Bài giảng Toán giải tích

Cụ thể  Cung cấp cho người học kiến thức về giới hạn và tính liên tục của hàm một biến.. Khái niệm về đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn và áp dụng vào khử dạng vô định khi tính giới hạ

HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

Hàm số

1.1.1 Hàm số và các phép toán trên hàm số

Cho X Y,  ; ,X Y  , hàm số f là một qui luật sao cho ứng với mỗi giá trị của biến x X có duy nhất một giá trị thực yY , kí hiệu y  f x( )

* Hàm số được viết dưới dạng sơ đồ sau:

 Biến x đƣợc gọi là biến độc lập.

 y  f x( ) đƣợc gọi là biến phụ thuộc

 Tập D  x  | ( )f x có nghĩa} đƣợc gọi là miền xác định của hàm số.

 Tập Y  f X ( )   f x ( ) | x  X  đƣợc gọi là miền giá trị của hàm số

* Đồ thị hàm số y  f x( ) là tập hợp các điểm có tọa độ ( , ( ))x f x trong hệ tọa độ Descartes Kí hiệu: G  M x f x( , ( )) :x X 

Ví dụ 1: Tìm miền xác định của các hàm số sau a) y 2x 1 Miền xác định: D   b) 2 2

 Hàm số có nghĩa khi và chỉ khi:

 Chú ý: Hàm số y  f x( ) mô tả mối liên hệ giữa hai đại lƣợng x và y

Trong ví dụ này, ta xét một chuyển động đều với vận tốc 60 km/h Mối liên hệ giữa thời gian chuyển động t(h) và quãng đường đi s(km) của chuyển động được mô tả bằng hàm số s = 60t Điều này giúp hiểu rõ hơn về cách tính quãng đường dựa trên thời gian và vận tốc Hàm số này phản ánh mối quan hệ trực tiếp giữa thời gian và quãng đường trong chuyển động đều với vận tốc cố định.

Khi nuôi một con bò, việc quan sát quá trình tăng trọng của bò giúp nhận biết mối liên hệ giữa thời gian nuôi t (tuần) và trọng lượng m (kg) của con bò Hàm số này thể hiện rõ quá trình phát triển của bò theo thời gian và là công cụ hữu ích để quản lý chăn nuôi hiệu quả Việc hiểu rõ mối liên hệ này không chỉ giúp tối ưu hóa quá trình chăm sóc mà còn nâng cao năng suất và đảm bảo sức khỏe cho đàn bò.

1.1.1.2 Các phép toán trên hàm số

Cho hàm số f x( ), ( )g x có cùng miền xác định D Khi đó, ta xác định các hàm số sau : i) (f g x)( ) f x( )g x( ), ( x D) (1.1.2) ii) ( )( )f g x  f x g x( ) ( ), ( x D) (1.1.3) iii) ( )

   ( ( )g x   0, x D) (1.1.4) lần lượt gọi là tổng, hiệu, tích, thương của f và g

1.1.2 Một số tính chất đặc biệt của hàm số

Hàm số f x( ) đƣợc gọi là đơn điệu tăng (hay giảm ) trên miền D nào đó nếu với cặp số x x 1 , 2 bất kỳ thuộc miền D và từ x 1 x 2 suy ra f x( ) 1  f x( ) 2 (hay

Nếu từ x 1 x 2 suy ra f x( ) 1  f x( ) 2 (hay f x( ) 1  f x( ) 2 ) thì ta nói hàm số ( ) f x tăng nghiêm ngặt (hay giảm nghiêm ngặt) trên miền đó

Ví dụ 3: Hàm y  f x( ) x 2 tăng nghiêm ngặt trong khoảng 0;

Thật vậy, giả sử x x 1 , 2 0; và x 1 x 2

Vậy hàm số đã cho tăngnghiêm ngặt trên 0; Q 

 Chú ý: Đồ thị của hàm số đơn điệu tăng (giảm) đi lên (xuống) theo hướng từ trái qua phải. Đồ thị hàm số tăng Đồ thị hàm số giảm

Cho hàm số f x( ) xác định trên tập đối xứng D ( x D thì  x D)

Khi đó:  f đƣợc gọi là chẵn nếu với mọi x D, ta có:

( ) ( ) f  x f x  f đƣợc gọi là lẻ nếu với mọi x D, ta có:

Ví dụ 4 : * Hàm số y  f x( ) cosx x 2  x là hàm số chẵn.

* Hàm số y g x( )x 3 x là hàm số lẻ. a b x y

 Chú ý: - Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng với nhau qua trục Oy

- Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng với nhau qua gốc O

Dạng đồ thị của hàm số chẵn Dạng đồ thị hàm số lẻ

Hàm số \(f(x)\) được gọi là tuần hoàn trên miền \(D\) khi tồn tại một số \(T \neq 0\) sao cho với mọi \(x \in D\), ta có \(f(x+T) = f(x)\) Chu kỳ của hàm số tuần hoàn \(f\) là số dương nhỏ nhất \(T_0 > 0\) thỏa mãn điều kiện trên Hàm số tuần hoàn có ý nghĩa quan trọng trong toán học và ứng dụng, đặc biệt trong các lĩnh vực như kỹ thuật, vật lý và đồ thị hàm số Tìm hiểu về chu kỳ của hàm số giúp mô tả chính xác các quá trình lặp lại theo chu kỳ trong thực tế.

* Hàm số y  f x( ) sinx; y  f x( ) cosx tuần hoàn với chu kì T 0  2

* Hàm số y  f x( ) tanx; y  f x( ) cotx tuần hoàn với chu kì T 0 

* Hàm số y sin(ax b); y  cos(axb) tuần hoàn với chu kỳ 0 2

1.1.3 Hàm số hợp và hàm số ngƣợc

Cho hàm số f :X Y , g Y: Z , với f X( )Y Khi đó, hàm số : h X Z với h x ( ) đ  n g f x  ( )  đƣợc gọi là hàm số hợp của f và g

 Miền xác định của hàm hợp g f là tập các số thực x thuộc miền xác định của hàm f sao cho f x( ) thuộc miền xác định của hàm g

Ví dụ 6: Cho hàm số f x( ) x , g x( ) x 5 Hãy xác định các hàm hợp g f , f g, g g, f f và miền xác định của chúng

Ta có: f x( ) x Miền xác định D f 0; g x( ) x 5 Miền xác định D g 

Suy ra :  g f  ( ) x  g f x  ( )   g ( x )  x  5 Miền xác định D 0;

Cho hàm số f x( ) 2x 1, g x( ) x 2 4 Hãy xác định các hàm hợp g f , f g, g g, f f và miền xác định của chúng.

Hàm số \(f: X \to Y\) là một hàm xác định trên miền \(X\) với miền giá trị là \(Y\) Nếu với hai giá trị \(x_1 \neq x_2\) thì \(f(x_1) \neq f(x_2)\), tức là hàm số này là đơn ánh Hàm số ngược của \(f\), ký hiệu là \(f^{-1}\), được xác định như một hàm từ \(Y\) về \(X\), có dạng \(f^{-1}: Y \to X\), với \(x = f^{-1}(y)\) thỏa mãn điều kiện \(y = f(x)\) Để hàm ngược tồn tại, cần đảm bảo rằng hình ảnh của hàm số \(f\) có miền xác định phù hợp.

Y và miền giá trị là tập X

* Hàm số y x 3 có hàm số ngược là x  3 y

* Hàm số y e x có miền xác định D  và có miền giá trị là T 0; Hàm này có hàm ngược là x lny xác định trên D 0; và có miền giá trị là T 

+ Đồ thị của hai hàm số ngƣợc nhau đối xứng với nhau qua đường thẳng y x

Trong toán học, nhiều hàm không có hàm nghịch đảo trên toàn miền xác định của chúng; tuy nhiên, khi giới hạn phạm vi xác định thì có thể xác định hàm nghịch đảo Ví dụ điển hình là hàm $y = e^x$, khi giới hạn miền xác định phù hợp, ta có thể tìm ra hàm nghịch đảo của nó Điều này đặc biệt quan trọng trong việc giải các bài toán liên quan đến hàm hợp và tính nghịch đảo của hàm số, giúp mở rộng khả năng phân tích và ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.

Hàm số y x 2 ,D  không có hàm số ngược trên toàn trục số vì nó không phải là một song ánh Nhưng hàm y x 2 có D [0;+ ) sẽ có hàm ngược

+ Nếu hàm tăng (giảm) nghiêm ngặt trên ( , )a b thì sẽ có hàm ngƣợc trên ( , )a b

1.1.4 Các hàm số sơ cấp cơ bản

 Miền xác định: D  trừ các trường hợp

* Nếu  nguyên dương thì hàm số có miền xác định là

* Nếu  nguyên âm hoặc   0 thì hàm số có miền xác định là *

*   0 hàm số đồng biến trên khoảng (0;)

*   0 hàm số nghịch biến trên khoảng (0;)

 Một số tính chất của lũy thừa

Hàm số mũ là hàm có dạng y a x , trong đó a đƣợc gọi là cơ số và 0 a 1 và x là biến

* Luôn đi qua điểm (0,1), nằm phía trên trục Ox và tiệm cận với Ox

Hàm số ngƣợc của hàm số mũ y a x đƣợc gọi là hàm logarit, kí hiệu log a , 0 1 y  x  a

Miền xác định của hàm logarit là D (0,) và miền giá trị là T 

 Logarit thập phân : lgb  logb  log 10 b

 Logarit tự nhiên (logarit Nepe): lnb log e b (với

 Theo công thức biến đổi cơ số, ta có:

* Luôn đi qua điểm (1, 0), nằm bên phải trục Oy và tiệm cận với Oy

 Một số tính chất của logarit: 0 a b c, , 1

 log ( ) a bc log a b log a c  log a b log a log a b c

1.1.4.4 Các hàm số lƣợng giác cosx và sinx được xem là tọa độ của điểm P x trên đường tròn đơn vị (C), ở vị trí cách điểm A(1,0) một độ dài x , được đo dọc theo đường tròn (C) theo ngược chiều kim đồng hồ nếu x  0 và cùng chiều nếu x  0 Khi đó, số đo của góc

AOP x (radians) Ta cũng định nghĩa sin tan cos x x

Trên hình ta có cos

* Hàm y  sinx có miền xác định là D  và miền giá trị là T   1;1, hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T 0 2

* Hàm y  cosx có miền xác định là D  và miền giá trị là T   1;1, hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ T 0 2

* Hàm số y  tanxcó miền xác định là D  \    2  k  ( k  ) và miền giá trị là T  , hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T 0 

* Hàm số y  cotx có miền xác định là D  \  k (k  )và miền giá trị là T  và tuần hoàn với chu kỳ T 0 

1.1.4.5 Các hàm lƣợng giác ngƣợc a Hàm số y  arcsinx

Do y sinx là hàm tăng nghiêm ngặt trên ;

 nên có hàm ngƣợc là

Ví dụ 8:     3   arcsin 0 0; arcsin( 1) ; arcsin

Do y cosx là hàm giảm nghiêm ngặt trên 0; nên có hàm ngƣợc là

Ví dụ 9:     3   1  2 arccos 0 ; arccos( 1) ; arccos ; arccos

Do y  tanx là hàm tăng nghiêm ngặt trên ;

  nên có hàm ngƣợc là

Ví dụ 10: arctan 0 0;arctan( 1) ;arctan 3

Do y cotx là hàm giảm nghiêm ngặt trên 0; nên có hàm ngƣợc là

Ví dụ 11:   3  arc cot 0 ; arc cot(-1) ; arc cot 3

* Qui ƣớc : arc cot     0; arc cot     

1.2 Giới hạn và tính liên tục của hàm số

1.2.1 Giới hạn của dãy số

Cho hàm số f n( ) xác định trên tập số tự nhiên Ứng với các giá trị

1, 2,3, n ta có tập giá trị x 1 f(1), x 2  f(2), lập thành một dãy số.

 x n : số hạng tổng quát của   x n

 n: chỉ số của số hạng x n

+ Cấp số cộng   x n với công sai d : x n x n  1  d x 1 (n1)d và tổng

+ Cấp số nhân  x n với công bội q : x n  x n  1 q x q 1 n  1 và tổng

Dãy số   x n đƣợc gọi là hội tụ về L (hữu hạn) khi n   nếu

 Chú ý: Nếu dãy   x n có giới hạn thì ta nói dãy hội tụ, ngƣợc lại nếu   x n không có giới hạn thì ta nói dãy phân kỳ.

Ví dụ 13: Chứng minh a) 1 lim 0 n  n  Tổng quát : 1 lim k 0 n  n 

 Các dãy dần đến vô cực

Ta chọn số tự nhiên N 0 sao cho N 0 M 2

1.2.1.3 Các phép toán Định lý: Nếu lim n n x L

    Định nghĩa i) Dãy   x n đƣợc gọi là dãy tăng (hay tăng nghiêm ngặt) nếu

Dãy   x n đƣợc gọi là dãy giảm (hay giảm nghiêm ngặt) nếu

Dãy tăng hoặc giảm đƣợc gọi là dãy đơn điệu ii) Dãy   x n được gọi là bị chặn dưới (trên) nếu tồn tại A sao cho n ,

Dãy   x n được gọi là bị chặn nếu nó bị chặn trên và chặn dưới.

1.2.1.4 Một số tính chất đặc biệt của dãy i) Giới hạn của một dãy   x n (nếu có) là duy nhất. ii) Mỗi dãy hội tụ đều bị chặn.

Ngoài ra ta còn chứng minh đƣợc các tiêu chuẩn hội tụ quan trọng của dãy nhƣ sau Định lý 1 (Tiêu chuẩn kẹp giữa)

Cho   x n ,   y n và   z n Nếu: lim n lim n n x n y L

Ví dụ 16: Tìm giới hạn sin n lim n

Giải: Ta có:  n N * , ta có 1 sinn 1 n n n

 n   Định lý 2 (điều kiện tồn tại giới hạn)

Dãy số {xₙ} hội tụ (hoặc có giới hạn hữu hạn) khi và chỉ khi nó tăng (hoặc giảm) và bị chặn trên hoặc dưới Theo Định lý 3 (Tiêu chuẩn Cauchy), điều kiện cần và đủ để một dãy {xₙ} hội tụ là các thành phần của nó trở nên đủ gần nhau khi n lớn, tức là dãy thỏa mãn điều kiện Cauchy.

Số L (hữu hạn) đƣợc gọi là giới hạn của f x( ) khi x x 0 , x  x 0 nếu

Ví dụ 17: Dùng định nghĩa chứng minh 2

* Định nghĩa tương đương (ngôn ngữ dãy số)

Hàm số f x( ) có giới hạn là L khi x x 0 nếu

 Nhận xét: Để chứng minh

 0 lim ( ) x x f x không tồn tại Ta chọn 2 dãy: { },{ }x n x n  sao cho

 0 lim cos1 x x không tồn tại Thật vậy: Chọn   x n và   x ' n cùng dần về 0.

1.2.2.2 Giới hạn một phía Định nghĩa

* Số L đƣợc gọi là giới hạn tráicủa f x( ) khi x x 0 nếu

* Số L đƣợc gọi là giới hạn phảicủa f x( ) khi x x 0 nếu

Ví dụ 19: Xét hàm số: f x( )  x tại x 0 1, ta có

     Định lý: Hàm số f x( ) có giới hạn là L khi x x 0 khi và chỉ khi giới hạn trái và phải của f x( ) tại x 0 cũng tồn tại và bằng L

0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x x x x x f x f x f x f x f x

Ví dụ 20: Trong ví dụ trên, ta thấy f(1 )   f(1 )  nên lim1 x x

1.2.2.3 Các giới hạn vô tận và ở vô tận

 Nhận xét : Giới hạn của dãy số là trường hợp đặc biệt của giới hạn hàm khi biến số dần ra 

 Giới hạn ở vô tận: Giả sử f x ( ) xác định trên tập không bị chặn X

Số L đƣợc gọi là giới hạn phải của f x( ) khi x   nếu

1.2.2.4 Các tính chất của giới hạn hàm số i)

  (C là hằng số). ii) Giới hạn hàm số nếu có là duy nhất. iii) Cho f x( ), ( )g x và h x( ) xác định trong lân cận của x 0 (không cần xác định tại x 0 ) Nếu a)

  iv) Tiêu chuẩn hội tụ: Cho f x( ) xác định với mọi x dương khá lớn, nếu ( ) f x tăng và bị chặn thì lim ( ) x f x

1.2.2.5 Các phép toán Định lý: Nếu

  (k là hằng số) Định lý: Xét hàm hợp: f u x : f u x  ( )  Nếu

  và f u( ) xác định ở lân cận u 0 và

 Nếu f x( ) và g x( ) là đa thức thì ta phân tích

 Nếu f x( ) hay g x( ) có chứa căn cùng bậc thì ta nhân tử và mẫu của phân thức với lƣợng liên hợp.

 Nếu f x( ) hay g x( ) có chứa căn không đồng bậc

 Tính lim ( ) ( ) f x g x trong quá trình nào đó, với f x( ) , g x( )  trong quá trình đó

 Cách khử khi x   nhƣ sau

+ Nếu f x( ) và g x( ) là đa thức thì chia tử và mẫu của phân thức cho x n với n là số mũ cao nhất của x trong f x( ) và g x( )

+ Nếu f x( ) và g x( ) có chứa căn thì có thể chia cả tử vàmẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp.

+ Áp dụng công thức: 1 lim 0; lim >0 x x x x

 Nhận xét: Khi x  , xét giới hạn của f x( ) với ( )

* Nếu bậc của P lớn hơn bậc của Q thì f x( ) 

* Nếu bậc của P nhỏ hơn bậc của Q thì f x( )0

* Nếu bậc của P bằng bậc của Q thì giới hạn của f x( ) là một hằng số.

 Cách khử khi x   nhƣ sau

+ Nếu có căn ta ta nhânvới lượng liên hợp để khử dạng vô định.

+ Sau đó chia tử và mẫu cho x n (n là số mũ cao nhất của x) nếu cần.

1.2.2.7 Một số công thức giới hạn quan trọng (thường áp dụng để khử dạng 0

 Tổng quát: Nếu u x   0 khi x x 0 thì các công thức trên vẫn đúng khi thay x bởi u x( )

Giải a) 0 0 sin 7 sin 7 7 7 lim lim

5 4 1 5 1 4 1 5 lim lim ln 5 ln 4 ln

Tính a) 0 cos cos 2 lim 1 cos x x x

 Giới hạn của hàm mũ hợp  0 ; 0 ;1 0 

Sử dụng định lý giới hạn của hàm hợp và tính liên tục của hàm số mũ cùng hàm số logarithm, chúng ta có thể dễ dàng chứng minh được công thức liên quan đến các giới hạn của hàm số trong phân tích toán học Những công cụ này đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích và xác định giới hạn của các hàm số phức tạp hơn nữa Tính liên tục của hàm số mũ và logarithm giúp đảm bảo các phép tính giới hạn diễn ra một cách chính xác và dễ dàng hơn Chính nhờ đó, việc đưa ra các công thức giới hạn của hàm hợp trở nên thuận tiện, giúp làm sáng tỏ các tính chất toán học của hàm số trong lĩnh vực này.

 Đặc biệt: Nếu giới hạn của hàm số y  f x( )u x( ) v x ( ) có dạng vô định 1  khi x x 0 thì

Giải a) 4 lim (tan 1).tan 2 tan 2

2 tan 2 tan lim (tan 1) lim

1 lim 2 sin lim 2 lim(cos2 1).

1.2.2.8 Đại lƣợng vô cùng bé –đại lƣợng vô cùng lớn

 Hàm ( )x đƣợc gọi là vô cùng bé (VCB) khi x x 0 nếu

 Hàm ( )x đƣợc gọi là vô cùng lớn (VCL) khi x x 0 nếu

Ví dụ 30: cosx là VCB khi x  2 và không là VCB khi x 0

 Tính chất của VCB và VCL

* Vô cùng bé: Trong quá trình xx 0 hay x  i) Tổng các VCB là VCB ii) Tích của một VCB với một đại lƣợng bị chặn là một VCB

* Vô cùng lớn: Trong quá trình xx 0 hay x  i) Tích của hai VCL là VCL.

Một VCL cộng với một đại lượng bị chặn tạo thành một VCL Nghịch đảo của một VCB khác không bằng không cũng là một VCL, trong khi đó, nghịch đảo của một VCL chính là một VCB Các đặc tính này giúp làm rõ mối liên hệ giữa các loại biến đổi trong lý thuyết toán học và hỗ trợ tối ưu hóa hiệu quả trong các ứng dụng thực tiễn.

 Phân loại VCB: Cho ( ), ( )x  x là hai VCB khi x x 0 Khi đó :

0 lim ( ) ( ) x x x x ) thì ta nói ( )x là VCB bậc cao hơn ( )x Kí hiệu: ( )x O( ( )) x

   thì ta nói ( )x và ( )x là hai VCB cùng bậc

 Đặc biệt: Nếu A 1 thì ta nói ( )x và ( )x là hai VCB tương đương Kí hiệu : ( )x ( )x

   (xem VD17) nên 1c xos là VCB cùng bậc với x 2 khi x 0

 x   (theo mục 2.2.7) nên sinx x khi x 0

 Các VCB tương đương cần nhớ khi x 0

 Chú ý: Nếu u x   0 khi x x 0 thì các công thức trên vẫn đúng khi thay x bởi u x( )

Ví dụ 32:  sin 2x 2 ; sin 3x 2 x 9x 2 khi x 0

 2     sin tan arcsin arc tan

 Vận dụng VCB khử dạng vô định 0

0 Định lý: Nếu ( )x ( )x ; ( )x ( )x ) khi x x 0 thì

 Chú ý: Quy tắc VCB tương đương không áp dụng được cho hiệu hoặc tổng của các VCB nếu chúng làm triệt tiêu tử hoặc mẫu của phân thức.

 Qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao : Giả sử  , là tổng của nhiều VCB Khi đó,

 bằng giới hạn của thương hai VCB có bậc thấp nhất ở tử và ở mẫu.

2 sin tan 2 2 2 lim lim lim sin 5 6 sin 5 5 5 x x x x x x x x x x x x 

1.2.3 Tính liên tục của hàm số

 Hàm số f x( ) đƣợc gọi là liên tục tại x 0 nếu

 Hàm số f x( ) đƣợc gọi là liên tục bên phải (hoặc trái) tại x 0 nếu

 Nhận xét: - Hàm f x( ) liên tục tại x 0  f x( ) liên tục phải và trái tại x 0

- Các hàm số sơ cấp liên tục trên miền xác định của nó.

Nếu f x( ) không liên tục tại x 0 thì nó đƣợc gọi là gián đoạn tại x 0 (x 0 là điểm gián đoạn của hàm f x( ))

 Nhận xét: Hàm số f x( ) gián đoạn tại x 0 nếu xảy ra 1 trong 3 trường hợp sau i) f x( )không xác định tại x 0 ii)

Ví dụ 36: Xét sự liên tục của hàm số

Vậy hàm số liên tục tại 0 1 x  2 

Xét sự liên tục của hàm số a)

1.2.3.3 Hàm số liên tục trên đoạn –khoảng

 Hàm số f x( ) liên tục trên ( ; )a b nếu f liên tục tại mọi điểm x ( ; )a b

 Hàm số f x( ) liên tục trên   a b; nếu f liên tục trên( ; )a b , liên tục phải tại a và liên tục trái tại b

1.2.3.4 Các phép toán trên hàm số liên tục Định lý: Nếu hàm số f x( ) và g x( ) liên tục tại x 0 thì các hàm số sau cũng liên tục tại x 0 : f g; ; f f g g ; f ( là hằng số). Định lý: Nếu hàm u x( ) liên tục tại x 0 và hàm f u( )liên tục tại u 0 u x( ) 0 thì hàm số hợp y  f u x  ( )  liên tục tại x 0

1.2.3.5 Tính chất của hàm số liên tục i) Nếu hàm số f x( ) liên tục trên   a b; thì hàm số f x( ) bị chặn trên   a b; ii) Nếu hàm số f x( ) liên tục trên   a b; thì nó đạt GTLN và GTNN trên   a b; và mọi giá trị trung gian giữa GTLN & GTNN. iii) Nếu hàm số f x( ) liên tục trên   a b; và f a f b( ) ( ) 0thì tồn tại ít nhất một điểm c( ; )a b sao cho f c( ) 0

Ví dụ 37: Chứng minh phương trình sau có nghiệm: 2x 5 3x 2 0

* Mặt khác: f x( ) liên tục trên  f x( ) liên tục trên 1; 0

Suy ra   x 0  1; 0 : ( ) f x 0  0 Vậy phương trình trên có nghiệm 

1.2.3.6 Ý nghĩa hình học của hàm số liên tục

Nếu hàm số f x( ) liên tục trên   a b; thì đồ thị của hàm số y  f x( ) là một đường cong liền không bị ngắt quãng nối hai điểm A a f a( ; ( )); B b f b( ; ( ))

(xem tài liệu tham khảo 1, 3, 5, 7)

1 Vốn ban đầu V 0 , lãi suất mỗi kỳ là r, giá trị đạt đƣợc sau n kỳ:

2 Vốn ban đầu V 0 , lãi suất 1 năm là r, mỗi năm chia thành n kỳ (lãi suất mỗi kỳ r n ), giá trị đạt đƣợc sau 1 năm: ( , ) 0 1 r nt

3 Vốn ban đầu V 0 , lãi gộp liên tục (thời gian mỗi kỳ khá bé) giá trị đạt đƣợc sau t năm: V t( )V e 0 rt

1 Giả sử lãi suất tiền gởi không thay đổi là r % một năm, với tiền vốn ban đầu là

Với số tiền ban đầu là 10.000.000 VNĐ và lãi suất hàng năm là 14%, sau t năm gửi tiết kiệm không rút lãi hàng năm, số tiền tích lũy sẽ được biểu diễn bằng công thức V = 10.000.000 × (1 + 0,14)^t Để đạt được số tiền 100.000.000 VNĐ, bạn cần gửi tiền trong khoảng 5,47 năm Điều này cho thấy, gửi tiết kiệm dài hạn với lãi suất 14% giúp tích lũy số tiền lớn một cách hiệu quả.

2 Tìm tổng thu nhập V nếu đầu tƣ lƣợng V 0 sau t năm với lãi suất gộp r mỗi năm a V 0  4000, t  7 năm, r  6%/ năm. b V 0  700, t 15 năm, r  7%/ với kỳ là nửa năm. c V 0  900, t 11 năm, r 10%/ với kỳ là quý. d V 0  800, t  3 năm, r 64%/ với kỳ là ngày

3 Vào ngày 1 7 2005, ông A có 1000 gửi tiết kiệm ở ngân hàng Nông nghiệp với lãi suất 3,5% năm tính gộp liên tục Một ngân hàng cạnh tranh khác đƣa ra kiểu tiếp thị để thu hút khách hàng cạnh tranh khác đƣa ra kiểu tiếp thị để thu hút khách hàng mới nhƣ sau: tặng ngay 20 cho một khác hàng mới với điều kiện gửi ít nhất 1000 với lãi suất 3,5% tính gộp theo nửa năm ông A quyết định chọn một trong ba phương án sau vào ngày 1 7 2005. a Gửi tiền vào ngân hàng Nông nghiệp b Gửi tiền vào ngân hang cạnh tranh. c Gửi nửa tiền vào ngân hàng Nông nghiệp và gửi nửa tiền vào ngân hang cạnh tranh.

Tổng số tiền ông A thu được vào ngày 1 7 2007 theo một trong ba phương án nhƣ trên nhƣ thế nào ?

4 Tính các giới hạn sau a)

5 Tính các giới hạn sau a)

6 Tính các giới hạn sau a)

7 Tính các giới hạn sau a) 2 lim0 x x x e e x

8 Tính các giới hạn sau bằng cách thay lượng tương đương a) 0 sin 3 sin lim ln(1 ) x x x

9 Dùng nguyên lý bỏ qua các VCB bậc cao tính các giới hạn sau: a)

0 sin 5 tan ln(1 ) lim arcsin x x x x x x x

10 Xét sự liên tục của hàm số trên toàn trục số a)

11 Chứng minh rằng a) Phương trình x 3 15x  1 0 có 3 nghiệm trong 4; 4 b) Phương trình sau có nghiệm 2x 3 6x  1 0 có 3 nghiệm trong 2, 2.

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Đạo hàm của hàm số

Hàm số \( y = f(x) \) được xác định tại điểm \( x_0 \) và trong một lân cận của \( x_0 \) Đạo hàm của hàm số \( f(x) \) tại \( x_0 \), ký hiệu là \( f'(x_0) \), là giới hạn hữu hạn nếu tồn tại, và được xác định bằng giới hạn củadấu hiệu đạo hàm tại \( x_0 \) Đạo hàm cho biết tốc độ biến thiên của hàm số tại điểm đó, đóng vai trò quan trọng trong phân tích toán học và các ứng dụng thực tiễn.

Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của hàm số y  f x( ) 3x 2 tại x 0  2 bằng định nghĩa

* Đạo hàm phải tại x 0 của hàm số y  f x( ), kí hiệu: f x ( ) 0 với

* Đạo hàm trái tại x 0 của hàm số y  f x( ), kí hiệu: f x( 0  ) với

+ Hàm số f x( ) có đạo hàm tại x 0 khi và chỉ khi

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số 1 cos , 0

Vậy f không khả vi tại x 0  0 

2.1.1.3 Mối liên hệ giữa đạo hàm và liên tục Định lý: Nếu hàm số y  f x( ) xác định tại x 0 và lân cận của nó và f x( ) có đạo hàm tại x 0 thì nó liên tục tại điểm đó. Điều ngƣợc lại nói chung không đúng Tức là, nếu hàm số f x( ) liên tục tại x 0 thì chƣa thể suy ra f x( ) có đạo hàm tại x 0

Ví dụ 3: Chứng minh hàm y  f x( ) x liên tục tại 0 nhƣng không khả vi tại đây.

 Xét sự liên tục tại x  0

Vậy hàm f x( ) liên tục tại điểm x  0

 Xét sự tồn tại đạo hàm tại x  0

Vậy hàm số y  f x( ) x có đạo hàm phải và đạo hàm trái tại điểm x  0, nhƣng hai giới hạn đó khác nhau Do đó hàm số không có đạo hàm tại x  0

2.1.1.4 Các qui tắc tính đạo hàm

 Đinh lý: Cho u v, là các hàm khả vi tại x 0 Khi đó, các hàm u ( là hằng số),

 , , u (  0) u v u v v v cũng khả vi tại x 0 Ta có: i) (u)'   'u ii) (uv)'  u' v' iii) ( )'u v u v' u v ' iv) u u v' 2 u v ' v v

 Định lý: Nếu y  f u( ), u u x( ) nghĩa là y  f u x  ( ) , trong đó f u( ) và u x( ) có đạo hàm thì y x( )y u u x( ) ( )

 Phép lấy đạo hàm lôga

Tính đạo hàm của hàm y u x( ) v x ( ) , ta lấy lôga cơ số e hai vế, sau đó rồi lấy đạo hàm hai vế theo x

Ví dụ 4: Cho y x sin x Tính y

Lấy logarit cơ số e hai vế, ta đƣợc lny lnx sin x (áp dụng công thức log a x  log a x x ( 0) ) lny sin lnx x

Lấy đạo hàm hai vế theo x , ta đƣợc

 Chú ý: Có thể áp dụng phép tính lôga trong một số trường hợp để làm đơn giản việc tính toán.

2.1.1.5 Đạo hàm hàm số cho bởi phương trình tham số

Cho hàm số y  f x( ) có phương trình dạng tham số x x t( ), y y t( ) Giả sử x x t( ) có hàm số ngƣợc và hàm số ngƣợc này có đạo hàm thì

Ví dụ 5: Hàm số cho bởi

Trong bài viết này, ta xem xét hàm số y = f(x) có đạo hàm y' = f'(x) trên khoảng (a, b) Đạo hàm của hàm số f'(x), còn gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số f(x), được ký hiệu là f''(x) và xác định khi f'(x) có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng (a, b) Việc này cho phép đánh giá sự biến thiên của đạo hàm cấp một, từ đó giúp phân tích tính chất của hàm số một cách toàn diện hơn.

Tương tự có thể định nghĩa đạo hàm cấp 3, 4,

Tổng quát: Đạo hàm đến cấp n của f x ( ) là đạo hàm cấp  n  1  của nó Kí hiệu: f ( ) n ( )x  f ( n  1) ( )x  ' hay y ( ) n   y ( n  1)   (2.1.6)

Giả sử f và g có đạo hàm cấp n tại điểm x Khi đó i) (f g) ( ) ( ) n x f ( ) n ( )x g ( ) n ( )x ( ,  là những hằng số). ii) ( ) ( ) ( )

2.1.2.3 Một số đạo hàm cấp cao thông dụng

Ví dụ 6: Cho hàm số y  ln(x  x 2 1) Tính y x''( )

2.1.2.4 Ý nghĩa của đạo hàm (cấp 1 và cấp 2)

Là dùng để khảo sát sự biến thiên, xu hướng biến đổi của một đại lượng theo thời gian, cụ thể. i) Ý nghĩa hình học

Cho đường cong ( ) :C y  f x( ) Nếu f có đạo hàm tại x x 0 thì hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong (C) tại điểm đó là k  f x'( ) 0 và tiếp tuyến có dạng

Trong chuyển động của một vật, phương trình chuyển động được mô tả bởi s = s(t) Đạo hàm cấp một của s(t), ký hiệu là s'(t), chính là vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t Vận tốc tức thời này phản ánh tốc độ biến thiên của quãng đường theo thời gian, giúp ta hiểu rõ hơn về đặc điểm chuyển động của vật tại từng khoảnh khắc Bên cạnh đó, đạo hàm cấp hai của s(t), hoặc s''(t), chính là gia tốc của vật tại thời điểm t, thể hiện tốc độ thay đổi của vận tốc và đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích các loại chuyển động phức tạp hơn.

 ( ) ''( ) a t s t iii) Ý nghĩa chung: f x'( ) 0 biểu thị tốc độ biến thiên của hàm f tại x 0

Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp (ở đây u u x( ))

Vi phân của hàm số

Cho y  f x( ) khả vi tại x ( , )a b Khi đó,

Hay  y f x'( ). x O(   x) y f x'( ). x O(x), trong đó: O(x) là VCB bậc cao hơn x khi  x 0

Ta gọi f x'( ).x là vi phân của hàm số f Kí hiệu : df dy,

 Chú ý: Đối với hàm số y  f x( )x, ta có dy dx  x nên biểu thức vi phân có thể đƣợc viết

2.2.1.2 Các qui tắc tính vi phân

Cho hai hàm khả vi f g, , R Ta có i) d(f).df ii) d f( g)df dg iii) d f g( )g df  f dg iv) 2

Ví dụ 7: a) d x( 3 2x 2 1)(3x 2 4 )x dx x x(3 4)dx b) d(sin 2 x) 2 sin cosx xdx sin 2xdx

2.2.1.3 Công thức tính xấp xỉ (Áp dụng vi phân tính gần đúng)

Giả sử hàm số y  f x( ) khả vi tại x 0 Khi x gần 0, ta có:

Ví dụ 8: Tính gần đúng A 3 1, 02

   Áp dụng công thức tính gần đúng, ta có

Nếu hàm số y = f(x) khả vi trên khoảng (a, b), thì vi phân cấp một của hàm là df = f'(x) dx Khi vi phân cấp một khả vi, vi phân của nó chính là vi phân cấp hai của hàm số f(x) Vi phân cấp một và cấp hai đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích sự biến đổi của hàm số và có ứng dụng rộng rãi trong toán học.

Tương tự, vi phân của d f 2 gọi là vi phân cấp 3 của f x( ) Kí hiệu là

Nếu hàm số f x( ) khả vi đên cấp n tại mọi điểm x  ( , ) a b thì vi phân cấp n của f x( ) là vi phân của vi phân cấp (n-1) của f x( )

2.2.2.2 Liên hệ giữa vi phân cấp cao và đạo hàm cấp cao

2 ( ) '( ) ''( ) ''( ) d f d df d f x dx f x dx dx f x dx

(trong đó f   n là đạo hàm cấp n của f x( ), dx n là lũy thừa thật sự)

Các định lý cơ bản của phép tính vi phân

Nếu f là một hàm số liên tục trên   a b ; , khả vi trên  a b;  và f a( ) f b( ) thì

Nếu f là một hàm số liên tục trên   a b; , khả vi trên  a b;  thì:

Nếu hai hàm f g , liên tục trên   a b; , khả vi trên  a b;  và '( ) 0, ( ; ) g x   x a b thì

 Nhận xét Định lý Lagrange là trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy khi g x( )x Đinh lý Rolle là trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange khi f a( ) f b( )

2.3.4 Các qui tắc L’Hospital (Khử dạng vô định)

* Qui tắc 1: (khử dạng vô định 0

0 ) * Qui tắc 2: (khử dạng vô định 

 ) Nếu f g , thỏa các điều kiện sau i) f g, khả vi trong  a b;  ii) f x( ) 0 g x( ) 0  0 iii) g x'( )  0, x  a b;  iv)

 g x  (L hữu hạn hoặc vô hạn) thì

Nếu f g , thỏa các điều kiện sau i) f g, khả vi trong  a b;  ii)

 g x  (L hữu hạn hoặc vô hạn) thì

 thì chƣa thể kết luận gì về

* Có thể áp dụng qui tắc này nhiều lần.

* Qui tắc 1, 2 vẫn đúng khi x  

* Có thể dùng qui tắc trên để khử các dạng vô định khác:

(hoặc có thể nhân lượng liên hiệp hay qui đồng mẫu số).

 Các dạng mũ:áp dụng công thức  

 Đặc biệt: Dạng 1  áp dụng công thức:

3 6 lim lim lim 6 sin 1 cos sin

 Chú ý: Công thức L‟Hopital không phải lúc nào cũng sử dụng đƣợc.

Ví dụ 11: Tính sin lim 2 x x x

I x (không tồn tại giới hạn).

( ) 2 f x x , chọn   x n và   x ' n cùng dần về 

- Nhƣng không thể kết luận nhƣ thế đƣợc vì:

2.3.5 Ứng dụng của phép tính vi phân

2.3.5.1 Xác định khoảng đơn điệu Định lý

Cho hàm số y  f x( ) khả vi tại mọi điểm thuộc   a b; Điều kiệncần và đủ để ( ) f x tăng (hay giảm) trên đoạn đó là f x'( ) 0 (hay f x'( ) 0),  x  a b; 

Giả sử y  f x( ) khả vi trên   a b, và liên tục trên   a b; Nếu f x'( ) 0 (hay f x'( ) 0),  x  a b;  thì f x( ) tăng (hay giảm) nghiêm ngặt trên   a b;

2.3.5.2 Cực trị địa phương của hàm số a) Định nghĩa

Giả sử hàm số y  f x( ) xác định trong ( , ),a b x 0( , )a b Hàm số f x ( ) đạt cực đại (hay cực tiểu) địa phương tạix 0 nếu tồn tại một lân cận  của x 0 sao cho

Các điểm tại đó f(x) đạt giá trị cực đại hoặc cực tiểu được gọi là cực trị của hàm số Những điểm này được phân loại là cực trị địa phương của hàm số, phản ánh các điểm có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trong một khoảng nhất định Để xác định cực trị, cần thỏa mãn các điều kiện cần liên quan đến đạo hàm của hàm số tại các điểm đó, giúp xác định chính xác vị trí của các cực trị trên đồ thị hàm số.

Nếu hàm số f x ( ) xác định trong khoảng ( , ) a b và đạt cực đại (hay cực tiểu) địa phương tại x 0 thuộc ( , )a b và nếu tồn tại f x'( ) 0 thì f x'( ) 0  0

Điểm tới hạn của hàm số y = f(x) trên khoảng (a, b) được định nghĩa là điểm x₀ ∈ (a, b) mà tại đó không tồn tại đạo hàm hoặc đạo hàm bằng zero Đây là các điểm quan trọng trong việc xác định các cực trị của hàm số Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị là tại điểm tới hạn, hàm số phải thỏa mãn các điều kiện bổ sung nhằm đảm bảo tính cực đại hoặc cực tiểu Việc xác định chính xác các điểm tới hạn giúp phân tích và hiểu rõ hành vi của hàm số trên khoảng xác định.

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trong lân cận của điểm x₀, đảm bảo giá trị hàm không bị gián đoạn tại đó Nếu hàm số có đạo hàm trong lân cận này (có thể trừ điểm x₀), thì đạo hàm tồn tại gần điểm x₀, phản ánh tốc độ biến đổi của hàm số Nếu x₀ là điểm tới hạn của hàm số, nghĩa là giới hạn của f(x) khi x tiến tới x₀ tồn tại nhưng f(x₀) có thể không xác định hoặc không bằng giới hạn đó, thể hiện tính đặc biệt của điểm tới hạn.

 Nếu f x'( ) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x 0 thì f x( ) đạt cực đại tại x 0

 Nếu f x'( ) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua x 0 t thì f x( ) đạt cực tiểu tại x 0

 Nếu f x'( ) không đổi dấu khi x qua x 0 thì thì f x( ) không đạt cực trị tại x 0

 Định lý 2: Giả sử y  f x( ) có đạo hàm liên tục đến cấp 2 trong lân cận điểm x 0 và f x'( ) 0  0, f ''( )x 0  0 Khi đó:

 Nếu f ''( )x 0  0 thì f x( ) đạt cực tiểu tại x 0

 Nếu f ''( )x 0  0 thì f x( ) đạt cực đạitại x 0

Ví dụ 12: Tìm cực trị của hàm số sau a) y  f x( ) x 1x 2 b) 1 3 3 2

Vậy hàm số đạt cực đại tại 2

 y''( 1)   5 0  Hàm số đạt cực đại tại x  1

 y''(4) 5 0  Hàm số đạt cực tiểu tại x  4  x y’ y

Cho y  f x( ) có đạo hàm đến cấp n trong ( , )a b chứa x 0 thỏa

 TH 1: n lẻ: Hàm số không có cực trị tại x 0

- Nếu f ( ) n ( )x 0 0 thì hàm số đạt cực đại tại x 0

- Nếu f ( ) n ( )x 0  0 thì hàm số đạt cực tiểui tại x 0

Ví dụ 13: Tìm cực trị (nếu có) của f x( )(x 1) 4

Theo định lý trên thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x  1 và y CT 0

2.3.5.3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất a) Định nghĩa

Cho hàm số y  f x( ) có tập xác định D và X D

 Số M được gọi là giá trị lớn nhất của f x( ) trên X nếu:

 Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f x( ) trên X nếu:

 Chú ý: Hàm số có thể không đạt max hoặc min trên X D b) Phương pháp tìm max, min

Cách 1: Dùng bất đẳng thức.

Cách 2: Dùng bảng biến thiên.

Cách tìm GTLN và GTNN của hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng [a, b] bao gồm các bước chính: đầu tiên, tìm tất cả các điểm tới hạn của hàm số trong mở rộng (a, b); sau đó, tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn này cũng như tại hai điểm đầu và cuối đoạn là f(a) và f(b); cuối cùng, so sánh các giá trị này để xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên khoảng đã cho.

 Chú ý: Nếu đề bài chưa cho đoạn   a b; thì ta phải tìm MXĐ của hàm số trước.

Ví dụ 14: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y  f x( )x 3 6x 2 9x trên 1; 4

* Hàm số liên tục trên   1; 4 

Vậy y m ax  4 tại x 4 và x 1 min  16 y tại x  1

Tìm GTLN và GTNN của hàm số a) y   x 2 5x 6 b) y 2 sinx sin 2x trên 3

  2.3.5.4 Bài toán tối ƣu trong thực tế

Trong thực tế, các bài toán thường liên quan đến việc lựa chọn giải pháp tối ưu phù hợp dưới các điều kiện nhất định Một trong những mô hình toán học cơ bản nhất cho các bài toán này là tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của một hàm số Việc xác định điểm cực đại hoặc cực tiểu của hàm số giúp các nhà quản lý và kỹ sư đưa ra quyết định tối ưu trong các lĩnh vực khác nhau Đây là bài toán tối ưu hóa phổ biến, đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu và ứng dụng các phương pháp giải quyết các vấn đề thực tiễn.

 B1 : Xác định các đại lƣợng biến thiên và đặt tên chúng.

 B2 : Xác định mối liên hệ giữa các đại lƣợng theo giả thuyết.

 B3 : Xác định đại lượng cần khảo sát cực trị và viết nó dưới dạng hàm theo một trong các đại lƣợng biến thiên đã xét.

 B4 : Khảo sát hàm tìm đƣợc ở B3 để tìm cực trị, giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất. a Mô hình Kinh tế đơn giản: Phân tích cung cầu i) Hàm cầu

* Q D : Số lượng cầu (lượng hàng hóa mà người mua bằng lòng mua ở giá P)

Chú ý rằng số lượng cầu của một hàng hóa có quan hệ tỷ lệ nghịch với giá của nó, tức là hàm cầu là hàm nghịch biến Điều này có nghĩa là khi giá của hàng hóa tăng, lượng cầu sẽ giảm và ngược lại Hàm cầu thường có dấu trừ trước biến số thể hiện mối quan hệ nghịch chiều này Hiểu rõ đặc điểm của hàm cầu giúp phân tích phản ứng của người tiêu dùng đối với biến đổi của giá cả hàng hóa trên thị trường.

Đồ thị đường biểu diễn của hàm cầu là đường cầu, có dạng dốc xuống thể hiện quy luật cầu: "Khi giá giảm, lượng cầu tăng và ngược lại." Trong khi đó, hàm cung mô tả mối quan hệ giữa giá cả và lượng hàng hóa các nhà sản xuất sẵn sàng cung cấp, giúp xác định điểm cân bằng trên thị trường.

Biểu thị sự phụ thuộc của lƣợng cung của một loại hàng hóa với giá của hàng hóa đó.

* Q S : Lượng cung (lượng hàng hóa mà người bán bằng lòng bán ở giá P).

 Chú ý : Trong thực tế cung và cầu không chỉ phụ thuộc vào duy nhất yếu tố giá cả

Đồ thị cung thể hiện đường cung, có dạng đi lên phản ánh quy luật cung: "Khi giá tăng thì lượng cung tăng và ngược lại" Giá cân bằng của thị trường được xác định tại điểm giao giữa đường cung và đường cầu, nơi lượng cung bằng lượng cầu, giúp xác định mức giá phù hợp để duy trì sự cân bằng trên thị trường.

Giao điểm của hai đường cung – cầu đƣợc gọi là điểm cân bằng cung - cầu Tại điểm cân bằng ta có giá P P E và khi đó

Q Q Khi đó người bán hết hàng và người mua đủ hàng.

 Nếu Q S Q D hay cung > cầu  hiện tƣợng dƣ thừa.

 Nếu Q S Q D hay cung < cầu  hiện tƣợng khan hiếm. b Bài toán tìm sản lƣợng để đạt lợi nhuận cực đại

Để tối đa hóa lợi nhuận, công ty cần xác định mức sản lượng Q tối ưu dựa trên hàm cầu Q_D = D_P(P) và hàm chi phí C = C(Q) Việc tìm sản lượng sản xuất phù hợp giúp công ty đạt lợi nhuận cao nhất trong khoảng thời gian nhất định Phân tích điểm hòa vốn và tối ưu hóa lợi nhuận dựa trên sự cân đối giữa doanh thu và chi phí là yếu tố then chốt để xác định sản lượng sản xuất tối ưu Sử dụng các công thức và mô hình kinh tế học, doanh nghiệp có thể định hướng sản xuất phù hợp nhằm đạt hiệu quả kinh doanh cao nhất.

 Phương pháp giải Để bán hết sản lƣợng này công ty phải bán ra với đơn giá P sao cho số lƣợng cầu Q D bằng đúng Qhay Q  D P( )

B1: Từ phương trình này xem P là ẩn số, ta tính được P P Q( )

B2: Suy ra : Hàm doanh thu sẽ là : R R Q( )Q P Q ( )

Hàm lợi nhuận sẽ là : L L P( ) R Q( )C Q( )

B3: Ta tìm Q 0  0 tại đó hàm L đạt giá trị lớn nhất

Ví dụ 16: Một công ty kinh doanh độc quyền một loại sản phẩm có hàm cầu

Q D D P và hàm chi phí C C Q( ) Hãy tìm sản lƣợng Q trong đơn vị thời gian để công ty đạt lợi nhuận cực đại Biết hàm cầu Q D 100P Tổng chi phí

C C Q Q Q Q Hãy xác định sản lƣợng Q để công ty có lợi nhuận cao nhất.

* Muốn bán hết sản lƣợng Q này thì công ty phải bán ra với đơn giá P sao cho : Q Q D 100 P P 100Q

Vậy nếu sản lƣợng là Q  50 trong một đơn vị thời gian thì công ty đạt lợi nhuận cao nhất. c Bài toán tính thuế doanh thu

Một công ty độc quyền kinh doanh mặt hàng có hàm cầu Q_D = D_P( ) và hàm tổng chi phí theo sản lượng là C = C_Q( ) Để xác định mức thuế t > 0 phù hợp nhằm tối đa hóa thu ngân sách từ công ty khi lợi nhuận đạt mức cao nhất, cần phân tích ảnh hưởng của thuế đến lợi nhuận và doanh thu của doanh nghiệp Việc đặt thuế trên sản phẩm sẽ tác động đến cầu hàng hóa và lợi nhuận của công ty, từ đó xác định mức thuế tối ưu giúp chính phủ thu được số tiền lớn nhất khi lợi nhuận của công ty đạt đỉnh cao.

 Phương pháp giải : Giả sử mức thuế trên mỗi sản phẩm là t  0 Khi đó công ty phải bán với giá P: Q D P( )

B1: Từ Q D P( ) ta tính đƣợc P là hàm theo Q : P P Q( )

B2: Doanh thu của công ty là : R Q P Q ( )

B4: Lợi nhuận của công ty là : L R Q( )C Q( )tQ

B5: Tìm Q t 0 ( ) sao cho tại Q t 0( ) ta có L đạt giá trị lớn nhất Khi đó :

B6: Để cơ quan thuế thu đƣợc nhiều thuế doanh thu của công ty nhất ta cần định mức thuế t 0 sao cho T đạt cực đại

Ví dụ 17: Q D 2000P và chi phí C C Q( )Q 2 1000Q150

* Để bán hết sản phẩm thì công ty phải bán ra với đơn giá P sao cho số lƣợng cầu Q D Q

Vậy L đạt giá trị lớn nhất tại Q t 0( )

* Khi đó thuế thu đƣợc là :  

Suy ra : T đạt cực đại tại t  500 Khi đó công ty sản xuất với sản lƣợng :

1 Tính đạo hàm của các hàm số sau a)

2 Tính đạo hàm của các hàm số theo cấp đã chỉ a) y e  x 2 Tính y b) y x 2 sin 2x Tính y ( ) n c) 1

3 Dùng vi phân tính gần đúng số a) Asin 29 0 b) B  arctan1, 05 c) C  4 15, 8 d)

4 Dùng qui tắc L‟Hospital tính các giới hạn sau

5 Một xe bus có sức chứa tối đa là 60 hành khách Nếu mỗi chuyến xe có x hành khách thì giá cho mỗi hành khách là 3 2

  (đồng) Hãy tính số hành khách trên mỗi chuyến xe để mỗi chuyến xe thu đƣợc nhiều tiền nhất

6 Một nhà máy sản xuất x sản phẩm mỗi ngày với chi phí là 2 35 25

(đồng) và giá bán một sản phẩm là 50

Nhà máy nên xác định số lượng sản phẩm tối ưu hàng ngày để đạt lợi nhuận cao nhất, dựa trên phân tích chi phí và doanh thu Việc tối ưu hóa sản lượng giúp giảm thiểu chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm, đảm bảo chi phí sản xuất nhỏ nhất theo phương án đã chọn Điều này giúp doanh nghiệp nâng cao hiệu quả hoạt động và tối đa hóa lợi nhuận trên từng đơn vị sản phẩm.

7 Một doanh nghiệp kinh doanh độc quyền một loại sản phẩm có hàm cầu P 130 và hàm chi phí 1 3 2

C  3Q Q  Q  Hãy tìm sản lƣợng Q trong một đơn vị thời gian để doanh nghiệp đạt lợi nhuận cao nhất và tính lợi nhuận đó.

8 Một công ty kinh doanh độc quyền một loại sữa có hàm cầu 1

Q D   P và hàm chi phí C Q 2 4000Q225 Hãy tìm sản lƣợng Q trong một đơn vị thời gian để công ty đạt lợi nhuận cao nhất và tính lợi nhuận đó.

9 Một công ty kinh doanh độc quyền một loại nước ngọt có hàm cầu

C  3Q Q  Q  Hãy tìm sản lƣợng Q và giá bán P trong một đơn vị thời gian để công ty đạt lợi nhuận cao nhất và tính lợi nhuận đó.

10 Một doanh nghiệp kinh doanh độc quyền một loại sản phẩm có hàm cầu

Doanh nghiệp có hàm lợi nhuận sau thuế phụ thuộc vào mức thuế doanh thu t và sản lượng Q, trong đó Q = -P và hàm chi phí C = Q² + 200Q + 100 Để tối đa hóa lợi nhuận sau thuế, doanh nghiệp cần xác định mức sản lượng tối ưu dựa trên mức thuế t đã định Khi doanh nghiệp đạt lợi nhuận sau thuế cao nhất, mức thuế doanh thu t sẽ được tính toán để tổng số thuế thu được là lớn nhất Ngoài ra, với nhu cầu xã hội tối thiểu 125 đơn vị sản phẩm, doanh nghiệp phải xác định mức thuế doanh thu tối đa mà vẫn đảm bảo cung cấp đủ sản phẩm theo yêu cầu.

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

Tích phân không xác định

3.1.1 Nguyên hàm và tích phân không xác định

Hàm số F x( ) đƣợc gọi là nguyên hàm của hàm số f x( ) trên   a b; nếu

Ví dụ 1: sinx ' cosx sinx là nguyên hàm của c xos

* Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có nguyên hàm trên đoạn đó.

* Nếu F x( ) là nguyên hàm của f x( ) thì F x( )C cũng là nguyên hàm của ( ) f x

(Việc tìm nguyên hàm của hàm số còn gọi là phép lấy tích phân của hàm số đó). Định nghĩa

Tập tất cả các nguyên hàm của hàm số f x( ) đƣợc gọi là tích phân không xác định của f x( ), kí hiệu là:  f x dx( )

3.1.1.3 Tính chất của tích phân không xác định

Cho f g, là các hàm số có nguyên hàm Khi đó i) f x dx( )   f x dx( ) (  là hằng số) ii)   f x ( )  g x dx ( )    f x dx ( )   g x dx ( ) iii)   f x dx ( )  '  f x ( ) iv)  f x dx( )  f x( )C

Bảng tích phân của một số hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của các HSCB y  f x( ) Hàm y ax b (a  0) dx  x C

  sin(ax b dx) - cos(1 ax b) C

 cos(ax b dx) 1sin(ax b) C

1 1 tan( ) cos ( )dx ax b C ax b  a  

1 1 cot( ) sin ( )dx ax b C ax b  a  

Biến đổi hàm dấu tích phân về dạng tổng của các hàm đơn giản hoặc dạng một hàm trong bảng nguyên hàm cơ bản

   c) 1 2 2 sin - sin cos - tan cos cos x dx xdx dx x x C x x

3.1.2.2 Phương pháp đổi biến số

 Qui tắc 1 Đặt t ( )x , trong đó ( )x là một hàm khả vi theo biến t Ta có

 Qui tắc 2 Đặt x ( )t , trong đó ( )t là một hàm khả vi và đơn điệu nghiêm ngặt theo biến t Ta có

 Chú ý: Qui tắc 2 thường áp dụng khi có tích phân có chứa

Ví dụ 3: Tính tích phân của các hàm số sau: a) I  (x 2 3x 1) (2 5 x 3)dx b) 3 3 2 sin x

Tính các tích phân sau: a) tanxdx b)  x ln dx x  1 c)  3 x 3 x   1 1 dx

Ví dụ 4: Tính tích phân sau: I   a 2 x dx 2 (a  0)

Giải Đặt x a sint dx acostdt, với ; t     2 2

Khi đó 2 (1 sin ) cos 2 2 os 2 2 (1 cos 2 )

3.1.2.3 Phương pháp tích phân từng phần

Giả sử u, v là các hàm khả vi Khi đó, ta có:

 Nhận xét: Nếu P x( ) là một đa thức

Ví dụ 5: Tính: a) I   xc xdxos b) J   x arctan xdx

Giải: a) Đặt cos sin u x du dx dv xdx v x

Khi đó I  xsinx sinxdx xsinx cosx C b) Đặt 2 2 tan 1 1

2 du dx u arc x x dv xdx x v

- Đối với nhiều tích phân khó thì ta phải đổi biến trước khi lấy tích phân từng phần.

- Phép lấy tích phân từng phần liên tiếp nhiều khi đƣa về tích phân ban đầu.

Tính: a) I   cos xe sin x dx b) J   e x cos xdx

3.1.3 Tích phân một số hàm thường gặp

3.1.3.1 Tích phân các hàm hữu tỉ a) Adx dx ln

 Nếu ax 2 bx  c 0, có hai nghiệm phân biệt. Áp dụng công thức

 Nếu ax 2 bx  c 0, có nghiệm kép. Áp dụng công thức: 1 2 1 1

 Nếu ax 2 bx  c 0 vô nghiệm Áp dụng công thức: 2 1 2 1 arctanx dx C x a a a 

    b) J   x 4  dx 4 x 2  5 c) K   x 4 dx  3 x 2 d) Ax 2 B ( 0, 0) dx A a ax bx c

 Nếu ax 2 bx  c 0, có hai nghiệm phân biệt Ta dùng phương pháp cân bằng hệ số đồng bậc, đƣa về cách tính nhƣ ở mục a).

 Nếu ax 2 bx  c 0 vô nghiệm hay có nghiệm kép Ta phân tích

Ax B A ax b Ab dx dx dx B ax bx c a ax bx c a ax bx c

* 2 2 2 ax b ln dx ax bx c C ax bx c

* Cân bằng hệ số đồng bậc, ta đƣợc : 2 3

Bước 1: Nếu bậc đa thức P x( ) lớn hơn bậc đa thức Q x( )thì ta chia P x( ) cho ( )

Q x m x Q x (trong đó: m x( )là đa thức và bậc p x( ) < bậc ( )

 Bước 2: Phân tích mẫu số của phân thức ra các thừa số tuyến tính và bậc 2:

 Bước 3: Phân tích phân thức ( )

Q x thành tổng của các phân thức hữu tỉ đơn giản sau:

 Bước 4: Xác định các hệ số A A 1 , 2 , ,M M 1 , 2 , ,N N 1 , 2 , bằng phương pháp hệ số bất định.

Tích phân các hàm hữu tỉ đơn giản

M x p Mp dx dx N x px q x px q

* L    x 2 Mx  px   N q  K dx      x  Mx   2   N  2   K dx với

  đƣợc tính theo công thức truy hồi

* Cân bằng hệ số đồng bậc, ta đƣợc :

3.1.3.2 Tích phân các hàm vô tỉ: , n ax b

 , đƣa tích phân đã cho về dạng hàm số hữu tỉ.

 Chú ý : Nếu tích phân có dạng , n 1 ax b, n 2 ax b, , n k ax b

 thì ta đổi biến bằng cách đặt n ax b t cx d

3.1.3.3 Tích phân hàm số lƣợng giác

Tính I   R(sin , cos )x x dx, trong đó R u v( , ) là hàm hữu tỉ theo u v,

 Phương pháp chung Đặt 2 2 tan 2 arctan

       Đây là tích phân hàm hữu tỷ theo biến t

 Một số trường hợp đặc biệt

Phép biến tấp là quá trình đưa về nguyên hàm của hàm hữu tỷ theo biến t, tuy nhiên đôi khi việc thực hiện phép biến tạp gây ra sự phức tạp trong tính toán Đặc biệt, đối với các dạng đặc biệt, phép biến tạp có thể được thực hiện một cách đơn giản hơn, giúp tiết kiệm thời gian và giảm độ phức tạp của quá trình tính toán.

 Dạng 1: R( sin , cos ) x  x R(sin , cos )x x thì ta đặt t  tanx (hàm chẵn theo sinx, c xos )

 Dạng 2: R( sin , cos ) x x  R(sin , cos )x x thì ta đặt t cosx (hàm lẻ theo sinx)

 Dạng 3: R(sin , cos )x  x  R(sin , cos )x x thì ta đặt t  sinx (hàm lẻ theo cosx)

Ví dụ 11: Tính: a) 4 sin 3 cos 5

    b) J   sin 2 x dx  3 os c 2 x c) K  cos 3 xdx d) L   sin cos 3 xdx x

Giải a) Đặt 2 2 tan2 1 x dt t dx

2 2 2 sin sin (1 cos ) sin cos cos

Ngoài ra trong một số trường hợp việc áp dụng các công thức lượng giác đã học giúp ta nhận đƣợc kết quả dễ dàng hơn.

Ví dụ 12: Tính I  sin 5 sin 3x xdx

Tích phân xác định

 Bài toán tính diện tích hình thanh cong

Cho hàm số ( ) :C y  f x( ) xác định dương trên   a b; , có đồ thị biểu diễn như hình vẽ

 Hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f x( ); x a x, b và trục Ox được gọi là hình thang cong

 Ta tính diên tích hình thang cong AabB đó.

 Ta chia đoạn   a b; thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia:

 Tương ứng hình thang cong cũng được chia thành n cột cong nhỏ.

 Ta gọi x i đồng thời là đoạn thẳng và là độ dài của đoạn [x i -1, ],x i i 1, ,n và d là độ dài lớn nhất của các x i :  

 Trên mỗi đoạn x i lấy điểm tuỳ ý c i

 Nếu x i khá bé có thể xem diện tích của cột cong thứ i xấp xỉ với diện tích của hình chủ nhật có hai kích thước x i ; f c( ) i : i ( ) i i

 Do đó diện tích S của AabBcó thể xấp xỉ với

* Định nghĩa: Diện tích hình thang cong AabB là

Giả sử y  f x( ) là hàm số xác định và bị chặn trên   a b;

 Chia   a b; thành n đoạn nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm chia

 Trên mỗi đoạn x i lấy điểm tuỳ ý c i và lập tổng tích phân

 Khi n   thì d n 0 nếu tồn tại giới hạn

Tích phân xác định của hàm số f(x) trên khoảng [a, b] là một khái niệm không phụ thuộc vào cách chia đoạn hay cách chọn điểm c_i trong mỗi phần tử của phân hoạch, đảm bảo tính chất nhất quán và chính xác trong tính toán tích phân Định nghĩa này giúp xác định diện tích dưới đường cong của hàm số trong khoảng giới hạn rõ ràng, được ký hiệu là ∫ₐᵇ f(x) dx, góp phần nâng cao hiệu quả tối ưu trong phân tích và ứng dụng toán học.

 Khi đó, ta cũng nói f x( ) khả tích trên   a b;

* Ý nghĩa hình học của tích phân xác định

Diện tích hình thang cong AabB (ở trến) chính là: ( ) b a

Cho hàm số f g, khả tích trên   a b; Khi đó i) b  ( ) ( )  b ( ) b ( ) a a a f x g x dx  f x dx  g x dx

  (3.2.3) iii) Nếu f x( )g x( )  x   a b; thì ta có ( ) ( ) b b a a f x dx  g x dx

  (3.2.4) iv) Nếu f x( ) là hàm chẵn thì

   (3.2.5) v) Nếu f x( ) là hàm lẻ thì ( ) 0 a a f x dx

I f x dx f c x vi) Với c  a b; , ta có ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx  f x dx  f x dx

3.2.3 Các định lý cơ bản của phép tính tích phân Định lý 1 (Đạo hàm theo cận trên)

Nếu f x( )liên tục trên   a b; thì với x   a b; , hàm số ( ) ( ) x a

F x   f t dt khả vi tại x và ta có '( ) ( ) ( ) x a

Ví dụ 13: Tính giới hạn:

0 3 0 0 0 sin sin 2 2 2 lim lim lim lim 0

 Định lý 2 ( Công thức Newton – Leibniz)

Nếu f x( ) liên tục trên   a b; và F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) thì

3.2.4 Các phương pháp tính tích phân xác định

Có 2 phương pháp như §1 a) Phương pháp đổi biến số (Nhớ đổi cận)

I   f x dx với f là hàm liên tục trên   a b;

 Qui tắc 1: - Đặt t ( )x sau đó tính dx theo t và dt

Giải a) * Đặt ln  dx t x dt x

1 os ( ) 1 os sin sin sin

1 os 1 os 1 os t t dt t tdt

 Qui tắc 2: - Đặt x ( )t dx ( )t dt

* Đặt x  sint dx  costdt, với ; t   2 2

I   x dx b) Phương pháp tích phân từng phần

Cho u, v là các hàm có đạo hàm liên tục trên   a b; Khi đó, ta có:

3.2.5 Ứng dụng của tích phân xác định a) Diện tích hình phẳng

* Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường thẳng x a, x b, y  0 và cung của đồ thị hàm số liên tục y  f x( ) trên   a b; đƣợc tính theo công thức

 Lưu ý: Cho f x( ) 0 (1) để tìm nghiệm của nó

(i) Nếu (1) không có nghiệm trên   a b ; thì

(ii) Nếu (1) có đúng 1 nghiệm c    a b ; thì

(iii) Nếu (1) có đúng 2 nghiệm c c 1 2,   a b; và c 1 c 2 thì

 Chú ý: Nếu phương trình đường cong cho dưới dạng x g y( ), g y( ) liên tục trong   c d; thì diện tích S đƣợc tính theo công thức

* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng x a, x b và cung của hai đồ thị hàm số liên tục

1( ); 2( ) y  f x y  f x trên   a b; đƣợc tính theo công thức

 Lưu ý: Để tính tích phân trên ta cũng cho f x 1( )f x 2( ) 0 để tìm nghiệm thuộc

  a b; , rồi chia tích phân cần tính thành 1 hoặc nhiều tích phân trên các đoạn con của đoạn   a b;

* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung có phương trình x x t( ), y y t( ), ( )1 a x t , b y t( ), 2 y  0 thì diện tích là

Ví dụ 17: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ) :C 1 y 2 2px và

* Tìm giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ) :

* Diện tích cần tìm là :

Ví dụ 18: Tính diện tích của ( ) : x 2 2 y 2 2 1

Phươngtrình tham số của (E) là cos

Do tính đối xứng của hình, ta có

       a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y 2 2x 1 và x   y 1 0 b) Tính diện tích của hình tròn ( ) :C x 2 y 2  R 2

2 2 x  py b) Độ dài cung của đường cong phẳng

* Cung (L) có phương trình y  f x( ),  a  x b  Độ dài cung của (L) là b 1  ( )  2 a l    y t dt (3.2.21)

* Cung (L) có phương trình tham số ( ) t 1 2 

  Độ dài cung của (L) là 2    

Ví dụ 18: Tính độ dài cung cycloid: ( sin ) 0 2 

Giải Ta có: x a(1c tos ); yasint Độ dài cung cần tìm là

    a) Tính độ dài dây cung parabol 2

2 y  x từ gốc O(0, 0) đến điểm M  2;2 b) Dùng tích phân xác định kiểm chứng chu vi đường tròn bán kính R là 2R c) Thể tích của vật thể

Giả sử có một vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = a và x = b, trong đó mặt phẳng vuông góc với trục Ox nằm tại các giá trị x trong khoảng (a, b) Thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng này có diện tích là một hàm của x, chứng tỏ diện tích này thay đổi theo vị trí của mặt phẳng cắt Việc tính diện tích thiết diện là bước quan trọng trong các phương pháp xác định thể tích của vật thể qua tích phân Từ đó, chúng ta có thể áp dụng các kỹ thuật tích phân để tính chính xác thể tích của vật thể kín giới hạn bởi các mặt phẳng này.

S x và S x( ) là hàm liên tục tại x Khi đó, thể tích vật thể đƣợc tính bởi công thức

(3.2.23) d) Thể tích của vật thể tròn xoay

Vật thể tròn xoay được tạo thành khi một miền phẳng quay quanh một trục nằm trong mặt phẳng chứa miền đó, hình thành các hình cầu hoặc hình trụ tùy thuộc vào phương pháp quay Để tính thể tích của vật thể tròn xoay, người ta sử dụng hai phương pháp chính là phương pháp cắt lớp và phương pháp vỏ hình trụ, giúp xác định chính xác thể tích dựa trên các đường giới hạn của miền và trục quay Lựa chọn phương pháp phù hợp dựa trên phương trình các đường giới hạn của miền và vị trí của trục quay nhằm tối ưu hóa quá trình tính toán thể tích của vật thể tròn xoay.

Vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay miền giới hạn bởi các đường y = f(x), với x từ a đến b (với a < b), quanh trục Ox Mọi thiết diện cắt vật thể tại các mặt phẳng vuông góc với Ox sẽ là các hình tròn có bán kính bằng f(x) Diện tích của mỗi thiết diện là π[f(x)]², do đó thể tích của vật thể tròn xoay có thể tính bằng tích phân của π[f(x)]² trên khoảng từ a đến b.

Thể tích V của vật thể do miền S giới hạn bởi x g y x( ); 0;y c;y d

(c d), khi quay quanh Oy là

 Phương pháp vỏ hình trụ

Để tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành qua việc quay miền giới hạn bởi y = f(x), x = a, x = b quanh trục Oy, cần tìm nghiệm của phương trình y = f(x) dưới dạng x = g(y) Tuy nhiên, việc giải phương trình này không phải lúc nào cũng khả thi trong thực tế Khi đó, ta thực hiện các bước tính thể tích theo phương pháp thích hợp, giúp xác định thể tích chính xác của vật thể tròn xoay.

Trong bài viết này, ta định nghĩa yếu tố diện tích của tập hợp D tại điểm x là một dải hẹp, thẳng đứng có chiều rộng là dx và chiều cao là f(x) Diện tích của dải này được tính bằng công thức dS = f(x) dx, giúp xác định chính xác diện tích của các phần nhỏ trong tập hợp D Phương pháp này là nền tảng để tính diện tích tổng thể bằng cách tích hợp các yếu tố diện tích nhỏ này trên toàn bộ miền D, đảm bảo tính chính xác và hiệu quả trong các phép tính tích phân liên quan đến diện tích.

Khi R quay quanh Oy, dải vật liệu tạo thành một miền có hình dạng như lớp vỏ của hình trụ tròn xoay, với bán kính x, chiều cao f(x) và bề dày dx Thể tích của lớp vỏ này chính là yếu tố thể tích của vật thể tròn xoay, ký hiệu là dV, được tính bằng công thức dV = 2πx f(x) dx Mỗi lớp vỏ như vậy được xem như một tấm hình chủ nhật được cuộn lại, tạo thành một hình trụ tròn xoay với chiều dài 2πx, chiều cao f(x) và độ dày dx, giúp xác định chính xác thể tích của toàn bộ vật thể.

- Thể tích vật thể tròn xoay đã cho là tổng (tích phân) của các thể tích của các lớp vỏ nhƣ vậy với bán kính từ a đến b Ta có

BẢNG TÓM TẮT TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY

Dạng Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay miền giới hạn bởi Phương pháp cắt lớp Phương pháp vỏ hình trụ

Ví dụ 19: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi

( ) :C y 2x x 2, y 0 khi nó i) Quay quanh Ox ii) Quay quanh Oy

Lập phương trình xác định hoành độ giao điểm: 2 0

Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi ( ) :C y  sin ,x y  0, 0 x , khi nó: i) Quay quanh Ox ii) Quay quanh Oy

? e) Diện tích của mặt tròn xoay

Quay cung đường tròn y  f x( )  a   x b  quanh Ox ta được mặt tròn xoay Diện tích mặt trong xoay cho bởi công thức

Dụng cụ đo lường không chỉ có khả năng đo các yếu tố hình học như độ dài, diện tích, thể tích mà còn đo các đại lượng khác như công suất, áp lực, mật độ vật chất Ngoài ra, thiết bị này còn phù hợp để đo các đại lượng ngẫu nhiên liên tục trong xác suất thống kê như giá trị trung bình, kỳ vọng hay phương sai, giúp phân tích dữ liệu một cách toàn diện và chính xác hơn.

Trong nghiên cứu, có những vấn đề chỉ cần khảo sát tương đối thông qua các khảo sát mẫu để đạt được kết quả phù hợp Tuy nhiên, đối với các lĩnh vực đòi hỏi độ chính xác cao như vật lý, hóa học, sinh học, cần sử dụng các công cụ toán học như đạo hàm và tích phân để thực hiện các phép tính chính xác và đáng tin cậy.

Tích phân suy rộng

3.3.1 Tích phân suy rộng loại 1 (tích phân với cận vô tận) Định nghĩa: Cho hàm số y  f x( ) xác định trên  a; và khả tích trên   a b; bất kỳ Ta gọi giới hạn lim ( ) b b a f x dx

  , nếu tồn tại là tích phân suy rộng loại 1 của hàm f(x) trên  a; Kí kiệu: ( ) a f x dx

Nếu giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói ( ) a f x dx

  là hội tụ Ngƣợc lại, ta nói tích phân là phân kỳ. Định nghĩa tương tự cho tích phân

(c là số tùy ý và tích phân ở VT hội tụ  cả 2 tích phân ở VP hội tụ)

1 1 1 1 4 1 4 lim ln 9 lim ln 9 ln ln

Cân bằng hệ số đồng bậc, ta có:

2 1 3 1 3 lim ln 1 ln( 4) arctan ln 8

3.3.2 Tích phân suy rộng loại 2(hàm số dưới dấu tích phân không bị chặn) Định nghĩa

Cho hàm số y  f x( ) xác đinh trên  a b ; , khả tích trên  a b;  với

0    b a và f(x) không bị chặn trên toàn   a b ; ( b đƣợc gọi là điểm bất thường) Ta gọi 

 0  lim ( ) b a f x dx là tích phân suy rộng loại 2 của hàm f x( ) trên

Nếu giới hạn trên là hữu hạn thì ta nói ( ) b a f x dx

 là hội tụ Ngƣợc lại, ta nói tích phân là phân kỳ và hàm số không khả tích trên  a b;  Định nghĩa tương tự cho tích phân

   (với c    a b ; là điểm bất thường)

1 lim lim arcsin lim - arcsin(-1 )

(điểm -1 là điểm bất thường)  Tính:

3.3.3 Một vài tiêu chuẩn của hội tụ và phân kỳ trong tích phân suy rộng a) Xét ( ) a f x dx

Ví dụ 22: Với   0, xét sự hội tụ của tích phân: 

* Với  1, ta có: ln a a dx x x

  Hội tụ nếu  1 và phân kỳ nếu  1  Định lý 1: Giả sử 0 f x( ) khi a x, f khả tích trên   a b; với mọi b a và ta có:

Khi đó, ta có kết quả sau

  cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Ví dụ 23: Xét sự hội tụ hay phân kỳ của các tích phân sau

  cũng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

  cũng phân kỳ  Định lý 2: Giả sử 0 f x( )g x( ) khi a   x và f g, khả tích trên   a b; với mọi b a Khi đó:

  hội tụ và   ( )    ( ) a a f x dx g x dx

Ví dụ 24: Chứng minh rằng tích phân

Vậy tích phân đã cho cũng hội tụ  b) Đối với các tích phân suy rộng loại 2 ta cũng có các định lý tương tự

 Hội tụ nếu  1và phân kỳ nếu  1

Ví dụ 25 : Xét sự hội tụ hay phân kỳ của (a) 

Do đó, tích phân đã cho cũng phân kỳ.

1 1 os 1 os os 1 lim : lim 0

(xem tài liệu tham khảo 1, 3, 5, 7)

1 Tính các tích phân bất định sau a)

2 Dùng phương pháp từng phân tính các tích phân bất định sau a) ln(sin ) 2 sin x dx

 x b)  x 2 arccos xdx c)  x e dx 5 x 2 d)  xln(1x dx 2 ) e)  x sin 2 xdx f)  e 2 x sin 2 xdx

3 Tính các tích phân các hàm lƣợng giác sau a) 2 sin cos 5 dx x  x 

 b)  sin 2 x c os 3 x dx c)  sin dx 4 x d) cos3 sin xdx

4 Tính các tích phân xác định sau a)

5 Tính các tích phân sau a) 2

6 Áp dụng qui tắc L‟Hopital tính các giới hạn sau a) 0

7 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a) y x 2 2 ;x y  6x x 2 b) y x 2 4 và x   y 4 0 c) y x 2 4;x   y 4 0

8 Tính độ dài cung của đường cong sau: a)

9 Tính thể tích của vật thể tròn xoay giới hạn bởi a)

  quay quanh Ox và Oy b) 2

 quay quanh Ox và Oy c)

 quay quanh Ox và Oy.

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN