BÁO cáo bài tập lớn GIẢI TÍCH 1 đề tài 20 đạo hàm và tốc độ THAY đổi

Nếu mPQ tiến tới một giá trị m thì chúng ta định nghĩa rằng đường tiếp tuyến là 1 đường thẳng đi qua P với hệ số góc m ĐỊNH NGHĨA Đường tiếp tuyến của đồ thị y = fx tại điểm Pa, fa là đư

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM KHOA KHOA HỌC VÀ ỨNG

DỤNG

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1

ĐỀ TÀI 20:

ĐẠO HÀM VÀ TỐC ĐỘ THAY ĐỔI

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: ĐÀO HUY

CƯỜNG NHÓM 2 – L04

TPHCM, THÁNG 12/2022

MỤC LỤC

I LÝ THUYẾT

DERIVATIVES AND RATES OF CHANGE

1/ TANGENTS (TIẾP TUYẾN )

Nếu 1 đường cong C có phương trình y = f(x), chúng ta

muốn tiếp tuyến với đồ thị C tại điểm P (a, f(a)), thì chúng

ta xét một điểm lân cận Q (x, f(x)) ( điều kiện x ≠ a) thì hệ

số góc của cát tuyến PQ:

m PQ = x−a

Ta có thể cho điểm Q P dọc theo đồ thị C bằng cách cho

x a Nếu mPQ tiến tới một giá trị m thì chúng ta định

nghĩa rằng đường tiếp tuyến là 1 đường thẳng đi qua P

với hệ số góc m

ĐỊNH NGHĨA Đường tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) tại điểm P(a, f(a)) là đường

thẳng đi qua điểm P với hệ số góc:

f ( x )−f ( a) m=lim x−a (Phương trình 1)

x →a

Điều kiện: m tồn tại khi giới hạn trên tồn tại

Ví dụ 1: Tìm hệ số góc tiếp tuyến của đường parabol y = x2 tại điểm P(1, 1)

Nhận thấy rằng khi x a thì h 0 và định nghĩa về hệ số góc sẽ trở thành

(Phương trình 2) m=lim f (a+h )−f (a)

h

h →0

Ví dụ 2: Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị y= 3

x tại điểm (3, 1)

Giải:

Như vậy, hệ số góc −1ta được phương

m= 3trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm (3, 1)

Giả sử một vật chuyển động dọc theo một đường

thẳng theo phương trình chuyển động s=f (t ), độ dời

(khoảng cách có hướng) của vật so với gốc tại thời

điểm t Hàm số f mô tả chuyển động gọi là hàm số

vị trí của vật trong khoảng thời gian từ t=a đến t =a+

h, ta có độ biến thiên y¿ f ( a+h)−f (a)

Vận tốc trung bình trong khoảng thời gian này là:

Vị trí tại thời Vị trí tại thời điểm t =a điểm t =a+h

tb

Bây giờ , giả sử chúng ta tính vận tốc trung bình trong các khoảng thời gian ngắnhơn: [ ] có thể nói rằng là ta cho h tiến về 0. v (a ) tại thời điểm t =a là giới hạncủa vận tốc trung bình:

lim f ( a+h)−f (a)

v (a )= h→0

h

(Phương trình 3)

=> vận tốc tại thời điểm bằng hệ số góc của tiếp tuyến tại P

Ví dụ 3 : Thả rơi quả bóng từ đài quan sát phía trên của Tháp CN, cao 450 m so với mặt đất

(a) Vận tốc của quả bóng sau 5 giây là bao nhiêu?

(b) Quả bóng chuyển động nhanh như thế nào khi nó chạm đất?

Vì tòa tháp cao so với mặt đất 450m, nên ta có S(t 1)=450=4,9 t 12

t 1=√450

4,9 =9,6( s)

Vận tốc khi banh chạm đất:

v( t 1)=9,8 t 1=9,8.9,6=94 (m/ s )3/ DERIVATIVES (ĐẠO HÀM )

Chúng ta đã thấy rằng cùng một loại giới hạn phát sinh khi tìm hệ số góc của tiếp

tuyến (phương trình 2) hoặc vận tốc của một vật (phương trình 3) Trong thực tế, giới

hạn của hình thức

h

h→ 0

phát sinh bất cứ khi nào chúng ta tính toán tốc độ thay đổi trong bất kỳ ngành khoa

học hoặc kỹ thuật nào, chẳng hạn như tốc độ phản ứng trong hóa học hoặc chi phí

cận biên trong kinh tế học Vì loại giới hạn này xảy ra rất phổ biến nên nó được đặt

tên và ký hiệu đặc biệt

ĐỊNH NGHĨA Đạo hàm của hàm số f tại một số a, ký

hiệu là f'(a), là

f ' (a )=lim f ( a+h)−f ( a) (Phương trình 4)

h

h → 0

nếu giới hạn này tồn tại

Nếu chúng ta viết x = a+h, thì chúng ta có h = x - a và h tiến tới 0 khi và chỉ khi x

tiến tới a Do đó, một cách tương đương để phát biểu định nghĩa của đạo hàm, như

chúng ta đã thấy trong việc tìm các tiếp tuyến, là

f ' (a )=lim f ( x )−f (a) (Phương trình 5)

x−a

h→ 0

Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số y=f ( x )=x2−8 x+ 9 tại a

Ta định nghĩa tiếp tuyến với đường cong y=f ( x ) tại điểm P(a , f (a) ) là đường thẳng

đi qua P và có hệ số góc m cho bởi Phương trình 1 hoặc 2 Vì, theo Định nghĩa 4.điều này giống như đạo hàm f ' (a ), bây giờ chúng ta có thể nói như sau

Tiếp tuyến của y=f ( x )tại (a , f ( a) ) là đường thẳng đi qua (a , f ( a) ) có hệ số góc bằng f

' (a ) , đạo hàm của ƒ tại a

Nếu chúng ta sử dụng dạng điểm-hệ số góc của phương trình của một đường thẳng,chúng ta có thể viết phương trình của tiếp tuyến với đường cong y=f ( x ) tại điểm

(a , f ( a)):

y−f (a)=f ' (a) ( x−a)

Ví dụ 5: Tìm phương trình tiếp tuyến của

parabol y=x2−8 x +9 tại (3;-6)

Giải:Từ ví dụ 4 ta biết đạo hàm của f ( x )=x−8 x + 9tại số

a là f ' (a )=2 a−8 Do đó hệ số góc của tiếp tuyến tại (3,

-6) là f ' ( 3 ) =2 ( 3 ) −8=−2

y −(−6)=(−2)( x−3 ) y=2 x

IV/ RATES OF CHANGE ( TỐC ĐỘ BIẾN THIÊN)

Giả sử y là một đại lượng phụ thuộc vào một đại lượng khác Như vậy y là một hàm

số theo x và ta viết y = f(x) Nếu x thay đổi từ x1 đến x2, thì biến thiên của x (cũng

gọi là gia số của x) là

là tốc độ thay đổi trung bình của y đối với x trong

khoảng thời gian từ [ x1 , x2 ] và có thể được hiểu là hệ

số góc của đường cát tuyến PQ Giới hạn của nó khi

∆ x →0 là đạo hàm f ' ( x), do đó có thể được hiểu là

tốc độ thay đổi tức thời của y đối với x hoặc hệ số góc của đường tiếp tuyến tại

Ta thấy rằng giới hạn này chính là đạo hàm f '(x 1 ), và cũng chính là hệ số góc ứng

với tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) tại điểm có hoành độ là x1 Như vậy, ta có ý nghĩa

thứ hai của đạo hàm:

Đạo hàm f'(a) là tốc độ biến thiên tức

thời của y = f(x) đối với x khi x = a

Như vậy, khi giá trị đạo hàm lớn ( tức đường cong

dốc như ở điểm P), thì giá trị y thay đổi nhanh Khi

giá trị đạo hàm nhỏ, đường cong sẽ tương đối dẹt (như ở điểm Q ) thì giá trị y thayđổi chậm.

Trong ví dụ sau, ta biện luận ý nghĩa của đạo hàm của hàm số trong trường hợp hàm số được xác định bằng lời

VÍ DỤ 6 Một hảng sản xuất dây điện Phí tổn để sản xuất x mét dây điện là C = f(x)đồng

(a) Tìm ý nghĩa của đạo hàm f ' (x) Đơn vị của nó là gì?

(b) Trong thuật ngữ thực tế, nói f ' ( 1000 ) =9 có nghĩa là gì?

(c) Bạn nghĩ số nào lớn hơn giữa hai số f ' (50) và f ' (500)? Còn f ' (5000) thế nào?

(a) Đạo hàm là tốc độ biến thiên tức thời của C đối với x; tức f ' (x) có nghĩa là tốc

độ biến thiên của giá sản xuất đối với số mét dây sản xuất được (Trong kinh tê học tốc độ biến thiên này gọi là marginal cost (chi phí lề)

f ' ( x )= lim ∆ y= lim

∆ x

nên đơn vị của f ' ( x) cũng giống như đơn vị của ∆ ∆ C x đồng/mét.Mà đơn vị đo ∆

C là đồng, còn đơn vị đo ∆ x là mét, nên đơn vị của f ‘(x) là đồng mét

(b)Phát biểu f ' ( 1000) =9 có nghĩa là sau khi đã sản xuất 1000 mét dây, tốc độ màgiá sản xuất tăng là 9 đồng mỗi mét (Khi x = 1000, C tăng 9 lần nhanh hơn x)

f ' (50)> f ' (500)

Nhưng, khi sản xuất mở rộng, sự vận hành theo qui mô lớn sinh ra có thể kém hiệuquả và chi phí làm thêm giờ có thể nảy sinh Do đó có thể tốc độ tăng chi phí sẽbắt đầu lên cao Vì thế có thể nảy sinh sự kiện

Trong ví dụ sau ta ước tính tốc độ biến thiên của nợ công theo thời gian Đây

là hàm số không định nghĩa bằng một công thức mà bằng một bảng giá trị

VÍ DỤ 7 Cho D(t) là nợ công của Mỹ ở thời điểm t

Bảng dưới cho ta giá trị xấp xỉ của hàm số này (tỉ đôla) tính

sau mỗi năm, từ 1980 đến 2000 Hãy giải thích và ước tính

giá trị của D ' (1990)

GIẢI

Đạo hàm D '(1990) có nghĩa là tốc độ biến thiên của D đối với t khi t = 1990, đó

là, tốc độ tăng của nợ công trong 1990 Theo phương trình 5

D ' (1990 )= lim D(t )−D(1990)

t−1990

t → 1990

Ta tính giá trị của tỉ số các số gia (tốc độ biến

thiên trung bình) như sau

Từ bảng này ta thấy D '(1990) nằm đâu đó trong khoảng giữa 257.48 và 348.14 tỉ đô

la mỗi năm [Ở đây ta đang giả định là nợ không dao động dữ dội trong khoảng 1980

và 2000.] Ta ước tính rằng tốc độ tăng của nợ công của Mỹ trong năm 1990 là trung bình của hai số này, cụ thể là

D ' (1990 )≈ 303 tỉ đô la/nămMột phương pháp khác là vẽ đồ thị hàm số nợ và ước tính độ dốc củatiếp tuyến khi t = 1990

Trong Ví dụ 3, 6, và 7 ta thấy ba ví dụ đặc biệt của tốc độ biến thiên: vận tốc di chuyển của một vật thể theo thời gian; chi phí lề (marginal cost) là tốc

độ biến thiên của chi phí sản xuất đối với số lượng sản phẩm; tốc độ biến thiên của

nợ đối với thời gian có tầm quan trọng trong kinh tế học Đây là một số mẫu nhỏ trong các loại biến thiên: Trong vật lý, tốc độ biến thiên của công đối với thời gian gọi là công suất Các nhà hóa học nghiên cứu phản ứng thì quan tâm đến tốc độ biến thiên của nồng độ của chất phản ứng đối với thời gian (gọi là tốc độ phản ứng) Nhà sinh học quan tâm đến tốc độ biến thiên của số vi khuẩn trong dung môi đối với thời gian Thật ra, công việc tính các tốc độ biến thiên đều quan trọng trongmọi ngành khoa học tự nhiên, kỹ thuật, và ngay cả trong khoa học xã hội

Mọi tốc độ biến thiên đều là đạo hàm và do đó có thể được xem như là

độ dốc của tiếp tuyến Điều này góp thêm ý nghĩa cho việc giải các bài toán tiếp tuyến Bất cứ khi nào ta giải một bài toán về tiếp tuyến , ta không chỉ giải một bài toán hình Ta cũng ngầm giải một bài toán liên quan đến tốc độ biến thiên trong khoa học và kỹ thuật

II ỨNG DỤNG

- GIẢI CÁC BÀI TẬP 1, 2, 11, 12, 17, 39, 40, 41, 45, 47, mục 2.7, SÁCH James Stewart

BÀI 1:

A curve has equation y=f ( x )

Write an expression for the slope of the secant line through the points P( 3,

f(3))and Q (x, f(x)).

Write an expression for the slope of the tangent line at P

Tóm tắt đề:

Một đường cong có phương trình y = f(x)

(a) Viết biểu thức tính độ dốc của cát tuyến qua hai điểm P(3, f(3)) và Q(x, f(x)).(b) Viết biểu thức tính độ dốc của tiếp tuyến tại P

[-Khi x ϵ [−1,1]

Khi x ϵ [−0.5,0.5]

- Thời điểm t = 0 đến t = 1, s tăng dần đều từ 0 đến 3 mét mà vật lại bắt đầu chuyển động từ

trái sang phải Vật chuyển động sang phải trong khoảng thời gian 1 giây đầu

- Thời điểm t = 1 đến t =2, s đứng yên Vật đứng yên trong khoảng thời gian từ giây thứ 2 đến

giây thứ 3

- Thời điểm t = 2 đến t =3, s giảm dần đều từ 3 mét xuống còn 1 mét Vật chuyển động từ

phải sang trái trong khoảng thời gian từ giây thứ 2 đến giây thứ 3

- Thời điểm t = 3 đến t =4, s đứng yên Vật đứng yên trong khoảng thời gian từ giây thứ 3 đến

giây thứ 4

- Thời điểm t = 4 đến t = 6, s tăng dần đều từ 1 mét đến 3 mét Vật chuyển động sang phải

trong khoảng thời gian từ giây thứ 4 đến giây thứ 6

b) Vẽ đồ thị vận tốc

*Lấy chiều dương là chiều khi vật di chuyển sang phải

- Trong khoảng thời gian 1 giây đầu vật bắt đầu di chuyển sang phải 3m v= s

t =31 =3 (m/ s)

- Từ giây thứ 1 đến giây thứ 2 vật đứng yên v=0( m/ s)

- Từ giây thứ 2 đến giây thứ 3 vật di chuyển sang trái 2m v= s

t =3−−22 =−2(m/ s )

- Từ giây thứ 3 đến giây thứ 4 vật đứng yên v=0( m/ s)

- Từ giây thứ 4 đến giây thứ 6 vật chuyển động di chuyển sang phải 2m v= s

Xét bảng biến thiên:

g( x )

Ngoài ra, đạo hàm của hàm số tại một điểm chính là độ dốc/hệ số góc của tiếp

tuyến tại điểm đó.

Từ hình vẽ, ta thấy α 1 > α 2 > α 3 suy ra g ' (−2)< g ' (2)< g ' ( 4).

Vì vậy, thứ tự tăng dần là g ’( 0) < 0 < g ' (−2)< g ' (2)< g ' ( 4).

39 Một lon nước ngọt ấm được đặt trong tủ lạnh lạnh Vẽ đồ thị của nhiệt độ của soda như là một hàm số theo thời gian Tốc độ thay đổi ban đầu của nhiệt độ nhanh hơn hoặc chậm hơn tốc độ thay đổi nhiệt độ sau một giờ?

°F

91.4

39

t (h)

1 2Trong khoảng 1 giờ đầu tiên, nhiệt độ giảm từ 91,4 độ F xuống còn 39 độ

F Sau 1 giờ, nhiệt độ của lon soda không đổi và bằng 39 độ F

Vì vậy, tốc độ thay đổi của nhiệt độ lon soda sau 1 giờ nhỏ hơn tốc độ thay đổi nhiệt độ ban đầu.

Câu 40: Một con gà tây nướng được lấy ra khỏi lò khi nhiệt độ của nó đã đạt tới 185°F và được đặt trên bàn trong phòng nơi nhiệt độ là 75°F Đồ thị cho biết nhiệt độ của gà tây giảm dần và cuối cùng đạt đến nhiệt độ phòng Bằng cách đo độ dốc của tiếp tuyến, hãy ước tính tốc độ của thay đổi nhiệt độ sau một giờ

Giải Cách 1: phương trình diffeq để có:

Với: +To là nhiệt độ ban đầu của vật =185(°F)

+Ta là nhiệt độ xung quanh ( nhiệt độ phòng)

tốc độ của thay đổi nhiệt độ sau một giờ: T ' (60)=−0,012766.110 e(−0,012766.60 )

¿−0,65 (° F / m)

Vậy sau thời gian 60 phút để gà bên ngoài thì nhiệt độ con gà tây giảm 0.65 (° F / m)

Cách 2: kẻ đường tiếp tuyến tại P cắt trục T(°F) và cắt trục t(min) lần lượt tại

CâuVậy 41:sau Bảngthờiiancho60thấyphúttỷđểlệgàphầnbênngoàitrămthìdânnhiệtsốđộướccontínhgàtâychâugiảmÂu0.sử65 ( dụng°F/

m )điện iện thoại di ộng (Ước tính giữa năm ược ưa ra.) điện điện điện

(a) Tìm tỉ lệ thay đổi trung bình của điện thoại di động

(i) Từ 2000 đến 2002

(ii) Từ 2000 đến 2001

(iii) Từ 1999 đến 2000

(b) Hãy ước tính tốc độ tăng trưởng tức thời vào năm 2000 bằng lấy trung bình cộng của hai

tỷ lệ thay đổi trung bình Đơn vị của nó là gì?

(c) Ước tính tốc độ tăng trưởng tức thời vào năm 2000 bằng thước đo độ dốc của tiếp tuyến

Giải a) Tốc độ phát triển trung bình của điện thoại di động: ¿ : P1−P1

2−t 1

(i)Từ 2000 đến 2002:¿ 11 (% dân số châu Âu sử dụng iện điện thoại/ năm )

Do đó, tỷ lệ tăng trưởng điện thoại di (động% trung bình là 11 phần trămnămỗi

b) Tốc độ tăng trưởng tức thời năm 2000 là trung bình cộng của tốc độ

thay đổi trung bình từ năm 1999 đến năm 2000 và từ năm 2000 đến năm

2001:

Tốc độ tăng trưởng tức thời¿ 13+

2 16 =14,5(%/năm)

Vậy Tốc độ tăng trưởng tức thời vào năm 2000 là 14,5 phần trăm mỗi

năm (theo đ bài câu b) ề bài câu b)

c) tốc độ tăng trưởng tức thời vào năm 2000 bằng cách đo hệ số góc của một

tiếp tuyến chúng ta sẽ lấy hai điểm từ bảng như sau (2001,68) và (2000,55)

V ậy tốc độ tăng trưởng tức thời vào năm 2000 là 13 phần trăm mỗi năm y

Q