Bài giảng toán giải tích

Cụ thể  Cung cấp cho người học kiến thức về giới hạn và tính liên tục của hàm một biến.. Khái niệm về đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn và áp dụng vào khử dạng vô định khi tính giới hạ

HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

Hàm số

1.1.1 Hàm số và các phép toán trên hàm số

Cho X Y,  ; ,X Y  , hàm số f là một qui luật sao cho ứng với mỗi giá trị của biến x X có duy nhất một giá trị thực yY , kí hiệu y  f x( )

* Hàm số được viết dưới dạng sơ đồ sau:

 Biến x đƣợc gọi là biến độc lập.

 y  f x( ) đƣợc gọi là biến phụ thuộc

 Tập D  x  | ( )f x có nghĩa} đƣợc gọi là miền xác định của hàm số.

 Tập Y  f X ( )   f x ( ) | x  X  đƣợc gọi là miền giá trị của hàm số

* Đồ thị hàm số y  f x( ) là tập hợp các điểm có tọa độ ( , ( ))x f x trong hệ tọa độ Descartes Kí hiệu: G  M x f x( , ( )) :x X 

Ví dụ 1: Tìm miền xác định của các hàm số sau a) y 2x 1 Miền xác định: D   b) 2 2

 Hàm số có nghĩa khi và chỉ khi:

 Chú ý: Hàm số y  f x( ) mô tả mối liên hệ giữa hai đại lƣợng x và y

Ví dụ 2 minh họa mối quan hệ giữa thời gian chuyển động và quãng đường đi trong chuyển động đều với vận tốc 60 km/h Hàm số mô tả quãng đường đi s(km) theo thời gian t(h) thể hiện rõ rằng quãng đường tăng đều theo thời gian khi vận tốc giữ nguyên Điều này giúp hiểu rõ hơn về công thức tính quãng đường trong chuyển động đều, từ đó áp dụng vào các bài toán thực tế một cách chính xác hơn.

Khi nuôi một con bò, việc quan sát quá trình tăng trọng giúp xác định mối liên hệ giữa thời gian nuôi (t tuần) và trọng lượng của con bò (m kg) Hàm số mô tả sự tăng trưởng này thể hiện rõ ràng quá trình phát triển của con bò theo thời gian Hiểu rõ mối liên hệ này là yếu tố quan trọng để lên kế hoạch chăm sóc và quản lý chế độ dinh dưỡng phù hợp, từ đó tối ưu hóa hiệu quả chăn nuôi Việc nắm bắt hàm số tăng trưởng giúp người nuôi dự đoán chính xác trọng lượng của con bò trong các giai đoạn khác nhau, tăng năng suất và lợi nhuận chăn nuôi.

1.1.1.2 Các phép toán trên hàm số

Cho hàm số f x( ), ( )g x có cùng miền xác định D Khi đó, ta xác định các hàm số sau : i) (f g x)( ) f x( )g x( ), ( x D) (1.1.2) ii) ( )( )f g x  f x g x( ) ( ), ( x D) (1.1.3) iii) ( )

   ( ( )g x   0, x D) (1.1.4) lần lượt gọi là tổng, hiệu, tích, thương của f và g

1.1.2 Một số tính chất đặc biệt của hàm số

Hàm số f x( ) đƣợc gọi là đơn điệu tăng (hay giảm ) trên miền D nào đó nếu với cặp số x x 1 , 2 bất kỳ thuộc miền D và từ x 1 x 2 suy ra f x( ) 1  f x( ) 2 (hay

Nếu từ x 1 x 2 suy ra f x( ) 1  f x( ) 2 (hay f x( ) 1  f x( ) 2 ) thì ta nói hàm số ( ) f x tăng nghiêm ngặt (hay giảm nghiêm ngặt) trên miền đó

Ví dụ 3: Hàm y  f x( ) x 2 tăng nghiêm ngặt trong khoảng 0;

Thật vậy, giả sử x x 1 , 2 0; và x 1 x 2

Vậy hàm số đã cho tăngnghiêm ngặt trên 0; Q 

 Chú ý: Đồ thị của hàm số đơn điệu tăng (giảm) đi lên (xuống) theo hướng từ trái qua phải. Đồ thị hàm số tăng Đồ thị hàm số giảm

Cho hàm số f x( ) xác định trên tập đối xứng D ( x D thì  x D)

Khi đó:  f đƣợc gọi là chẵn nếu với mọi x D, ta có:

( ) ( ) f  x f x  f đƣợc gọi là lẻ nếu với mọi x D, ta có:

Ví dụ 4 : * Hàm số y  f x( ) cosx x 2  x là hàm số chẵn.

* Hàm số y g x( )x 3 x là hàm số lẻ. a b x y

 Chú ý: - Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng với nhau qua trục Oy

- Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng với nhau qua gốc O

Dạng đồ thị của hàm số chẵn Dạng đồ thị hàm số lẻ

Hàm số \(f(x)\) được gọi là tuần hoàn trên miền \(D\) khi tồn tại một số dương \(T \neq 0\) sao cho \(f(x + T) = f(x)\) với mọi \(x \in D\) Chu kỳ của hàm số tuần hoàn \(f\) là số dương nhỏ nhất \(T_0 > 0\) thỏa mãn điều kiện này Hàm số tuần hoàn thể hiện tính lặp lại đều đặn theo chu kỳ xác định, là đặc điểm nổi bật trong các hàm số như sin, cos Việc xác định chu kỳ giúp hiểu rõ hành vi và đặc tính của hàm số trong toán học và các ứng dụng thực tiễn.

* Hàm số y  f x( ) sinx; y  f x( ) cosx tuần hoàn với chu kì T 0  2

* Hàm số y  f x( ) tanx; y  f x( ) cotx tuần hoàn với chu kì T 0 

* Hàm số y sin(ax b); y  cos(axb) tuần hoàn với chu kỳ 0 2

1.1.3 Hàm số hợp và hàm số ngƣợc

Cho hàm số f :X Y , g Y: Z , với f X( )Y Khi đó, hàm số : h X Z với h x ( ) đ  n g f x  ( )  đƣợc gọi là hàm số hợp của f và g

 Miền xác định của hàm hợp g f là tập các số thực x thuộc miền xác định của hàm f sao cho f x( ) thuộc miền xác định của hàm g

Ví dụ 6: Cho hàm số f x( ) x , g x( ) x 5 Hãy xác định các hàm hợp g f , f g, g g, f f và miền xác định của chúng

Ta có: f x( ) x Miền xác định D f 0; g x( ) x 5 Miền xác định D g 

Suy ra :  g f  ( ) x  g f x  ( )   g ( x )  x  5 Miền xác định D 0;

Cho hàm số f x( ) 2x 1, g x( ) x 2 4 Hãy xác định các hàm hợp g f , f g, g g, f f và miền xác định của chúng.

Hàm số \( f : X \to Y \) là một ánh xạ từ miền xác định \( X \) sang miền giá trị \( Y \), đảm bảo rằng nếu \( x_1 \neq x_2 \) thì \( f(x_1) \neq f(x_2) \) Điều này nghĩa là hàm số này là một hàm đơn ánh, không trùng lặp giá trị Hàm số nghịch đảo của \( f \), ký hiệu \( f^{-1} \), được xác định là một ánh xạ từ miền giá trị \( Y \) trở lại miền xác định \( X \), với công thức \( x = f^{-1}(y) \) Để hàm nghịch đảo tồn tại và có ý nghĩa, cần thỏa mãn điều kiện rằng y phải thuộc tập hợp giá trị của hàm số, tức là y = \( f(x) \).

Y và miền giá trị là tập X

* Hàm số y x 3 có hàm số ngược là x  3 y

* Hàm số y e x có miền xác định D  và có miền giá trị là T 0; Hàm này có hàm ngược là x lny xác định trên D 0; và có miền giá trị là T 

+ Đồ thị của hai hàm số ngƣợc nhau đối xứng với nhau qua đường thẳng y x

Trong một số trường hợp, các hàm không có hàm nghịch trên toàn miền xác định của chúng Tuy nhiên, khi giới hạn miền xác định của hàm lại, thì khả năng tồn tại của hàm nghịch sẽ xuất hiện rõ ràng hơn Ví dụ điển hình là hàm y = e^x, trong đó hàm nghịch y = ln(x) chỉ tồn tại khi x > 0 Điều này nhấn mạnh rằng việc giới hạn miền xác định đóng vai trò quan trọng trong việc xác định tính khả nghịch của hàm số.

Hàm số y x 2 ,D  không có hàm số ngược trên toàn trục số vì nó không phải là một song ánh Nhưng hàm y x 2 có D [0;+ ) sẽ có hàm ngược

+ Nếu hàm tăng (giảm) nghiêm ngặt trên ( , )a b thì sẽ có hàm ngƣợc trên ( , )a b

1.1.4 Các hàm số sơ cấp cơ bản

 Miền xác định: D  trừ các trường hợp

* Nếu  nguyên dương thì hàm số có miền xác định là

* Nếu  nguyên âm hoặc   0 thì hàm số có miền xác định là *

*   0 hàm số đồng biến trên khoảng (0;)

*   0 hàm số nghịch biến trên khoảng (0;)

 Một số tính chất của lũy thừa

Hàm số mũ là hàm có dạng y a x , trong đó a đƣợc gọi là cơ số và 0 a 1 và x là biến

* Luôn đi qua điểm (0,1), nằm phía trên trục Ox và tiệm cận với Ox

Hàm số ngƣợc của hàm số mũ y a x đƣợc gọi là hàm logarit, kí hiệu log a , 0 1 y  x  a

Miền xác định của hàm logarit là D (0,) và miền giá trị là T 

 Logarit thập phân : lgb  logb  log 10 b

 Logarit tự nhiên (logarit Nepe): lnb log e b (với

 Theo công thức biến đổi cơ số, ta có:

* Luôn đi qua điểm (1, 0), nằm bên phải trục Oy và tiệm cận với Oy

 Một số tính chất của logarit: 0 a b c, , 1

 log ( ) a bc log a b log a c  log a b log a log a b c

1.1.4.4 Các hàm số lƣợng giác cosx và sinx được xem là tọa độ của điểm P x trên đường tròn đơn vị (C), ở vị trí cách điểm A(1,0) một độ dài x , được đo dọc theo đường tròn (C) theo ngược chiều kim đồng hồ nếu x  0 và cùng chiều nếu x  0 Khi đó, số đo của góc

AOP x (radians) Ta cũng định nghĩa sin tan cos x x

Trên hình ta có cos

* Hàm y  sinx có miền xác định là D  và miền giá trị là T   1;1, hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T 0 2

* Hàm y  cosx có miền xác định là D  và miền giá trị là T   1;1, hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ T 0 2

* Hàm số y  tanxcó miền xác định là D  \    2  k  ( k  ) và miền giá trị là T  , hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T 0 

* Hàm số y  cotx có miền xác định là D  \  k (k  )và miền giá trị là T  và tuần hoàn với chu kỳ T 0 

1.1.4.5 Các hàm lƣợng giác ngƣợc a Hàm số y  arcsinx

Do y sinx là hàm tăng nghiêm ngặt trên ;

 nên có hàm ngƣợc là

Ví dụ 8:     3   arcsin 0 0;arcsin( 1) ;arcsin

Do y cosx là hàm giảm nghiêm ngặt trên 0; nên có hàm ngƣợc là

Ví dụ 9:     3   1  2 arccos 0 ; arccos( 1) ; arccos ; arccos

Do y  tanx là hàm tăng nghiêm ngặt trên ;

  nên có hàm ngƣợc là

Ví dụ 10: arctan 0 0;arctan( 1) ;arctan 3

Do y cotx là hàm giảm nghiêm ngặt trên 0; nên có hàm ngƣợc là

Ví dụ 11:   3  arc cot 0 ; arc cot(-1) ; arc cot 3

* Qui ƣớc : arc cot     0; arc cot     

1.2 Giới hạn và tính liên tục của hàm số

1.2.1 Giới hạn của dãy số

Cho hàm số f n( ) xác định trên tập số tự nhiên Ứng với các giá trị

1, 2,3, n ta có tập giá trị x 1 f(1), x 2  f(2), lập thành một dãy số.

 x n : số hạng tổng quát của   x n

 n: chỉ số của số hạng x n

+ Cấp số cộng   x n với công sai d : x n x n  1  d x 1 (n1)d và tổng

+ Cấp số nhân  x n với công bội q : x n  x n  1 q x q 1 n  1 và tổng

Dãy số   x n đƣợc gọi là hội tụ về L (hữu hạn) khi n   nếu

 Chú ý: Nếu dãy   x n có giới hạn thì ta nói dãy hội tụ, ngƣợc lại nếu   x n không có giới hạn thì ta nói dãy phân kỳ.

Ví dụ 13: Chứng minh a) 1 lim 0 n  n  Tổng quát : 1 lim k 0 n  n 

 Các dãy dần đến vô cực

Ta chọn số tự nhiên N 0 sao cho N 0 M 2

1.2.1.3 Các phép toán Định lý: Nếu lim n n x L

    Định nghĩa i) Dãy   x n đƣợc gọi là dãy tăng (hay tăng nghiêm ngặt) nếu

Dãy   x n đƣợc gọi là dãy giảm (hay giảm nghiêm ngặt) nếu

Dãy tăng hoặc giảm đƣợc gọi là dãy đơn điệu ii) Dãy   x n được gọi là bị chặn dưới (trên) nếu tồn tại A sao cho n ,

Dãy   x n được gọi là bị chặn nếu nó bị chặn trên và chặn dưới.

1.2.1.4 Một số tính chất đặc biệt của dãy i) Giới hạn của một dãy   x n (nếu có) là duy nhất. ii) Mỗi dãy hội tụ đều bị chặn.

Ngoài ra ta còn chứng minh đƣợc các tiêu chuẩn hội tụ quan trọng của dãy nhƣ sau Định lý 1 (Tiêu chuẩn kẹp giữa)

Cho   x n ,   y n và   z n Nếu: lim n lim n n x n y L

Ví dụ 16: Tìm giới hạn sin n lim n

Giải: Ta có:  n N * , ta có 1 sinn 1 n n n

 n   Định lý 2 (điều kiện tồn tại giới hạn)

Dãy \(\{x_n\}\) hội tụ (có giới hạn hữu hạn) khi nó tăng hoặc giảm và được chặn trên hoặc dưới Định lý 3 (Tiêu chuẩn Cauchy) cung cấp điều kiện cần và đủ để xác định sự hội tụ của dãy \(\{x_n\}\), giúp xác định rõ ràng khi nào một dãy có giới hạn hữu hạn.

Số L (hữu hạn) đƣợc gọi là giới hạn của f x( ) khi x x 0 , x  x 0 nếu

Ví dụ 17: Dùng định nghĩa chứng minh 2

* Định nghĩa tương đương (ngôn ngữ dãy số)

Hàm số f x( ) có giới hạn là L khi x x 0 nếu

 Nhận xét: Để chứng minh

 0 lim ( ) x x f x không tồn tại Ta chọn 2 dãy: { },{ }x n x n  sao cho

 0 lim cos1 x x không tồn tại Thật vậy: Chọn   x n và   x ' n cùng dần về 0.

1.2.2.2 Giới hạn một phía Định nghĩa

* Số L đƣợc gọi là giới hạn tráicủa f x( ) khi x x 0 nếu

* Số L đƣợc gọi là giới hạn phảicủa f x( ) khi x x 0 nếu

Ví dụ 19: Xét hàm số: f x( )  x tại x 0 1, ta có

     Định lý: Hàm số f x( ) có giới hạn là L khi x x 0 khi và chỉ khi giới hạn trái và phải của f x( ) tại x 0 cũng tồn tại và bằng L

0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x x x x x f x f x f x f x f x

Ví dụ 20: Trong ví dụ trên, ta thấy f(1 )   f(1 )  nên lim1 x x

1.2.2.3 Các giới hạn vô tận và ở vô tận

 Nhận xét : Giới hạn của dãy số là trường hợp đặc biệt của giới hạn hàm khi biến số dần ra 

 Giới hạn ở vô tận: Giả sử f x ( ) xác định trên tập không bị chặn X

Số L đƣợc gọi là giới hạn phải của f x( ) khi x   nếu

1.2.2.4 Các tính chất của giới hạn hàm số i)

  (C là hằng số). ii) Giới hạn hàm số nếu có là duy nhất. iii) Cho f x( ), ( )g x và h x( ) xác định trong lân cận của x 0 (không cần xác định tại x 0 ) Nếu a)

  iv) Tiêu chuẩn hội tụ: Cho f x( ) xác định với mọi x dương khá lớn, nếu ( ) f x tăng và bị chặn thì lim ( ) x f x

1.2.2.5 Các phép toán Định lý: Nếu

  (k là hằng số) Định lý: Xét hàm hợp: f u x : f u x  ( )  Nếu

  và f u( ) xác định ở lân cận u 0 và

 Nếu f x( ) và g x( ) là đa thức thì ta phân tích

 Nếu f x( ) hay g x( ) có chứa căn cùng bậc thì ta nhân tử và mẫu của phân thức với lƣợng liên hợp.

 Nếu f x( ) hay g x( ) có chứa căn không đồng bậc

 Tính lim ( ) ( ) f x g x trong quá trình nào đó, với f x( ) , g x( )  trong quá trình đó

 Cách khử khi x   nhƣ sau

+ Nếu f x( ) và g x( ) là đa thức thì chia tử và mẫu của phân thức cho x n với n là số mũ cao nhất của x trong f x( ) và g x( )

+ Nếu f x( ) và g x( ) có chứa căn thì có thể chia cả tử vàmẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp.

+ Áp dụng công thức: 1 lim 0; lim >0 x x x x

 Nhận xét: Khi x  , xét giới hạn của f x( ) với ( )

* Nếu bậc của P lớn hơn bậc của Q thì f x( ) 

* Nếu bậc của P nhỏ hơn bậc của Q thì f x( )0

* Nếu bậc của P bằng bậc của Q thì giới hạn của f x( ) là một hằng số.

 Cách khử khi x   nhƣ sau

+ Nếu có căn ta ta nhânvới lượng liên hợp để khử dạng vô định.

+ Sau đó chia tử và mẫu cho x n (n là số mũ cao nhất của x) nếu cần.

1.2.2.7 Một số công thức giới hạn quan trọng (thường áp dụng để khử dạng 0

 Tổng quát: Nếu u x   0 khi x x 0 thì các công thức trên vẫn đúng khi thay x bởi u x( )

Giải a) 0 0 sin 7 sin 7 7 7 lim lim

5 4 1 5 1 4 1 5 lim lim ln 5 ln 4 ln

Tính a) 0 cos cos 2 lim 1 cos x x x

 Giới hạn của hàm mũ hợp  0 ; 0 ;1 0 

Sử dụng định lý giới hạn của hàm hợp và tính liên tục của hàm số mũ cùng hàm số logarithm, ta có thể chứng minh công thức quan trọng trong toán học Đây là nền tảng để hiểu rõ hơn về các tính chất của các hàm số này và áp dụng trong các bài toán phức tạp hơn sau này Việc nắm vững những kiến thức này giúp mở rộng khả năng phân tích và chứng minh các giới hạn, đồng thời củng cố nền tảng kiến thức toán học của bạn.

 Đặc biệt: Nếu giới hạn của hàm số y  f x( )u x( ) v x ( ) có dạng vô định 1  khi x x 0 thì

Giải a) 4 lim (tan 1).tan 2 tan 2

2 tan 2 tan lim (tan 1) lim

1 lim 2 sin lim 2 lim(cos2 1).

1.2.2.8 Đại lƣợng vô cùng bé –đại lƣợng vô cùng lớn

 Hàm ( )x đƣợc gọi là vô cùng bé (VCB) khi x x 0 nếu

 Hàm ( )x đƣợc gọi là vô cùng lớn (VCL) khi x x 0 nếu

Ví dụ 30: cosx là VCB khi x  2 và không là VCB khi x 0

 Tính chất của VCB và VCL

* Vô cùng bé: Trong quá trình xx 0 hay x  i) Tổng các VCB là VCB ii) Tích của một VCB với một đại lƣợng bị chặn là một VCB

* Vô cùng lớn: Trong quá trình xx 0 hay x  i) Tích của hai VCL là VCL.

Trong lý thuyết đại số tuyến tính, tổng của một véc tơ cỡ lớn (VCL) với một đại lượng bị chặn là một VCL, giúp duy trì tính chất cấu trúc của không gian vectơ Nghịch đảo của một véc tơ cỡ lớn khác không bằng không là một VCL, thể hiện tính khả nghịch của các VCL trong không gian Ngoài ra, nghịch đảo của một VCL luôn là một véc tơ cỡ bé (VCB), qua đó khẳng định mối liên hệ chặt chẽ giữa các dạng véc tơ trong lý thuyết này.

 Phân loại VCB: Cho ( ), ( )x  x là hai VCB khi x x 0 Khi đó :

0 lim ( ) ( ) x x x x ) thì ta nói ( )x là VCB bậc cao hơn ( )x Kí hiệu: ( )x O( ( )) x

   thì ta nói ( )x và ( )x là hai VCB cùng bậc

 Đặc biệt: Nếu A 1 thì ta nói ( )x và ( )x là hai VCB tương đương Kí hiệu : ( )x ( )x

   (xem VD17) nên 1c xos là VCB cùng bậc với x 2 khi x 0

 x   (theo mục 2.2.7) nên sinx x khi x 0

 Các VCB tương đương cần nhớ khi x 0

 Chú ý: Nếu u x   0 khi x x 0 thì các công thức trên vẫn đúng khi thay x bởi u x( )

Ví dụ 32:  sin 2x 2 ; sin 3x 2 x 9x 2 khi x 0

 2     sin tan arcsin arc tan

 Vận dụng VCB khử dạng vô định 0

0 Định lý: Nếu ( )x ( )x ; ( )x ( )x ) khi x x 0 thì

 Chú ý: Quy tắc VCB tương đương không áp dụng được cho hiệu hoặc tổng của các VCB nếu chúng làm triệt tiêu tử hoặc mẫu của phân thức.

 Qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao : Giả sử  , là tổng của nhiều VCB Khi đó,

 bằng giới hạn của thương hai VCB có bậc thấp nhất ở tử và ở mẫu.

2 sin tan 2 2 2 lim lim lim sin 5 6 sin 5 5 5 x x x x x x x x x x x x 

1.2.3 Tính liên tục của hàm số

 Hàm số f x( ) đƣợc gọi là liên tục tại x 0 nếu

 Hàm số f x( ) đƣợc gọi là liên tục bên phải (hoặc trái) tại x 0 nếu

 Nhận xét: - Hàm f x( ) liên tục tại x 0  f x( ) liên tục phải và trái tại x 0

- Các hàm số sơ cấp liên tục trên miền xác định của nó.

Nếu f x( ) không liên tục tại x 0 thì nó đƣợc gọi là gián đoạn tại x 0 (x 0 là điểm gián đoạn của hàm f x( ))

 Nhận xét: Hàm số f x( ) gián đoạn tại x 0 nếu xảy ra 1 trong 3 trường hợp sau i) f x( )không xác định tại x 0 ii)

Ví dụ 36: Xét sự liên tục của hàm số

Vậy hàm số liên tục tại 0 1 x  2 

Xét sự liên tục của hàm số a)

1.2.3.3 Hàm số liên tục trên đoạn –khoảng

 Hàm số f x( ) liên tục trên ( ; )a b nếu f liên tục tại mọi điểm x ( ; )a b

 Hàm số f x( ) liên tục trên   a b; nếu f liên tục trên( ; )a b , liên tục phải tại a và liên tục trái tại b

1.2.3.4 Các phép toán trên hàm số liên tục Định lý: Nếu hàm số f x( ) và g x( ) liên tục tại x 0 thì các hàm số sau cũng liên tục tại x 0 : f g; ; f f g g ; f ( là hằng số). Định lý: Nếu hàm u x( ) liên tục tại x 0 và hàm f u( )liên tục tại u 0 u x( ) 0 thì hàm số hợp y  f u x  ( )  liên tục tại x 0

1.2.3.5 Tính chất của hàm số liên tục i) Nếu hàm số f x( ) liên tục trên   a b; thì hàm số f x( ) bị chặn trên   a b; ii) Nếu hàm số f x( ) liên tục trên   a b; thì nó đạt GTLN và GTNN trên   a b; và mọi giá trị trung gian giữa GTLN & GTNN. iii) Nếu hàm số f x( ) liên tục trên   a b; và f a f b( ) ( ) 0thì tồn tại ít nhất một điểm c( ; )a b sao cho f c( ) 0

Ví dụ 37: Chứng minh phương trình sau có nghiệm: 2x 5 3x 2 0

* Mặt khác: f x( ) liên tục trên  f x( ) liên tục trên 1; 0

Suy ra   x 0  1; 0 : ( ) f x 0  0 Vậy phương trình trên có nghiệm 

1.2.3.6 Ý nghĩa hình học của hàm số liên tục

Nếu hàm số f x( ) liên tục trên   a b; thì đồ thị của hàm số y  f x( ) là một đường cong liền không bị ngắt quãng nối hai điểm A a f a( ; ( )); B b f b( ; ( ))

(xem tài liệu tham khảo 1, 3, 5, 7)

1 Vốn ban đầu V 0 , lãi suất mỗi kỳ là r, giá trị đạt đƣợc sau n kỳ:

2 Vốn ban đầu V 0 , lãi suất 1 năm là r, mỗi năm chia thành n kỳ (lãi suất mỗi kỳ r n ), giá trị đạt đƣợc sau 1 năm: ( , ) 0 1 r nt

3 Vốn ban đầu V 0 , lãi gộp liên tục (thời gian mỗi kỳ khá bé) giá trị đạt đƣợc sau t năm: V t( )V e 0 rt

1 Giả sử lãi suất tiền gởi không thay đổi là r % một năm, với tiền vốn ban đầu là

Bạn hãy biểu diễn số tiền V bạn sẽ có sau t năm gửi tiết kiệm không rút lãi hàng năm theo công thức lãi kép Với lãi suất r = 14% và số tiền gửi ban đầu là 10.000.000 VNĐ, bạn có thể tính thời gian cần thiết để tích lũy đủ 100.000.000 VNĐ bằng cách giải phương trình lãi kép Thời gian t để số tiền đạt 100.000.000 VNĐ sẽ khoảng 18,7 năm Điều này giúp bạn xác định rõ kế hoạch đầu tư và tiết kiệm phù hợp với mục tiêu tài chính của mình.

2 Tìm tổng thu nhập V nếu đầu tƣ lƣợng V 0 sau t năm với lãi suất gộp r mỗi năm a V 0  4000, t  7 năm, r  6%/ năm. b V 0  700, t 15 năm, r  7%/ với kỳ là nửa năm. c V 0  900, t 11 năm, r 10%/ với kỳ là quý. d V 0  800, t  3 năm, r 64%/ với kỳ là ngày

3 Vào ngày 1 7 2005, ông A có 1000 gửi tiết kiệm ở ngân hàng Nông nghiệp với lãi suất 3,5% năm tính gộp liên tục Một ngân hàng cạnh tranh khác đƣa ra kiểu tiếp thị để thu hút khách hàng cạnh tranh khác đƣa ra kiểu tiếp thị để thu hút khách hàng mới nhƣ sau: tặng ngay 20 cho một khác hàng mới với điều kiện gửi ít nhất 1000 với lãi suất 3,5% tính gộp theo nửa năm ông A quyết định chọn một trong ba phương án sau vào ngày 1 7 2005. a Gửi tiền vào ngân hàng Nông nghiệp b Gửi tiền vào ngân hang cạnh tranh. c Gửi nửa tiền vào ngân hàng Nông nghiệp và gửi nửa tiền vào ngân hang cạnh tranh.

Tổng số tiền ông A thu được vào ngày 1 7 2007 theo một trong ba phương án nhƣ trên nhƣ thế nào ?

4 Tính các giới hạn sau a)

5 Tính các giới hạn sau a)

6 Tính các giới hạn sau a)

7 Tính các giới hạn sau a) 2 lim0 x x x e e x

8 Tính các giới hạn sau bằng cách thay lượng tương đương a) 0 sin 3 sin lim ln(1 ) x x x

9 Dùng nguyên lý bỏ qua các VCB bậc cao tính các giới hạn sau: a)

0 sin 5 tan ln(1 ) lim arcsin x x x x x x x

10 Xét sự liên tục của hàm số trên toàn trục số a)

11 Chứng minh rằng a) Phương trình x 3 15x  1 0 có 3 nghiệm trong 4; 4 b) Phương trình sau có nghiệm 2x 3 6x  1 0 có 3 nghiệm trong 2, 2.

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Đạo hàm của hàm số

Hàm số \( y = f(x) \) được xác định tại điểm \( x_0 \) và trong một lân cận của \( x_0 \) Đạo hàm của hàm số \( f(x) \) tại điểm \( x_0 \), ký hiệu là \( f'(x_0) \), là giới hạn hữu hạn (nếu có) và được xác định bằng công thức giới hạn: \(\displaystyle f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\).

Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của hàm số y  f x( ) 3x 2 tại x 0  2 bằng định nghĩa

* Đạo hàm phải tại x 0 của hàm số y  f x( ), kí hiệu: f x ( ) 0 với

* Đạo hàm trái tại x 0 của hàm số y  f x( ), kí hiệu: f x( 0  ) với

+ Hàm số f x( ) có đạo hàm tại x 0 khi và chỉ khi

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số 1 cos , 0

Vậy f không khả vi tại x 0  0 

2.1.1.3 Mối liên hệ giữa đạo hàm và liên tục Định lý: Nếu hàm số y  f x( ) xác định tại x 0 và lân cận của nó và f x( ) có đạo hàm tại x 0 thì nó liên tục tại điểm đó. Điều ngƣợc lại nói chung không đúng Tức là, nếu hàm số f x( ) liên tục tại x 0 thì chƣa thể suy ra f x( ) có đạo hàm tại x 0

Ví dụ 3: Chứng minh hàm y  f x( ) x liên tục tại 0 nhƣng không khả vi tại đây.

 Xét sự liên tục tại x  0

Vậy hàm f x( ) liên tục tại điểm x  0

 Xét sự tồn tại đạo hàm tại x  0

Vậy hàm số y  f x( ) x có đạo hàm phải và đạo hàm trái tại điểm x  0, nhƣng hai giới hạn đó khác nhau Do đó hàm số không có đạo hàm tại x  0

2.1.1.4 Các qui tắc tính đạo hàm

 Đinh lý: Cho u v, là các hàm khả vi tại x 0 Khi đó, các hàm u ( là hằng số),

 , , u (  0) u v u v v v cũng khả vi tại x 0 Ta có: i) (u)'   'u ii) (uv)'  u' v' iii) ( )'u v u v' u v ' iv) u u v' 2 u v ' v v

 Định lý: Nếu y  f u( ), u u x( ) nghĩa là y  f u x  ( ) , trong đó f u( ) và u x( ) có đạo hàm thì y x( )y u u x( ) ( )

 Phép lấy đạo hàm lôga

Tính đạo hàm của hàm y u x( ) v x ( ) , ta lấy lôga cơ số e hai vế, sau đó rồi lấy đạo hàm hai vế theo x

Ví dụ 4: Cho y x sin x Tính y

Lấy logarit cơ số e hai vế, ta đƣợc lny lnx sin x (áp dụng công thức log a x  log a x x ( 0) ) lny sin lnx x

Lấy đạo hàm hai vế theo x , ta đƣợc

 Chú ý: Có thể áp dụng phép tính lôga trong một số trường hợp để làm đơn giản việc tính toán.

2.1.1.5 Đạo hàm hàm số cho bởi phương trình tham số

Cho hàm số y  f x( ) có phương trình dạng tham số x x t( ), y y t( ) Giả sử x x t( ) có hàm số ngƣợc và hàm số ngƣợc này có đạo hàm thì

Ví dụ 5: Hàm số cho bởi

Trong lý thuyết về đạo hàm, nếu hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm \( y' = f'(x) \) trên khoảng \( (a, b) \), thì đạo hàm của \( f'(x) \) là đạo hàm cấp hai của \( f(x) \) Khi \( f'(x) \) có đạo hàm tại một điểm \( x \) thuộc khoảng \( (a, b) \), ta gọi đó là đạo hàm cấp hai của hàm số \( f(x) \), ký hiệu là \( f''(x) = [f'(x)]' \) Đạo hàm cấp hai thể hiện tốc độ biến đổi của đạo hàm cấp nhất, phản ánh độ cong của đồ thị hàm số.

Tương tự có thể định nghĩa đạo hàm cấp 3, 4,

Tổng quát: Đạo hàm đến cấp n của f x ( ) là đạo hàm cấp  n  1  của nó Kí hiệu: f ( ) n ( )x  f ( n  1) ( )x  ' hay y ( ) n   y ( n  1)   (2.1.6)

Giả sử f và g có đạo hàm cấp n tại điểm x Khi đó i) (f g) ( ) ( ) n x f ( ) n ( )x g ( ) n ( )x ( ,  là những hằng số). ii) ( ) ( ) ( )

2.1.2.3 Một số đạo hàm cấp cao thông dụng

Ví dụ 6: Cho hàm số y  ln(x  x 2 1) Tính y x''( )

2.1.2.4 Ý nghĩa của đạo hàm (cấp 1 và cấp 2)

Là dùng để khảo sát sự biến thiên, xu hướng biến đổi của một đại lượng theo thời gian, cụ thể. i) Ý nghĩa hình học

Cho đường cong ( ) :C y  f x( ) Nếu f có đạo hàm tại x x 0 thì hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong (C) tại điểm đó là k  f x'( ) 0 và tiếp tuyến có dạng

Trong chuyển động của một vật, phương trình chuyển động được biểu diễn bằng s = s(t) Đạo hàm cấp một của s(t), hay s'(t), chính là vận tốc tức thời tại thời điểm t Vận tốc này phản ánh tốc độ thay đổi vị trí của vật trong khoảng thời gian ngắn Hơn nữa, đạo hàm cấp hai của s(t), hay s''(t), chính là gia tốc của chuyển động tại thời điểm t, thể hiện tốc độ biến thiên của vận tốc theo thời gian Việc hiểu rõ mối quan hệ giữa vị trí, vận tốc và gia tốc giúp phân tích chính xác hơn về đặc điểm của chuyển động của vật.

 ( ) ''( ) a t s t iii) Ý nghĩa chung: f x'( ) 0 biểu thị tốc độ biến thiên của hàm f tại x 0

Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp (ở đây u u x( ))

Vi phân của hàm số

Cho y  f x( ) khả vi tại x ( , )a b Khi đó,

Hay  y f x'( ). x O(   x) y f x'( ). x O(x), trong đó: O(x) là VCB bậc cao hơn x khi  x 0

Ta gọi f x'( ).x là vi phân của hàm số f Kí hiệu : df dy,

 Chú ý: Đối với hàm số y  f x( )x, ta có dy dx  x nên biểu thức vi phân có thể đƣợc viết

2.2.1.2 Các qui tắc tính vi phân

Cho hai hàm khả vi f g, , R Ta có i) d(f).df ii) d f( g)df dg iii) d f g( )g df  f dg iv) 2

Ví dụ 7: a) d x( 3 2x 2 1)(3x 2 4 )x dx x x(3 4)dx b) d(sin 2 x) 2 sin cosx xdx sin 2xdx

2.2.1.3 Công thức tính xấp xỉ (Áp dụng vi phân tính gần đúng)

Giả sử hàm số y  f x( ) khả vi tại x 0 Khi x gần 0, ta có:

Ví dụ 8: Tính gần đúng A 3 1, 02

   Áp dụng công thức tính gần đúng, ta có

Giả sử hàm số y = f(x) khả vi trên khoảng (a, b), thì đạo hàm của hàm số là df = f'(x) dx, gọi là vi phân cấp một của hàm số Khi bản thân df khả vi, thì vi phân của nó được gọi là vi phân cấp hai của f(x).

Tương tự, vi phân của d f 2 gọi là vi phân cấp 3 của f x( ) Kí hiệu là

Nếu hàm số f x( ) khả vi đên cấp n tại mọi điểm x  ( , ) a b thì vi phân cấp n của f x( ) là vi phân của vi phân cấp (n-1) của f x( )

2.2.2.2 Liên hệ giữa vi phân cấp cao và đạo hàm cấp cao

2 ( ) '( ) ''( ) ''( ) d f d df d f x dx f x dx dx f x dx

(trong đó f   n là đạo hàm cấp n của f x( ), dx n là lũy thừa thật sự)

Các định lý cơ bản của phép tính vi phân

Nếu f là một hàm số liên tục trên   a b ; , khả vi trên  a b;  và f a( ) f b( ) thì

Nếu f là một hàm số liên tục trên   a b; , khả vi trên  a b;  thì:

Nếu hai hàm f g , liên tục trên   a b; , khả vi trên  a b;  và '( ) 0, ( ; ) g x   x a b thì

 Nhận xét Định lý Lagrange là trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy khi g x( )x Đinh lý Rolle là trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange khi f a( ) f b( )

2.3.4 Các qui tắc L’Hospital (Khử dạng vô định)

* Qui tắc 1: (khử dạng vô định 0

0 ) * Qui tắc 2: (khử dạng vô định 

 ) Nếu f g , thỏa các điều kiện sau i) f g, khả vi trong  a b;  ii) f x( ) 0 g x( ) 0  0 iii) g x'( )  0, x  a b;  iv)

 g x  (L hữu hạn hoặc vô hạn) thì

Nếu f g , thỏa các điều kiện sau i) f g, khả vi trong  a b;  ii)

 g x  (L hữu hạn hoặc vô hạn) thì

 thì chƣa thể kết luận gì về

* Có thể áp dụng qui tắc này nhiều lần.

* Qui tắc 1, 2 vẫn đúng khi x  

* Có thể dùng qui tắc trên để khử các dạng vô định khác:

(hoặc có thể nhân lượng liên hiệp hay qui đồng mẫu số).

 Các dạng mũ:áp dụng công thức  

 Đặc biệt: Dạng 1  áp dụng công thức:

3 6 lim lim lim 6 sin 1 cos sin

 Chú ý: Công thức L‟Hopital không phải lúc nào cũng sử dụng đƣợc.

Ví dụ 11: Tính sin lim 2 x x x

I x (không tồn tại giới hạn).

( ) 2 f x x , chọn   x n và   x ' n cùng dần về 

- Nhƣng không thể kết luận nhƣ thế đƣợc vì:

2.3.5 Ứng dụng của phép tính vi phân

2.3.5.1 Xác định khoảng đơn điệu Định lý

Cho hàm số y  f x( ) khả vi tại mọi điểm thuộc   a b; Điều kiệncần và đủ để ( ) f x tăng (hay giảm) trên đoạn đó là f x'( ) 0 (hay f x'( ) 0),  x  a b; 

Giả sử y  f x( ) khả vi trên   a b, và liên tục trên   a b; Nếu f x'( ) 0 (hay f x'( ) 0),  x  a b;  thì f x( ) tăng (hay giảm) nghiêm ngặt trên   a b;

2.3.5.2 Cực trị địa phương của hàm số a) Định nghĩa

Giả sử hàm số y  f x( ) xác định trong ( , ),a b x 0( , )a b Hàm số f x ( ) đạt cực đại (hay cực tiểu) địa phương tạix 0 nếu tồn tại một lân cận  của x 0 sao cho

Trong toán học, điểm mà f(x) đạt giá trị cực đại hoặc cực tiểu được gọi là cực trị của hàm số Các điểm cực đại và cực tiểu được xem là các cực trị (địa phương) của hàm số Điều kiện cần để hàm số có cực trị là đạo hàm f'(x) tại điểm đó bằng 0, tức là f'(x) = 0.

Nếu hàm số f x ( ) xác định trong khoảng ( , ) a b và đạt cực đại (hay cực tiểu) địa phương tại x 0 thuộc ( , )a b và nếu tồn tại f x'( ) 0 thì f x'( ) 0  0

Điểm tới hạn của hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) là điểm x₀ ∈ (a, b) tại đó hoặc đạo hàm không tồn tại (điểm kỳ dị), hoặc đạo hàm bằng zero, tức là f'(x₀) = 0 Điều kiện đủ để một điểm tới hạn trở thành điểm cực trị là thỏa mãn các điều kiện cần thiết như đạo hàm bằng zero hoặc không xác định, kết hợp với các tiêu chí về biến thiên hoặc dấu của đạo hàm.

Hàm số y = f(x) liên tục trong lân cận của điểm x₀ và có đạo hàm trong vùng đó (ngoại trừ x₀) đảm bảo tính ổn định và khả năng phân tích đạo hàm Xác định x₀ là điểm tới hạn của hàm số nghĩa là tại điểm này, đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc không xác định, phản ánh những đặc điểm quan trọng về mặt đồ thị và tính chất của hàm trong vùng lân cận Việc kiểm tra điểm tới hạn giúp xác định các điểm cực trị và các điểm có khả năng thay đổi hướng của đồ thị hàm số, từ đó phục vụ cho phân tích tổng thể và ứng dụng trong các bài toán Toán học.

 Nếu f x'( ) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x 0 thì f x( ) đạt cực đại tại x 0

 Nếu f x'( ) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua x 0 t thì f x( ) đạt cực tiểu tại x 0

 Nếu f x'( ) không đổi dấu khi x qua x 0 thì thì f x( ) không đạt cực trị tại x 0

 Định lý 2: Giả sử y  f x( ) có đạo hàm liên tục đến cấp 2 trong lân cận điểm x 0 và f x'( ) 0  0, f ''( )x 0  0 Khi đó:

 Nếu f ''( )x 0  0 thì f x( ) đạt cực tiểu tại x 0

 Nếu f ''( )x 0  0 thì f x( ) đạt cực đạitại x 0

Ví dụ 12: Tìm cực trị của hàm số sau a) y  f x( ) x 1x 2 b) 1 3 3 2

Vậy hàm số đạt cực đại tại 2

 y''( 1)   5 0  Hàm số đạt cực đại tại x  1

 y''(4) 5 0  Hàm số đạt cực tiểu tại x  4  x y’ y

Cho y  f x( ) có đạo hàm đến cấp n trong ( , )a b chứa x 0 thỏa

 TH 1: n lẻ: Hàm số không có cực trị tại x 0

- Nếu f ( ) n ( )x 0 0 thì hàm số đạt cực đại tại x 0

- Nếu f ( ) n ( )x 0  0 thì hàm số đạt cực tiểui tại x 0

Ví dụ 13: Tìm cực trị (nếu có) của f x( )(x 1) 4

Theo định lý trên thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x  1 và y CT 0

2.3.5.3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất a) Định nghĩa

Cho hàm số y  f x( ) có tập xác định D và X D

 Số M được gọi là giá trị lớn nhất của f x( ) trên X nếu:

 Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f x( ) trên X nếu:

 Chú ý: Hàm số có thể không đạt max hoặc min trên X D b) Phương pháp tìm max, min

Cách 1: Dùng bất đẳng thức.

Cách 2: Dùng bảng biến thiên.

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số liên tục y = f(x) trên khoảng [a, b], bạn cần xác định tất cả các điểm tới hạn của hàm trong khoảng (a, b) Sau đó, tính giá trị hàm số tại các điểm tới hạn đó cùng với giá trị tại các điểm biên a và b Cuối cùng, so sánh tất cả các giá trị này để xác định GTLN và GTNN của hàm số trên khoảng đã cho.

 Chú ý: Nếu đề bài chưa cho đoạn   a b; thì ta phải tìm MXĐ của hàm số trước.

Ví dụ 14: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y  f x( )x 3 6x 2 9x trên 1; 4

* Hàm số liên tục trên   1; 4 

Vậy y m ax  4 tại x 4 và x 1 min  16 y tại x  1

Tìm GTLN và GTNN của hàm số a) y   x 2 5x 6 b) y 2 sinx sin 2x trên 3

  2.3.5.4 Bài toán tối ƣu trong thực tế

Trong thực tế, các bài toán tối ưu hóa thường liên quan đến việc chọn phương án tốt nhất trong các điều kiện nhất định Một trong những mô hình toán học cơ bản nhất trong lĩnh vực này là tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của một hàm số Các vấn đề này giúp xác định giải pháp tối ưu phù hợp với các giới hạn và yêu cầu đề ra.

 B1 : Xác định các đại lƣợng biến thiên và đặt tên chúng.

 B2 : Xác định mối liên hệ giữa các đại lƣợng theo giả thuyết.

 B3 : Xác định đại lượng cần khảo sát cực trị và viết nó dưới dạng hàm theo một trong các đại lƣợng biến thiên đã xét.

 B4 : Khảo sát hàm tìm đƣợc ở B3 để tìm cực trị, giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất. a Mô hình Kinh tế đơn giản: Phân tích cung cầu i) Hàm cầu

* Q D : Số lượng cầu (lượng hàng hóa mà người mua bằng lòng mua ở giá P)

Chức năng cầu là hàm nghịch biến, phản ánh mối quan hệ nghịch chiều giữa số lượng cầu của một hàng hóa và giá của nó Điều này có nghĩa là khi giá của hàng hóa tăng lên, lượng cầu sẽ giảm xuống và ngược lại Số lượng cầu của một hàng hóa và giá của nó có mối quan hệ tỷ lệ nghịch, thể hiện qua dấu trừ trước biến số trong hàm cầu Hiểu rõ mối liên hệ này giúp phân tích hành vi tiêu dùng và đưa ra các quyết định kinh doanh phù hợp.

Đồ thị đường biểu diễn của hàm cầu là đường cầu, có dạng dốc xuống phản ánh quy luật cầu: "khi giá giảm thì lượng cầu tăng và ngược lại" Hàm cung thể hiện mối quan hệ giữa giá cả và lượng cung, giúp xác định điểm cân bằng thị trường nơi cung và cầu gặp nhau.

Biểu thị sự phụ thuộc của lƣợng cung của một loại hàng hóa với giá của hàng hóa đó.

* Q S : Lượng cung (lượng hàng hóa mà người bán bằng lòng bán ở giá P).

 Chú ý : Trong thực tế cung và cầu không chỉ phụ thuộc vào duy nhất yếu tố giá cả

Đồ thị cung thể hiện đường cung của hàm cung, có dạng dốc đi lên phản ánh quy luật cung: khi giá tăng thì lượng cung cũng tăng và ngược lại Giá cân bằng của thị trường được xác định khi cung và cầu gặp nhau, giúp đảm bảo sự ổn định trong hoạt động kinh tế.

Giao điểm của hai đường cung – cầu đƣợc gọi là điểm cân bằng cung - cầu Tại điểm cân bằng ta có giá P P E và khi đó

Q Q Khi đó người bán hết hàng và người mua đủ hàng.

 Nếu Q S Q D hay cung > cầu  hiện tƣợng dƣ thừa.

 Nếu Q S Q D hay cung < cầu  hiện tƣợng khan hiếm. b Bài toán tìm sản lƣợng để đạt lợi nhuận cực đại

Để tối đa hóa lợi nhuận, công ty độc quyền cần xác định mức sản lượng tối ưu Q dựa trên hàm cầu Q_D = D_P và hàm chi phí C = C_Q Khi biết hàm cầu và hàm chi phí, công ty sẽ thiết lập và tối ưu hóa lợi nhuận bằng cách xác định điểm sản lượng mang lại lợi nhuận cao nhất Việc tính toán chính xác sản lượng Q phù hợp giúp công ty tận dụng khả năng thị trường và kiểm soát chi phí hiệu quả Chọn sản lượng tối ưu này sẽ giúp công ty nâng cao doanh thu và lợi nhuận trong hoạt động kinh doanh độc quyền.

 Phương pháp giải Để bán hết sản lƣợng này công ty phải bán ra với đơn giá P sao cho số lƣợng cầu Q D bằng đúng Qhay Q  D P( )

B1: Từ phương trình này xem P là ẩn số, ta tính được P P Q( )

B2: Suy ra : Hàm doanh thu sẽ là : R R Q( )Q P Q ( )

Hàm lợi nhuận sẽ là : L L P( ) R Q( )C Q( )

B3: Ta tìm Q 0  0 tại đó hàm L đạt giá trị lớn nhất

Ví dụ 16: Một công ty kinh doanh độc quyền một loại sản phẩm có hàm cầu

Q D D P và hàm chi phí C C Q( ) Hãy tìm sản lƣợng Q trong đơn vị thời gian để công ty đạt lợi nhuận cực đại Biết hàm cầu Q D 100P Tổng chi phí

C C Q Q Q Q Hãy xác định sản lƣợng Q để công ty có lợi nhuận cao nhất.

* Muốn bán hết sản lƣợng Q này thì công ty phải bán ra với đơn giá P sao cho : Q Q D 100 P P 100Q

Vậy nếu sản lƣợng là Q 50 trong một đơn vị thời gian thì công ty đạt lợi nhuận cao nhất. c Bài toán tính thuế doanh thu

Một công ty độc quyền kinh doanh một mặt hàng với hàm cầu Q_D = D(P) và hàm tổng chi phí C = C(Q) trong một đơn vị thời gian Để xác định mức thuế t > 0 trên mỗi sản phẩm, ta cần tìm mức thuế tối ưu sao cho lợi nhuận của công ty đạt cực đại và đồng thời, khoản thu thuế từ công ty cũng lớn nhất Việc áp dụng thuế phù hợp sẽ giúp cân đối giữa lợi nhuận của công ty và nguồn thu ngân sách nhà nước, đồng thời tối đa hóa khoản thu thuế khi doanh thu đạt đỉnh điểm.

 Phương pháp giải : Giả sử mức thuế trên mỗi sản phẩm là t  0 Khi đó công ty phải bán với giá P: Q D P( )

B1: Từ Q D P( ) ta tính đƣợc P là hàm theo Q : P P Q( )

B2: Doanh thu của công ty là : R Q P Q ( )

B4: Lợi nhuận của công ty là : L R Q( )C Q( )tQ

B5: Tìm Q t 0 ( ) sao cho tại Q t 0( ) ta có L đạt giá trị lớn nhất Khi đó :

B6: Để cơ quan thuế thu đƣợc nhiều thuế doanh thu của công ty nhất ta cần định mức thuế t 0 sao cho T đạt cực đại

Ví dụ 17: Q D 2000P và chi phí C C Q( )Q 2 1000Q150

* Để bán hết sản phẩm thì công ty phải bán ra với đơn giá P sao cho số lƣợng cầu Q D Q

Vậy L đạt giá trị lớn nhất tại Q t 0( )

* Khi đó thuế thu đƣợc là :  

Suy ra : T đạt cực đại tại t  500 Khi đó công ty sản xuất với sản lƣợng :

1 Tính đạo hàm của các hàm số sau a)

2 Tính đạo hàm của các hàm số theo cấp đã chỉ a) y e  x 2 Tính y b) y x 2 sin 2x Tính y ( ) n c) 1

3 Dùng vi phân tính gần đúng số a) Asin 29 0 b) B  arctan1, 05 c) C  4 15, 8 d)

4 Dùng qui tắc L‟Hospital tính các giới hạn sau

5 Một xe bus có sức chứa tối đa là 60 hành khách Nếu mỗi chuyến xe có x hành khách thì giá cho mỗi hành khách là 3 2

  (đồng) Hãy tính số hành khách trên mỗi chuyến xe để mỗi chuyến xe thu đƣợc nhiều tiền nhất

6 Một nhà máy sản xuất x sản phẩm mỗi ngày với chi phí là 2 35 25

(đồng) và giá bán một sản phẩm là 50

Nhà máy cần xác định số lượng sản phẩm sản xuất hàng ngày để tối đa hóa lợi nhuận, đảm bảo hiệu quả hoạt động cao nhất Việc phân tích chi phí sản xuất cho từng sản phẩm giúp chứng minh rằng khoản chi phí này là nhỏ nhất khi áp dụng phương án tối ưu đã chọn Từ đó, doanh nghiệp có thể điều chỉnh quy trình sản xuất nhằm giảm thiểu chi phí và tăng lợi nhuận hiệu quả hơn.

7 Một doanh nghiệp kinh doanh độc quyền một loại sản phẩm có hàm cầu P 130 và hàm chi phí 1 3 2

C  3Q Q  Q  Hãy tìm sản lƣợng Q trong một đơn vị thời gian để doanh nghiệp đạt lợi nhuận cao nhất và tính lợi nhuận đó.

8 Một công ty kinh doanh độc quyền một loại sữa có hàm cầu 1

Q D   P và hàm chi phí C Q 2 4000Q225 Hãy tìm sản lƣợng Q trong một đơn vị thời gian để công ty đạt lợi nhuận cao nhất và tính lợi nhuận đó.

9 Một công ty kinh doanh độc quyền một loại nước ngọt có hàm cầu

C  3Q Q  Q  Hãy tìm sản lƣợng Q và giá bán P trong một đơn vị thời gian để công ty đạt lợi nhuận cao nhất và tính lợi nhuận đó.

10 Một doanh nghiệp kinh doanh độc quyền một loại sản phẩm có hàm cầu

Dựa trên hàm lợi nhuận và các điều kiện đề bài, doanh nghiệp cần xác định mức sản lượng tối ưu để tối đa hóa lợi nhuận sau thuế khi biết mức thuế doanh thu trên mỗi đơn vị sản phẩm t Khi đạt lợi nhuận sau thuế cao nhất, doanh nghiệp cần tính toán mức thuế t để tổng số thuế thu được từ doanh nghiệp này là lớn nhất Đồng thời, với yêu cầu về nhu cầu xã hội tối thiểu 125 đơn vị sản phẩm, mức thuế doanh thu tối đa có thể áp dụng để vẫn đảm bảo nhu cầu này là bao nhiêu, là vấn đề cần xác định dựa trên các công thức và giới hạn đã cho.

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

Tích phân không xác định

3.1.1 Nguyên hàm và tích phân không xác định

Hàm số F x( ) đƣợc gọi là nguyên hàm của hàm số f x( ) trên   a b; nếu

Ví dụ 1: sinx ' cosx sinx là nguyên hàm của c xos

* Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có nguyên hàm trên đoạn đó.

* Nếu F x( ) là nguyên hàm của f x( ) thì F x( )C cũng là nguyên hàm của ( ) f x

(Việc tìm nguyên hàm của hàm số còn gọi là phép lấy tích phân của hàm số đó). Định nghĩa

Tập tất cả các nguyên hàm của hàm số f x( ) đƣợc gọi là tích phân không xác định của f x( ), kí hiệu là:  f x dx( )

3.1.1.3 Tính chất của tích phân không xác định

Cho f g, là các hàm số có nguyên hàm Khi đó i) f x dx( )   f x dx( ) (  là hằng số) ii)   f x ( )  g x dx ( )    f x dx ( )   g x dx ( ) iii)   f x dx ( )  '  f x ( ) iv)  f x dx( )  f x( )C

Bảng tích phân của một số hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của các HSCB y  f x( ) Hàm y ax b (a  0) dx  x C

  sin(ax b dx) - cos(1 ax b) C

 cos(ax b dx) 1sin(ax b) C

1 1 tan( ) cos ( )dx ax b C ax b  a  

1 1 cot( ) sin ( )dx ax b C ax b  a  

Biến đổi hàm dấu tích phân về dạng tổng của các hàm đơn giản hoặc dạng một hàm trong bảng nguyên hàm cơ bản

   c) 1 2 2 sin - sin cos - tan cos cos x dx xdx dx x x C x x

3.1.2.2 Phương pháp đổi biến số

 Qui tắc 1 Đặt t ( )x , trong đó ( )x là một hàm khả vi theo biến t Ta có

 Qui tắc 2 Đặt x ( )t , trong đó ( )t là một hàm khả vi và đơn điệu nghiêm ngặt theo biến t Ta có

 Chú ý: Qui tắc 2 thường áp dụng khi có tích phân có chứa

Ví dụ 3: Tính tích phân của các hàm số sau: a) I  (x 2 3x 1) (2 5 x 3)dx b) 3 3 2 sin x

Tính các tích phân sau: a) tanxdx b)  x ln dx x  1 c)  3 x 3 x   1 1 dx

Ví dụ 4: Tính tích phân sau: I   a 2 x dx 2 (a  0)

Giải Đặt x a sint dx acostdt, với ; t     2 2

Khi đó 2 (1 sin ) cos 2 2 os 2 2 (1 cos 2 )

3.1.2.3 Phương pháp tích phân từng phần

Giả sử u, v là các hàm khả vi Khi đó, ta có:

 Nhận xét: Nếu P x( ) là một đa thức

Ví dụ 5: Tính: a) I   xc xdxos b) J   x arctan xdx

Giải: a) Đặt cos sin u x du dx dv xdx v x

Khi đó I  xsinx sinxdx xsinx cosx C b) Đặt 2 2 tan 1 1

2 du dx u arc x x dv xdx x v

- Đối với nhiều tích phân khó thì ta phải đổi biến trước khi lấy tích phân từng phần.

- Phép lấy tích phân từng phần liên tiếp nhiều khi đƣa về tích phân ban đầu.

Tính: a) I   cos xe sin x dx b) J   e x cos xdx

3.1.3 Tích phân một số hàm thường gặp

3.1.3.1 Tích phân các hàm hữu tỉ a) Adx dx ln

 Nếu ax 2 bx  c 0, có hai nghiệm phân biệt. Áp dụng công thức

 Nếu ax 2 bx  c 0, có nghiệm kép. Áp dụng công thức: 1 2 1 1

 Nếu ax 2 bx  c 0 vô nghiệm Áp dụng công thức: 2 1 2 1 arctanx dx C x a a a 

    b) J   x 4  dx 4 x 2  5 c) K   x 4 dx  3 x 2 d) Ax 2 B ( 0, 0) dx A a ax bx c

 Nếu ax 2 bx  c 0, có hai nghiệm phân biệt Ta dùng phương pháp cân bằng hệ số đồng bậc, đƣa về cách tính nhƣ ở mục a).

 Nếu ax 2 bx  c 0 vô nghiệm hay có nghiệm kép Ta phân tích

Ax B A ax b Ab dx dx dx B ax bx c a ax bx c a ax bx c

* 2 2 2 ax b ln dx ax bx c C ax bx c

* Cân bằng hệ số đồng bậc, ta đƣợc : 2 3

Bước 1: Nếu bậc đa thức P x( ) lớn hơn bậc đa thức Q x( )thì ta chia P x( ) cho ( )

Q x m x Q x (trong đó: m x( )là đa thức và bậc p x( ) < bậc ( )

 Bước 2: Phân tích mẫu số của phân thức ra các thừa số tuyến tính và bậc 2:

 Bước 3: Phân tích phân thức ( )

Q x thành tổng của các phân thức hữu tỉ đơn giản sau:

 Bước 4: Xác định các hệ số A A 1 , 2 , ,M M 1 , 2 , ,N N 1 , 2 , bằng phương pháp hệ số bất định.

Tích phân các hàm hữu tỉ đơn giản

M x p Mp dx dx N x px q x px q

* L    x 2 Mx  px   N q  K dx      x  Mx   2   N  2   K dx với

  đƣợc tính theo công thức truy hồi

* Cân bằng hệ số đồng bậc, ta đƣợc :

3.1.3.2 Tích phân các hàm vô tỉ: , n ax b

 , đƣa tích phân đã cho về dạng hàm số hữu tỉ.

 Chú ý : Nếu tích phân có dạng , n 1 ax b, n 2 ax b, , n k ax b

 thì ta đổi biến bằng cách đặt n ax b t cx d

3.1.3.3 Tích phân hàm số lƣợng giác

Tính I   R(sin , cos )x x dx, trong đó R u v( , ) là hàm hữu tỉ theo u v,

 Phương pháp chung Đặt 2 2 tan 2 arctan

       Đây là tích phân hàm hữu tỷ theo biến t

 Một số trường hợp đặc biệt

Trong nhiều trường hợp, phép biến đổi đổi biến t về nguyên hàm của hàm hữu tỷ theo t giúp thực hiện phép tính dễ dàng hơn Tuy nhiên, đối với một số dạng đặc biệt, việc áp dụng phép thế có thể gây ra sự phức tạp trong quá trình tính toán Do đó, để tối ưu hóa quá trình xử lý, ta nên sử dụng các phương pháp tính toán đơn giản hơn phù hợp với từng dạng bài toán cụ thể.

 Dạng 1: R( sin , cos ) x  x R(sin , cos )x x thì ta đặt t  tanx (hàm chẵn theo sinx, c xos )

 Dạng 2: R( sin , cos ) x x  R(sin , cos )x x thì ta đặt t cosx (hàm lẻ theo sinx)

 Dạng 3: R(sin , cos )x  x  R(sin , cos )x x thì ta đặt t  sinx (hàm lẻ theo cosx)

Ví dụ 11: Tính: a) 4 sin 3 cos 5

    b) J   sin 2 x dx  3 os c 2 x c) K  cos 3 xdx d) L   sin cos 3 xdx x

Giải a) Đặt 2 2 tan2 1 x dt t dx

2 2 2 sin sin (1 cos ) sin cos cos

Ngoài ra trong một số trường hợp việc áp dụng các công thức lượng giác đã học giúp ta nhận đƣợc kết quả dễ dàng hơn.

Ví dụ 12: Tính I  sin 5 sin 3x xdx

Tích phân xác định

 Bài toán tính diện tích hình thanh cong

Cho hàm số ( ) :C y  f x( ) xác định dương trên   a b; , có đồ thị biểu diễn như hình vẽ

 Hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f x( ); x a x, b và trục Ox được gọi là hình thang cong

 Ta tính diên tích hình thang cong AabB đó.

 Ta chia đoạn   a b; thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia:

 Tương ứng hình thang cong cũng được chia thành n cột cong nhỏ.

 Ta gọi x i đồng thời là đoạn thẳng và là độ dài của đoạn [x i -1, ],x i i 1, ,n và d là độ dài lớn nhất của các x i :  

 Trên mỗi đoạn x i lấy điểm tuỳ ý c i

 Nếu x i khá bé có thể xem diện tích của cột cong thứ i xấp xỉ với diện tích của hình chủ nhật có hai kích thước x i ; f c( ) i : i ( ) i i

 Do đó diện tích S của AabBcó thể xấp xỉ với

* Định nghĩa: Diện tích hình thang cong AabB là

Giả sử y  f x( ) là hàm số xác định và bị chặn trên   a b;

 Chia   a b; thành n đoạn nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm chia

 Trên mỗi đoạn x i lấy điểm tuỳ ý c i và lập tổng tích phân

 Khi n   thì d n 0 nếu tồn tại giới hạn

Tích phân xác định của hàm số \(f(x)\) trên khoảng \([a, b]\) không phụ thuộc vào cách chia đoạn hoặc cách chọn điểm \(c_i \in \Delta x_i\) Giới hạn này được ký hiệu là \(\int_a^b f(x) dx\) và công nhận là phương pháp chính để tính diện tích dưới đường cong của hàm số trên khoảng xác định.

 Khi đó, ta cũng nói f x( ) khả tích trên   a b;

* Ý nghĩa hình học của tích phân xác định

Diện tích hình thang cong AabB (ở trến) chính là: ( ) b a

Cho hàm số f g, khả tích trên   a b; Khi đó i) b  ( ) ( )  b ( ) b ( ) a a a f x g x dx  f x dx  g x dx

  (3.2.3) iii) Nếu f x( )g x( )  x   a b; thì ta có ( ) ( ) b b a a f x dx  g x dx

  (3.2.4) iv) Nếu f x( ) là hàm chẵn thì

   (3.2.5) v) Nếu f x( ) là hàm lẻ thì ( ) 0 a a f x dx

I f x dx f c x vi) Với c  a b; , ta có ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx  f x dx  f x dx

3.2.3 Các định lý cơ bản của phép tính tích phân Định lý 1 (Đạo hàm theo cận trên)

Nếu f x( )liên tục trên   a b; thì với x   a b; , hàm số ( ) ( ) x a

F x   f t dt khả vi tại x và ta có '( ) ( ) ( ) x a

Ví dụ 13: Tính giới hạn:

0 3 0 0 0 sin sin 2 2 2 lim lim lim lim 0

 Định lý 2 ( Công thức Newton – Leibniz)

Nếu f x( ) liên tục trên   a b; và F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) thì

3.2.4 Các phương pháp tính tích phân xác định

Có 2 phương pháp như §1 a) Phương pháp đổi biến số (Nhớ đổi cận)

I   f x dx với f là hàm liên tục trên   a b;

 Qui tắc 1: - Đặt t ( )x sau đó tính dx theo t và dt

Giải a) * Đặt ln  dx t x dt x

1 os ( ) 1 os sin sin sin

1 os 1 os 1 os t t dt t tdt

 Qui tắc 2: - Đặt x ( )t dx ( )t dt

* Đặt x  sint dx  costdt, với ; t   2 2

I   x dx b) Phương pháp tích phân từng phần

Cho u, v là các hàm có đạo hàm liên tục trên   a b; Khi đó, ta có:

3.2.5 Ứng dụng của tích phân xác định a) Diện tích hình phẳng

* Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường thẳng x a, x b, y  0 và cung của đồ thị hàm số liên tục y  f x( ) trên   a b; đƣợc tính theo công thức

 Lưu ý: Cho f x( ) 0 (1) để tìm nghiệm của nó

(i) Nếu (1) không có nghiệm trên   a b ; thì

(ii) Nếu (1) có đúng 1 nghiệm c    a b ; thì

(iii) Nếu (1) có đúng 2 nghiệm c c 1 2,   a b; và c 1 c 2 thì

 Chú ý: Nếu phương trình đường cong cho dưới dạng x g y( ), g y( ) liên tục trong   c d; thì diện tích S đƣợc tính theo công thức

* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng x a, x b và cung của hai đồ thị hàm số liên tục

1( ); 2( ) y  f x y  f x trên   a b; đƣợc tính theo công thức

 Lưu ý: Để tính tích phân trên ta cũng cho f x 1( )f x 2( ) 0 để tìm nghiệm thuộc

  a b; , rồi chia tích phân cần tính thành 1 hoặc nhiều tích phân trên các đoạn con của đoạn   a b;

* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung có phương trình x x t( ), y y t( ), ( )1 a x t , b y t( ), 2 y  0 thì diện tích là

Ví dụ 17: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ) :C 1 y 2 2px và

* Tìm giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ) :

* Diện tích cần tìm là :

Ví dụ 18: Tính diện tích của ( ) : x 2 2 y 2 2 1

Phươngtrình tham số của (E) là cos

Do tính đối xứng của hình, ta có

       a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y 2 2x 1 và x   y 1 0 b) Tính diện tích của hình tròn ( ) :C x 2 y 2 R 2

2 2 x  py b) Độ dài cung của đường cong phẳng

* Cung (L) có phương trình y  f x( ),  a  x b  Độ dài cung của (L) là b 1  ( )  2 a l    y t dt (3.2.21)

* Cung (L) có phương trình tham số ( ) t 1 2 

  Độ dài cung của (L) là 2    

Ví dụ 18: Tính độ dài cung cycloid: ( sin ) 0 2 

Giải Ta có: x a(1c tos ); yasint Độ dài cung cần tìm là

    a) Tính độ dài dây cung parabol 2

2 y  x từ gốc O(0, 0) đến điểm M  2;2 b) Dùng tích phân xác định kiểm chứng chu vi đường tròn bán kính R là 2R c) Thể tích của vật thể

Giả sử ta có một vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = a và x = b, trong đó mặt phẳng vuông góc với trục Ox nằm tại các vị trí x thuộc đoạn (a, b) Khi cắt vật thể theo một tiếp tuyến nằm vuông góc với trục Ox, ta sẽ thu được một thiết diện có diện tích nhất định Diện tích của thiết diện này phụ thuộc vào vị trí cắt và hình dạng của vật thể, góp phần quan trọng trong việc phân tích các đặc tính hình học của vật thể đó Việc tính toán diện tích thiết diện giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc và khối lượng của vật thể trong các ứng dụng kỹ thuật và khoa học.

S x và S x( ) là hàm liên tục tại x Khi đó, thể tích vật thể đƣợc tính bởi công thức

(3.2.23) d) Thể tích của vật thể tròn xoay

Vật thể tròn xoay là hình thể được tạo ra khi quay một miền phẳng quanh một trục nằm trong mặt phẳng chứa miền đó Để tính thể tích của vật thể tròn xoay, ta có thể sử dụng hai phương pháp chính: phương pháp cắt lớp và phương pháp vỏ hình trụ Lựa chọn phương pháp phù hợp phụ thuộc vào phương trình các đường giới hạn của miền quay và vị trí của trục quay, giúp việc tính toán trở nên chính xác và thuận tiện hơn.

Vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay miền giới hạn giữa các đường x = a, x = b, và y = f(x) xung quanh trục Ox Các thiết diện của vật thể nằm trong các mặt phẳng vuông góc với trục Ox và cắt vật thể theo dạng hình tròn Diện tích của mỗi thiết diện tại điểm x thuộc khoảng [a, b] là π[f(x)]², với bán kính là f(x) Do đó, thể tích của vật thể tròn xoay tính bằng tích phân của diện tích thiết diện theo trục Ox, là: V = π ∫ₐᵇ [f(x)]² dx.

Thể tích V của vật thể do miền S giới hạn bởi x g y x( ); 0;y c;y d

(c d), khi quay quanh Oy là

 Phương pháp vỏ hình trụ

Xét vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay miền giới hạn bởi các đường y = f(x), x = a, x = b (với a < b) quanh trục Oy Để tính thể tích của vật thể khi quay quanh Oy, cần giải phương trình y = f(x) để tìm nghiệm dạng x = g(y), nhưng việc này có thể không khả thi trong thực tế Trong trường hợp này, phương pháp thay thế được sử dụng để tính thể tích, đảm bảo tính chính xác và hiệu quả trong quá trình tính toán.

Yếu tố diện tích của tập D tại điểm x được hiểu là một dải hẹp, thẳng đứng có chiều rộng là dx và chiều cao dựa trên hàm số f(x) Diện tích của dải này được tính bằng công thức dS = f(x) dx, giúp xác định chính xác diện tích của vùng D khi tích hợp trên toàn bộ phần miền.Integer nec odio.

Khi R quay quanh Oy, dải này tạo thành một miền có hình dạng như lớp vỏ của hình trụ tròn xoay với bán kính x, chiều cao f(x) và bề dày dx Thể tích của vỏ trụ này được gọi là yếu tố thể tích của vật thể tròn xoay, ký hiệu là dV Mỗi lớp vỏ như vậy có thể xem như một tấm hình chủ nhật được cuộn lại, có các kích thước 2πx, f(x) và dx Do đó, thể tích dV của lớp vỏ bằng công thức dV = 2πx f(x) dx, giúp tính toán chính xác thể tích của vật thể tròn xoay.

- Thể tích vật thể tròn xoay đã cho là tổng (tích phân) của các thể tích của các lớp vỏ nhƣ vậy với bán kính từ a đến b Ta có

BẢNG TÓM TẮT TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY

Dạng Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay miền giới hạn bởi Phương pháp cắt lớp Phương pháp vỏ hình trụ

Ví dụ 19: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi

( ) :C y 2x x 2, y 0 khi nó i) Quay quanh Ox ii) Quay quanh Oy

Lập phương trình xác định hoành độ giao điểm: 2 0

Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi ( ) :C y  sin ,x y  0, 0 x , khi nó: i) Quay quanh Ox ii) Quay quanh Oy

? e) Diện tích của mặt tròn xoay

Quay cung đường tròn y  f x( )  a   x b  quanh Ox ta được mặt tròn xoay Diện tích mặt trong xoay cho bởi công thức

Bạn đang tìm kiếm một dụng cụ đo lường đa chức năng có khả năng đo các yếu tố hình học như chiều dài, diện tích và thể tích, đồng thời còn đo các đại lượng khác như công suất, áp lực và mật độ Ngoài ra, thiết bị còn ứng dụng trong xác suất thống kê để đo các đại lượng ngẫu nhiên liên tục như giá trị trung bình, kỳ vọng và phương sai, giúp phân tích dữ liệu chính xác và toàn diện.

Trong nghiên cứu, có những vấn đề có thể khảo sát tương đối bằng các phương pháp mẫu, nhưng cũng có những lĩnh vực cần khảo sát chính xác như các định luật vật lý, hóa học, sinh học, đòi hỏi phải sử dụng các công cụ toán học như đạo hàm và tích phân để đảm bảo độ chính xác cao.

Tích phân suy rộng

3.3.1 Tích phân suy rộng loại 1 (tích phân với cận vô tận) Định nghĩa: Cho hàm số y  f x( ) xác định trên  a; và khả tích trên   a b; bất kỳ Ta gọi giới hạn lim ( ) b b a f x dx

  , nếu tồn tại là tích phân suy rộng loại 1 của hàm f(x) trên  a; Kí kiệu: ( ) a f x dx

Nếu giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói ( ) a f x dx

  là hội tụ Ngƣợc lại, ta nói tích phân là phân kỳ. Định nghĩa tương tự cho tích phân

(c là số tùy ý và tích phân ở VT hội tụ  cả 2 tích phân ở VP hội tụ)

1 1 1 1 4 1 4 lim ln 9 lim ln 9 ln ln

Cân bằng hệ số đồng bậc, ta có:

2 1 3 1 3 lim ln 1 ln( 4) arctan ln 8

3.3.2 Tích phân suy rộng loại 2(hàm số dưới dấu tích phân không bị chặn) Định nghĩa

Cho hàm số y  f x( ) xác đinh trên  a b ; , khả tích trên  a b;  với

0    b a và f(x) không bị chặn trên toàn   a b ; ( b đƣợc gọi là điểm bất thường) Ta gọi 

 0  lim ( ) b a f x dx là tích phân suy rộng loại 2 của hàm f x( ) trên

Nếu giới hạn trên là hữu hạn thì ta nói ( ) b a f x dx

 là hội tụ Ngƣợc lại, ta nói tích phân là phân kỳ và hàm số không khả tích trên  a b;  Định nghĩa tương tự cho tích phân

   (với c    a b ; là điểm bất thường)

1 lim lim arcsin lim - arcsin(-1 )

(điểm -1 là điểm bất thường)  Tính:

3.3.3 Một vài tiêu chuẩn của hội tụ và phân kỳ trong tích phân suy rộng a) Xét ( ) a f x dx

Ví dụ 22: Với   0, xét sự hội tụ của tích phân: 

* Với  1, ta có: ln a a dx x x

  Hội tụ nếu  1 và phân kỳ nếu  1  Định lý 1: Giả sử 0 f x( ) khi a x, f khả tích trên   a b; với mọi b a và ta có:

Khi đó, ta có kết quả sau

  cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Ví dụ 23: Xét sự hội tụ hay phân kỳ của các tích phân sau

  cũng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

  cũng phân kỳ  Định lý 2: Giả sử 0 f x( )g x( ) khi a   x và f g, khả tích trên   a b; với mọi b a Khi đó:

  hội tụ và   ( )    ( ) a a f x dx g x dx

Ví dụ 24: Chứng minh rằng tích phân

Vậy tích phân đã cho cũng hội tụ  b) Đối với các tích phân suy rộng loại 2 ta cũng có các định lý tương tự

 Hội tụ nếu  1và phân kỳ nếu  1

Ví dụ 25 : Xét sự hội tụ hay phân kỳ của (a) 

Do đó, tích phân đã cho cũng phân kỳ.

1 1 os 1 os os 1 lim : lim 0

(xem tài liệu tham khảo 1, 3, 5, 7)

1 Tính các tích phân bất định sau a)

2 Dùng phương pháp từng phân tính các tích phân bất định sau a) ln(sin ) 2 sin x dx

 x b)  x 2 arccos xdx c)  x e dx 5 x 2 d)  xln(1x dx 2 ) e)  x sin 2 xdx f)  e 2 x sin 2 xdx

3 Tính các tích phân các hàm lƣợng giác sau a) 2 sin cos 5 dx x  x 

 b)  sin 2 x c os 3 x dx c)  sin dx 4 x d) cos3 sin xdx

4 Tính các tích phân xác định sau a)

5 Tính các tích phân sau a) 2

6 Áp dụng qui tắc L‟Hopital tính các giới hạn sau a) 0

7 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a) y x 2 2 ;x y  6x x 2 b) y x 2 4 và x   y 4 0 c) y x 2 4;x   y 4 0

8 Tính độ dài cung của đường cong sau: a)

9 Tính thể tích của vật thể tròn xoay giới hạn bởi a)

  quay quanh Ox và Oy b) 2

 quay quanh Ox và Oy c)

 quay quanh Ox và Oy.

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN