BÁO cáo bài tập lớn GIẢI TÍCH 1

Phương trình vi phân nói rằng hệ số góc của một đường cong nghiệm tại một điểm x0, y0 trên đường cong là Fx0, y0.. Nếu ta vẽ các đoạn thẳng ngắn với hệ số góc Fx0, y0 tại mọi điểm x 0 ,

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

—o0o—

NHÓM: GT1-L05-04

Lời cảm ơn / Lời ngỏ

Chúng em xin chân thành cảm ơn cô Trần Ngọc Diễm, giáo viên giảng dạy bộ môn Giải tích 1, đã dành nhiều thời gian và công sức giải đáp các thắc mắc của nhóm đối với chủ đề này Hơn hết, cảm ơn cô vì đã truyền đạt một cách đầy tâm huyết các kiến thức vô cùng bổ ích cho chúng em Chúc những điều tốt đẹp nhất sẽ đến với cô

Tóm tắt nội dung

Trong bản báo cáo này, ta sẽ đi sâu vào một trong những công cụ rất mạnh dùng để trực quan

hóa nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 Đó là phương pháp dựng Trường định hướng Đồng

thời, ta sẽ sử dụng nó để khảo sát 1 mô hình nổi tiếng trong toán học: Mô hình quần

thể thú săn - con mồi1

1 Mô hình của Lotka-Volterra

0.1 Danh sách thành viên và nội dung đề tài

STT12345Bảng 1: Danh sách thành viên nhóm 04

1. Tìm hiểu về Direction Fields2 (9.2) và mô hình quần thể đa loài

Predator-Prey System3 (9.6) trong James Stewart, Calculus – Early Transcendentals.

2 Tìm hiểu cách sử dụng công cụ Slope Field Plotter để vẽ Direction Field Vẽ minh họa Di-rection Field cho phương trình y′ = F(x, y) và tìm hàm nghiệm của bài toán: y′ =F(x, y)

0.2 Nhận xét của giáo viên hướng dẫn

Nhận xét:

Ngày tháng năm

Ký tên

Mục lục

0.1 Danh sách thành viên và nội dung đề tài 0.1.1

0.1.20.2 Nhận xét của giáo viên hướng dẫn

1 Lý thuyết và ứng dụng

1.1 Trường định hướng 1.1.1

1.1.21.1.31.2 Mô hình thú săn - con mồi 1.2.1

1.2.21.2.3

2 Công cụ Slope Field Plotter của GeoGebra

2.1 Danh sách hàm được sử dụng 2.2 Bài tập áp dụng

3 Tổng kết

Tài liệu tham khảo

Danh sách bảng

1 Danh sách thành viên nhóm 04

1.1 Bảng tính hệ số góc tại một số điểm trên mặt phẳng tọa độ

2.1 Source Code Bài 1

2.2 Source Code Bài 2

Danh sách hình vẽ

1.1 Trường định hướng của phương trình vi phân y′ = x + y

1.2 Trường định hướng của phương trình vi phân y′ = x 2 + y 2 −1

1.3 Đường cong nghiệm đi qua gốc tọa độ

1.4 Mạch điện

1.5 Trường định hướng

1.6 Các đường cong nghiệm đi qua các điểm (0, 0), (1, 0) và (2, 0) 1.7 Trường định hướng và một số đường cong nghiệm của phương trình (1.5) 1.8 Đường cong nghiệm đi qua P0(1000; 40)

1.9 Đồ thị của W và R theo thời gian

1.10 Biểu đồ so sánh số lượng thỏ và sói tại từng thời điểm

2.1 Trường định hướng và đường cong nghiệm

2.2 Trường định hướng và một vài nghiệm

Giả sử ta có một phương trình vi phân cấp 1 có dạng y′ = F(x, y) trong đó F(x, y) là biểu thức nào đó theo x và y Phương trình vi phân nói rằng hệ số góc của một đường cong nghiệm tại một điểm (x0, y0) trên đường cong là F(x0, y0) Nếu ta vẽ các đoạn thẳng ngắn với hệ số góc F(x0, y0) tại mọi điểm (x 0 , y 0) tương ứng, ta nhận được Trường định hướng (hoặc Trường hệ số góc).

Các đoạn thẳng này cho thấy hướng mà một đường cong nghiệm đang tiến về.

Mật độ điểm được vẽ càng dày đặc càng giúp ta xác định được chính xác hìnhdạng của đường cong nghiệm

(a) Độ dày đặc thấp (b) Độ dày đặc cao

Hình 1.1: Trường định hướng của phương trình vi phân y′ = x + y

1.1.3 Ví dụ và bài tập

Ví dụ 1: Cho phương trình vi phân y′ = x2 + y2 −1

(a) Vẽ trường định hướng

(b) Sử dụng câu (a) để vẽ đường cong nghiệm đi qua gốc tọa độ

Lời giải

(a)Ta bắt đầu bằng việc tính hệ số gốc tại một số điểm trong bảng sau:

y′ = x

Bảng 1.1: Bảng tính hệ số góc tại một số điểm trên mặt phẳng tọa độ

Bây giờ ta vẽ các đoạn thẳng ngắn với hệ số góc như trên tại những điểm tương

ứng Kết quả là chúng ta có được trường định hướng như trong Hình 1.2

Hình 1.2: Trường định hướng của phương trình vi phân y′ = x2 + y2 −1

(b) Từ gốc tọa độ, ta vẽ đoạn thẳng hướng nghiêng sang bên phải (hệ số góc là

-1) Ta tiếp tục vẽ các đường cong nghiệm sao cho nó song song với các đoạn gần

đó và tìm được đường như trong Hình 1.3 Quay trở lại gốc tọa độ, ta cũng vẽ

đường cong nghiệm nghiêng sang bên trái tương tự như trên

Hình 1.3: Đường cong nghiệm đi qua gốc tọa độ

Ví dụ 2: Bây giờ chúng ta sẽ xem trường định hướng giúp

chúng ta hiểu thêm gì về các hiện tượng vật lí Một mạch điện

đơn giản như trong Hình 1.4 có chứa một suất điện động (thường

là một ắc-qui hay một máy phát điện) làm sản sinh một điện thế

E(t)(V ) và cường độ điện trường I(t)(A) tại thời điểm t Mạch

điện này cũng chứa một điện trở R(Ω) và một cuộn cảm có tự

cảm L(H)

Theo Định luật Ohm, sự giảm áp do điện trở gây ra là RI

Điện áp giảm do cuộn cảm gây ra là LdIdt Một trong các định luật Hình 1.4: Mạch điện

Kirchhoff nói rằng tổng sụt áp bằng với điện áp cung cấp E(t)

Vậy ta có:

L

Dễ thấy (1.1) là phương trình vi phân cấp 1 mô phỏng cường độ dòng điện I tại thời điểm t.

Ta thử gán giá trị cụ thể cho các đại lượng vật lí để tiến hành tính toán: Giả sử trong một

mạch điện đơn giản như Hình 1.4, điện trở là 12Ω, độ tự cảm là 4H, và một ắc-qui cóđiện thế không đổi là 60V

(a) Vẽ trường định hướng cho Phương trình (1.1) dựa trên các giá trị này

(b) Nhận xét về giá trị tới hạn của cường độ dòng điện?

I′ = 15−3ITrường định hướng cho phương trình vi phân

được minh họa trong Hình 1.5

(b)Căn cứ vào trường định hướng này, chúng

ta thấy rằng dường như tất cả các nghiệm đều

tiến về giá trị 5A, có nghĩa là:

lim I(t) = 5

t→+∞

(c) Có vẻ như hàm hằng I(t) = 5 là nghiệm cân

bằng Thật vậy, chúng ta có thể kiểm chứng điều này

trực tiếp từ (1.2) Nếu I(t) = 5 thì dI

= 15 − 3I = dt

15−3.5 = 0

(d) Chúng ta sử dụng trường định hướng để vẽ

Hình 1.5: Trường định hướng

đường cong nghiệm đi qua điểm (0, 0), kết quả thu

được như Hình 1.7 (đường cong màu đỏ) dưới đây:

1 (Tên tiếng anh: Equilibrium Solution) là nghiệm của phương trình vi phân mà đạo hàm bằng không tại mọi điểm thuộc đường cong nghiệm đó Đồ thị của đường cong nghiệm cân bằng thường giống như một đường tiệm cận ngang.

Hình 1.6: Các đường cong nghiệm

đi qua các điểm (0, 0), (1, 0) và (2,

0)

ta đóng công tắc khi t = 1 hoặc t = 2.

Lưu ý ở Hình 1.5, các đoạn hệ số góc dọc theo đường nằm ngang bất kỳ (có cùng hoành độ) phải song song với nhau, bởi vì t không xuất hiện ở vế phải của phương trình vi phân Nhìn chung, một phương trình vi phân có dạng y′ = F(y) được gọi là

phương trình vi phân tự trị2 Với một phương trình

như vậy, hai hệ số góc tương ứng của hai điểm khác

nhau nhưng có cùng tung độ y phải bằng nhau Điều này có nghĩa là nếu ta biết một nghiệm của phương trình vi phân tự trị, thì ta có thể tìm được rất nhiều nghiệm khác chỉ bằng cách dịch chuyển đồ thị của nghiệm

đã biết sang bên phải hoặc bên trái Ở Hình 11, chúng ta biểu diễn các nghiệm tìm được khi dịch chuyển đường cong nghiệm màu đỏ sang phải một hoặc hai đơn vị thời gian (cụ thể là giây), tương ứng với việc

1.2 Mô hình thú săn - con mồi

Ở phần này, chúng ta sẽ xem xét một mô hình thực tế để giải thích sự tương tácgiữa hai giống loài cùng sống trong một môi trường Chúng ta sẽ thấy rằng các môhình này có dạng là một cặp các phương trình vi phân được liên kết với nhau.[1]

Đầu tiên chúng ta xem xét tình huống trong đó một loài được gọi là con mồi, có nguồn thức

ăn phong phú, và một loài thứ hai được gọi là thú săn, chủ yếu ăn thịt con mồi Một số ví dụ về con mồi và thú săn như: thỏ và sói, cá ngừ và cá mập, rệp và bọ rùa, vi khuẩn và trùng amip Mô hình của chúng ta sẽ có hai biến độc lập và cả hai đều là các hàm số theo thời gian Gọi R(t) là

số con mồi (sử dụng R cho thỏ) và W (t) là số thú săn (với W là sói) tại thời điểm t.

Khi không có thú săn, nguồn thức ăn phong phú sẽ giúp con mồi tăng trưởng rất nhanh, có nghĩa là:

2 Tên tiếng anh: Autonomous Differential Equation

trình vi phân kết hợp tất cả các giả thiết trên như sau:

trong đó k, r, a và b là các hằng số dương Chú ý rằng số hạng −aRW làm giảm tỷ lệ tăng trưởng

tự nhiên của con mồi và số hạng bRW làm tăng tỷ lệ tăng trưởng tự nhiên của thú săn.

Hệ phương trình (1.3) được gọi là hệ phương trình thú săn - con mồi, hoặc hệ

phương trình Lotka – Volterra Nghiệm của hệ phương trình này là cặp hàm số R(t) và W

(t) mô tả số lượng con mồi và thú săn dưới dạng các hàm số theo thời gian Bởi vì đây là hệ

phương trình được ghép thành cặp (R và W xuất hiện trong cả hai phương trình ), nên chúng ta không thể giải lần lượt từng phương trình này đến phương trình kia Ta phải giải chúng 1 cách đồng thời Không may là cho đến thời điểm hiện tại, ta không thể tìm được các công thức tường minh cho R và W dưới dạng các hàm số theo t, nhưng ta có thể sử dụng phương pháp Trường định hướng để phân tích các phương trình này.

Bây giờ ta sẽ gán giá trị cụ thể cho các hằng số k, r, a và b để phân tích thử mô hình trên Ví

dụ 1: Giả sử quần thể thỏ và sói được mô tả bằng phương trình Lotka-Volterra với

k = 0.08, a = 0.001, r = 0.02 và b = 0.00002 Thời gian t được tính theo tháng

(a) Tìm các nghiệm cân bằng và nêu ý nghĩa sinh học của chúng

(b)

Sử dụn

g

hệ phư ơng trìn

h vi phâ

n

để tìm một biểu thứ

c cho dW dR

(c) Vẽ trường định hướng cho phương trình vi phân vừa tìm được trong mặt phẳng

R-W Sau

đó sử dụng trường định hướng đó để vẽ một vài đường cong nghiệm

(d) Giả sử vào một thời điểm nào đó có 1000 con thỏ và 40 con sói Vẽ đường cong nghiệm tương ứng và sử dụng nó để mô tả sự thay đổi về số lượng trong cả hai quần thể.

(e) Sử dụng câu (d) để vẽ đồ thị biễu diễn R và W theo biến t

W =0.001Vậy quần thể cân bằng sẽ có 1000 con thỏ và 80 con sói Điều này có nghĩa rằng

1000 con thỏ chỉ đủ để duy trì một số lượng sói là 80 con không hơn không kém.(b) Ta sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp để khử t:

(c)

Ta có ph ươ ng trì nh vi ph ân W the o R:

d W dR

=

dW

= dt = −0.02W + 0.00002RW

dR0.08R −0.001RW dt

Ta tiến hành vẽ trường định hướng cho phương trình vi phân (Hình 1.7a) và dựa vào

đó vẽ các đường cong nghiệm của hệ (Hình 1.7b) Ta thấy được mối liên hệ giữa R và

W thay đổi thế nào qua thời gian và những đường cong nghiệm này là những đườngcong khép kín Điểm (1000; 80) luôn nằm bên trong tất cả các đường cong nghiệm và ta

gọi nó là điểm cân bằng3 vì nó tương ứng với số lượng quần thể ở trạng thái cân bằng

(a) Trường định hướng

Hình 1.7: Trường định hướng và một số đường cong nghiệm của phương trình (1.5)

(d) Với 1000 con thỏ và 40 con sói ta vẽ đường cong nghiệm đi qua điểm P0(1000; 40) Hình 1.8 biểu diễn quỹ đạo của mô hình sau khi đã xóa trường định hướng Thay R = 1000

và W = 40 vào phương trình đầu của (1.4), ta có: R′ = 1000(0.08 −0.001(40)) = 40 > 0

Ta thấy rằng đạo hàm của R theo t lớn hơn 0 nên R đang tăng tại điểm P0 Do đó ta bắt đầu tại P 0 và đi ngược chiều kim đồng hồ.

3 Tên tiếng anh: Equilibrium Point

6

Hình 1.8: Đường cong nghiệm đi qua

P0

kì

(e) Mặc dù không thể tìm được công thức tường minh của W (t) và R(t), ta vẫn có thể ước tính được đồ thị của hai hàm số này Từ diễn tả về sự tăng giảm số lượng của thỏ và sói ở câu

(d)ta có thể vẽ lại đồ thị của R và W theo t như Hình 1.9 Giả sử rằng những điểm

P1, P2 và P3 ở Hình 1.8 lần lượt xảy ra vào thời điểm t1, t2 và t3

Hình 1.9: Đồ thị của W và R theo thời gian

Để dễ dàng so sánh hai đồ thị với nhau, ta vẽ hai đồ thị trên cùng một hệ trục tọa

độ, kết quả thu được hoàn toàn phù hợp với sự diễn tả ở câu (d):

Hình 1.10: Biểu đồ so sánh số lượng thỏ và sói tại từng thời điểm

7

Tiếp theo, ta sẽ thử dựa vào phương trình toán học để xét ý nghĩa thực tế của nó,xem nó đang mô phỏng điều gì.

Ví dụ 2: Hệ phương trình vi phân dưới đây là một mô hình thú săn - con mồi với x và y

đại diện cho số lượng thỏ và sói Xác định vai trò của x và y Liệu số lượng thỏ chỉ bị giới hạn bởi mối nguy từ sói, hay chúng vẫn còn những mối nguy hiểm khác? Liệu nguồn thức ăn của sói chỉ là thỏ, hay vẫn còn những nguồn dinh dưỡng khác để thay thế?

chứa y thì x sẽ giảm với tốc độ tỷ lệ với chính nó Suy ra x là số lượng sói, y là số lượng thỏ.

Sự phát triển của quần thể thỏ chỉ bị giới hạn bởi các cuộc chạm trán với thú săn (tích

−0.005xy) Suy ra sói là mối de dọa duy nhất của quần thể thỏ Ngược lại, tốc độ phát triển của quần thể sói chỉ tăng bởi tích 0.0001xy, tức là chúng chỉ có thể ăn thỏ để sinh trưởng.

8

Chương 2

Công cụ Slope Field Plotter của GeoGebra

GeoGebra là một phần mềm miễn phí được sử dụng trong dạy học và nghiên

cứu toán học Nó cung cấp đầy đủ các chức năng liên quan đến dựng hình học cũngnhư hỗ trợ cơ bản các công cụ Đại số và Giải tích Trong hầu hết các hình ảnh đượcthêm vào bài báo cáo này, chúng em đã sử dụng GeoGebra để vẽ và tính toán

Chương này sẽ trình bày khái quát chức năng và cách sử dụng các hàm cần thiết để dựng

trường định hướng và giải phương trình vi phân Bài tập áp dụng được lấy từ phần Exercise [1].

1 SlopeField( <f(x,y)>, <Number n> ): Dựng trường định hướng của

phương trình vi phân y′ = f (x, y) với độ dày đặc là nxn điểm trên màn hình (Mặc định n=40)

2 SolveODE( <f(x, y)>, <Point on f> ): Tìm hàm số thỏa mãn phương trình viphân y′ = f (x, y) và đi qua điểm cho trước

2.2 Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho phương trình vi phân y′ = y(1 − 1

y2)4

(a) Vẽ trường định hướng và các đường cong nghiệm thỏa điều kiện ban đầu như sau:

(i) y(0) = 1 (ii) y(0) = −1 (iii) y(0) = −3 (iv) y(0) = 3

(b)Tìm tất cả nghiệm cân bằng của phương trình vi

phân Lời giải

(a) Sử dụng Geogebra, ta nhanh chóng dựng được trường định hướng và các đường cong

nghiệm như Hình 2.1 Source Code:

Bảng 2.1: Source Code Bài 1

Hình 2.1: Trường định hướng và đường cong nghiệm

(b) Ta giải phương trình y′ = 0 để tìm nghiệm cân bằng:

Phương trình vi phân này thuộc loại phương trình vi phân tự trị mà ta đã đề cập đến

Bài 2: Dựng trường định hướng cho phương trình vi phân y′ = x(y2 − 4) và vẽ vài đường

cong nghiệm thỏa mãn

Source Code:

slopefield1 = SlopeField(x(y2 −4), 25) f(x)

= SolveODE(x(y2 −4), (0,0)) 2

2

Bảng 2.2: Source Code Bài 2

Hình 2.2: Trường định hướng và một vài nghiệm

Chương 3

Tổng kết

Các khái niệm cũng như những ví dụ cơ bản liên quan đến Trường định hướng và Mô hình

thú săn - con mồi nhìn chung đã được mô tả đầy đủ trong bài báo cáo Tuy nhiên, do sự hạn chế

về thời gian cũng như kiến thức mà chúng em chưa thể phát triển nội dung này một cách nâng cao hơn Đây là một chủ đề rất đáng được đào sâu thêm Bên cạnh đó, các hàm lệnh của GeoGebra cũng có một số hạn chế như: Ít tùy biến, chạy rất chậm hoặc không chạy được đối với các phương trình vi phân khó Nếu có cơ hội trong tương lai, nhóm em sẽ tìm hiểu thêm các phần mềm chuyên dụng khác (như MATLAB) để cải thiện năng suất làm việc.

Xin gửi đến cô lời cảm ơn chân thành nhất vì đã dành thời gian đọc bản báo cáo này

Tài liệu tham khảo

[1] James Stewart, Daniel K Clegg, and Saleem Watson Calculus: Early

Transcendentals Thomson Learning, 2008.