Bài tập toán giải tích có đáp án

BÀI TẬP THẢO LUẬN TOÁN GIẢI TÍCH Chương 1: Hàm nhiều biến Bài 1: Tìm vi phân toàn phần của các hàm số hai biến sau: 1... Chương 4: Tích phân bộiBài 1: Tính các tích phân bội với cận cho

BÀI TẬP THẢO LUẬN TOÁN GIẢI TÍCH Chương 1: Hàm nhiều biến

Bài 1: Tìm vi phân toàn phần của các hàm số hai biến sau:

1 z x 3sin y

2 z y 3sinx

3 z y e 3 2x

4 z y 3sin 2x

5 zlnx y2

6 z e x22y

7 z c os(x22 )y

8 zx e 2 x y

9 zln (x2y21)

10 z e 5xcosy

Bài 2: Tìm cực trị của các hàm số hai biến sau:

1 z x 36xy y 22021

2 z 2x36xy3y22021

3

1 1

4 z  x2 y22x4y6

5 zx3y26xy2129

6

3 4

3 4

7 z2x3y3xy

8 z x 3x2 y y2

9 z x 3y36xy

10 z x 2y32xy y

Chương 2: Phương trình vi phân

Bài 1: Giải các phương trình vi phân tách biến sau:

1

3 (4 2 )dx 0

dy

2 cosy dy(6x22x3)dx 0

3 ydy(3x21) dx 0

4 (e2x1)dxcos 2ydy0

5 ( x  sin ) x dx  cos ydy  0

6 x(1x dx e2)  2ydy0

3

0 1

 8

3 2 (x 1) dx 0

dy

x

9

cosx

0 sinx

10

dy (e + x)dxx = 0

y



Bài 2: Giải các phương trình phân sau:

1

2

y

 

(2xy x dx ) (x 4y3)dy0

3 '

y x

y

x

4 y' 2 xy4x

5 ( x e  2y) dx  2 xe dy2y  0

'

x

y

x

 

8 y' y 2e x

9

3 2

3

1

x

x

 10

2 2 ' y y

y

Chương 3: Chuỗi

Bài 1: Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:

1

2 2

1 3 2

n

n

n







2 1

3

4n n

n









3

2 3 1

1

n

n

n





   



4

3

3 2 1

n

n









5

2 2

2 1

1

n

n

n





   



6

2

3 2 1

1

n





 

 

 7

2 3

3 2 1

1

n

n

n







8

3 3 1

2 1 2

n

n n









 9

2

3 2 3 1

5

n

n

n





   



10

n n=1

2 n!





Bài 2: Tìm miền hội tụ của các chuỗi lũy thừa sau:

1 1 2

( 1)

2

n n n

x n









( 1)n

n

x n









3 1

( 2)

3

n n n

x n









( 3)n

n

x n









5

( 1)

5

n n

x n



( 1)n n

x n









7

1

1( 1)!

n n

x n





 



8 1

3 ( 5)

!

n

x n









9 1

( 7) 3

n n n

x n







 10

 

1

5 n

n

x n









Chương 4: Tích phân bội

Bài 1: Tính các tích phân bội với cận cho trước sau:

1

2 1

2

0 0

x

I  dx x y x dy

2

1 2 1

0 0

(2 2 )

x



3

0

1 0 (6 )

x





  

4

2 0

2

1 0 ( 2 )

x



  

5

2 3

1

(2 )

x

x

I  dx y x dy

6

2 3

1 0 ( 2 )

y

I  dy y x dx

7

2 2

1 0 (2 )

x

I  dx x y dy

8

3 1

2

1 0 (2 )

x



  

9

3 2

1 0

y



  

10

1 2

0 2

x

x

I  dx xydy

Bài 2: Hãy tính các tích phân kép sau:

D (1 x y )dxdy, D (x,y): 1, y 0

2xydxdy,

J 

miển D được giới hạn bởi các đường x=1, y=0 và y x 2

D dxdy, D (x,y) R : x y 2 , 0

D

x y dxdy, D (x,y): x y 2

D 2dxdy, D (x,y) R : x y 2 , 0

D

4 dxdy, D (x,y) R :x y 4; 0; 0

D (x y )dxdy,D (x,y): x y 1, y 0,x 0

D

x y dxdy, D (x,y): x y 1, x 0,y 0

9

1 1 1

0 0 0

( )

J   dx dy y z dz

D 3xdxdy, D (x,y): x y 1, x 0,y 0

Chương 5: Tích phân đường, Tích phân mặt

Bài 1: Tính các tích phân đường loại hai sau:

1

3

L

L là đường parabol y x 2 3x đi từ A(0,0) đến B(1,4)

2

(1,3)

2 (0,1)

2

3

3 (2 )

L

L là đường congy 2x33x đi từ A(0,0) đến B(1,1)

4

(1;3)

(0;0)

5

2 (4 2 ) ( 1)

L

L là đường congy 2x23x đi từ A(0,0) đến B(2,-2)

6

2 ( 1)

L

K  xy dx x ydy

L là đường có phương trình:2x y 2 đi từ A(0,2) đến B(2,-2)

7

2 ( 2 ) 2

L

L là đường gấp khúc khép kín ABCA với A(0,0) , B(1;1) C(1;3)

8

(1;2)

2 (0;0)

( x ) ( x)

9

2

L

L là đường gấp khúc khép kín ABCA với A(0,0) , B(1,1), C(1,3)

K = 2xydx + xdy

Với L là biên của tam giác OAB có các đỉnh O(0,0); A(1,0); B(1,2)

Bài 2: Tính các tích phân mặt loại hai sau:

1

S

M x dydz xydzdx z xdxdy

, S là mặt ngoài của hình hộp chữ nhật tạo bởi các mặt x = 0, x = 1; y = 0, y = 2; z = 0; z = 3

2

2

S

M xz dxdy

,S là mặt ngoài của mặt cầu x2 y2z2 1 và z≥0

2

1

S

M  z dxdy

, S là mặt ngoài của mặt cầu x2+ y2+ z2=1 và

z y x

4

2

S

M xdydz ydzdx z dxdy 

, S là mặt ngoài của hình hộp chữ nhật tạo bởi các mặt x = 0, x = 1; y = 0, y = 2; z = 0; z = 3

5

2

S

M  xdydz ydzdx zdxdy 

, S là mặt ngoài của tứ diện vuông giới hạn bởi các mặt phẳng tọa độ và mặt x y z  1

6

3

1 2

3

S

M  dydz dzdx  z dxdy

, S là mặt ngoài của mặt cầu đơn vị

2 2 2 1; 0, 0; 0

7 S

M zdxdy

, S là mặt ngoài của mặt cầu x2+ y2+ z2=1 và z≥0 ,

0

y

8

2 2

S

M  xdydz ydzdx z dxdy 

, S là mặt ngoài của hình lập phương tạo bởi các mặt x = 0, x = 1; y = 0, y = 1; z = 0; z = 1

9

2 2

S

, S là mặt ngoài của mặt cầu x2+ y2+ z2=1 và z≥0 ,

0

y , x0

10 S

M =ydxdy

với S là mặt ngoài của mặt cầu và x + y + z = 1 và2 2 2

y 0, z 0. 

Phần đáp án:

Chương 1: Hàm nhiều biến

Bài 1: Vi phân toàn phần của các hàm số sau:

1 dz3 sinx2 ydx x 3cosydy

2 dz y3cosxdx3 siny2 xdy

3 dz2y e dx3 2x 3y e dy2 2x

4 dz2 cos 2y3 xdx3 sin 2y2 xdy

5

6

2 x y 2 x y

7

dz= 2 sin( x x 2 )y dx2sin(x 2 )y dy

8 dz=(2xe x y x e2 x y )dx(x e2 x y )dy

dz=

Bài 2: Cực trị của các hàm số như sau:

1 M1(0,0) không là điểm cực trị, M2(6,18) là cực tiểu của hàm số z CT 1913

2 M1(0,0) không phải là cực trị, M2(1,1) là cực tiểu của hàm số z CT 2020

3 M(1,1) là Điểm cực tiểu của hàm số z CT 3

4 M(1, 2)là Điểm cực đại của hàm số zCD  11

5 M1(0,0) không là điểm cực trị, M2(6, 18) là cực tiểu của hàm số zCT  2021

6 M1(1,1) không là điểm cực trị, M2( 1,1) là cực tiểu của hàm số z CT 67

7 M1(0,0) không là điểm cực trị, 2 3 3

3 4 3 2

là cực tiểu

1 54

CT

z

  

8 1

2 1 ( ; )

3 2

không là điểm cực trị, 2

1 (0; ) 2

M

là cực tiểu của hàm số

1 4

CT

z 

9 M1(0,0) không là điểm cực trị, M2( 2, 2)  là cực đại của hàm số zCD  8

Chương 2: Phương trình vi phân

Bài 1: Nghiệm của các phương trình có dạng:

1. ln y (x4x2) C 0

2. sin y2x3x23x C 0

3.

3

3 2

2

3 y  x  x C 

4.

2

sin 2

x

5.

2

osx- siny = C 2

x

c



6.

2 4

2 1

y

7.

3

( 1)

8.

4 3

4 3

x x x

y Ce   

9. y s inx  C Trong đó C là hằng

số

Bài 2: Nghiệm tổng quát của các PTVP như sau:

x

y

  

3

y x

Cx e



4

2

. x 2

y C e   

2

2 2

y

x

1 3 1

x

 7

3

1 2

3

x

8 y(e2xC e) x

9

1

2

x

y e C x

Trong đó C

là hằng số

Chương 3: Chuỗi

Bài 1: Sự hội tụ của các chuỗi số như sau:

1

1

1 2

chuỗi hội tụ

2

1

1 4

chuỗi hội tụ

3 C 0 1 chuỗi hội tụ

4 lim n 0

n u

 

Vậy chuỗi đã cho phân kỳ

5

1

1 4

chuỗi hội tụ

6 Chuỗi phân kỳ theo định lý

7

1 1 4

chuỗi hội tụ

8

3 3

2 1

2

n n n

n u

n







chuỗi phân kỳ

9 Do D = 16>1 nên chuôi đã cho phân kỳ

Bài 2: Miền hội tụ của các chuỗi lũy thừa trên như sau

1 Miền hội tụ của chuỗi là [-1,3]

2 Miền hội tụ của chuỗi là [-2,0]

3 Miền hội tụ của chuỗi là [-1,5)

4 Miền hội tụ của chuỗi là [2,4]

5 Miền hội tụ của chuỗi là [-4,6]

6 Miền hội tụ của chuỗi là [0,2]

7 Miền hội tụ của chuỗi là  ; 

8 Miền hội tụ của chuỗi là  ; 

9 Miền hội tụ của chuỗi là [4,10)

Chương 4: Tích phân bội

Bài 1: Giá trị của các tích phân lần lượt như sau:

1

3

28



2

3

2



3

2 3

I 

4

2 5

I 

5

70 3

I 

6 I 52 7

14 3

I 

8

256 3

I 

9 I  1

Bài 2: Giá trị của các tích phân lần lượt như sau

1 J 4





2

1

6

J 

3 J 

4

8 16

3 9

J   

5

2 0

sin 2

2

J





J









7 J 8





8 J 6





9 J 1

Chương 5: Tích phân đường, Tích phân mặt

Bài 1: Giá trị của các tích phân đường loại hai đó lần lượt như sau

1

16

3

2 K 3

3

3

2

K 

4

7 6

 5

65 3

K 

6 K  2

7 K  4

8

11 3

K  e

9 K  8

Bài 2: Kết quả của các tích phân mặt loại hai đó như sau

1 M 21 2 M  3.0 M 6





4.M  18

5

1

3

6 M 8





6 M 3





7 M 4 8 M 6



