050 đề hsg toán 8 sầm sơn 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ SẦM SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 NH 2022 2023 Câu 1 Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức M b) Tìm giá trị nguyên của để biểu thức M nhận giá trị nguyên Câu 2 a[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ SẦM SƠN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 _NH 2022-2023 Câu 1.

Cho biểu thức

1

2 8 8 4 2

M

a) Rút gọn biểu thức M

b) Tìm giá trị nguyên của xđể biểu thức M nhận giá trị nguyên

Câu 2.

a) Giải phương trình :  

3

3 3

3 16 2

x

x x



 

  

 



  b) Tìm các nghiệm tự nhiên x y, của phương trình :

x24y2282 17x4y414y249

Câu 3.

a) Cho nlà số nguyên dương và mlà ước nguyên dương của 2 n2 Chứng minh rằng 2

n mkhông phải là số chính phương

b) Cho p q, là hai số nguyên tố sao cho p q 3và p q 2.Chứng minh rằng p q 12

Câu 4 Cho ABCvuông tại A AB AC , đường cao AH H BC Trên tia HClấy điểm D sao cho HA HD Đường thẳng vuông góc với BCtại D cắt ACtại E

a) Chứng minh BEC∽ ADC Tính độ dài đoạn thẳng BEtheo m AB

b) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BE.Chứng minh BHM∽ BEC Tính số đo góc

AHM

c) Tia AM cắt BC tại G Chứng minh

BC AH HC

Câu 5 Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn xyz 1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu

A

ĐÁP ÁN Câu 1.

Cho biểu thức

1

2 8 8 4 2

M

c) Rút gọn biểu thức M

2 2

2

2 2

0

1

2

2 8 8 4 2

2

x

M

x

x







 

Vậy

1 2

x

M

x





với x 0; 2

d) Tìm giá trị nguyên của xđể biểu thức M nhận giá trị nguyên

Ta có :

2

x



1

x

Vậy x 1; 1  thì M nguyên

Câu 2.

c) Giải phương trình :  

3

3 3

3 16 2

x

x x



 

  

 



 

     

3

3 3

x



           

16









Đặt

 32

2

x

t x





 Phương trình trở thành :

2

t  t    t t  t   t t   t t    VN 

 

Với

2

x

x



              

 Vậy tập nghiệm của phương trình là S  1

d) Tìm các nghiệm tự nhiên x y, của phương trình :

x24y2282 17x4y414y249

2

2

Đặt

2

2

0

x a

  





  

 Phương trình trở thành :  

a b  a  b 

2x y 2x y 7

Vì x y Z,   2x y x y Z ; 2    2x y x y U ; 2   (7)   1; 7

Câu 3.

a) Cho nlà số nguyên dương và mlà ước nguyên dương của 2 n2 Chứng minh rằng

2

n mkhông phải là số chính phương

Đặt

2

2n km m n

k

với k  * Giả sử n2m a 2

2

2

n

k

2

k k  k k

nên n2 mkhông là số chính phương (đpcm)

b) Cho p q, là hai số nguyên tố sao cho p q 3và p q 2.Chứng minh rằng

12

p q 

Vì qlà số nguyên tố lớn hơn 3 nên q3k1,q3k2k *

Nếu q3k 1 p3k 3 3(vì p là số nguyên tố lớn hơn 3)

Nếu q3k 2 p3k4

Vì q là số nguyên tố lớn hơn 3 nên klẻ nên k+1 chẵn

Ta có p q 6k 1 12( dfcm)

Câu 4 Cho ABCvuông tại A AB AC , đường cao AH H BC   Trên tia HClấy điểm D sao cho HA HD Đường thẳng vuông góc với BCtại D cắt ACtại E

D H

A

B

C

a) Chứng minh BEC∽ADC Tính độ dài đoạn thẳng BEtheo m AB

BEC ADC

 ∽ 

EC AC EDC AHC

DC HC

AC BC ACH BCA

HC AC

Từ (1) và (2) ta có :

EC BC AC EC CD

CD AC HC  BC AC

Xét BECvà ADCcó : ;

EC CD

C

BC AC  chung  BEC∽ ADC c g c( )

45

EBC EAD EBC ECD EAD ECB

AEB

   

ABE

  vuông cân tại A suy ra BEAB 2m 2

b) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BE.Chứng minh BHM ∽BEC Tính số đo góc AHM

BM BE  BE  AB AB

Lại có

AB BH BC BH BC BM BE

BM BC

Xét BHM và BECcó : ;

BH BE

B

BM BC  chung  BHM∽ BEC c g c( )

135

 ∽        AHM 135  BHA45

c) Tia AM cắt BC tại G Chứng minh

BC AH HC

Do

HA AB AHC BAC

HC AC

HC AC HC HD AC AB

Do ABEcân, AM BE AMlà phân giác của BAE

dfcm

GC AC BG GC AB AC BC AB AC HA HC

Câu 5 Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn xyz 1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu

A

Ta chứng minh bất đẳng thức sau : x3y3 xy x y    1 Ta có :

 1  x3y3 x y xy2  2  0 x x y2  y y x2    0 x y  2 x y  0(luôn đúng với mọi x,y dương) Áp dụng vào bài ta có :

3 3

1

x y  xy x y xyz xy x y z 

;

y z  yz x y z z  x  zx x y z 

Cộng từng vế ta được :

1

x y z A

xy x y z yz x y z zx x y z zx x y z

 

Vậy Max A 1 x  y z 1