau đó khai thác hình ảnh đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y f x  để

lấy được nghiệm của bất phương trình g x'  0 hoặc g x'  0, từ đó suy ra khoảng

đồng biến, nghịch biến của hàm số y  g x   f u x   

Trong bài toán này, học sinh có học lực trung bình gặp nhiều khó khăn khi giải bấtphương trình f ' 2018 x 0, ở đây ta đặt t 2018x ta được f t'  0 Mặt khác từ

đồ thị của hàm số y f x  , ta suy ra hàm số y  f x  đồng biến trên các khoảng

Một hướng phát triển bài toán nữa là gắn thêm tham số m, chẳng hạn tìm điều kiện của

tham số m để hàm số y g x    f x m   đồng biến hoặc nghịch biến trên một

khoảng cho trước Khi đó bài toán sẽ phát sinh nhiều tình huống khó lường hơn

Ví dụ 2.2.Cho hàm số y f x  liên tục trên

� và có đồ thị như hình vẽ bên Hỏi hàm số

Hơn nữa từ đồ thị của hàm số y  f x  , ta thấy hàm số y  f x  nghịch biến trên

mỗi khoảng 0; 2 và 4;  �, suy ra f x'   0, x�0; 2 � 4; �

Bình luận: Bài toán vẫn có ý tưởng tương tự như bài toán trước nhưng có thần thái

riêng khi có sự điều chỉnh độ phức tạp của hàm số y g x   bằng cách pha trộn hàm số

mũ, hàm số hợp để làm tăng mức độ, kỹ năng tính đạo hàm, xét dấu đạo hàm Mấu chốt

 

y f x

của bài toán vẫn là khai thác hình ảnh đồ thị của hàm số y  f x  để suy ra sự đồngbiến và nghịch biến của hàm số đó

Để giải bất phương trình f x'  2020  0ngoài cách như trên, chúng ta có thể đặt ẩn

phụ t x 2020, x��. Khi đó bất phương trình trở thành f t'   0 Từ đồ thị của hàm

số y  f x  ta suy ra đồ thị của hàm số y  f t  (Hình dáng, cấu trúc của đồ thị khôngphụ thuộc vào biến số, tức là đồ thị không thay đổi khi ta thay đổi biến số) Khi đó hàm

số y f t  nghịch biến trên mỗi khoảng 0; 2 và 4;  �, suy ra

Ví dụ 2.3.Cho hàm số y  f x  xác định và liên tục trên � đồng thời có đạo hàm

được tính bằng công thức f x'   1 x x  2  g x 2018,trong đó hàm số y g x  

có đồ thị như hình vẽ dưới đây Đặt h x   f 1 x 2018x2019, ��x Hỏi hàm

số y h x  đồng biến trên khoảng nào sau đây ?

O

+) Từ đồ thị của hàm số y g x   ta thấy g x   0, x� �� g1  x 0, x�� Khi đóh x'   0 � x3 x  0 � 0  x 3.

+) Vậy hàm số y h x    f 1 x 2018x2019 đồng biến trên 0; 3  Chọn A.

Bình luận: Bài toán với sự xuất hiện của 3 hàm số khác nhau

y f x y g x y h x  khiến học sinh khá lúng túng, chưa định hướng được ngay

cách giải bài toán Biểu thức đạo hàm của hàm số y h x   có chứa biểu thức

' 1 ,

f x trong khi đó giả thiết cho f x'   1 x x  2  g x 2018,từ đây học sinh

f    x �� x ���� x ��g  x x x g  x x��

Ngoài ra một điểm nhấn nữa để phân loại học sinh là kỹ năng đánh giá, theo giả

thiết g x   0, x� �� g1  x 0, x��.Như vậy để giải quyết được bài toán học sinh cần có những suy luận logic, chặt chẽ, biết khai thác triệt để giả thiết, bài toán này được xếp ở mức độ vận dụng thấp

Ví dụ 2.4.Cho hàm số y  f t  liên tục

trên � và có đồ thị như hình vẽ bên Hỏi

có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của

tham số m thuộc đoạn 10; 10 để

 

y f t

Khi đó phương trình đã cho có dạng f u   f v   1

+) Từ đồ thị của hàm số y f t  ta thấy hàm số y f t  nghịch biến trên khoảng

1; � và u v, �1; �.Khi đó phương trình 1 �u v � x2   2x 3 2 x m 2

 

2 2

m

+) Trường hợp 2: Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt, phương trình (1) vô nghiệm

Khi đó giá trị tìm được của m là

3.2

m

+) Trường hợp 3: Phương trình (1) có nghiệm kép, tìm được

3,2

m

khi đó x2 và

phương trình (2) có 2 nghiệm là x 2, x  2. Vậy phương trình đã cho có 3

nghiệm.

+) Trường hợp 4: Phương trình (2) có nghiệm kép, tìm được khi đó x0 và phương

trình (1) có 2 nghiệm là x  2 2, x 2 2. Vậy phương 3 nghiệm.

+) Trường hợp 5: Phương trình (1) và (2) có hai nghiệm giống nhau

Tóm lại với

12

m

hoặc

32

m

thì phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt

Khi đó có 20 giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 10; 10 Chọn B.

Bình luận Về mặt kiến thức và cũng là mấu chốt, bản chất của bài toán, với hình thức

bài toán, hầu như tất cả học sinh đều có thói quen và cảm nhận một cách cơ học là

 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2

Học sinh cần hiểu rõ bảnchất của bài toán thông qua cơ sở lý thuyết như sau:

O 1

Cho hàm số y f t  là hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên a b; 

và các biểuthức u x v x     , �a b; ,x K� Khi đó phương trình f u x     f v x    �u x   v x Thật vậy nếu ngược lại u x   v x ,  �x K hoặc u x   v x , �x K thì do giả

thiếthàm số y  f t  là hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng a b;  dẫn đến

 

của bài toán là f u x     f v x   ,  �x K

Vận dụng trong bài toán này là hàm số y f t  đồng biến trên khoảng 1; � và

cần giải quyết tốt bài toán có chứa tham số m, chẳng hạn kỹ năng kiểm soát các trường

hợp xảy ra, kỹ năng phân chia trường hợp, kỹ năng tính toán

Ví dụ 2.5.Cho hàm số y f t  liên tục trên � và có

đồ thị như hình vẽ bên Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số m để phương trình

Khi đó phương trình f  sinx  2 f  3 cosx m 2

m�   Vậy có tất cả 5 giá trị nguyên của m cần tìm Chọn B.

Bình luận: Bài toán tiếp tục kiểm tra kiến thức của học sinh về hàm số đại diện, khi mà

hàm số đại diện được cho bởi đồ thị Trong bài toán này

là các biểu thức lượng giác đơn giản Biến đổiphương trình đã cho về phương trình lượng giác thường gặp, cơ bản Khi đó học sinh dễ

dàng chiếm lĩnh được điều kiện của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ 2.6.Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên � thỏa mãn f x  12

và

 

   

2 2 2

với m0. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham

số m thuộc khoảng 0; 2018 để bất phương trình  3 2    3  

+) Theo giả thiết 2f x   1 0và 2    1   1 2

Do m là số nguyên dương nên m1.Vậy có 1 giá trị cần tìm của m Chọn A

Bình luận: Mấu chốt của bài toán là đi tìm kiếm hàm số y f x . Khi đó học sinh

phải nhìn nhận được giả thiết của bài toán có thể tạo ra được hàm số đại diện

1 Nghiệm bội chẵn, nghiệm bội lẻ.

a Nghiệm x a được gọi là nghiệm bội chẵn của phương trình f x   0 nếu x a

thỏa mãn f a   0 và nghiệm này xuất hiện chẵn lần Chẳng hạn xét một số phương

trình  2018

1 0

x  Khi đó biểu thức  2018

1

x không đổi dấu khi đi qua nghiệm x1

b Nghiệm x b được gọi là nghiệm bội lẻ của phương trình f x   0 nếu x b thỏa

mãn f b   0 và nghiệm này xuất hiện lẻ lần Chẳng hạn ta xét một số phương trình:

điểm N n ; 0 thìx n là nghiệm kép hoặc nghiệm bội 3 của phương trình g x   0.

Nếu hàm số y h x   ax4 bx3cx2 dx e a  �0 có đồ thị  C3 tiếp xúc vớitrục hoành tại điểm P p ; 0 thì x  p là nghiệm kép hoặc bội 3 hoặc bội 4 của

không đạt cực trị tại x 0.Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số

không có đạo hàm Chẳng hạn như hàm số y g x    xđạt cực tiểu tại x 0, nhưnghàm số không có đạo hàm tại x0.Hàm số chỉ đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo

hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm

x là một điểm cực đại của hàm số y f x  .

+) Nếu f x'  0 trên khoảng x0 h x; 0 và f x'  0 trên khoảng x x0 ; 0 h thì

0

x là một điểm cực tiểu của hàm số y f x  .

 Định lí 3: Cho hàm số y f x  có đạo hàm cấp hai trong khoảng

 0 ; 0 

K  x h x h với h0. Khi đó

+) Nếu f x' 0 0, ''f  x0 0 thì hàm số y f x  đạt cực đại tại x0.

+) Nếu f x' 0 0, ''f  x0 0 thì hàm số y f x  đạt cực tiểu tại x0.

Chú ý: Nếu f x' 0 0, ''f  x0 0 thì chưa khẳng định được điểm x0 có là điểmcực trị của hàm số y f x  hay không Hơn nữa chiều ngược lại của định lí trên nóichung không đúng, chẳng hạn xét hàm số y f x  x4 có x0  0 là điểm cực tiểu,

thế nhưng f ' 0  0, '' 0f   0 hay hàm số yg x   x4 có x0  0 là điểm cực

đại, thế nhưng g' 0  0, '' 0g   0 Học sinh thường mắc sai lầm trong định lí này,chẳng hạn mắc

sai lầm khi giải bài toán ” Tìm m để hàm số y h x  mx4 đạt cực tiểu tại x0  0”.

3 Tính chất, kết quả mở rộng liên quan đến cực trị của hàm số.

  C1

  C2

  C3

Cho hàm số y f x  liên tục và có đạo hàm trên � Khi đó ta có một số kết quả sau:

 Kết quả 1: Nếu đồ thị của hàm số y f x  có n điểm cực trị thì đồ thị của hàm số

đó cắt trục hoành tại tối đa n1 điểm phân biệt.

Chẳng hạn xét các hàm số y f x , y g x  , y h x   liên tục trên � và có đồ thị lầnlượt là      C1 , C2 , C3 như hình vẽ Khi đó hàm số y f x  có 8 điểm cực trị và cắt

trục hoành tại 9 điểm phân biệt, hàm số y g x   có 7 điểm cực trị và cắt trục hoành tại

8 điểm phân biệt, hàm số y h x   có 8 điểm cực trị và cắt trục hoành tại 9 điểm phân

biệt

 Kết quả 2: Gọi m n, lần lượt là số cực trị của các hàm số y f x  , y f x  và p

là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x  và trục hoành thì ta có đẳng thức

m n p 

Chẳng hạn trong hình vẽ trên, đồ thị của hàm số y f x  có 3 điểm cực trị đồng thời

cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt và hàm số y f x  có 3+4=7 điểm cực trị.

B MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA ĐIỂN HÌNH

Ví dụ 3.1.Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên � và có đạo hàm

  2017  2018 2019

f x  x x x  ��x Tìm số cực trị của hàm số 2

5 4

2 2

x

x x

đồng tất cả các nghiệm của đạo hàm Vì thế học sinh có thể mắc sai lầm là chọn D.

Ví dụ 3.2.(Đề thi thửTHPT Quốc GiaĐặng Thúc Hứa lần 2 năm học

2017-2018)Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên � và có bảng xét dấu đạo hàm dưới đây

Hỏi hàm số y f x 2  2x có bao nhiêu điểm cực trị?

Bình luận: Bài toán với hình thức và cấu trúc đơn giản nhưng nếu học sinh không thực

sự nắm chắc chắn và hiểu sâu sắc kiến thức về cực trị của hàm số thì sẽ mắc sai lầm Cụthể là từ bảng xét dấu của biểu thức đạo hàm f x'  , học sinh mới nhận ra nghiệm củađạo hàm mà chưa quan tâm đến dấu của đạo hàm Khi đạo hàm f x'  đi qua nghiệm



 '

g x

g x  f x  x đổi dấu khi đi qua các nghiệm x 1 2, x 1 2, nhưng thực tế

các nghiệm này khi biểu thức đạo hàm đi qua không đổi dấu, vì những nghiệm này lànhững nghiệm bội chẵn mà nguyên nhân chính xuất phát từ nghiệm x1 của biểu thức

đạo hàm f x'  trong đề bài là nghiệm bội chẵn Vì thế để tránh mắc phải sai lầm đángtiếc học sinh phải rèn luyện kĩ năng đọc bảng biến thiên tốt hơn, chẳng hạn biết phânloại tính chất nghiệm của đạo hàm, ý thức được sự đổi dấu của đạo hàm

Ví dụ 3.3.(Đề thi thửChuyên Đại Học Vinhlần 3 nămhọc 2017-2018)Cho hàm số

1 1 2018 1 2018 2 0

12018

1 2

2 1 2018 1 2018 2 0

2018

1 22018

+) Ta có bảng biến thiên của hàm số y f 1 2018 x trên � như sau:

Từ đó suy ra hàm số y f 1 2018 x có tối đa 9 điểm cực trị Chọn A.

Bình luận: Để giải nhanh và cho kết quả chính xác bài toán theo tinh thần hình thức thi

Trắc nghiệm thì học sinh cần nắm được một số kết quả tổng quát sau đây:

Cho hàm số y f x  liên tục và có đạo hàm trên � Khi đó

+) Kết quả 1:Nếu đồ thị của hàm số y f x  có n điểm cực trị thì đồ thị hàm số đócắt trục hoành tại tối đa n1 điểm.

+) Kết quả 2:Gọi m n, lần lượt là số cực trị của các hàm số y f x  , y f x  và p là

số giao điểm của đồ thị hàm số y f x  và trục hoành thì ta có đẳng thức m n p 

+) Vận dụng các kết quả trên, ta có hàm số y f 1 2018  xcó 4 điểm cực tri nên đồthị của hàm số đó cắt trục hoành tối đa tại 5 điểm phân biệt Từ đó suy ra hàm số

1 2018 

y f  x có tối đa 4+5=9 điểm cực trị.Chọn A.

Một góc nhìn khác rất phù hợp với tinh thần thi theo hình thức Trắc nghiệm là sốđiểm cực trị của hàm số y f x  chính bằng số điểm cực trị của hàm số

1 2018 

y f  x , từ đó số điểm cực trị của hàm số y f x  chính bằng số điểm cực

trị của hàm số y f 1 2018  x . Từ đó, bài toán trở thành: Hỏi hàm số y f x  cónhiều nhất bao nhiêu điểm cực tri? Bài toán lúc này nhẹ nhàng hơn nhiều, từ giả thiết ta

có hàm số y f x  có 4 điểm cực tri nên đồ thị của hàm số y f x  cắt trục hoành tạitối đa 5 điểm phân biệt Khi đó hàm số y f x  có nhiều nhất 4+5=9 điểm cực trị Tổng quát hơn là ta khẳng định được số điểm cực trị của hàm số y f x  chính bằng

số điểm cực trị của hàm số y f ax b  , trong đó a b, ��. Từ đó suy ra số điểm cực

trị của hàm số y f x  chính bằng số điểm cực trị của hàm số y f 1 2018  x .

Ví dụ 3.4.(Đề thi thửChuyên Đại Học Vinh lần 1 nămhọc 2017-2018)

Cho hàm số y f x  có đạo hàm    2 2 

f x  x x  x với mọi x��. Hỏi có bao

nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số f x 2   8x m có 5 điểm cực trị?

Vì m là số nguyên dương và m16 nên có tất cả 15 giá trị cần tìm của m Chọn A.

Bình luận: Bài toán này cũng tiếp nối tinh thần của các bài toán trước là ta quan tâm

đến sự đổi dấu của biểu thức đạo hàm khi đi qua các nghiệm của nó, cụ thể biểu thứcđạo hàm của hàm số f x 2   8x m không đổi dấu khi đi qua các nghiệm của phương

trình x2    8x m 1 0nên điểm cực trị của hàm số không là nghiệm của phương trình

đó Hơn nữa bài toán còn có chứa tham số m nên sẽ gây ra không ít khó khăn cho học

sinh

Ví dụ 3.5.(Đề thi thửĐô Lương Nghệ An lần 3 nămhọc 2017-2018)

Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x'  x20182x 3 x2  2mx 4 với mọi x��.

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số f x 2

có đúng 1 điểm cựctrị?