Bài giảng Toán giải tích: Phần 2 - Trường CĐ Cộng đồng Đồng Tháp

Bài giảng Toán giải tích gồm có 4 chương, cung cấp cho người học những kiến thức như: hàm số - giới hạn và tính liên tục của hàm số; phép tính vi phân hàm một biến; phép tính tích phân của hàm một biến; phép tính vi phân hàm nhiều biến. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung phần 2 giáo trình!

Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

 Mục đích yêu cầu

Học xong chương này, Sinh viên phải thành thạo:

- Nắm vững công thức tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản

- Các tính chất của tích phân bất định, tích phân xác định

- Các phép tính tích phân bất định, tích phân xác định: phân tích, đổi biến

số, từng phần

- Tích phân các hàm số hữu tỷ, vô tỷ, lượng giác đơn giản qua từng vấn đề

- Nắm vững cách dùng công thức Newton – Leibniz

- Phân biệt được sự khác nhau giữa phép biến đổi trong tích phân bất định và tích phân xác định

- Vận dụng được các phương pháp tính tích phân

- Ứng dụng tính diện tích – thể tích

- Tính các tích phân suy rộng loại 1 và loại 2

 Kiến thức chuẩn bị

Để học được chương này cần trang bị các kiến thức:

- Các công thức tính đạo hàm của các hàm số sơ cấp

- Các cách tính đạo hàm và vi phân của các hàm một biến

- Các cách tính giới hạn học ở chương 1 và chương 2

* Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có nguyên hàm trên đoạn đó

* Nếu ( )F x là nguyên hàm của ( ) f x thì ( ) F x C cũng là nguyên hàm của ( )

3.1.1.3 Tính chất của tích phân không xác định

Cho ,f g là các hàm số có nguyên hàm Khi đó

Bảng tích phân của một số hàm số sơ cấp

2

1

cotsin x dx   x C

a



1cos(ax b dx) sin(ax b) C

2

Tính: a) I  cosxesinx dx b) J  e x cosxdx

2 1 2

p x

Ví dụ 9: Tính 3

dx I

t  bao giờ cũng đƣa về nguyên hàm của hàm hữu tỷ

theo t nhƣng nhiều khi phép thế đó đƣa đến việc tính toán phức tạp Với một số

dạng đặc biệt ta có tính toán đơn giản hơn

 Dạng 1: ( sin , cos )R  x  x R(sin , cos )x x thì ta đặt t  tanx (hàm chẵn theo

 Dạng 2: ( sin , cos )R  x x  R(sin , cos )x x thì ta đặt t cosx (hàm lẻ theo sinx )

 Dạng 3: (sin , cos )R x  x  R(sin , cos )x x thì ta đặt t  sinx (hàm lẻ theo cosx )

Ví dụ 11: Tính:

a)

4 sin 3 cos 5

dx I

xdx L

 2 2

 

?

Ngoài ra trong một số trường hợp việc áp dụng các công thức lượng giác đã học giúp ta nhận được kết quả dễ dàng hơn

Ví dụ 12: Tính I  sin 5 sin 3x xdx

3.2 Tích phân xác định

 Bài toán tính diện tích hình thanh cong

Cho hàm số ( ) :C y  f x( ) xác định dương trên  a b , có đồ thị biểu diễn như ;hình vẽ

 Hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f x x( ); a x, b và trục Ox được

gọi là hình thang cong

 Ta tính diên tích hình thang cong AabB đó

 Ta chia đoạn  a b thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia: ;

x  a x x  x b

 Tương ứng hình thang cong cũng được chia thành n cột cong nhỏ

 Ta gọi x i đồng thời là đoạn thẳng và là độ dài của đoạn

 Trên mỗi đoạn x i lấy điểm tuỳ ý c i

 Nếu x i khá bé có thể xem diện tích của cột cong thứ i xấp xỉ với diện tích

(3.2.1)

* Ý nghĩa hình học của tích phân xác định

Diện tích hình thang cong AabB (ở trến) chính là: ( )

b

a

S  f x dx 3.2.2 Tính chất

Cho hàm số ,f g khả tích trên  a b Khi đó ;

i a

3.2.3 Các định lý cơ bản của phép tính tích phân

Định lý 1 (Đạo hàm theo cận trên)

Nếu ( )f x liên tục trên  a b thì với ; x  a b; , hàm số ( ) ( )

sin

0lim

0

x

x

tdt L

Định lý 2 (Công thức Newton – Leibniz)

Nếu ( )f x liên tục trên  a b và ( ); F x là một nguyên hàm của ( ) f x thì

f x dx  F x  F b F a



 Qui tắc 1: - Đặt t ( )x sau đó tính dx theo t và dt

cossin

xdx L

xdx I

I f x dx f x t dt

?

?

3.2.5 Ứng dụng của tích phân xác định

a) Diện tích hình phẳng

* Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường thẳng x a , x b, y  0

và cung của đồ thị hàm số liên tục y  f x( ) trên  a b được tính theo công thức ;

 Lưu ý: Cho f x( ) 0 (1) để tìm nghiệm của nó

(i) Nếu (1) không có nghiệm trên  a b thì ;

 Chú ý: Nếu phương trình đường cong cho dưới dạng x g y( ), ( )g y liên tục

trong  c d thì diện tích S được tính theo công thức ;

(3.2.18)

* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng

x a , x b và cung của hai đồ thị hàm số liên tục

 Lưu ý: Để tính tích phân trên ta cũng cho f x1( )f x2( ) 0 để tìm nghiệm thuộc

 a b , rồi chia tích phân cần tính thành 1 hoặc nhiều tích phân trên các đoạn con của ;đoạn  a b ;

* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung có phương trình x x t( ), y y t( ),

2 2

x x

42

b) Độ dài cung của đường cong phẳng

Giả sử ta có một vật thể giới hạn hai mặt phẳng x a và x b Mặt phẳng

vuông góc với trục Ox tại x  a b cắt vật thể theo một thiết diện có diện tích là ,( )

S x và ( ) S x là hàm liên tục tại x Khi đó, thể tích vật thể được tính bởi công

Thể tích V của vật thể do miền S giới hạn bởi x g y x( ); 0;y c;y d

(c d), khi quay quanh Oy là

 Phương pháp vỏ hình trụ

Xét vật thể tròn xoay được tạo nên khi quay miền giới D hạn bởi: ( ); 0;

y  f x y  x a x; b; (a b) khi quay quanh Oy

Để tìm thể tích khi quay quanh Oy , ta phải giải phương trình y  f x( ) để tìm nghiệm dưới dạng x  g y( ) Điều này có thể không thực hiện được trong thực hành Khi đó ta làm như sau:

- Ta gọi một yếu tố diện tích của D tại điểm x là một dải hẹp, thẳng đứng có chiều rộng là dx và chiều cao là ( ) f x Do đó diện tích của dải là dS  f x dx( )

Khi R quay quanh Oy thì dải này quét thành một miền có hình dạng như lớp

vỏ của một hình trụ tròn xoay có bán kính x , chiều cao ( ) f x và bề dày dx Thể

tích của vỏ đó gọi là yếu tố thể tích của vật thể tròn xoay, kí hiệu dV Mỗi lớp vỏ như vậy ta coi như một tấm hình chủ nhật được cuộn lại có 3 chiều là 2 x , ( )f x và

a

V  f x dx

b Oy

a

V  x f x dx

BẢNG TÓM TẮT TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY

Dạng Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay

miền giới hạn bởi

a

b Oy

a

( )

b Oy

a

V  f x f x dx 2  1( ) 2( )

b Oy

c

1 ( ) 2 ( )

d Oy

e) Diện tích của mặt tròn xoay

Quay cung đường tròn y  f x( ) a  x b quanh Ox ta được mặt tròn

xoay Diện tích mặt trong xoay cho bởi công thức

(3.2.25)

* Ý nghĩa Tích phân

Là một dụng cụ không chỉ đo các yếu tố hình học như trên mà còn đo các đại lượng khác như: công, áp lực, mật độ,… và cả đại lượng ngẫu nhiên liên tục trong xác suất thống kê như: giá trị trung bình, kỳ vọng, phương sai,…

Ngoài ra có những vấn đề chỉ cần khảo sát tương đối bằng các khảo sát mẫu, nhưng cũng có những vấn đề cần khảo sát chính xác như các định luật vật lý, hóa học, sinh học thì phải sử dụng công cụ đạo hàm và tích phân

3.3 Tích phân suy rộng

3.3.1 Tích phân suy rộng loại 1 (tích phân với cận vô tận)

Định nghĩa: Cho hàm số y  f x( ) xác định trên a; và khả tích trên  a b bất ;

kỳ Ta gọi giới hạn lim ( )

b

b a

Định nghĩa tương tự cho tích phân

2

1lim

3.3.2 Tích phân suy rộng loại 2 (hàm số dưới dấu tích phân không bị chặn)

Định nghĩa

Cho hàm số y  f x( ) xác đinh trên a b , khả tích trên ;  a b;  với

0    b a và f(x) không bị chặn trên toàn  a b (b đƣợc gọi là điểm bất ;

1

21

 Hội tụ nếu  1 và phân kỳ nếu  1 

Định lý 1: Giả sử 0 ( ) khi a x, f khả tích trên  a b với mọi b; a và ta có:





3 0

1

x dx x





( )lim1/

(b) Đặt

3

1( )

1

x dx x



 hội tụ (do 7

16

   )

Vậy tích phân đã cho cũng hội tụ 

b) Đối với các tích phân suy rộng loại 2 ta cũng có các định lý tương tự

 Hội tụ nếu  1 và phân kỳ nếu  1

Ví dụ 25: Xét sự hội tụ hay phân kỳ của (a) 



2 0

dx x

x x

1

1 x

13

dx x



 cũng hội tụ 

(xem tài liệu tham khảo 1, 3, 5, 7)

 b) x2arccosxdx c) x e dx5 x2 d) xln(1x dx2) e) xsin2xdx f) e2x sin2xdx

3 Tính các tích phân các hàm lƣợng giác sau

2

sincos 1 sin

cos

1 sin

xdx x

ln x 1dx

3 2

1

x dx



1 2 0

ln



6 Áp dụng qui tắc L‟Hopital tính các giới hạn sau

0

ostlim

x

x

c dt I

lim

x t x t x

e dt J

2

arctanlim

1

x

x

t dt K

os

4sin

Chương 4 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

 Mục tiêu

Học xong chương này, Sinh viên có khả năng:

- Biết cách tìm tập xác định của hàm 2 biến

- Biết cách tính giới hạn và các tính chất của giới hạn

- Xét sự liên tục của hàm 2 biến

- Tính được đạo hàm riêng các cấp của hàm 2 biến

- Cách tìm được cực trị địa phương và có điều kiện của hàm 2 biến

- Tìm được GTLN & GTNN của hàm 2 biến

- Làm được các bài tập tương tự

 Kiến thức chuẩn bị

- Phép tính vi phân hàm một biến trong chương 2

4.1 Khái niệm về hàm nhiều biến

4.1.1 Khái niệm về không gian n

4.1.1.1 Định nghĩa

Mỗi bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiệu ( , , ,x x1 2 x trong đó n), 1, ,

i

x  i  n được gọi là một điểm n - chiều (vector n - chiều) Tập mọi điểm

n - chiều được ký hiệu là n Vậy

 Khoảng cách giữa hai điểm trong không gian

Cho x ( , , ,x x1 2 x n); y ( , , ,y y1 2 y n) n , ta gọi khoảng cách giữa x

Tập B x r( , )0 x  n : ( , )d x x0 r được gọi là hình cầu tâm x bán kính 0

r hoặc r lân cận của x trong 0 n

4.1.2 Định nghĩa hàm nhiều biến

Cho D  n và một tương ứng f đi từ D đến Khi đó, f được gọi là hàm của n biến x x1, , ,2 x nếu ứng với mỗi n x ( , , ,x x1 2 x n) thuộc tập D trong

có một giá trị duy nhất f x x( , , ,1 2 x thuộc n)

Trong trường hợp này ta chỉ xét chủ yếu trường hợp của hàm hai biến

 Định nghĩa hàm hai biến

Cho D  2 Ánh xạ : f D 

x y,  z  f x y ,  (4.1.3)

được gọi là hàm số hai biến xác định trên D

 z được gọi là biến số phụ thuộc

 ,x y được gọi là biến số độc lập

 D là miền xác định của f

 Miền xác định của hàm hai biến: D  x y, / f(x,y) có nghĩa  (4.1.4)

 Miền giá trị của hàm hai biến : T z  /z  f x y ,  , ,x yD (4.1.5)

Theo sự đồng nhất G với quỹ tích các điểm x y z trong không gian toạ độ , , 

DESCARTES, với z được tính bằng giá trị của f tại M x y thì G thường là một ( , )

mặt cong nào đó trong không gian Oxy

và đó chính là nửa mặt cầu tâm (0, 0, 0)O , bán kính R 2 và nằm phía trên mặt phẳng z 0 (mặt phẳng xOy ) (hình 3)

4.2 Giới hạn và tính liên tục của hàm nhiều biến

Ở đây ta chỉ xét hàm 2 biến các khái niệm và kết quả mở rộng một cách tự

nhiên cho hàm n biến

4.2.1 Định nghĩa giới hạn dãy

Dãy M x y n( ,n n) đƣợc gọi là dần về điểm M x y khi n0( , )0 0   nếu

4.2.2 Định nghĩa giới hạn hàm 2 biến (giới hạn kép hoặc giới hạn bội)

Cho hàm z  f x y( , ) xác định trong lân cận V của M x y (không cần xác 0( , )0 0định tại M ) 0

Số L đƣợc gọi là giới hạn của z  f x y( , ) khi M x y( , )M x y0( , )0 0 nếu

* Định nghĩa tương đương

Hàm số z  f x y( , )có giới hạn là L khi x x0, y y0 khi và chỉ khi

 Nhận xét: Nếu khi x y n, n)M x y0( , )0 0 trên hai đường khác nhau mà dãy

f x y( ,n n) có hai giới hạn khác nhau thì

0 0

0 0

lim

x y

iii)

0 0

( , )lim

x

y x y

1lim

x y

x y

 Chú ý:  Nếu z  f x y( , ) là đa thức theo các biến ,x y thì f liên tục trên 2

 Tổng, hiệu, tích, thương của các hàm liên tục là hàm liên tục (tất nhiên

là trên tập con của miền xác định của chúng)

liên tục tại trên 2

4.2.4.2 Điểm gián đoạn

Nếu z  f x y( , ) không liên tục tại M x y thì nó được gọi là gián đoạn tại 0( , )0 0

0

M ( M là điểm gián đoạn của hàm ( ,0 f x y )

 Nhận xét: Hàm số z  f x y( , ) gián đoạn tại M x y nếu xảy ra 1 trong 3 0( , )0 0trường hợp sau: i) ( , )f x y không xác định tại M x y 0( , )0 0

ii)

0 0

lim ( , )

x y

Hàm z  f x y( , ) liên tục trên D đóng và bị chặn thì z đạt GTLN & GTNN trên D

4.3 Đạo hàm của hàm hai biến

4.3.1 Đạo hàm riêng

4.3.1.1 Đạo hàm riêng cấp 1

Cho z  f x y( , ) xác định trên miền mở D và M x y0( , )0 0 D Cố định y y0

và cho x biến thiên, ta được hàm một biến f x y theo x ( , )0

Nếu hàm ấy có đạo hàm theo biến x tại x x0 thì ta gọi đạo hàm ấy là đạo

hàm riêng theo biến x của z  f x y( , ) tại M x y 0 0, 0

Kí hiệu: f ' ( , )x x y hay 0 0 z' ( , )x x y 0 0

 0, 0

f

x y x

Tương tự (4.3.2)

Tương tự đối với đạo hàm riêng theo biến y

Ví dụ 10: Tính đạo hàm riêng của hàm số:

4.3.2 Đạo hàm riêng cấp cao

 

  cũng là các hàm số theo hai biến ,x y thì ta gọi các đạo hàm riêng đó

là các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm ( , )f x y

* Tương tự như trên ta có thể định nghĩa đạo hàm riêng cấp cao hơn

Đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp (n 1) của hàm z được gọi là đạo hàm cấp n của z Kí hiệu: z( )n  f( )n ( , )x y

 Nhận xét: Các đạo hàm riêng hổn hợp có thể bằng nhau hoặc khác nhau

Do đó '' (0, 0)f xy  f '' (0, 0)yx  Điều kiện để các đạo hàm riêng hổn hợp tại một điểm bằng nhau đƣợc cho bởi định lý sau

Giả sử z  f u v( , ) với u u x y( , ), v v x y( , ) Khi đó, z  f u x y v x y ( , ), ( , )

đƣợc gọi là hàm hợp của hai biến ,x y (thông qua hai biến trung gian , u v )

Ví dụ 14: Cho z e u sinv , trong đó u xy và v 2x y

F x f x  với mọi x

a) Hàm z  f x y( , ) được gọi là hàm ẩn xác định từ hệ thức ( , , )F x y z  0 nếu ( , , ( , )) 0

F x y f x y  với mọi x

Ví dụ 15

a) Phương trình x5 e x y3  2 0 xác định một hàm ẩn y  32x5 e x b) Phương trình x2 y2  1 0 xác định hai hàm ẩn liên tục y   1x2 c) Phương trình x2 y2  1 0 không xác định hàm ẩn nào

a) Cho phương trình ( , )F x y  0 Nếu

i) F x y liên tục cùng với đạo hàm riêng ( , ) F , ''x F trong lân cận y

của điểm M x y 0( , )0 0

ii) F x y( , )0 0  0

iii) F' ( , )y x y0 0  0

Thì F x y( , ) 0 xác định duy nhất một hàm ẩn y  f x( ) thoả f x( )0 y0 và ( )

f x có đạo hàm liên tục trong lân cận của x 0

b) Cho phương trình ( , , )F x y z  0 Nếu

i) F x y z liên tục cùng với đạo hàm riêng ( , , ) F , ''x F , y F trong 'zlân cận của điểm M x y z 0( , , )0 0 0

ii) F x y z( , , )0 0 0  0

a) Giả sử ( , )F x y  0 xác định hàm ẩn duy nhất y  f x( ) Khi đó: ( , ( ))F x f x  0

Lấy đạo hàm hai vế theo biến x , ta đƣợc: F F dy 0

'

x y

y x

F F

Ví dụ 17: a) Cho elip (E)

a b  Tính ( ) y x b) Cho F x y( , )x y2 3 2x y2 3x4   y 1 0 Tìm ( ) y x tại x 1, y  1 c) Cho ( , , ) F x y z exy 2z e z  0 Tính ' z và ' x z y

''( )

'

x y

F y

''

xy x

z

xy y

 Để tìm đạo hàm của y  f x( ) từ ( , )F x y  0 ta có thể coi y là hàm số của x

và đạo hàm hai vế của biểu thức ( , ( ))F x f x  0 theo biến x khi ấy sẽ xuất hiện

a) Tìm y’(x) của hàm ẩn xy e x siny  khi x 1;y 

b) Tính y’ và y’’ biết x y arctany  0

?

Cho hàm z  f x y( , ) xác định trong miền D Lấy điểm x y0, 0D,

x0 x y, 0   y D Ta gọi  z f x 0  x y, 0   y f x y( , )0 0 là số gia toàn

phần Nếu z biểu diễn dưới dạng

thì ta nói rằng hàm z  f x y( , ) khả vi tại điểm x y và biểu thức 0, 0

dz    A x B y được gọi là vi phân toàn phần của hàm số z  f x y( , ) tại x y 0, 0

Ta nói z  f x y( , ) khả vi trong D nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc D

4.4.1.2 Mối liên hệ giữa liên tục và khả vi

 Định lý 1 (Điều kiện cần khả vi)

Nếu z  f x y( , ) khả vi tại điểm M x y thì tại điểm ấy tồn tại các đạo hàm riêng 0 0, 0' , 'x y

Nếu z  f x y( , ) khả vi tại điểm M x y thì z liên tục tại 0 0, 0 M 0

Điều ngược lại nói chung không đúng Nếu z  f x y( , ) liên tục tại

0 0, 0

M x y thì chưa thể suy ra z  f x y( , ) khả vi tại M 0