Bài giảng toán giải tích

1 TÊN BÀI HỌC TUẦN 1 HÀM NHIỀU BIẾN 2 MỤC TIÊU BÀI HỌC Sau khi học xong bài học này sinh viên phải đạt được những nội dung kiến thức sau Hiểu được các khái niệm của hàm nhiều biến, giới hạn và tính liên tục Nắm được cách tính đạo hàm riêng và vi phân toàn phần của hàm hai biến Vận dụng để giải các bài tập cơ bản về đạo hàm riêng và vi phân toàn phần của hàm hai biến 3 HƯỚNG DẪN HỌC TẬP Để hoàn thành tốt bài học này sinh viên cần thực hiện những nhiệm vụ sau Đọc và nghiên cứu chi tiết bài học đượ.

1 TÊN BÀI HỌC TUẦN 1: HÀM NHIỀU BIẾN

2 MỤC TIÊU BÀI HỌC:

Sau khi học xong bài học này sinh viên phải đạt được những nội dung kiến thức sau:

- Hiểu được các khái niệm của hàm nhiều biến, giới hạn và tính liên tục

- Nắm được cách tính đạo hàm riêng và vi phân toàn phần của hàm hai biến

- Vận dụng để giải các bài tập cơ bản về đạo hàm riêng và vi phân toàn phần của hàm hai biến

3 HƯỚNG DẪN HỌC TẬP:

Để hoàn thành tốt bài học này sinh viên cần thực hiện những nhiệm vụ sau:

- Đọc và nghiên cứu chi tiết bài học được đề cập ở mục 4

- Hoàn thành các bài tập ở mục 6 và gửi kết quả vào địa chỉ email của thầy (cô) giảng

dạy: ltson@uneti.edu.vn

- Trong quá trình nghiên cứu bài học và làm bài tập, nếu có vấn đề gì cần phải trao đổi sinh viên có thể liên hệ với các thầy (cô) thông qua các diễn đàn để được giải đáp

4 NỘI DUNG CHI TIẾT BÀI HỌC:

CHƯƠNG 1 HÀM NHIỀU BIẾN 1.1 Khái niệm cơ bản

1.1.1 Tập hợp trong ℝ

Xét không gian Euclide chiều ℝ ( ≥ 1) Một phần tử ∈ ℝ là một bộ số

thực ( , , … , ) Giả sử ( , , … , ) và ( , , … , ) là hai điểm thuộc ℝ Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm này được kí hiệu và xác định bởi

( , ) = ( − ) + ( − ) + ⋯ + ( − )

• Ta gọi −lân cận của điểm ∈ ℝ là tập tất cả các điểm ∈ ℝ sao cho

( , ) < Khi đó lân cận của là mọi tập chứa −lân cận của nó

• Giả sử là một tập trong ℝ Khi đó, điểm ∈ được gọi là điểm trong của của

nếu tồn tại một −lân cận nào đó của nằm trọn trong Tập được gọi là tập mở

nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong

• Điểm được gọi là điểm biên của của nếu mọi −lân cận của đều chứa điểm thuộc và điểm không thuộc Như vậy, điểm biên của một tập hợp là điểm có thể thuộc tập hợp hoặc không thuộc tập hợp đó Tập tất cả các điểm biên của một tập hợp

được gọi là biên của nó Tập được gọi là tập đóng nếu chứa mọi điểm biên của nó

1.1.2 Hàm nhiều biến

Giả sử là một tập hợp trong ℝ , ta gọi ánh xạ

: ⟶ ℝ

= ( , , … , ) ∈ ⟼ = ( ) = ( , , … , ) ∈ ℝ

là hàm số biến số xác định trên miền ; được gọi là miền xác định của hàm số ; , , … , được gọi là các biến số độc lập

Trường hợp điển hình = 2 ta có hàm hai biến số kí hiệu = ( , ) Trong phạm vi chương này, ta chủ yếu đề cập đến hàm hai biến

• Tập D là miền xác định của hàm số = ( , ) Nếu ( , ) được cho bởi một biểu thức và không giải thích gì thêm, thì miền xác định được coi là tập tất cả các giá trị ( , ) ∈ ℝ sao cho ( , ) có nghĩa

• Miền giá trị của hàm số = ( , ) là tập tất cả các giá trị = ( , ) ∈ ℝ nhận được từ ( , ) ∈

• Đồ thị của hàm số = ( , ) là tập hợp tất cả các điểm ( , , ) ∈ ℝ thỏa mãn phương trình = ( , ) Nếu đồ thị của hàm một biến số = ( ) là một đường cong trong mặt phẳng ℝ thì đồ thị của hàm hai biến số = ( , ) là một mặt cong trong không gian ℝ

Sau đây là một số ví dụ đơn giản minh họa về hàm hai biến

Ví dụ 1.1 Xét hàm số hai biến số

= 1 − − Miền xác định của hàm số là

= {( , ) ∈ ℝ : + ≤ 1}

Miền giá trị của hàm số là = [0,1]

Đồ thị của hàm số là nửa mặt cầu đơn vị nằm về phía

trên mặt phẳng (Hình 1.1).

Ví dụ 1.2 Xét hàm hai biến số

Miền xác định = ℝ

Miền giá trị = ℝ

Đồ thị là một mặt nón (Hình 1.2)

Hình 1.1

Hình 1.2

1.1.3 Giới hạn của hàm hai biến

• Ta nói rằng dãy điểm { ( , )} hội tụ đến điểm cố định ( , ) trong ℝ và viết

→ khi → ∞ nếu lim → ( , ) = 0 hay nếu lim → = và

• Giả sử hàm số = ( ) = ( , ) xác định trong một lân cận nào đó của điểm ( , ), có thể trừ điểm Ta nói rằng hàm số ( , ) có giới hạn khi ( , ) dần đến ( , ) nếu với mọi dãy điểm ( , ) (khác ) thuộc lân cận V dần đến

ta đều có

lim

→ ( , ) = Khi đó ta viết

lim

• Khái niệm giới hạn vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến

số Chẳng hạn,

1 + → +∞ khi ( , ) → (0,0)

• Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm số một biến số cũng đúng cho hàm số nhiều biến số và được chứng minh tương tự

Ví dụ 1.3 Tìm lim( , )→( , )f(x, y) biết rằng

+ + 3

Lời giải: Ta có

lim

( , )→( , )

+ 1

1

3

1.1.4 Tính liên tục của hàm hai biến

Giả sử hàm số ( ) xác định trong miền ⊂ ℝ , là một điểm thuộc Ta nói rằng, hàm số ( ) liên tục tại khi và chỉ khi lim → ( ) = ( )

Nếu hàm = ( ) liên tục tại mọi điểm thuộc một miền thì ta nói rằng nó liên tục trong miền đó Một hàm số không liên tục được gọi là hàm gián đoạn

Tính liên tục của hàm hai biến cũng tương tự như hàm một biến Chẳng hạn, nếu hàm số hai biến liên tục trong miền đóng và bị chặn thì trong miền đó hàm đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Ví dụ 1.4 Xét tính liên tục tại (0,0) của hàm số sau

( , ) =

sin 3 , ( , ) ≠ (0,0),

3, ( , ) = (0,0)

Lời giải: Ta có

lim

( , )→( , )

sin 3

3 = 3 = (0,0), Vậy hàm số ( , ) liên tục tại ( , ) = (0,0)

1.2 Đạo hàm riêng và vi phân

1.2.1 Đạo hàm riêng

1) Số gia riêng

Cho hàm số hai biến = ( , ) và điểm ( , ) thuộc miền xác định Nếu cố định = và cho thay đổi một lượng ∆ thì giá trị của hàm số thay đổi một lượng tương ứng là

∆ = ( + ∆ , ) − ( , )

Ta gọi ∆ là số gia riêng của hàm số = ( , ) theo biến

Tương tự, nếu cố định = và cho biến thay đổi một lượng ∆ thì ta có tương ứng

số gia riêng theo biến :

∆ = ( , + ∆ ) − ( , )

2) Đạo hàm riêng

Cho hàm số = ( , ) xác định trong miền và ( , ) thuộc

Khi đó, đạo hàm riêng cấp một của hàm ( , ) theo biến tại điểm ( , ) (nếu có) được kí hiệu và xác định:

( , ) = lim

∆ → ( + ∆ , ) − ( , )

Tương tự, đạo hàm riêng cấp một của hàm ( , ) theo biến tại điểm ( , ) (nếu có) được kí hiệu và xác định:

( , ) = lim

∆ →

( , + ∆ ) − ( , )

Như vậy, để tính đạo hàm riêng của một hàm hai biến theo biến số nào thì ta coi biến còn lại là hằng số Khi đó việc tính đạo hàm riêng của hàm hai biến thực chất cũng giống như đạo hàm của hàm một biến và có thể áp dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm một biến

Lời giải: Ta có

= 3 + 10 , = 5 − 2

Lời giải: Ta có

= ln sin

( , ) Nếu lấy đạo hàm riêng cấp một của các hàm ( , ), ( , ) ta nhận được các

hàm gọi là đạo hàm riêng cấp hai, cụ thể ta có

Đạo hàm riêng cấp hai theo được ký hiệu và xác định ( , ) = [ ( , )] ;

Đạo hàm riêng cấp hai theo , được ký hiệu và xác định ( , ) = [ ( , )] ; Đạo hàm riêng cấp hai theo được ký hiệu và xác định ( , ) = ( , )

Tương tự như vậy, ta có các đạo hàm riêng cấp ba, cấp bốn,…

Trước hết ta tính các đạo hàm riêng cấp một

= 4 + 10 , = 5 − 6 Tính các đạo hàm riêng cấp hai

= (5 − 6 ) = 10 , = (5 − 6 ) = −6

Ví dụ 1.7 ở trên cho ta thấy rằng = Liệu điều này có luôn luôn đúng hay không?

Để trả lời câu hỏi này, ta có định lý sau đây

hàm số = ( , ) có các đạo hàm riêng , và các đạo hàm ấy liên tục tại thì

= tại

1.2.2 Vi phân toàn phần

1) Định nghĩa vi phân toàn phần

Cho hàm số hai biến = ( , ) và điểm ( , ) thuộc miền xác định Số gia toàn phần biểu thị lượng thay đổi giá trị của hàm số khi cả hai biến , cùng thay đổi, được ký hiệu và xác định như sau:

∆ = ( + ∆ , + ∆ )– ( , )

Nếu có thể biểu diễn nó dưới dạng

∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ , trong đó A, B là những số chỉ phụ thuộc , , còn , dần tới 0 khi ( , ) tiến tới ( , ) (tức là khi (∆ , ∆ ) → (0,0) thì ta nói rằng hàm số khả vi tại điểm , còn biểu thức ∆ + ∆ được gọi là vi phân toàn phần của = ( , ) tại điểm và được kí hiệu là hay

đạo hàm riêng ấy liên tục tại thì ( , ) khả vi tại , và ta có

Do , là các biến độc lập nên = ∆ , = ∆ , khi đó

Hàm số = ( , ) được gọi là khả vi trong miền nếu nó khả vi tại mọi điểm của miền đó

Lời giải: Ta tính các đạo hàm riêng cấp một

= 10 , = 5 + 3 Suy ra

Ví dụ 1.9 Xét hàm số = ln +

Lời giải: Để tiện lợi cho việc lấy đạo hàm riêng, ta viết lại

= ln( + ) =1

2ln( + )

Khi đó, ta có

=1 2

1 2

Suy ra

=

2) Áp dụng vi phân tính gần đúng

Từ định nghĩa ta thấy rằng vi phân toàn phần chỉ khác số gia toàn phần ∆ một

vô cùng bé bậc cao hơn ∆ + ∆ Do đó khi ∆ , ∆ có trị tuyệt đối khá bé, ta có thể xem ∆ ≈ , tức là:

( + Δ , + Δ ) ≈ ( , ) + ( , ) ∆ + ( , ) ∆ Đây là công thức tính gần đúng hàm = ( , ) tại điểm ( + Δ , + Δ ) theo vi phân toàn phần

Ta cần tính ( + ∆ , + ∆ ), với = 1, = 1, ∆ = 0,04, ∆ = 0,02

Ta có: = , = ln

Theo công thức tính gần đúng, ta có:

(1,04) , = (1,04; 1,02) = (1 + 0,04; 1 + 0,02) ≈ (1,1) + (1,1).0,04 + (1,1) 0,02 = 1 + 1 1 0,04 + 1 ln 1 0,02 = 1,04

5 TỔNG KẾT BÀI HỌC:

Sau đây là một số nội dung chính của bài học tuần 1:

- Các khái niệm về hàm nhiều biến

- Giới hạn và tính liên tục của hàm hai biến

- Cách tính đạo hàm riêng của hàm nhiều biến

- Cách tính vi phân toàn phần của hàm nhiều biến

Để củng cố các kiến thức của bài học này sinh viên cần làm tối thiểu các bài tập sau đây:

6 BÀI TẬP:

1.1 Tính các đạo hàm riêng của các hàm số

1) =

+ ; 2) = ln( − ) ; 3) = ln( + + ) ; 4) = sin 3 1.2 Tính đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm ẩn sau

1) = + + 2 ; 3) = − ; 2) = + + cos( + 2 ) ; 4) z = cos( + 2 ) + ln − 3 1.3 Tính vi phân toàn phần dz của các hàm số sau

1) = (sin + ln ) ; 3) = + sin ; 2) = + ; 4) = + ln + 1.4 Chứng minh rằng hàm số = ln( − ) thỏa mãn phương trình

+1 =

7 CHUẨN BỊ CHO BÀI HỌC TUẦN 2

- Sinh viên đọc trước nội dung bài học Tuần 2 tương ứng với các mục 1.2.3; 1.2.4; 1.3.1; 1.3.2 trong tài liệu học tập “Toán giải tích” Trường ĐH Kinh tế -Kỹ thuật Công nghiệp

- Tham gia buổi học online của bài học Tuần 2 nghiêm túc, đúng giờ

Chú ý: Bài giảng này đang trong quá trình xây dựng và hoàn thiện!