Bài giảng Toán giải tích: Phần 1 - Trường CĐ Cộng đồng Đồng Tháp

Bài giảng Toán giải tích cung cấp cho người học kiến thức về giới hạn và tính liên tục của hàm một biến. Khái niệm về đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn và áp dụng vào khử dạng vô định khi tính giới hạn; các tính chất của hàm số liên tục. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung phần 1 giáo trình!

(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH CAO ĐẲNG KẾ TOÁN

QUẢN TRỊ KINH DOANH)

ThS Phạm Thị Kiều Anh

Đồng Tháp – 2017

(Lưu hành nội bộ)

(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH CAO ĐẲNG KẾ TOÁN

QUẢN TRỊ KINH DOANH) (SỐ TÍN CHỈ: 2 (LÝ THUYẾT: 30 TIẾT))

ThS Phạm Thị Kiều Anh

Đồng Tháp – 2017

LỜI NÓI ĐẦU

1 Đối tượng sử dụng

Dùng cho sinh viên ngành Kế toán, Quản trị kinh doanh và sinh viên thuộc các khối ngành khác có thể sử dụng bài giảng như tài liệu tham khảo

2 Cấu trúc bài giảng: Gồm 4 chương

Học phần Vi Tích Phân được chia làm 4 chương:

Chương 1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Chương 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

Chương 4 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

3 Mục tiêu môn học

Trang bị cho Sinh viên những kiến thức cơ bản về Toán học để làm nên tảng cho việc học các học phần cơ sở & chuyên ngành, đồng thời rèn luyện cho Sinh viên khả năng tư duy logic, phương pháp định lượng trong kinh tế và kỹ thuật Cụ thể

 Cung cấp cho người học kiến thức về giới hạn và tính liên tục của hàm một biến Khái niệm về đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn và áp dụng vào khử dạng vô định khi tính giới hạn; các tính chất của hàm số liên tục

 Trang bị các kiến thức về đạo hàm, vi phân hàm một biến Ứng dụng được qui tắc L‟Hospital khử các dạng vô định trong tính giới hạn và khảo sát một hàm số, tìm cực trị; giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số Từ đó, vận dụng để giải một số bài toán tối ưu

 Cung cấp các kiến thức cơ bản về tích phân hàm một biến và phương pháp tính các loại tích phân đó Vận dụng tích phân để tính độ dài cung, diện tích, thể tích của một vật thể

 Trang bị cho sinh viên các kiến thức cơ bản về phép tính vi phân của hàm nhiều biến, làm cơ sở cho việc nghiên cứu Toán học hiện đại ở bậc Đại học và các môn học khác có liên quan

Tuy nhiên, bài giảng không khai thác sâu các vấn đề lý thuyết mà chỉ ở mức

độ phục vụ cho nghiên cứu kỹ thuật Nhiều định lý được phát biểu không chứng minh mà chỉ hướng dẫn sử dụng thông qua hệ thống ví dụ và bài tập Việc giới thiệu nhiều ứng dụng thực tế giúp cho sinh viên làm quen với việc mô hình hóa các vấn

đề thực tế thành bài toán Toán học

4 Phương pháp giảng dạy

Giảng và thảo luận, phân tích và giải quyết vấn đề đặt ra

 Nghe giảng lý thuyết : 23 tiết

 Làm bài tập trên lớp : 7 tiết

 Tự học : 60 tiết

MỤC LỤC

Trang

Chương 1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 5

1.1 Hàm số 6

1.1.1 Hàm số và các phép toán trên hàm số 6

1.1.1.1 Định nghĩa 6

1.1.1.2 Các phép toán trên hàm số 6

1.1.2 Một số tính chất đặc biệt của hàm số 7

1.1.2.1 Hàm số đơn điệu 7

1.1.2.2 Hàm số chẵn lẻ 7

1.1.2.3 Hàm số tuần hoàn 8

1.1.3 Hàm số hợp và hàm số ngược 8

1.1.3.1 Hàm số hợp 8

1.1.3.2 Hàm số ngược 9

1.1.4 Các hàm số sơ cấp cơ bản 10

1.1.4.1 Hàm lũy thừa y x,   10

1.1.4.2 Hàm số mũ y a x, 0  a 1 11

1.1.4.3 Hàm số logarit y  log , 0a x  a 1 11

1.1.4.4 Các hàm số lượng giác 12

1.1.4.5 Các hàm lượng giác ngược 12

1.2 Giới hạn và tính liên tục của hàm số 13

1.2.1 Giới hạn của dãy số 13

1.2.1.1 Định nghĩa dãy số 13

1.2.1.2 Giới hạn dãy số 14

1.2.1.3 Các phép toán 15

1.2.1.4 Một số tính chất đặc biệt của dãy 16

1.2.2 Giới hạn hàm số 16

1.2.2.1 Định nghĩa (ngôn ngữ ,  ) 16

1.2.2.2 Giới hạn một phía 17

1.2.2.3 Các giới hạn vô tận và ở vô tận 18

1.2.2.4 Các tính chất của giới hạn hàm số 18

1.2.2.5 Các phép toán 19

1.2.2.6 Các dạng vô định 0; ; 0 ; 0            19

1.2.2.7 Một số công thức giới hạn quan trọng 22

1.2.2.8 Đại lượng vô cùng bé – đại lượng vô cùng lớn 23

1.2.3 Tính liên tục của hàm số 25

1.2.3.1 Định nghĩa 25

1.2.3.2 Điểm gián đoạn 25

1.2.3.3 Hàm số liên tục trên đoạn – khoảng 26

1.2.3.4 Các phép toán trên hàm số liên tục 27

1.2.3.5 Tính chất của hàm số liên tục 27

1.2.3.6 Ý nghĩa hình học của hàm số liên tục 27

BÀI TẬP CHƯƠNG 1 28

Chương 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 30

2.1 Đạo hàm của hàm số 31

2.1.1 Đạo hàm 31

2.1.1.1 Định nghĩa 31

2.1.1.2 Đạo hàm một phía 31

2.1.1.3 Mối liên hệ giữa đạo hàm và liên tục 32

2.1.1.4 Các qui tắc tính đạo hàm 32

2.1.1.5 Đạo hàm hàm số cho bởi phương trình tham số 33

2.1.2 Đạo hàm cấp cao 33

2.1.2.1 Định nghĩa 33

2.1.2.2 Các phép toán 34

2.1.2.3 Một số đạo hàm cấp cao thông dụng 34

2.1.2.4 Ý nghĩa của đạo hàm (cấp 1 và cấp 2) 34

2.2 Vi phân của hàm số 36

2.2.1 Vi phân 36

2.2.1.1 Định nghĩa 36

2.2.1.2 Các qui tắc tính vi phân 36

2.2.1.3 Công thức xấp xỉ (Áp dụng vi phân tính gần đúng) 36

2.2.2 Vi phân cấp cao 37

2.2.2.1 Định nghĩa 37

2.2.2.2 Liên hệ giữa vi phân cấp cao và đạo hàm cấp cao 37

2.3 Các định lý cơ bản của phép tính vi phân 38

2.3.1 Đinh lý Rolle 38

2.3.2 Định lý Lagrange 38

2.3.3 Định lý Cauchy 38

2.3.4 Các qui tắc L‟Hospital (Khử dạng vô định) 39

2.3.5 Ứng dụng của phép tính vi phân 41

2.3.5.1 Xác định khoảng đơn điệu 41

2.3.5.2 Cực trị địa phương của hàm số 41

2.3.5.3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 43

2.3.5.4 Bài toán tối ưu trong thực tế 44

BÀI TẬP CHƯƠNG 2 48

Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN 50

3.1 Tích phân không xác định 51

3.1.1 Nguyên hàm và tích phân không xác định 51

3.1.1.1 Định nghĩa 51

3.1.1.2 Định lý 51

3.1.1.3 Tính chất của tích phân không xác định 51

3.1.2 Các phương pháp tính 53

3.1.2.1 Phương pháp phân tích 53

3.1.2.2 Phương pháp đổi biến số 53

3.1.2.3 Phương pháp tích phân từng phần 54

3.1.3 Tích phân một số hàm thường gặp 56

3.1.3.1 Tích phân các hàm hữu tỉ 56

3.1.3.2 Tích phân các hàm vô tỉ 59

3.1.3.3 Tích phân hàm số lượng giác 60

3.2 Tích phân xác định 62

3.2.1 Định nghĩa 63

3.2.2 Tính chất 63

3.2.3 Các định lý cơ bản của phép tính tích phân 64

3.2.4 Các phương pháp tính tích phân xác định 64

3.2.5 Ứng dụng của tích phân xác định 67

3.3 Tích phân suy rộng 72

3.3.1 Tích phân suy rộng loại 1 (tích phân cận vô tận) 72

3.3.2 Tích phân suy rộng loại 2 (hàm số dưới dấu tích phân không bị chặn) 74 3.3.3 Một vài tiêu chuẩn của hội tụ và phân kỳ trong tích phân suy rộng 74

BÀI TẬP CHƯƠNG 3 78

Chương 4 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 80

4.1 Khái niệm về hàm nhiều biến 81

4.1.1 Khái niệm về không gian n 81

4.1.1.1 Định nghĩa 81

4.1.1.2 Các phép toán 81

4.1.2 Định nghĩa hàm hai biến 81

4.2 Giới hạn và tính liên tục của hàm nhiều biến 83

4.2.1 Định nghĩa giới hạn dãy 83

4.2.2 Định nghĩa giới hạn hàm 2 biến (giới hạn kép hoặc giới hạn bội) 83

4.2.3 Tính chất (Tương tự như hàm một biến) 84

4.2.4 Tính liên tục của hàm số 85

4.2.4.1 Định nghĩa 85

4.2.4.2 Điểm gián đoạn 86

4.3 Đạo hàm của hàm hai biến 86

4.3.1 Đạo hàm riêng 86

4.3.1.1 Đạo hàm riêng cấp 1 86

4.3.1.2 Cách tính 87

4.3.2 Đạo hàm riêng cấp cao 87

4.3.2.1 Định nghĩa 87

4.3.2.2 Định lý (SCHWARTZ) 89

4.3.3 Đạo hàm của hàm hợp 89

4.3.3.1 Định nghĩa 89

4.3.3.2 Định lý (Quy tắc xích) 89

4.3.4 Đạo hàm của hàm ẩn 90

4.3.4.1 Định nghĩa 90

4.3.4.2 Định lý về sự tồn tại hàm ẩn 90

4.3.4.3 Đạo hàm của hàm ẩn 91

4.4 Vi phân của hàm hai biến 93

4.4.1 Sự khả vi 93

4.4.1.1.Định nghĩa 93

4.4.1.2 Mối liên hệ giữa liên tục và khả vi 93

4.4.2 Vi phân toàn phần 94

4.4.2.1 Định nghĩa 94

4.4.2.2 Các qui tắc tính vi phân 94

4.4.2.3 Áp dụng vi phân tính gần đúng 94

4.4.3 Vi phân cấp cao 95

4.4.3.1 Định nghĩa 95

4.4.3.2 Liên hệ giữa vi phân cấp cao và đạo hàm cấp cao 95

4.4.4 Công thức Taylor 96

4.5 Cực trị của hàm hai biến 97

4.5.1 Cực trị địa phương 97

4.5.1.1 Định nghĩa 97

4.5.1.2 Điều kiện cần của cực trị 98

4.5.1.3 Điều kiện đủ của cực trị 99

4.3.5.4 Ứng dụng vào bài toán Kinh tế 2 biến 100

4.5.2 Cực trị có điều kiện 102

4.5.2.1 Định nghĩa 102

4.5.2.2 Cách tìm cực trị có điều kiện 102

a) Phương pháp thế 102

b) Phương pháp nhân tử Lagrange 103

4.5.3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 105

BAI TẬP CHƯƠNG 4 109

TÀI LIỆU THAM KHẢO 112

Chương 1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

 Mục đích yêu cầu

Chương này cung cấp cho người học kiến thức về giới hạn và tính liên tục của hàm một biến Các phép toán tính giới hạn Khái niệm về đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn và áp dụng vào tính giới hạn Các tính chất của hàm số liên tục

Sau khi học xong chương này, Sinh viên cần đạt được:

- Hệ thống hóa kiến thức về giới hạn của dãy số, hàm số, các phép toán

cơ bản khi việc thực hiện tính giới hạn Hiểu và vận dụng được các phương pháp giải được giới thiệu trong mỗi dạng toán, mỗi vấn đề, áp dụng các công thức giới hạn đặc biệt đã được giảng dạy

- Hiểu và vận dụng được phép tính trên các đại lượng vô cùng bé (VCB),

vô cùng lớn (VCL) Phép ngắt bỏ VCB cấp cao, VCL cấp thấp vào việc khử

dạng vô định khi tính giới hạn

- Hiểu được khái niệm liên tục – điều kiện liên tục, các tính chất hàm số liên tục trên đoạn  a b ,

 Biến x đƣợc gọi là biến độc lập

 y  f x( ) đƣợc gọi là biến phụ thuộc

 Tập D x  | ( )f x có nghĩa} đƣợc gọi là miền xác định của hàm số

 Tập Y  f X( )f x( ) |x X đƣợc gọi là miền giá trị của hàm số 

* Đồ thị hàm số y  f x( ) là tập hợp các điểm có tọa độ ( , ( ))x f x trong hệ tọa

độ Descartes Kí hiệu: G M x f x( , ( )) :x X

Ví dụ 1: Tìm miền xác định của các hàm số sau

a) y 2x 1 Miền xác định: D   b) 22

1

x y

 Chú ý: Hàm số y  f x( ) mô tả mối liên hệ giữa hai đại lƣợng x và y

Ví dụ 2 : * Xét một chuyển động đều có vận tốc 60 km/h Mối liên hệ giữa thời

gian chuyển động t(h) và quãng đường đi s(km) của chuyển động là hàm số

Hàm số ( )f x được gọi là đơn điệu tăng (hay giảm) trên miền D nào đó nếu

với cặp số x x bất kỳ thuộc miền D và từ 1, 2 x1 x suy ra 2 f x( )1  f x( )2 (hay

f x tăng nghiêm ngặt (hay giảm nghiêm ngặt) trên miền đó

Ví dụ 3: Hàm y  f x( ) x2 tăng nghiêm ngặt trong khoảng 0;

Thật vậy, giả sử x x1, 2 0; và x1 x2

Xét f x( )1 f x( )2 x12 x22 (x1x2)(x1x2) 0 vì x1 x2

Suy ra f x( )1  f x( )2

Vậy hàm số đã cho tăng nghiêm ngặt trên 0; Q 

 Chú ý: Đồ thị của hàm số đơn điệu tăng (giảm) đi lên (xuống) theo hướng từ trái

qua phải

Đồ thị hàm số tăng Đồ thị hàm số giảm

1.1.2.2 Hàm số chẵn lẻ

Cho hàm số ( )f x xác định trên tập đối xứng D ( x D thì x D)

Khi đó:  f được gọi là chẵn nếu với mọi x D, ta có:

 Chú ý: - Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng với nhau qua trục Oy

- Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng với nhau qua gốc O

Dạng đồ thị của hàm số chẵn Dạng đồ thị hàm số lẻ

1.1.2.3 Hàm số tuần hoàn

Hàm số ( )f x đƣợc gọi là tuần hoàn trên miền D nếu tồn tại hằng số T  0

sao cho với mọi xD, ta có: (f x T ) f x( ) Số T0  0 nhỏ nhất trong định

nghĩa (nếu có) đƣợc gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn f

Ví dụ 5

* Hàm số y  f x( ) sinx ; y  f x( ) cosx tuần hoàn với chu kì T0  2

* Hàm số y  f x( ) tanx ; y  f x( ) cotx tuần hoàn với chu kì T0 

* Hàm số y sin(ax b ); y  cos(ax b ) tuần hoàn với chu kỳ 0 2

T a

h x g f x

( )

y  f x

x y  f x( ) có miền xác định X và miền giá trị Y thỏa

với x1  x2 thì f x( )1  f x( )2 Khi đó, hàm số ngƣợc của f , kí hiệu f1 đƣợc xác định: f1 :Y X

y x  f1( )y (thỏa điều kiện y  f x( )) có miền xác định

* Luôn đi qua điểm (1;1)

*   0 hàm số đồng biến trên khoảng (0;)

*   0 hàm số nghịch biến trên khoảng (0;)

 Một số tính chất của lũy thừa

Miền xác định của hàm logarit là D (0,) và miền giá trị là T 

 Logarit thập phân : lgb  logb  log10b

 Logarit tự nhiên (logarit Nepe): lnb loge b(với

* Luôn đi qua điểm (1, 0) , nằm bên

phải trục Oy và tiệm cận với Oy

a

b c



x

y a a

lg

x x e



1.1.4.4 Các hàm số lượng giác

cosx và sin x được xem là tọa độ của điểm P trên đường tròn đơn vị (C), ở x

vị trí cách điểm A(1,0) một độ dài x , được đo dọc theo đường tròn (C) theo ngược

chiều kim đồng hồ nếu x  0 và cùng chiều nếu x  0 Khi đó, số đo của góc

AOP x (radians) Ta cũng định nghĩa sin

tan

cos

x x

giá trị là T  , hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T0 

* Hàm số y  cotx có miền xác định là D  \ k (k  )và miền giá trị

là T  và tuần hoàn với chu kỳ T0 

b Hàm số y  arccosx

Do y cosx là hàm giảm nghiêm ngặt trên 0; nên có hàm ngƣợc là

(1.1.6)

Ví dụ 11: arc cot 0  ; arc cot(-1) 3 ; arc cot 3 

* Qui ƣớc : arc cot  0; arc cot  

1.2 Giới hạn và tính liên tục của hàm số

1.2.1 Giới hạn của dãy số

1

n n

 Chú ý: Nếu dãy  x n có giới hạn thì ta nói dãy hội tụ, ngƣợc lại nếu  x n không

có giới hạn thì ta nói dãy phân kỳ

Ta chọn số tự nhiên N sao cho 0 N0 M2 Khi đó: M  0, N0 : n  N0  n M Vậy lim

3lim

Dãy tăng hoặc giảm được gọi là dãy đơn điệu

ii) Dãy  x n được gọi là bị chặn dưới (trên) nếu tồn tại A sao cho

1.2.1.4 Một số tính chất đặc biệt của dãy

i) Giới hạn của một dãy  x n (nếu có) là duy nhất

ii) Mỗi dãy hội tụ đều bị chặn

Ngoài ra ta còn chứng minh được các tiêu chuẩn hội tụ quan trọng của dãy như sau

Định lý 1 (Tiêu chuẩn kẹp giữa)

Cho  x n ,  y n và  z Nếu: lim n n lim n

Định lý 2 (điều kiện tồn tại giới hạn)

Nếu  x n tăng (giảm) và bị chặn trên (dưới) thì nó là dãy hội tụ (có giới hạn hữu hạn)

Định lý 3 (Tiêu chuẩn Cauchy)

Điều kiện cần và đủ để dãy  x n hội tụ là



* Định nghĩa tương đương (ngôn ngữ dãy số)

Hàm số ( )f x có giới hạn là L khi x x0 nếu

 Giới hạn ở vô tận: Giả sử f x( ) xác định trên tập không bị chặn X

Số L đƣợc gọi là giới hạn phải của ( ) f x khi x   nếu

ii) Giới hạn hàm số nếu có là duy nhất

iii) Cho ( ), ( )f x g x và ( ) h x xác định trong lân cận của x (không cần xác 0

Ví dụ 22: Tính

0

1lim sin

 Nếu ( )f x hay ( ) g x cĩ chứa căn cùng bậc thì ta nhân tử và mẫu của

phân thức với lƣợng liên hợp

 Nếu ( )f x hay ( ) g x cĩ chứa căn khơng đồng bậc

Giả sử: P(x) = m u x( )n v x với u x( ) m ( )0  n v x( )0 a

Ta phân tích P(x) = m u x( )a  a n v x( ).

5 6lim

+ Nếu ( ) f x và ( ) g x là đa thức thì chia tử và mẫu của phân thức

cho x với n là số mũ cao nhất của x trong ( ) n f x và ( ) g x

+ Nếu ( ) f x và ( ) g x có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho

luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp

+ Áp dụng công thức: lim 1 0; lim >0

x

x x





22lim

* Nếu bậc của P lớn hơn bậc của Q thì ( ) f x  

* Nếu bậc của P nhỏ hơn bậc của Q thì ( ) f x 0

* Nếu bậc của P bằng bậc của Q thì giới hạn của ( ) f x là một hằng số

11

+ Nếu có căn ta ta nhân với lượng liên hợp để khử dạng vô định

+ Sau đó chia tử và mẫu cho x (n là số mũ cao nhất của x) nếu cần n

1.2.2.7 Một số công thức giới hạn quan trọng (thường áp dụng để khử dạng 0

x

x x

0

1 coslim

x

x x





c) 20

5 4lim x x

cos 3lim

x

x x

x x u x

 Sử dụng định lý giới hạn của hàm hợp và tính liên tục của hàm số mũ và hàm số logarithm mà ta sẽ xét ở phần sau, có thể chứng minh đƣợc công thức:

e x

2 0

0 0

sin 1

1 lim .2 sin lim 2 lim(cos2 1).

1/

0

x x x

2

1lim

1

x

x

x x



1.2.2.8 Đại lƣợng vô cùng bé – đại lƣợng vô cùng lớn

 Hàm ( ) x đƣợc gọi là vô cùng bé (VCB) khi x x0 nếu

ii) Tích của một VCB với một đại lƣợng bị chặn là một VCB

* Vô cùng lớn: Trong quá trình xx0 hay x 

i) Tích của hai VCL là VCL

0 0

lim ( ) 1 ( ) ( )

lim ( ) ln ( ) ( )

x x u x e 

?