(SKKN 2022) một số BIỆN PHÁP GIÚP học SINH lớp 12 TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 1 TRÁNH các SAI lầm KHI học CHƯƠNG 1 GIẢI TÍCH lớp 12 ỨNG DỤNG đạo hàm để KHẢO sát và vẽ đồ THỊ hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 1SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 1 TRÁNH CÁC SAI LẦM KHI HỌC CHƯƠNG 1 GIẢI TÍ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 1 TRÁNH CÁC SAI LẦM KHI HỌC CHƯƠNG 1 GIẢI TÍCH LỚP 12 “ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ

ĐỒ THỊ HÀM SỐ”

Người thực hiện: Ngô Văn Sơn Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn.

SKKN thuộc lĩnh mực : Toán học.

THANH HÓA NĂM 2022

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN 3

2.3 Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề 4

2.5 Các kết quả, minh chứng về sự tiến bộ của học sinh khi áp dụng biện pháp 18

3 Kết luận, kiến nghị

1 – MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài:

Hàm số là một trong những khái niệm cơ bản trong toán học, đóng vai trò quantrọng trong chương trình toán phổ thông và là nền tảng của nhiều lĩnh vực khácnhau của toán học nói riêng và khoa học tự nhiên nói chung Để khảo sát mộthàm số, đạo hàm là một trong những ứng dụng rất hữu ích và phổ biến Tuy vậytrong thực tế học sinh khi ứng dụng phương pháp này để khảo sát và vẽ đồ thịhàm số của giải tích 12 còn gặp nhiều sai lầm dẫn tới kết quả không chính xác

Chính vì lý do đó tôi đã chọn đề tài “Một số biện pháp giúp học sinh lớp 12 trường THPT Quảng Xương 1 tránh các sai lầm khi học chương 1 Giải tích lớp 12 - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số”

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Nội dung phạm vi đề tài nhằm các mục đích sau:

+ Giúp học sinh hiểu đúng và đủ các yêu cầu, điều kiện và phạm vi áp dụng củađịnh nghĩa, định lí và quy tắc

+ Giúp học sinh vận dụng, áp dụng định nghĩa, định định lí và quy tắc một cáchchính xác trong các tình huống bài tập đưa ra

+ Giúp học sinh nhận biết được các sai lầm hay mắc phải, nguyên nhân sai lầm

và cách khắc phục các sai lầm đó Từ đó nâng cao năng lực tự đánh giá chomình và cho bạn đồng thời tăng cường khả năng tự học và tự nghiên cứu tìm tòisáng tạo

+ Góp phần nâng cao chất lượng đại trà môn toán THPT của trường THPTQuảng

Xương 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

- Các định ngĩa, định lí và các quy tắc trong chương 1 giải tích lớp 12 : “ Ứngdụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số”

- Đề tài được áp dụng trong chương trình giải tích cơ bản lớp 12, cho đối tượnghọc sinh ôn thi học sinh giỏi, học sinh ôn thi THPT Quốc gia

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Xuất phát từ đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu để đạt được mục đích đã đề ratrong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các phương pháp chủ yếu sau:

i) Phương pháp nghiên cứu lí luận

- Nghiên cứu tài liệu

- Nghiên cứu và tổng kết kinh nghiệm giảng dạy

- Nghiên cứu một số quan điểm dạy học tích cực, tư tưởng sáng tạo

2i) Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm

- Thu thập và xử lí số liệu thống kê

3i) Phương pháp nghiên cứu theo phân loại các dạng bài tập

- Nghiên cứu các bài toán gốc cơ bản và phát triển các bài toán gốc

- Nghiên cứu các bài toán có cấu trúc tương tự

2 – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận: Để thực hiện đề tài, cần dựa trên những kiến thức cơ bản

sau:

i) Kiến thức cơ bản về đạo hàm của hàm số, đạo hàm của hàm số hợp

2i) Kiến thức cơ bản về khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

- Hàm số đơn điệu: Định nghĩa hàm số đơn điệu trên tập K là khoảng hoặc đoạnhoặc nửa khoảng Định lí về hàm số đồng biến, nghịch biến trên K ( chú ý vềđịnh lí mở rộng) Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

- Cực trị của hàm số: Khái niệm về cực đại, cực tiểu của hàm số Điều kiện đủ

để hàm số có cực trị Quy tắc I và quy tắc II tìm cực trị của hàm số

-Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: Định nghĩa giá trị lớn nhất vàgiá trị nhỏ nhất của hàm số Quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất củahàm số liên tục trên một đoạn

-Tiệm cận của đồ thị hàm số: Định nghĩa đường tiệm ngang, đường tiệm cậnđứng của đồ thị hàm số và cách tìm chúng

- Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba, hàm số bậcbốn trùng phương và hàm số phân thức hữu tỉ ( 0, 0)

- Tương giao của các đồ thị hàm số và tiếp tuyến của đồ thị hàm số

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

- Qua nhiều năm giảng dạy môn Giải tích lớp 12 tôi nhận thấy một hạn chế của

HS là hay mắc sai lầm khi áp dụng định nghĩa hay sử dụng định lí, quy tắc vàogiải toán mà đôi khi bản thân các em không biết tại sao Điều này làm giảm đichất lượng học tập của cá nhân HS và chất lượng học tập chung của tập thể lớp

- Chương 1 giải tích lớp 12 : Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị củahàm số là một chương rất quan trọng trong Giải tích lớp 12 nhằm phát triển tưduy hàm số cho học sinh, chiếm thời lượng 21/78 tiết của chương trình giải tíchlớp 12 cơ bản và có tỉ trọng lớn trong đề thi THPTQG Đặc biệt trong chươngnày có nhiều câu hỏi và bài tập yêu cầu học sinh vận dụng linh hoạt các địnhnghĩa, định lí và quy tắc vào giải quyết các bài toán mà học sinh thường mắc rấtnhiều sai lầm khi vận dụng

- Qua khảo sát thực nghiệm trên các lớp 12 trong 4 khóa học, đặc biệt qua khảosát ý kiến các 13 đồng chí giáo viên Toán trong tổ Toán trường THPT QuảngXương 1 thì các sai lầm HS thường hay mắc phải tập trung ở các sai lầm sauđây:

+ Sai lầm trong các bài toán xét tính đơn điệu của hàm số, không nắm vững địnhnghĩa tính đơn điệu của hàm số hay không chú ý đến các điểm tại đó đạo hàmtriệt tiêu hay không xác định, xác định dấu của đạo hàm sai do không chú ý đếnnghiệm bội chẵn-bội lẻ của đạo hàm

+ Sai lầm trong việc giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số, vận dụngsai về điều kiện để hàm số có cực trị hay điều kiện để hàm số đơn điệu trênkhoảng a b; 

+ Sai lầm trong việc giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất củahàm số trên một miền D, khi chuyển đổi bài toán không tương đương

+ Sai lầm trong việc giải các bài toán liên quan tới đạo hàm, khi vận dụng saicông thức tính đạo hàm đặc biệt là tính đạo hàm của hàm số hợp

+ Sai lầm trong việc giải các bài toán về tương giao của hai đồ thị hàm số,không để ý về tiệm ngang của đồ thị hàm số , sai lầm trong các bài toán viếtphương trình tiếp tuyến đi qua một điểm thuộc đồ thị hàm số.

Số liệu thống kê về các sai lầm học sinh hay mắc phải trước khi thực hiện đề tàinày cùng trong năm học đó , qua khảo sát thực nghiệm ở một số lớp 12 trongbốn khóa học tại trường THPT Quảng Xương 1, kết quả như sau:

Năm Lớp Tỉ lệ%Sĩ số Số học sinh làm bàikhông mắc sai lầm Số học sinh làm bàimắc sai lầm

2.3 Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề.

* Biện pháp 1 : Phân tích thật kĩ lưỡng các định nghĩa, định lí và quy tắc.

Đây là biện pháp trọng điểm bởi nếu học sinh hiểu đúng thì khả năng vận dụng

và tránh được các sai lầm khi làm bài sẽ rất tốt Do đó tôi đã phân tích kĩ lưỡngcác định nghĩa và các định lí trong chương 1 Giải tích lớp 12 cho HS và yêu cầucác em ghi nhớ khi áp dụng trong các tình huống cụ thể Sau đây là một số ví dụ

mà tôi đã thực hiện khi áp dụng giải pháp :

Ví dụ 1 Định nghĩa hàm số đồng biến , nghịch biến

“ Kí hiệu Klà khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng

Giả sử hàm số yf x( )xác định trên K Ta có :

Hàm số yf x( )đồng biến ( tăng) trên Knếu x x1 , 2 K mà

x x  f x  f x

Hàm số yf x( )nghịch biến ( giảm) trên Knếu x x1 , 2 K mà

+) Hàm số đồng biến, nghịch biến trênKthì hàm số phải xác định trên K

+) Trong định nghĩa người ta giả thiếtKlà khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảngvậy thì trong bài tập nếu yêu cầu xác định tham số mđể hàm số đồng biến,nghịch biến trên tập Dlà hợp của các khoảng, đoạn, nửa khoảng thì xử lí như thếnào ?

Sai lầm hay mắc phải khi HS áp dụng là :

+ Kết luận bài toán sai hoặc thiếu điều kiện do đặc tính của tập K dẫn đến viphạm định nghĩa

+ Không kiểm tra điều kiện hàm số phải xác định trên K…

Ví dụ 2 Định lí mở rộng về tính đơn điệu của hàm số

Giả sử hàm số yf x( )có đạo hàm trên K Nếu f x'( ) 0  f x'( ) 0 ,   x K và

'( ) 0

f x  Chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trênK

Sau khi cho HS thảo luận, trao đổi, tôi giúp các em chốt lại các vấn đề sau :+) Hàm số yf x( )có đạo hàm trên Knên nó phải xác định trênK(mạnh hơn là

nó phải liên tục trênK)

+) f x '( ) 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm xthuộc K chứ không phải xảy ra vớimọi x K Đặc biệt f x '( ) 0chỉ xảy ra với biểnxchứ không xảy ra đối với tham

số trong các bài toán chứa tham số Vậy thì trong các tình huống có liên quanđến các bài toán chứa tham số thì ta xử lí như thế nào?

Sai lầm hay mắc phải khi HS áp dụng là :

+ Thiếu trường hợp f x '( ) 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm trên K

+ Ngộ nhận f x '( ) 0 xảy ra đối với tham số trong các bài toán chứa tham số.+ Không kiểm tra điều kiện hàm số phải xác định trên K

+ Tính đạo hàm sai khi đặt ẩn phụ ( đạo hàm hàm số hợp)

Ví dụ 3 Tôi cho HS nghiên cứu và thảo luận định lí 2 về cực trị của hàm số

Giả sử hàm số yf x( ) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x0  h x; 0 h) với h 0.Khi đó :

a Nếu

0 0

 thì x là điểm cực đại của hàm số0

Tôi đặt ra vấn đề cho HS quan tâm và thảo luận: Điều ngược lại có đúngkhông ?

Sau khi HS thảo luận tôi kết luận lại vấn đề đã nêu : Định lí trên chỉ là điều kiện

đủ chứ không phải điều kiện cần Do vậy, điều ngược lại cơ bản không đúng

Chẳng hạn: Ta để ý rằng nếu x0 thỏa mãn

0

0 0

'( ) 0 ''( ) 0

Sai lầm mà HS hay mắc phải khi áp dụng là :

a Hàm số đạt cực tiểu tại x 0

0 0

'( ) 0 ''( ) 0

'( ) 0 ''( ) 0

Triển khai biện pháp2 :

- Thứ nhất: Tôi cho học sinh quan sát bài giải sẵn rồi yêu cầu các em thảo luận

trao đổi nhóm tìm các sai lầm trong lời giải và chỉ ra nguyên nhân sai lầm vàhướng khắc phục để có lời giải đúng Một số ví dụ triển khai theo hướng thứnhất:

Ví dụ 1 Tôi cho HS quan sát bài làm sau:

Vậy hàm số đồng biến trên   ; 13;

- Tôi yêu cầu học sinh thảo luận và cho nhận xét tính đúng sai, nếu sai thì sai ởđâu và lời giải đúng như thế nào Sau khi học sinh thảo luận tôi kết luận vấn đề

và liên hệ lại nội dung của các định nghĩa và định lí áp dụng

- Nguyên nhân sai lầm : Khi kết luận hàm số đồng biến trên   ; 13;

nghĩa là xem   ; 13; là một tập hợp gồm hợp của hai khoảng tuy nhiêntrong định nghĩa hàm số đơn điệu cũng như định lí về tính đơn điệu của hàm sốthì chỉ xét hàm số trên một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng Vì thế nếu

ta lấy x x    1 , 2  ; 1  3; , chẳng hạn x1   2 x2   4 f( 2)     1 19 f(4)

Vi phạm định nghĩa hàm số đồng biến Vậy sai lầm xảy ra khi kết luận bài toán.

Từ đó các em xây dựng lời giải đúng

- Lời giải đúng:

Tập xác định của hàm số: D  Đạo hàm: f x'( ) 3 x2 6x 9

Hàm số f x( )đồng biến  f x'( ) 0   x    ; 13; 

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng   ; 1 và 3; 

Ví dụ 2 Tôi cho học sinh quan sát bài làm sau:

- Tôi cho học sinh trao đổi nhóm và nhận xét bài làm từ đó các em tìm nguyên

nhân sai lầm Sau đó tôi khắc sâu cho các em: nếu hàm số f x( ) xác định trênkhoảng a b;  và f x'( ) 0  x a b;  , dấu " "  xảy ra chỉ tại hữu hạn điểm x

thuộc khoảng a b;  thì hàm số yf x( ) đồng biến trên khoảnga b;  Lời giảitrên bỏ qua trường hợp f x '( ) 0xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên 

- Học sinh xây dựng lời giải đúng : Hàm số đồng biến trên  

Ví dụ 3 Tôi cho cả lớp nghiên cứu và thảo luận lời giải của bài tập sau đây:

số đạt cực đại tại điểm x 0

Lời giải : f x'( ) 4 mx f x3, ''( ) 12 mx2

Điều kiện hàm số đạt cực đại tại x 0 là

'(0) 0 0 0 ''(0) 0 0 0 0 0

Hệ vô nghiệm Vậy không có giá trị nào của mđể hàm số đạt cực đại tại x 0

- Sau khi các em thảo luận tôi chốt lại vấn đề về nguyên nhân sai lầm: Nếu x0làđiểm cực đại vẫn có thể f x ''( ) 0 0 Lí do là điều kiện f x ''( ) 0 0 chỉ là điều kiện

đủ để hàm số f x'( ) nghịch biến trong một khoảng chứa x0là x0  h x; 0 h với

 Thử lại, ta thấy m 0là điều kiện cần tìm

Cách 2: Xét 3 trường hợp m0,m0,m0 để lấy dấu f x'( ) và kết luận bài toán

- Thứ hai : Tôi cho các em thực hành làm các bài tập trong đó có tiềm ẩn các

sai lầm thường gặp Sau khi các em thực hiện, tôi thống kê số lượng các em làmsai và chọn các em đó nêu lời giải Tôi yêu cầu cả lớp cùng thảo luận trao đổinhóm tìm nguyên nhân sai lầm để khắc phục từ đó cho lời giải đúng Sau đây làmột số ví dụ tôi đã triển khai trong hướng thứ hai:

Ví dụ 4 Tôi cho HS làm bài tập sau :

- Sau khi học sinh làm bài, tôi thống kê số các em làm sai và gọi một em trong

số đó trình bày lời giải, lời giải như sau :

1

; 2

2

f   f

Từ đó cho các em xây dựng lời giải đúng

m m

Ví dụ 5 Tôi cho HS làm bài tập sau:

3 5 ( )

- Sau khi quan sát các em thực hiện tôi tổng hợp kết quả và thấy phần lớn các

em giải như sau: Tập xác định \ 2

* f x '( ) 0tại một số hữu hạn đối với xtrên 2;  chứ không phải f x '( ) 0xảy

ra đối với tham số m do đó việc cho 3m 10 0 là sai lầm thứ nhất ( vì với

3 10 0

10

4 3

Ví dụ 6 Tôi cho HS làm bài tập trắc nghiệm:

- Sau khi thống kê số đáp án mà các em chọn, tôi gọi bất kì một em chọn sai đáp

án và yêu cầu em trình bày bài giải Lời giải của em như sau:

 Vì tham số mnguyên thuộc đoạn

 4;3 nên m   4; 3; 2; 1    Số giá trị nguyên của tham số mthuộc đoạn 4;3bằng 4 nên chọn A.

- Tôi cho các em thảo luận nhóm, nhận xét cách giải trên của bạn và tìm hiểu

sai lầm của lời giải này: Các em đã chỉ ra trong ví dụ này bạn đã mắc sai lầm

khi tính đạo hàm của hàm hợp và chưa để ý đến điều kiện xác định của hàm sốdẫn đến chọn đáp án A Lời giải cần phải sử dụng công thức đạo hàm của hàm

Số giá trị nguyên của tham số mthuộc đoạn 4;3 bằng 3 nên chọn C.

Ví dụ 7 Tôi cho HS thực hiện bài tập trắc nghiệm:

2 0,

 

2 0;4

2 2

3 4

m m

f x f

m m

- Cách giải đúng: Tập xác định: D=  \{ }m , ( )

2 2

2 0,

Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (- ¥ ; m) và (m; +¥ )

Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên suy ra, hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [0; 4] bằng - 1

1 4

m m m

ì <

ïï ïï

x y mx





 cắt đồ thị hàm số y x 1 tại haiđiểm phân biệt

x y mx

- Tôi cho các em học sinh thảo luận nhóm tìm các sai lầm đã mắc phải, các em

đã chỉ ra hai sai lầm: không xét trường hợp m 0 và không xét điều kiệnnghiệm để hai đồ thi cắt nhau tại 2 điểm phân biệt Tôi yêu cầu các em cho lờigiải đúng:

1

1 2

x

x mx

Ví dụ 9 Tôi tiếp tục cho học sinh thực hiện bài tập trắc nghiệm về tính đơn điệu

hàm số tiềm ẩn sai lầm khi xét dấu đạo hàm mà đạo hàm có nghiệm bội chẵn

Đề bài: Cho hàm số f x( ) có bảng xét dấu đạo hàm f x'( ) như sau:

Hàm số yf x 2  2x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Qua bảng xét dấu g x( ) ta thấy g x( ) 0   x ( 1;0) nên hàm số yf x 2  2x

nghịch biến trên 1;0 , nên chọn B.

Tôi cho cả lớp thảo luận bài làm của bạn và các em cũng chỉ ra được sai làm bạnmắc phải là : x 1 2 ;x 1 2 là các nghiệm bội chẵn của PT: x22x1

nên đạo hàm g x( )không đổi dấu khi x đi qua hai nghiệm này Từ đó các em xétdấu đúng đạo hàm g x( )như sau:

Kết quả ta được g x( ) 0   x  2; 1 nên chọn D

Nhận xét : Sai lầm khi xét dấu đạo hàm mà đạo hàm có nghiệm bội chẵn HS rất

hay mắc phải trong các bài về hàm ẩn do đó trong quá trình ôn tập tôi đã đề cậpvấn đề này rất kĩ cho HS

Ví dụ 10 Tôi tiếp tục cho học sinh thực hiện bài tập trắc nghiệm về tương giao

tiềm ẩn các sai lầm rất dễ mắc phải khi không nắm vững về đường tiệm cậnngang của đồ thị hàm số cũng như các nhánh đồ thị được phân chia bởi tiệm cậnđứng

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f x m có hainghiệm phân biệt

A 2;   1 B 2;  C 2;   1 D (1;)

Tôi cho các em HS trong lớp độc lập thực hiện bài tập này, sau khi quan sát bài làm của các em tôi gọi 4 hS mà bốn HS đó chọn 4 đáp án khác nhau lên bảng trình bày và kết quả thu được như sau:

HS1: Để phương trình f x m có hai nghiệm phân biệt thì m 2, chọn B

HS 2: Để phương trình f x  m có hai nghiệm phân biệt thì

2 1

m m





 

 , chọn A

HS3: Để phương trình f x m có hai nghiệm phân biệt thì m 1 , chọn D

HS 4: Để phương trình f x  m có hai nghiệm phân biệt thì

2 1

m m

- Đối với HS 1: Phát hiện ra tiệm cận ngang bên trái y 2 nên không lấy m 2

Nhưng không nhận thức được đường thẳng y 2(ứng với m 2) cắt nhánh bênphải tiệm cận đứng x 0tại hai điểm phân biệt Hơn nữa cũng không ý thứcđược đường thẳng y 1 ( ứng với m 1) cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt ( cắtnhánh bên trái và tiếp xúc nhánh bên phải tiệm cận đứng x 0)

2

y 