Giáo án Toán 12 Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số43216

Định nghĩa : Chú ý: Muốn tìm GTLN hoặc GTNN của hàm số trên khoảng trên đoạn ta lập bảng biến thiên trên khoảng trên đoạn tính các giá trị đầu mút đó.. Dựa vào bảng biến thiên để

1

-CHƯƠNG 1 : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ CẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu :

Ví du 1ï: Chứng minh rằng hàm số :

a) f(x) = x3 – 6x2 + 5 nghịch biến trên đoạn [ 0 ; 4 ]

b) f(x) = - x3 + 3x + 10

Ví du 2: Xét chiều biến thiên của hàm số :

a) y = x + c) y = x3 – 2x2 + x – 3

x

4

3 4

b) y = x3 –x2 + 2x – 3 d) y = 2x5 + 5x4 + x3 –

3

1

3

10

3 7

Bài tập tự luận:

Bài 1: Chứng minh rằng :

a) Hàm số y = x3 + x – 11 đồng biến trên R

b) Hàm số y = sin2x – 3 x + 11 nghịch biến trên R

c) Hàm số y = nghịch biến trên khoảng ( 1 ; + )

1

1



d) Hàm số y = 3x3 – 6x2 + 4x – 5 đồng biến trên R

e) Hàm số y = đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

2

2





x x

f) Hàm số y = nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó

1

3 2

2









x

x x

g) Hàm số y = x5 – x4 + x3 – 7 đồng biến trên R

5

3

2 3

h) Hàm số y = x3 + x – cosx – 4 đồng biến trên R

i) Hàm số y = x + sinx cosx - 10 đồng biến trên R

j) Hàm số y = x – sinx đồng biến trên nữa khoảng [ 0 ; + ) 

Bài 2: Xét chiều biến thiên của các hàm số :

a) y = x2 + 3x + 2 b) y = x3 – 2x2 + x + 1

c) y = x + d) y = x -

x

1

x

2

§1: QUAN HỆ GIỮA TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f/(x) > 0 x I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I 

b) Nếu f/(x) < 0 x I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I

c) Nếu f/(x) = 0 x I thì hàm số f lấy giá trị không đổi trên khoảng I

2

-e) y = x4 – 2x2 – 5 f) y = x4 + x3 – 11

3 8

g) y = 3x3 – 3x2 + x – 12 h) y = x4 – x3 + 2x2 – x + 3

2

1 3 5

k) y = m) y =

x

x





2

1

5

9 8

2







x

x x

n) y = 2x – i) y =

3

1



1

Bài tập trắc nghiệm:

* Xác định điểm cực đại và cực tiểu của hàm số

Cách 1:

 Nếu f//(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại

 Nếu f//(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu

Cách 2: Lập bảng biến thiên , dựa vào bảng biến thiên để kết luận

Ví dụ 1: Tìm cực trị của các hàm số :

a) f(x) = x3 – x2 – 3x + b) f(x) = x + - 5

3

1

3

5

x

4

c) f(x) = x4 – 2x2 + 1 d) f(x) = x

4

4x

Bài tập tự luận:

Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số :

a) f(x) = x2 – 3x + 5 b) f(x) = x3 + 2x2 + 3x – 1

3 1

c) f(x) = x3 – x2 + 2x – 10 d) f(x) = x +

3

1

x

1

e) f(x) = x5 – x3 f) f(x) =

5

1

3

1

1

3 3

2







x

x x

g) f(x) = 2 h) f(x) =

8x

1

2 

x x

Bài 2: Tìm các hệ số a, b, c, d của hàm số f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

Sao cho hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 ; f(0)= 0 và đạt cực đại tại điểm x = 1 ;

f(1) = 1

Hàm số f có tập xác định D và x 0 D 

x 0 là điểm cực trị của hàm số f  f / (x 0 ) = 0

3

-Bài 3: Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx + c

đạt cực trị bằng 0 tại điểm x = - 2 và đồ thị của hàm số đi qua điêm A( 1 ; 0 )

Định nghĩa :

Chú ý:

Muốn tìm GTLN hoặc GTNN của hàm số trên khoảng ( trên đoạn ) ta lập bảng biến

thiên trên khoảng ( trên đoạn tính các giá trị đầu mút ) đó Dựa vào bảng biến thiên để kết luận

Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số :

a) f(x) = 2 b) f(x) = x3 – 3x + 3 trên đoạn [- 3; ]

4x

2 3

c) f(x) = x + trên khoảng ( 1 ; + )

1

1



a) f(x) = x2 +2x – 5 trên đoạn [ - 2 ; 3 ]

b) f(x) = + 2x2 + 3x – 4 trên đoạn [ - 4 ; 0 ]

3

3

x

c) f(x) = x + trên khoảng ( 0 ; + )

x

1

 d) f(x) = - x2 + 2x + 4 trên đoạn [ 2; 4 ]

e) f(x) = trên đoạn [ 0 ; 1 ]

2

4 5

2 2







x

x x

f) f(x) = x – trên nữa đoạn ( 0 ; 2 ]

x

1

TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Giả sử hàm số f(x) xác định trên tập hợp số thực D

a) Nếu tồn tại một điểm x0 D sao cho f(x) f(x0 ) , x0 D   

thì số M = f(x0 ) đgl GTLN của hàm số f trên tập D

kí hiệu: M = max f ( x )

D

b) Nếu tồn tại một điểm x0 D sao cho f(x) f(x0 ) , x0 D    

thì số m = f(x0 ) đgl GTNN của hàm số f trên tập D

kí hiệu: m = min f ( x )

D

4

-Định nghĩa :

Chú ý: Cách tìm các tiệm cận

Ví dụ: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang các hàm số sau:

a) y = b) y =

2

1

2





x

x

2 2

1

3 5

x

x





c) y = d) y =

1

2

2





x

x

1

1

2





x x

Bài tập tự luận: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang các hàm số sau:

a) y =

2

3

2





x

3

2 2







x x

c) y = 1 –

x

x

e) y =

10 11 6

2

2  x

x

1

1

2 

x

g) y = 2

4

1

x

 2

3 2

1



x

1) Đường thẳng y = y0 đgl Đường tiệm cận ngang ( Gọi tắc là tiệm cận ngang ) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu

lim f ( x ) y0 hoặc



 lim f ( x ) y0





2) Đường thẳng x = x0 đgl đường tiệm cận đứng ( Gọi tắc là tiệm cận đứng ) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu

 ( )

lim

0

x f

x x







 ( )

lim

0

x f

x x

1) Muốn tìm tiệm cận đứng ta giải phương trình mẫu số bằng không tìm nghiệm ( VD:hàm số f(x) = có tiệm cận đứng x = - 2 )

2

4 5

2 2







x

x x

2) + Hàm số có bậc tử = bậc mẫu thì tiệm cận ngang y = hệ số bậc cao nhất chia nhau ( VD: hàm số y = có tiệm cận ngang y = - 1 )

x

x



 2 1

+ Hàm số có bậc tử < bậc mẫu thì tiệm cận ngang y = 0

+ Hàm số có bậc tử > bậc mẫu thì không có tiệm cận ngang

5

-i) y =

3

3

2 



x

9

2 

x x

m) y = 2

x

1

3 5

x

x





k) y =

6 5

1

2  



x

x

x2 1

Bài tập 1: Tìm các khoảng lồi ,lõm và điểm uốn của các đồ thị hàm số sau :

a) y = 2x3 – 6x2 + 2x b) y =

2

5 3 2



 x x

c) y = d) y = x3 + 6x – 4

x

x

x2  4

e) y = 2 f) y = 3x5 – 5x4 + 3x – 2

2 4

2 4



 x

x

Bài tập 2: Tìm a và b để đồ thị của hàm số y = x3 – ax2 + x + b nhận điểm I ( 1; 1 ) làm điểm uốn

Bài tập 3: Tìm a để đồ thị của hàm số y = x4 – ax2 + 3

a) có hai điểm uốn

b) không có điểm uốn

Bài tập 4: chứng minh rằng đường cong y = có 3 điểm uốn cùng nằm trên một

1

1

2 



x x

đường thẳng

 f//(x) > 0 , x ( a; b ) = >   đồ thị của hàm số f(x) lõm  x ( a; b )

 f//(x) < 0 , x ( a; b ) = >   đồ thị của hàm số f(x) lồi  x ( a; b )

 f//(x0) = 0 = > x0 là điểm uốn

 Điểm uốn là trung điểm của cực đại và cực tiểu

6

-Công thức chuyển hệ toạ độ: Tịnh tiến theo vectơ OI

M(x; y) đối với hệ toạ độ Oxy thì M( X; Y) đối với hệ toạ độ IXY Với I( x0;y0)

Ví du1 ï:

Cho ( P ):y = x2 + 2x – 1

a) Xác định toạ độ đỉnh của ( P )

b) Viết công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI và viết

phương trình của ( P )đối với toạ độ IXY

Ví du2 ï:

Cho ( P ):y = 2x2 – 4x

a) Xác định toạ độ đỉnh của ( P )

b) Viết công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI và viết

phương trình của ( P )đối với toạ độ IXY

Ví du 3 ï:

Cho ( H ):y =

1

1 2





x x

a) Tìm giao điểm I của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị ( H )

b) Viết công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI và viết

phương trình của ( H )đối với toạ độ IXY

Ví du 4 ï:

Cho ( H ):y =

2

1





x x

a) Tìm giao điểm I của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị ( H )

b) Viết công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI và viết

phương trình của ( H )đối với toạ độ IXY

Bài tập tự luận:

Bài 1: Xác định toạ độ đỉnh của ( P ) Viết công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh

tiến theo vectơ OI và viết phương trình của ( P )đối với toạ độ IXY

a) y = 2x2 – 3x + 1 b) y = x – 4x2

Bài 2:















0

0

y Y

y

x X

x M  ()  y = f(x) đối với hệ toạ độ Oxy

M  ()  Y + y0 = f( X + x0 ) đối với hệ toạ độ IXY

§6: PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TOẠ ĐỘ

7

-Tìm giao điểm I của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị ( H ) đối với mỗi hàm số dưới đây Viết công thức chuyễn hệ trục toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI và

viết phương trình của ( H )đối với toạ độ IXY

a) y = b) y =

1

2

3





x

x

1 1

2





x

Bài 3:

a) Vẽ đồ thị ( C ) của hàm số y = f(x) =





















1 x Nếu

Nếu 4 10 4

1 1

2 2

x x

x x

b) Chứng minh rằng trên khoảng ( - ; 1 ) đồ thị ( C ) nằm phí trên đường thẳng 

y = 2x và trên lhoảng ( 1 ; + ) đồ thị ( C ) nằm phí dưới đường thẳng đó 

c) Từ đồ thị ( C ), hãy chỉ ra cách vẽ đồ thị hàm số

y = - f(x) và y = | f(x) |

Bài 4:

Cho hàm số : f(x) = x3 – 6x2 + 9x – 1 ( C )

a) Xác định điểm I ( x0; y0 ) thuộc đồ thị ( C ) của hàm số đã cho , trong đó x = x0 là nghiệm của phương trình f// (x) = 0

b) Viết công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI và viết phương

trình của ( H )đối với toạ độ IXY

c) Từ đó , suy ra rằng điểm I là tâm đối xứng của đường cong ( C )

CÁC BƯỚC KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bước 1: Tìm tập xác định và xét tính chẵn ,lẻ ,tuần hoàn của hàm số ( nếu có )

Bước 2: Xét sự biến thiên của hàm số

 Tìm giới hạn tại vô cực và các đường tiệm cận của hàm số ( nếu có )

 Lập bảng biến thiên của hàm số từ đó suy ra hàm số đồng biến ,

nghịch biến , cực đại, cực tiểu , lồi , lõm , điểm uốn ( Nếu có )

Bước 3: Vẽ đồ thị hàm số

 Vẽ các đường tiệm cận của hàm số ( nếu có )

 Tìm giao điểm với các trục toạ độ ( Nếu đồ thị không cắt các trục toạ độ

hoặc giao điểm phức tạp thì bỏ qua )

 Tìm một số điểm khác , ngoài các điểm cực đại , cực tiểu, điểm uốn để

vẽ đồ thị chính xác hơn

8

-Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) y = x3 – 3x2 – 9x – 5 b) y = – x3 + 3x2 – 4x + 2

* Các kiến thức cơ bản thường sử dụng:

1 Định nghĩa giá trị tuyệt đối : 2 Định lý cơ bản:

3 Một số tính chất về đồ thị:

a) Đồ thị của hai hàm số y= f(x) và y= -f(x) đối xứng nhau qua trục hoành

b) Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng

c) Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

* Ba dạng cơ bản:

Bài toán tổng quát:

Từ đồ thị (C): y = f(x), hãy suy ra đồ thị các hàm số sau:

















) ( :

) (

) ( :

) (

) ( :

) (

3 2 1

x f y C

x f y C

x f y C

Dạng 1: Từ đồ thị (C):y  f(x)(C1):y f(x)

Cách giải

Minh họa

f(x)=x^3-3*x+2

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8 -6 -4 -2

2 4 6 8

x

y

y = x 3 -3x+2

f(x)=x^3-3*x+2 f(x)=abs(x^3-3*x+2)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8 -6 -4 -2

2 4 6 8

x y

(C): y = x 3 -3x+2

2 3 :

)

1 y x  x

C

y=x 3 -3x+2

y=x 3 -3x+2

















B A

B B















0 A nếu

0 A nếu

A

A A

B1 Ta có :

















(2) 0

f(x) nếu

(1) 0 f(x) nếu ) (

) ( ) ( :

) ( 1

x f

x f x f y C

B2 Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị (C1) như sau:

 Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (1) )

 Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ( do (2) )

 Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ta sẽ được (C1)

9

-Dạng 2: Từ đồ thị (C):y  f(x)(C2):y f(x ) ( đây là hàm số chẵn)

Cách giải

Minh họa:

x

Dạng 3: Từ đồ thị (C):y  f(x)(C3): y  f(x)

Cách giải

Minh họa:

f(x)=x^3-3*x+2

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

x

y

y = x 3 -3x+2

f(x)=x^3-3*x+2 f(x)=abs(x^3)-abs(3*x)+2

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

x y

(C): y = x 3 -3x+2

2 3 :

) (C2 y x3 x

y=x3-3x+2

y=x3-3x+2

x

x

f(x)=x^3-3*x+2

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8 -6 -4 -2

2 4 6 8

x

y

y = x 3 -3x+2

y=x3-3x+2

x

f(x)=-(x^3-3*x+2)

-6 -4 -2

2 4 6 8

x y

(C): y = x 3 -3x+2

2 3 :

)

x y

y=x3-3x+2

B1 Ta có :

















(2) 0

x nếu

(1) 0

x nếu ) (

) ( ) ( :

) ( 2

x f

x f x

f y C

B2 Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị (C2) như sau:

 Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy ( do (1) )

 Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy

( do do tính chất hàm chẵn )

 Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy (nếu có) ta sẽ đượ (C2)

B1 Ta có :





























(2)

(1) )

(

) (

0 ) ( )

( :

) ( 3

x f y

x f y

x f x

f y C

B2 Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị (C3) như sau:

 Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (1) )

 Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (2) )

 Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ta sẽ được (C3)

10

-BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho hàm số : y x3 3x (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

2 Từ đồ thị (C) đã vẽ, hãy suy ra đồ thị các hàm số sau:

b) c)

x x y

a)   3 3 yx3 3x y x3 3x

Bài 2: Cho hàm số : (1)

1

1







x

x y

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

2 Từ đồ thị (C) đã vẽ, hãy suy ra đồ thị các hàm số sau:

b) c) d) e)

1

1 )







x

x y a

1

1







x

x y

1

1







x

x y

1

1







x

x y

1

1







x

x y

2.BÀI TOÁN 2 :

Bài toán tổng quát:

Trong mp(Oxy) Hãy xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số : 1

2

(C ) : y f(x) (C ) : y g(x)







(C1) và (C2) không có điểm chung (C1) và (C2) cắt nhau (C1) và (C2) tiếp xúc nhau

x

O O

O

) (C1

) (C2

) (C1

) (C2

1

1

M y2 M2

1

) (C2

) (C1

SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

Phương pháp chung:

* Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho:

f(x) = g(x) (1)

* Khảo sát nghiệm số của phương trình (1) Số nghiệm của phương trình (1)

chính là số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2)

Ghi nhớ: Số nghiệm của pt (1) = số giao điểm của hai đồ thị (C 1 ) và (C 2 ).

11

-Chú ý 1 :

* (1) vô nghiệm  (C1) và (C2) không có điểm điểm chung

* (1) có n nghiệm  (C1) và (C2) có n điểm chung

Chú ý 2 :

* Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C1) và (C2) Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f(x0) hoặc y0 = g(x0)

Áp dụng:

Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): và đường thẳng

1

1 2







x

x

Minh họa:

`

b Điều kiện tiếp xúc của đồ thị hai hàm số :

Định lý :

f(x)=(2*x-1)/(x+1) f(x)=-3*x-1 x(t)=-1 , y(t)=t f(x)=2

-20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25

-20 -15 -10 -5

5 10 15

x y

1

1 2 : ) (







x

x y C

1 3 :

) (d y  x

M

) (C1

) (C2

y

x

x

y

0

y

0

x O

(C1) tiếp xúc với (C2)  hệ : f(x) g(x)' ' có nghiệm

f (x) g (x)











12

-Áp dụng:

Ví dụ: Cho (P):y x2 3x1 và Chứng minh rằng (P) và (C) tiếp xúc

1

3 2 :

) (

2











x

x x y C

nhau

Minh họa:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Cho hàm số y(x 1)(x2 mx m) (1)

Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

Bài 2: Cho hàm số y2x3 3x2 1 (C)

Gọi (d) là đườngthẳng đi qua điểm M(0;-1) và có hệ số góc bằng k Tìm k để đường thẳng (d) cắt

(C) tại ba điểm phân biệt

Bài 3: Cho hàm số yx3 3x2 (C)

Gọi (d) là đườngthẳng đi qua điểm A(3;20) và có hệ số góc bằng m Tìm m để đường thẳng (d)

cắt (C) tại ba điểm phân biệt

Bài 4 : Cho hàm số yx4 mx2 m 1 (1)

Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

Bài 5: Cho hàm số 2 2 4 (1)

2

y

x





 Tìm m để đường thẳng (d): y = mx+2-2m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt

Bài 6: Cho hàm số (1)

1

1

2









x

x x y

Tìm m để đường thẳng (d): y = m(x-3)+1 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt

Bài 7: Cho hàm số 2 4 1

2

y x





 Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d):y=mx+2-m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt

thuộc cùng một nhánh của đồ thị

Bài 8: Cho hàm số 2 (1)

1

mx x m y

x







f(x)=x^2-3*x-1 f(x)=(-x^2+2*x-3)/(x-1)

-20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25

-15 -10 -5

5 10 15

x

y

)