091 đề hsg toán 8 sầm sơn 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ SẦM SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 MÔN TOÁN NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm các giá trị nguyên của để P nhận giá trị[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ SẦM SƠN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 MÔN TOÁN NĂM HỌC 2022-2023 Bài 1 (4,0 điểm)

Cho biểu thức

:

P

1) Rút gọn biểu thức P

2) Tìm các giá trị nguyên của xđể P nhận giá trị nguyên

Bài 2 (4,0 điểm)

1) Tìm phần dư của phép chia đa thức P x cho x1 x31

biết P x  chia cho

x 1

thì dư 1, P x  chia cho x 3 1

thì dư x2 x 1

2) Giải phương trình :x 3 x 5 x 6 x10 24x2 0

Bài 3 (4,0 điểm)

1) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi

2) Cho số nguyên tố p 3và hai số nguyên dương a b, sao cho p2a2 b2 Chứng minh achia hết cho 12

Bài 4 (6,0 điểm) Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB M A B,  Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ ABvẽ các hình vuông AMCD BMEF, và giao điểm hai đường chéo mỗi hình vuông lần lượt là O O, ' Gọi Hlà giao điểm của AEvà BC

1) Chứng minh rằng AE BC

2) Gọi Ilà giao của ACvà BE.Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng DFvà ba điểm H D F, , thẳng hàng

3) Chứng minh rằng đường thẳng DFluôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB

Bài 5 (2,0 điểm) Cho các số dương a b c, , thỏa mãn abc 1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu

S

ĐÁP ÁN Bài 1 (4,0 điểm)

Cho biểu thức

:

P

3) Rút gọn biểu thức P

ĐKXĐ: x0,x1

 

   

 

 

 

2

2

2 2

1

P

x



Vậy

2

1

x

P

x



 với x0,x1

4) Tìm các giá trị nguyên của xđể P nhận giá trị nguyên

 

Kết hợp với điều kiện ta được x 2

Bài 2 (4,0 điểm)

3) Tìm phần dư của phép chia đa thức P x cho x 1 x3  1

biết P x  chia cho

x 1thì dư 1, P x chia cho x 3 1

thì dư x2 x 1

Đặt P x   x1 x31Q x ax3bx2cx d

với mọi x

Vì ax3 bx2 cx d a x 3  1bx2 cx d a 

Từ P x chia cho x 3 1dư x2 x 1

Suy ra bx2 cx d a x   2  x 1 b1;c1;d a 1

Lại có P x chia cho x 1dư 1 P 1 1 hay a b c d    1 a d  1 d0,a1 Vậy đa thức dư là x3x2x

4) Giải phương trình :x 3 x 5 x 6 x10 24x2 0

Với x 0.Không thỏa mãn phương trình đã cho

Với x 0,ta có : x211x30 x213x30 24x2 0

         

30

y x

x

 

, khi đó ta có phương trình :

2 2

2

30 7 7

17

7 49

2

15

x

y

x x

x

x



















Vậy x 2;15

Bài 3 (4,0 điểm)

3) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi

Gọi số đo 3 cạnh của tam giác là x y z, , trong đó zlà cạnh huyền x y z Z, , 



Ta có : xy2x y z    1 (theo đề bài)

Và x2y2 z2 2 (theo định lý Pytago)

Từ    

2 2

2 :z  x y  2xythay (1) vào ta được :

2

        

Thay vào (1) ta được :

 

4 4 8 1.8 2.4 1 8 2 4

Vậy x y z ; ;   5;12;13 , 12;5;13 , 6;8;10 , 8;6;10       

4) Cho số nguyên tố p 3và hai số nguyên dương a b, sao cho p2a2 b2

Chứng minh achia hết cho 12

Ta có p2a2 b2  p2 b2 a2 b a b a     b a và b a phải là ước dương của p2

Mà do pnguyên tố nên ước dương của p2là 1; ;p p2

Do b a b a   với mọi a b, nguyên dương và pnguyên tố lớn hơn 3nên không xảy ra trường hợp b a b a   p

2

1

b a p

b a

  



 



Mà p nguyên tố và p 3, suy ra p lẻ nên p1,p1là hai số chẵn liên tiếp Suy ra

 p1 p1 8  2 8a  a4 1 

Lại có p1; ;p p1là 3 số tự nhiên liên tiếp nên trong đó phải có 1 số chia hết cho 3 mà

plà số nguyên tố lớn hơn 3 nên pkhông chia hết cho 3 p1hoặc p 1phải chia hết cho 3  p1  p1 3  2 3a  a3 2 

Từ (1) và (2) kết hợp với UCLN3; 4 1 a12

Vậy với nguyên tố p 3và 2 số nguyên dương a b, sao cho p2a2 b2thì a12

Bài 4 (6,0 điểm) Cho điểm Mdi động trên đoạn thẳng AB M A B,  Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ ABvẽ các hình vuông AMCD BMEF, và giao điểm hai đường chéo mỗi hình vuông lần lượt là O O, ' Gọi Hlà giao điểm của AEvà BC

I

H

O'

F O

D

E C

4) Chứng minh rằng AE BC

( )

Mà BCM MBC90  EAM MBC90  AHB90 Vậy AEBC

5) Gọi Ilà giao của ACvà BE.Chứng minh Ilà trung điểm của đoạn thẳng DF

và ba điểm H D F, , thẳng hàng

Từ gt suy ra DMAIBA45  DM / /IB Tương tự có AC MF/ / Từ đó OMO I' là hình bình hành nên OI O M ' và OI O M/ / '  OI O F ' và OI/ /MFnên OIFO'là hình bình hành Do đó IF OO IF OO/ / ',  ' 1 

Chứng minh tương tự ta cũng có DI OO/ / 'và DI OO ' 2 

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm D I F, , thẳng hàng và DI IF nên I là trung điểm của đoạn thẳng DF

Gọi Olà giao điểm của AC DM, .AHCH 90và HO là đường trung tuyến

vuông tại H Do đó  DHM 90 Chứng minh tương tự ta có MHF 90

Do đó DHM  MHF 180 Vậy ba điểm D H M, , thẳng hàng

6) Chứng minh rằng đường thẳng DFluôn đi qua một điểm cố định khi điểm M

di động trên đoạn thẳng AB

Vì Ilà trung điểm của DF.Kẻ IK AB K AB IKlà đường trung bình của hình

(không đổi)

Do A, B cố định nên K cố định, mà IKkhông đổi nên I cố định Vậy đường thẳng DF

luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB

Bài 5 (2,0 điểm) Cho các số dương a b c, , thỏa mãn abc 1.Tìm giá trị lớn nhất của

S

Ta có a12b2 1 a2b22a 2 2ab2a 2 2ab a 10

 

  

Dấu bằng xảy ra khi a b

;

b c     c a    

Từ đó suy ra :

S

ab a bc b ca c abcb abc bc bc b abc bc b

bc b bc b bc b

Dấu bằng xảy ra khi a b c  1 Vậy

1

1 2