Ứng dụng của tích phân xác định

Chương 3. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

3.2. Tích phân xác định

3.2.5. Ứng dụng của tích phân xác định

* Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường thẳng x a, x b, y  0 và cung của đồ thị hàm số liên tục y  f x( ) trên  a b; đƣợc tính theo công thức

(3.2.14)

 Nếu f x( )0 thì ( )

b

a

S  f x dx.

 Nếu f x( )0 thì ( )

b

a

S  f x dx.

 Lưu ý: Cho f x( ) 0 (1) để tìm nghiệm của nó (i) Nếu (1) không có nghiệm trên  a b; thì

 b ( )  b ( )

a a

S f x dx f x dx (3.2.15)

(ii) Nếu (1) có đúng 1 nghiệm c a b; thì

 b ( )  c ( )  b ( )

a a c

S f x dx f x dx f x dx (3.2.16)

(iii) Nếu (1) có đúng 2 nghiệm c c1 2,  a b; và c1c2 thì

   1  2  

1 2

( ) ( ) ( ) ( )

c c

b b

a a c c

S f x dx f x dx f x dx f x dx (3.2.17)

 Chú ý: Nếu phương trình đường cong cho dưới dạng x g y( ), g y( ) liên tục trong  c d; thì diện tích S đƣợc tính theo công thức

(3.2.18)

* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng x a, x b và cung của hai đồ thị hàm số liên tục

1( ); 2( )

y  f x y  f x trên  a b; đƣợc tính theo công thức

(3.2.19)

1( ) 2( )

b

a

S   f x f x dx

( ) y  f x

a b

O x

y

S

 b ( )

a

S f x dx

( )

d

c

S   g y dy

2( ) y  f x

a b

O x

y

S

1( ) y  f x

 Lưu ý: Để tính tích phân trên ta cũng cho f x1( )f x2( ) 0 để tìm nghiệm thuộc

 a b; , rồi chia tích phân cần tính thành 1 hoặc nhiều tích phân trên các đoạn con của đoạn  a b; .

* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung có phương trình x x t( ), y y t( ), ( )1

a x t , b y t( ),2 y  0 thì diện tích là

(3.2.20) Ví dụ 17: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ) :C1 y2 2px và

2

(C2) :x 2py p 0. Giải

* Tìm giao điểm của (C1) và (C2) :

2 2 2 2

2 (1)

2

2 (2)

2

y px

y px

x py y x p

 

  

 

 

 

 

 

Từ (1) và (2): 42 4 3 0

2 8 0

4 2 x x

px x p x

x p

p

 

       

* Diện tích cần tìm là :

2 2

2 0

2 4

2 3

p x

S px dx p

p

 

    

 



Ví dụ 18: Tính diện tích của ( ) : x22 y22 1 E a b  . Giải

Phươngtrình tham số của (E) là cos

(0 t 2 ) sin

x a t

y b t 

  

  .

Do tính đối xứng của hình, ta có

/2 /2

2

0 0

4 sin .( sin ) 4 sin

S b t a t dt ab tdt ab

 



      

a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y2 2x 1 và x   y 1 0. b) Tính diện tích của hình tròn ( ) :C x2 y2  R2.

?

y

- a

b

O a x

-b

2

1

( ). '( )

t

t

S   y t x t dt

2p 2

p

O x

y

2 2

y  px

2 2

x  py

b) Độ dài cung của đường cong phẳng

* Cung (L) có phương trình y  f x( ), a  x b

Độ dài cung của (L) là b 1  ( ) .2

a

l    y t dt (3.2.21)

* Cung (L) có phương trình tham số ( ) t 1 2

( ) x x t

t t y y t

   

  .

Độ dài cung của (L) là 2    

1

2 2

( ) ( ) .

t

t

l   x t  y t dt (3.2.22)

Ví dụ 18:Tính độ dài cung cycloid: ( sin ) 0 2 

(1 cos )

x a t t

y a  t t 

  

  

 .

Giải Ta có: x a(1c tos ); yasint Độ dài cung cần tìm là

2 2 2

2 2 2 2 2 2

0 0 0

(1 cos ) sin . 4 in . 2 sin

2 2

t t

L a t a t dt a s dt a dt

  

       

2

0

2 sin 8

2

a tdt a



   . 

a) Tính độ dài dây cung parabol 2 2

y  x từ gốc O(0, 0) đến điểm M 2;2 . b) Dùng tích phân xác định kiểm chứng chu vi đường tròn bán kính R là 2R. c) Thể tích của vật thể

Giả sử ta có một vật thể giới hạn hai mặt phẳng x a và x b. Mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x  a b, cắt vật thể theo một thiết diện có diện tích là

( )

S x và S x( ) là hàm liên tục tại x . Khi đó, thể tích vật thể đƣợc tính bởi công thức

(3.2.23)

d) Thể tích của vật thể tròn xoay

Vật thể tròn xoay là vật thể đƣợc tạo nên khi quay một miền phẳng quanh một trục nằm trong mặt phẳng chứa miền đó.

Để tính thể tích vật thể tròn xoay, ta xem xét hai phương pháp: cắt lớp và vỏ hình trụ. Việc chọn phương pháp nào thích hợp với một vật thể đã cho dựa và phương trình các đường giới hạn miền được quay và trục quay.

( )

b

a

V  S x dx

?

 Phương pháp cắt lớp

 Quanh Ox

Xét vật thể tròn xoay đƣợc tạo nên khi quay miền giới hạn bởi:

( ); 0;

y  f x y  x a x; b; (a b) khi quay quanh Ox. Khi đó mọi thiết diện nằm trong các mặt phẳng thẳng góc Ox và cắt vật thể tròn xoay theo dạng hình tròn. Thiết diện đi qua điểm x  a b, là hình tròn có bán kính f x( ). Do đó diện tích thiết diện là f x( )2. Vậy thể tích của vật thể tròn xoay là

 Quanh Oy

Thể tích V của vật thể do miền S giới hạn bởi x g y x( ); 0;y c;y d (c d), khi quay quanh Oy là

 Phương pháp vỏ hình trụ

Xét vật thể tròn xoay đƣợc tạo nên khi quay miền giới D hạn bởi:

( ); 0;

y  f x y  x a x; b; (a b) khi quay quanh Oy.

Để tìm thể tích khi quay quanh Oy, ta phải giải phương trình y  f x( ) để tìm nghiệm dưới dạng x  g y( ). Điều này có thể không thực hiện được trong thực hành.

Khi đó ta làm nhƣ sau:

- Ta gọi một yếu tố diện tích của D tại điểm x là một dải hẹp, thẳng đứng có chiều rộng là dx và chiều cao là f x( ). Do đó diện tích của dải là dS  f x dx( ) .

Khi R quay quanh Oy thì dải này quét thành một miền có hình dạng nhƣ lớp vỏ của một hình trụ tròn xoay có bán kính x , chiều cao f x( ) và bề dày dx . Thể tích của vỏ đó gọi là yếu tố thể tích của vật thể tròn xoay, kí hiệu dV. Mỗi lớp vỏ nhƣ vậy ta coi nhƣ một tấm hình chủ nhật đƣợc cuộn lại có 3 chiều là 2x, f x( ) và dx. Vậy thể tích dV 2x f x dx. ( ).

- Thể tích vật thể tròn xoay đã cho là tổng (tích phân) của các thể tích của các lớp vỏ nhƣ vậy với bán kính từ a đến b. Ta có

.

 ( )

b Oy

a

V  g y dy

 ( )2

b Ox

a

V  f x dx

2 ( )

b Oy

a

V  x f x dx

BẢNG TÓM TẮT TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY

Dạng Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay

miền giới hạn bởi Phương pháp cắt lớp Phương pháp vỏ hình trụ

1

( ); 0;

y  f x y 

; ;

x a x b (a b) Ox b  ( )2

a

V  f x dx Oy 2 b ( )

a

V  x f x dx

2

 ( );  0;  ;

x g y x y c



y d (c d) 2 ( )

b Ox

a

V  y g y dy Oy b  ( )2

a

V  g y dy

3

1( )

y  f x ; y  f x2( ), x a, x b (giả sử

1( ) 2( );

f x  f x a b)

2 2

1 ( ) 2 ( )

b Ox

a

V  f x f x dx Oy 2 b  1( ) 2( )

a

V  x f x f x dx

4

1( )

x  y ;x 2( )y , y c, y d (giả sử

1( ) 2( );

f x  f x a b)

 1 2 

2 ( ) ( )

d Ox

c

V   y  y  y dy Oy d 12( ) 22( )

c

V   y  y dy

(3.2.24) Ví dụ 19: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi ( ) :C y 2x x2, y 0 khi nó

i) Quay quanh Ox. ii) Quay quanh Oy.

Giải

Lập phương trình xác định hoành độ giao điểm: 2 0

2 0

2 x x x

x

 

    

    2

2 2 5

2 2 2 3 4 3 4

0

0 0

4 16

) 2 4 4

3 5 15

Ox

a V  x x dx  x  x x dx   x x  x   

 

  .

    2

2 2 4

2 2 3 3

0 0 0

2 8

) 2 2 2 2 2

3 4 3

Oy

b V   x x x dx   x x dx   x x   

 

  .

Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi ( ) :C y  sin ,x y  0, 0 x , khi nó:

i) Quay quanh Ox ii) Quay quanh Oy.

?

e) Diện tích của mặt tròn xoay

Quay cung đường tròn y  f x( ) a  x b quanh Ox ta được mặt tròn xoay. Diện tích mặt trong xoay cho bởi công thức

(3.2.25)

* Ý nghĩa Tích phân

Là một dụng cụ không chỉ đo các yếu tố hình học như trên mà còn đo các đại lượng khác như: công, áp lực, mật độ,… và cả đại lượng ngẫu nhiên liên tục trong xác suất thống kê như: giá trị trung bình, kỳ vọng, phương sai,…

Ngoài ra có những vấn đề chỉ cần khảo sát tương đối bằng các khảo sát mẫu, nhưng cũng có những vấn đề cần khảo sát chính xác như các định luật vật lý, hóa học, sinh học thì phải sử dụng công cụ đạo hàm và tích phân.