092 đề hsg toán 8 quan sơn 22 23

UBND HUYỆN QUAN SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (3,5 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức a) với b) , biết và 2) Phân tích đa thức thành nhân tử Bà[.]

UBND HUYỆN QUAN SƠN _ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8

NĂM HỌC 2022-2023 Bài 1 (3,5 điểm)

1) Tính giá trị biểu thức

a)

2

4 1

2 1

x A

x





 với x 1 b) Bx3y3342020

, biết x y 5và xy 6 2) Phân tích đa thức thành nhân tử :

a x  y  xy x y

 2     

b x  x x x 

Bài 2 (2,5 điểm) Cho biểu thức 2 2 2 2 2 2

:

2

xy A

a) Tìm điều kiện của x y, để giá trị A được xác định

b) Rút gọn A

c) Tìm giá trị lớn nhất của Akhi x y, làm cho axác định và thỏa mãn

2 2

3x y 2x 2y1

Bài 3 (2,0 điểm) Giải phương trình sau :

2

b

Bài 4 (4,0 điểm)

a) Tìm x y Z,  thỏa mãn 2y x x y2    1 x22y2xy

b) Cho avà a k a ; 2klà các số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng kchia hết cho 6

Bài 5 (6,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông cân tại A Điểm M thuộc cạnh BC.Gọi E F, theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB AC, Chứng minh rằng khi M chuyển động trên

BCthì

a) Chu vi của tứ giác MEAFkhông đổi

b) Đường thẳng đi qua M và vuông góc với EF luôn đi qua điểm K cố định

c) Tam giác KEFcó diện tích nhỏ nhất khi M là trung điểm của BC

Bài 6 (2,0 điểm) Cho x y z, , là các số dương thỏa mãn x y z  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

16 4

P

x y z

ĐÁP ÁN Bài 1 (3,5 điểm)

3) Tính giá trị biểu thức

c)

2

4 1

2 1

x A

x





 với x 1

ĐKXĐ:

1 2

x 

Với

1

x tm A x



     

 Vậy với x 1thì A 1hoặc A 3

d) Bx3y3342020

, biết x y 5và xy 6

Ta có :

Do xy 6 x22.6y2 25 x2y2 13

Ta lại có x3y334x y x   2y2 xy34  5 13 6   341

 3 3 342020  12020 1

B x y

4) Phân tích đa thức thành nhân tử :

2

2

8 11 4 8 11 4 15

Bài 2 (2,5 điểm) Cho biểu thức 2 2 2 2 2 2

:

2

xy A

d) Tìm điều kiện của x y, để giá trị A được xác định

ĐKXĐ: xy

e) Rút gọn A

2 2

:

2

2

xy A

y x y x

x y x

  

f) Tìm giá trị lớn nhất của Akhi x y, làm cho axác định và thỏa mãn

2 2

3x y 2x 2y1

Ta có :

 

Do  

2

Bài 3 (2,0 điểm) Giải phương trình sau :

a x x x    x  x  

Đặt

2

      

     

 Vậy S   4;4

2

t u tu Nghiemle do sai de

Bài 4 (4,0 điểm)

c) Tìm x y Z,  thỏa mãn 2y x x y2    1 x22y2xy

1:

1

2 :

1

th

y

th

y





Vậy

2; 1

0; 1







d) Cho avà a k a ; 2klà các số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng kchia hết cho 6

Do alà các số nguyên tố lớn hơn 3 nên a3k1hoặc a3k2 k N k *, 1

*Với a3k1mà a k cũng là số nguyên tố lớn hơn 3 nên k3hoặc k chia 3 dư 1 -Với k3 a2kkhông chia hết cho 3 và a2k 3(thỏa mãn ) (1)

-Với kchia 3 dư 1 thì a2k3(loại)

*Với a3k2mà a k cũng là số nguyên tố lớn hơn 3 nên k3hoặc k chia 3 dư 2 -Với k3 a2kkhông chia hết cho 3 và a2k 3(thỏa mãn ) (2)

- Với kchia 3 dư 2  a2k3(loại)

Từ (1) và (2) ta có k3

Do avà a k và a2klà các số nguyên tố lớn hơn 3 nên a a k a,  , 2kđều là các số lẻ Nên klà số chẵn => k2

Từ (3) và (4)  k6(vì 2,3 nguyên tố cùng nhau)

Bài 5 (6,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông cân tại A Điểm M thuộc cạnh BC.Gọi

,

E Ftheo thứ tự là hình chiếu của M trên AB AC, Chứng minh rằng khi M chuyển động trên BCthì

K

H

G

F E

B

M

d) Chu vi của tứ giác MEAFkhông đổi

Xét tứ giác MEAFcó EAFMEAAFM 90  MEAFlà hình chữ nhật

Xét MFCvuông tại F có MCF 45 gt  MFCvuông cân tại F MF FC

 Chu vi tứ giác MEAFlà 2AF MF  2AF FC  2AC

Mà ABCcố định nên chu vi của tứ giác MEAFkhông đổi

e) Đường thẳng đi qua M và vuông góc với EFluôn đi qua điểm K cố định

Gọi giao điểm của đường thẳng đi qua M và vuông góc với EF với đường thẳng đi qua C

và vuông góc với CA là K ta chứng minh K là điểm cố định

Thật vậy: Gọi G là giao điểm của EM và KC Ta có MGKCnên MGCvuông cân tại

C GM GC , Mà GC MF (do tứ giác MGCFlà hình chữ nhật) GM MF

 Tứ giác MGCFlà hình vuông

Ta có MFH HMFEMH HMF90 gt

MFH EMH

   Mà EMH KMG(đối đỉnh)

   hay EFM KMG

Xét EMFvà KMGcó : EMFKGM 90 ; MF MG cmt( ),EFM KMG cmt( )

( )

     (hai cạnh tương ứng)

Do đó KC KG GC EM FC    AF FC AC CK CA

f) Tam giác KEFcó diện tích nhỏ nhất khi M là trung điểm của BC

Ta có : S KEM S BEM;S KFM S CMF

KEF KEM KMF EMF BEM MFC EMF BEFC ABC AEF

Do đó S KEFnhỏ nhất khi S AEFlớn nhất  AE AF. lớn nhất  AEAF M là trung điểm của BC

Vậy KEFcó diện tích nhỏ nhất khi M là trung điểm của BC

Bài 6 (2,0 điểm) Cho x y z, , là các số dương thỏa mãn x y z  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

16 4

P

x y z

Ta chứng minh bài toán sau : Với a b, là hai số bất kỳ và x y, là các số dương ta có :

a b2 a2 b2



 

 Thật vậy , từ

 

1



 



Do x y , 0nên :

2

1

2

a b xy a y x y b x x y

a xy abxy b xy a xy a y b x b xy

a y abxy b x ay bx luon dung

Khi đó ta cũng chứng minh được ,

Với a b c, , là các số bất kỳ và x y z, , là các số dương, ta có :

a b c2 a2 b2 c2

x y z x y z

 

  Dấu bằng xảy ra khi

a b c

x y z Ta có :

2

2

1 1 4 16 1 1 2 4

1 2 4

P

P

P

x y z

        

 

 

Dấu bằng xảy ra khi

1 x 7 y 7 z 7

x y z x y z

 

  Vậy