168 đề hsg toán 8 kim sơn 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KIM SƠN ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM 2022 2023 MÔN TOÁN 8 Câu 1 (4,0 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử b) Tìm các cặp số nguyên sao cho c) Cho với là các số thỏ[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KIM SƠN

ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM 2022-2023

MÔN TOÁN 8 Câu 1 (4,0 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x42013x22012x2013

b) Tìm các cặp số nguyên x y; sao cho 3x2 y2 2xy 2x 2y40 0

c) Cho f x ax2bx c với a b c, , là các số thỏa mãn 13a b 2c0 Chứng tỏ rằng

 2   3 0

f  f 

Câu 2 (4,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức A là số nguyên

2) Giải phương trình : 3 2 2 2

0

2x  3x  8x 12 x  4 2 x  7x 6 2 x 3

Câu 3 (3,5 điểm)

a) Hưởng ứng ngày chủ nhật xanh – sạch – đẹp Học sinh khối lớp 8 nhận làm vệ sinh một đoạn đường em chăm Lớp 8A nhận 10 mét và 10% của phần còn lại, lớp 8B nhận 20 mét và 10% của phần còn lại, lớp 8C nhận 30 mét và 10% của phần còn lại cứ chia như vậy cho đến lớp cuối cùng thì vừa đủ và phần đường của mỗi lớp dài bằng nhau Hỏi khối 8 có bao nhiêu lớp và đoạn đường mỗi lớp nhận dài bao nhiêu mét ?

b) Cho tam giác ABCcó a,b,c là độ dài ba cạnh và p là nửa chu vi

Chứng minh rằng :

2

p a p b p c a b c

      

Câu 4 (4,0 điểm) Cho hình vuông ABCD,trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AEAF Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N

a) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật

b) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng AC2EF

c) Chứng minh rằng 2 2 2

AD AM  AN

Câu 5 (3,5 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A, đường cao AH Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC

a) Chứng minh AH2 HB HC.

b) Chứng minh AH3BD CE BC .

c) Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tứ giác ADHE, chứng tỏ tam giác

ABCvuông cân

Câu 6 (1,0 điểm) Cho A p1  p1 Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn

3 thì A chia hết cho 24

ĐÁP ÁN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KIM SƠN

ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM 2022-2023

MÔN TOÁN 8 Câu 1 (4,0 điểm)

d) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x42013x22012x2013

2013 2012 2013 2013 2013 2013

e) Tìm các cặp số nguyên x y; sao cho 3x2 y2 2xy 2x 2y40 0

Ta có :

1 2 41 3 1 1 41 1.41 1 41 41.1 41 1

10 10 10 10

x y

y x

x

y

Vậy các cắp số nguyên (x;y) cần tìm là 10; 12 ; 10; 32 ; 10;30 ; 10;10        

f) Cho f x ax2bx c với a b c, , là các số thỏa mãn 13a b 2c0 Chứng tỏ rằng f 2   f 3 0

Ta có : f 2 4a 2b c f ;  3 9a3b c f ; 2 f  3 13a b 2c0nên

Hoặc f  2 0và f  3  0 f 2   f 3 0 1 

Hoặc f  2và f  3 là hai số đối nhau nên f 2   f 3 0 2 

Từ (1) và (2) được f 2   f 3 0

Câu 2 (4,0 điểm)

c) Rút gọn biểu thức A

 

1

x



d) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức A là số nguyên

Với x 1ta có :

1

1

x

 Vậy x 0; 2 thì A nguyên

0

2x  3x  8x 12 x  4 2 x  7x 6 2 x 3

0 2;

0 (2 3)( 2)( 2) ( 2)( 2) 2 3 2 2 3

0 (2 3)( 2)( 2)

1( )

5( )

x tm

x tm







              

 Vậy phương trình có tập nghiệm S 1;5

Câu 3 (3,5 điểm)

c) Hưởng ứng ngày chủ nhật xanh – sạch – đẹp Học sinh khối lớp 8 nhận làm vệ sinh một đoạn đường em chăm Lớp 8A nhận 10 mét và 10% của phần còn lại, lớp 8B nhận 20 mét và 10% của phần còn lại, lớp 8C nhận 30 mét và 10% của phần còn lại cứ chia như vậy cho đến lớp cuối cùng thì vừa đủ và phần đường của mỗi lớp dài bằng nhau Hỏi khối 8 có bao nhiêu lớp và đoạn đường mỗi lớp nhận dài bao nhiêu mét ?

Gọi x(m) là chiều dài đoạn đường cả khối 8 làm vệ sinh (x 0)

Lớp 8A nhận đoạn đường dài : 10 0,1( x10) 0,1 x9

Sau khi lớp 8A nhận đoạn đường còn lại : x 0,1x9 0,9x 9

Lớp 8B nhận đoạn đường dài : 20 0,1 0,9  x 9 20  0,09x17,1

Ta có phương trình : 0,1x 9 0,09x17,1  x810( )tm

Vậy khối 8 có 9 lớp Mỗi lớp nhận làm đoạn đường dài 90m

d) Cho tam giác ABCcó a,b,c là độ dài ba cạnh và p là nửa chu vi

Chứng minh rằng :

2

p a p b p c a b c

      

Áp dụng bất đẳng thức

m n



 

 với x y , 0

Ta có với p là nửa chu vi và a b c, , là độ dài ba cạnh của một tam giác nên

2

2

2

1 1

1 1

1 1

p a p b p a p b c

p a p c p a p c b

p b p c p b p c a

















 Cộng từng vế của ba bất đẳng thức trên ta được :

Dấu bằng xảy ra khi p a  p b p c a b c   ABClà tam giác đều

Câu 4 (4,0 điểm) Cho hình vuông ABCD,trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AEAF Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và

BC lần lượt tại hai điểm M, N

H

M

F

C

B A

D

E

d) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật

Ta có DAM ABF(cùng phụ với BAH)

ABAD gt BAFADM   (ABCD là hình vuông)

( )

ADM BAF g c g DM AF

     , mà AF AE gt( ) AEDM

Lại có AE/ /DM vi AB DC( ` / / )

Suy ra tứ giác AEMDlà hình bình hành Mặt khác DAE90 gt

Vậy tứ giác AEMDlà hình chữ nhật

e) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng AC2EF

AB BH ABH FAH g g

AF AH

BC BH

AB BC AE AF

Lại có HABHBC(cùng phụ với ABH) CBH∽ AEH c g c( )

2 ,

CBH

EAH

 

2

2 2

CBH EAH

 

trung điểm của AB, F là trung điểm của AD

Do dó BD2EF hay AC2EF dfcm( )

AD AM  AN

Do AD CN gt/ /   Áp dụng hệ quả định lý Talet ta có :

CN MN  AM MN

Lại có MC/ /AB gt( ) Áp dụng hệ quả định lý Talet ta có :

AN AB  AN MN hay

AD MC

AN MN

Pytago



           

1

        

Câu 5 (3,5 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A, đường cao AH Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC

E D

H

A

B

C

d) Chứng minh AH2 HB HC.

Chứng minh được

2

HC AH

e) Chứng minh AH3 BD CE BC. .

Theo chứng minh câu a ta có : AH2 HB HC.  AH4 HB HC2. 2 1

BH BD

AB BH

Chứng minh tương tự ta có : HC2 CE AC. (3)

Thay (2) và (3) vào (1) ta có AH4 BD CE AB AC. . .

Mà AB AC BC AH.  . 2S ABC AH4 BD CE BC AH. . .  AH3 BD CE BC. .

f) Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tứ giác ADHE, chứng tỏ tam giác ABCvuông cân

Tứ giác ADHE là hình chữ nhật ADH AEH DAE90nên

2

1

4

DHA

ABC

S

S

2

1

4

DHA ABC

S AH DHA ABC g g

 

 

∽ Gọi M là trung điểm của BC, ABCvuông tại A nên :

 

2

2

 

 

Từ (1) và (2)

          

Vậy, nếu S ABC 2S ADHEthì tam giác ABCvuông cân tại A

Câu 6 (1,0 điểm) Cho A p1 p1 Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì A chia hết cho 24

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ Do đó p2k1k Z k , 1

Suy ra A(p1)(p1) 2 (2 k k2) 4 ( k k1)

Vì k và k+1 là hai số nguyên liên tiếp nên k k 1 2  A8

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3 Do đó

3 1

3 2

 



  

 Nếu p3m 1  p1 3, Nếu p3m 2  p1 3  A3

Do đó A luôn chia hết cho 3

Vì A8,A3 &UCLN(3,8) 1  A24