BÁO CÁO BÀI TẬP LỚNGIẢI TÍCH 1 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG MÔ TẢ QUÁ TRÌNH HẤP THỤ, TỎA NHIỆT VÀ CHUYỂN ĐỘNG CỦA MỘT CHẤT ĐIỂM Giảng viên hướng dẫn: Nhóm sinh viên thực hiện:
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
Trang 2BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
GIẢI TÍCH 1 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG
MÔ TẢ QUÁ TRÌNH HẤP THỤ, TỎA NHIỆT
VÀ CHUYỂN ĐỘNG CỦA MỘT CHẤT ĐIỂM
Giảng viên hướng dẫn:
Nhóm sinh viên thực hiện:
Huỳnh Thái Duy Phương
Nhóm 14
Trang 3STT Họ tên sinh viên MSSV Nhóm
/Tổ
4 Nguyễn Thế Hoàng
211238 2 211492
14
Trang 40
TP.HCM, 12/2021
Trang 5LỜI NÓI ĐẦU
Giải tích 1 là một môn khoa học quan trọng đối với sinh viên các nghành khoa học
tự nhiên và kỹ thuật Là môn học có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn, giải tích 1 giới thiệu về những kiến thức nền tảng quan trọng và những ứng dụng của chúng được sử dụng rất nhiều trong việc học tập các môn khoa học Một trong những ứng dụng phổ biến nhất của giải tích một phải nói đến là ứng dụng của phương trình vi phân Phương trình vi phân đóng vai trò quan trọng trong việc ứng dụng toán học vào những lĩnh vực khoa học khác vì có rất nhiều quá trình thực tế có thể mô tả bằng phương trình vi phân một cách dễ dàng và đầy đủ Tuy nhiên, để hiểu được ứng dụng của phương trình vi phân, chúng ta cần phải nắm vững những kiến thức về khoa học tự nhiên ( vật lí, hóa học, sinh học, ) và
kỹ thuật Và bài báo cáo được trình bày sau đây sẽ tìm hiểu và thực hành ứng dụng của phương trình vi phân trong khía cạnh vật lý mà cụ thể là mô tả quá trình hấp thụ, tỏa nhiệt
và chuyển động của một chất diểm bằng cách viết phương trình vi phân
Trang 6MỤC LỤC
Lời nói đầu i
Mục lục ii
Phần I Mô tả quá trình hấp thụ, tỏa nhiệt bằng phương trình vi phân 1
1.1.Sơ lược về quá trình thu nhiệt và tỏa nhiệt 1
1.2 Một số bài toán ví dụ 2 Phần II Mô tả chuyển động của một chất điểm bằng phương trình vi phân 4
2.1 Cơ sở lý thuyết 4
2.2 Một số bài toán ví dụ 6
Tài liệu tham khảo 7
Trang 7Phần 1: Mô tả quá trình hấp thụ, tỏa nhiệt bằng phương trình vi phân.
1.1 Sơ lược về quá trình thu nhiệt và tỏa nhiệt:
- Trong nhiệt động lực học, thuật ngữ quá trình tỏa nhiệt mô tả một quá trình hoặc phản ứng giải phóng năng lượng từ hệ thống ra môi trường xung quanh, thường ở dạng nhiệt, nhưng cũng ở dạng ánh sáng (ví dụ như tia lửa, ngọn lửa hoặc đèn flash), điện (ví dụ như pin), hoặc âm thanh (ví dụ như tiếng nổ khi đốt hydro)
- Đối lập với một quá trình tỏa nhiệt là quá trình thu nhiệt, một quá trình hấp thụ năng lượng dưới dạng nhiệt
- Từ phát biểu của Rudolf Clausius về nguyên lý thứ hai của nhiệt động lực học: “Nhiệt không thể tự động truyền từ vật lạnh sang vật nóng hơn”, ta có thể rút ra kết luận rằng nhiệt chỉ được truyền từ nơi nóng hơn đến nơi lạnh hơn
- Theo định luật Newton, tốc độ làm lạnh vật thể tỷ lệ với hiệu số nhiệt độ của vật thể T
và nhiệt độ của môi trường xung quanh To (1)
- Tốc độ làm lạnh vật thể là sự giảm nhiệt độ T trong một đơn vị thời gian t và được biểu
dT
diễn bởi công thức đạo hàm d ' (2)
- Từ (1) và (2) ta có phương trình vi phân quá trình làm lạnh (làm nóng) một vật thể như sau:
dT
(3) d- = k(T-To), k là hệ số tỉ lệ
- Giải phương trình vi phân (3):
dT
T — T
0
=> ln|T-To|-kt+lnC
=> |T -T0|-Ce kt
Trang 8( trong đó, hằng số C và hệ số tỉ lệ k tìm được dựa vào các điều kiện đầu của bài toán )
1.2 Một số bài toán ví dụ mô tả quá trình hấp thụ và tỏa nhiệt bằng phương trình vi phân:
Ví dụ 1: Vận tốc nguội lạnh của một vật trong không khí tỉ lệ với hiệu số giữa nhiệt độ
của vật và nhiệt độ của không khí Đặt vật trong môi trường không khí có nhiệt độ ổn định là 20oC, biết sau 20 phút thì nhiệt độ của vật giảm từ 100oC xuống 60oC Hỏi sau bao lâu kể từ thời điểm nhiệt độ của vật 60oC, nhiệt độ của vật giảm còn 30oC
Giải
Ta có nhiệt độ môi trường là 20oC => T0 = 20, thế vào công thức tính tốc độ nguội lạnh
của vật ta được phương trình thể hiện nhiệt độ của vật sau t phút: T=20 + C e kt (*)
- Tại t = 0, nhiệt độ của vật là 100oC => T = 100, thế vào (*) ta được:
100= 20+Ce0 k => C = 80
- Tại t = 20, nhiệt độ của vật là 60oC => T = 60, thế vào (*) ta có:
—ln 2
60 = 20 + 80e 20k => k = -20- (**) -Vậy quy luật nguội lạnh của vật là
- Khi nhiệt độ của vật giảm còn
30oC => T = 30, thay vào (**) ta được t = 60 phút
- Vậy sau 60 -ó 20 = 40 phút kể từ thời điểm nhiệt độ của vật đạt 60oC, nhiệt độ của vật
là 30oC
Ví dụ 2: Một lon soda vừa được đưa ra từ tủ đông có nhiệt độ là 32oF, biết nhiệt độ môi trường là 68oF và nhiệt độ của lon soda tăng từ thêm 18oF trong vòng 10 phút Hỏi sau 30 phút thì nhiệt độ lon soda là bao nhiêu
Giải
Ta có nhiệt độ môi trường là 68oF => T0 = 68, thế vào công thức tính tốc độ nguội lạnh của vật ta được phương trình thể hiện nhiệt độ của vật sau t phút:
T= 20 +80 e — n‘
Trang 9\T - 68| = Ce kt
- Khai triển trị tuyệt đối kết hợp với điều kiện đề bài ta được:
T= 68 -Ce kt (i)
- Tại t = 0, nhiệt độ của vật là 32oF => T = 32, thế vào (i) ta được C = 36
- Tại t = 10, nhiệt độ của vật là 32 + 18 = 50oF => T = 50, thế vào (i) ta có:
50=68-36 e 10 k => k = -102
- Từ đó ta có phương trình thể hiện nhiệt độ của vật sau thời gian t phút là:
T = 68 - 36 e '0!2
1’ 1 • /V 4-/V -''■1' —ln 2 30
- Khi t = 30, nhiệt độ của vật là T=68-36 e 10 = 63 5 0 F■
Ví dụ 3: Một ứng dụng khác của dạng phương trình vi phân này trong cuộc sống, cụ thể
là trong nghiệp vụ điều tra phá án, đó là xác định thời gian tử vong của một xác chết Đặt vấn đề: Tại một thị trấn A, một người đàn ông tên X đã bị sát hại trong chính căn hộ của anh ta Thi thể của nạn nhân được phát hiện vào lúc 22h tối, thân nhiệt lúc này được đo là 27oC Vào 23h tối cùng ngày, thân nhiệt đo được của thi thể là 24oC Biết nhiệt
độ trong phòng luôn được duy trì ở mức 21oC, hãy xác định thời gian ông X bị sát hại
Giải Chọn mốc thời gian t = 0 lúc phát hiện ra thi thể nạn nhân, khi đó nhiệt độ đo được trên thi thể ông X là T = 27oC và nhiệt độ phòng là T0 = 21oC, ta có:
27 = 21+Ce 0 k => C = 6
- Sau đó 60 phút => t = 60, nhiệt độ đo được trên thi thể ông X là 24oC, ta có:
24 = 21 +6 e 60 k => k = -ị^2
60
- Từ đó ta có phương trình thể hiện nhiệt độ cơ thể ông X sau t phút kể từ lúc 22h là
Trang 10- Nhiệt độ cơ thê ông X khi còn sông là 37oC => 37 = 21+6 e
=> t « -85
- Vậy thời điêm tử vong của ông X là khoảng 85 phút trước khi được phát hiện, tức là vào
khoảng 20h35 tôi cùng ngày
Phần II: Mô tả chuyển động của một chất điểm
1.1 Cơ sở lý thuyết:
a) Chất điểm: Một vật chuyên động được coi là một chất điêm nếu kích thước của nó rất
nhỏ so với độ dài đường đi Chất điêm có khôi lượng là khôi lượng của vật
b) Chuyển động cơ: Chuyên động cơ của một vật (gọi tắt là chuyên động) là sự thay đổi
vị trí của vật đó so với các vật khác theo thời gian
c) Quỹ đạo: Quỹ đạo của chuyên động là tập hợp tất cả các vị trí của một chất điêm
chuyên động tạo ra một đường nhất định
d) Cách xác định thời gian trong chuyển động:
- MÔc thời gian (hoặc gôc thời gian) là thời điêm mà ta bắt đầu đo thời gian
- Nếu lấy môc thời gian là thời điêm vật bắt đầu chuyên động (thời điêm 0) thì sô chỉ của thời điêm sẽ trùng với sô đo khoảng thời gian đã trôi qua kê từ môc thời gian
+ Thời điêm là giá trị mà đồng hồ hiện đang chỉ đến theo một môc cho trước mà ta xét + Thời gian là khoảng thời gian trôi đi trong thực tế giữa hai thời điêm mà ta xét
- Đê đo thời gian người ta dùng một đồng hồ
* Yêu cầu đặt ra : Xét 1 vật chuyên động thẳng, khảo sát quá trình chuyên động của nó
bằng phương trình vi phân
e) Vector vị trí ( vector bán kính ):
r = x ỉ + y j +jk (x,y,z là tọa độ của chất điêm trong hệ tọa độ Descartes)
f) Vector vận tốc:
-Vector vận tốc trung bình:
—In 2 60
Trang 11_► Ạr
V tb = Ạt
Trong đó:
Ạr = r* , - fb với ? 2 , f i là vector vị trí của chất điểm tại thời điểm t2 và ti
Ạt = t2 - ti
- Vector vận tốc tức thời:
Ạ r
v = lim — =
Ạt -30 Ạt
Trong hệ tọa độ
Descartes:
_ d r dx Ị , dy * dz ĩ :
v=d = dt + dt j+d k=vJ + v yJ+v
Độ lớn của vector vận tốc:
r, — ,2,, ,2 ,, ,2 _ í dx \ , idy í dz \
|v| = Vv + V v +vz= Ạ (-;-) +(-7-) +(nr)
11 x y z 1 \ 7, Ị \ 7, Ị \ 7, Ị
dt dt dt
g) Vector gia tốc:
- Vector gia tốc trung bình:
tb Ạt
Trong đó:
Ạ v = V2 - V1 , với V2 , V1 là vector vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t2 và ti
Ạt = t2 - ti
- Vector gia tốc tức thời:
Ạ
v
a = lim —ý =
Ạt ^0 Ạt
Trong hệ tọa độ
Descartes:
dV _ d2r _ d2x Ị d2y d2z 7 _ - r
a = 7^ = = , 3 i +—J +—r~rk = a x i + ayj + a z k
Độ lớn vector gia tốc:
dr dt
dv dt
Trang 12, Ị ,2 2 ,2 , 2 ,2 2
I I _ 2 2 , _2 _ / d X\ / d y \ / d z \
|a| = V a x +a y +a2 = 1(44) + (44) +(44)
x y z
V dt dt dt
h) Chuyển động thẳng đều:
Quỹ đạo là đường thẳng và v = const
Gọi s là quãng đường đi
Ị ds = Ị vdt => s = s0 + vt
i) Chuyển động thẳng thay đổi đều:
Quỹ đạo là đường thẳng và a = const
hay v = at + v0 ( với v0 là vận tốc đầu lúc t = 0 ) (*)
ds
dt => ds = vdt
dv
a=d => v=
t
Ịadt
0