BÁO cáo bài tập lớn GIẢI TÍCH 1 ỨNG DỤNG của PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG mô tả QUÁ TRÌNH hấp THỤ, tỏa NHIỆT và CHUYỂN ĐỘNG của một CHẤT điểm

Một trong những ứng dụng phổ biến nhất của giải tích một phải nói đến là ứng dụng của phương trình vi phân.. Phương trình vi phân đóng vai trò quan trọng trong việc ứng dụng toán học vào

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 1 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG

MÔ TẢ QUÁ TRÌNH HẤP THỤ, TỎA NHIỆT

VÀ CHUYỂN ĐỘNG CỦA MỘT CHẤT ĐIỂM

Giảng viên hướng dẫn: Huỳnh Thái Duy Phương

Nhóm sinh viên thực hiện: Nhóm 14

/Tổ 1

2 3 4 5

Đặng Thanh Nguyễn Trương Thu Thảo Nguyễn Minh Thiện Nguyễn Thế Hoàng Thông Phó Vạn Thông

211474 7 211480 9 211487 4 211238 2 211492

14 14 14 14 14

TP.HCM, 12/2021

2

LỜI NÓI ĐẦU

Giải tích 1 là một môn khoa học quan trọng đối với sinh viên các nghành khoa học

tự nhiên và kỹ thuật Là môn học có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn, giải tích 1 giới thiệu về những kiến thức nền tảng quan trọng và những ứng dụng của chúng được sử dụng rất nhiều trong việc học tập các môn khoa học Một trong những ứng dụng phổ biến nhất của giải tích một phải nói đến là ứng dụng của phương trình vi phân Phương trình vi phân đóng vai trò quan trọng trong việc ứng dụng toán học vào những lĩnh vực khoa học khác vì có rất nhiều quá trình thực tế có thể mô tả bằng phương trình vi phân một cách dễ dàng và đầy đủ Tuy nhiên, để hiểu được ứng dụng của phương trình vi phân, chúng ta cần phải nắm vững những kiến thức về khoa học tự nhiên ( vật lí, hóa học, sinh học,…) và

kỹ thuật Và bài báo cáo được trình bày sau đây sẽ tìm hiểu và thực hành ứng dụng của phương trình vi phân trong khía cạnh vật lý mà cụ thể là mô tả quá trình hấp thụ, tỏa nhiệt

và chuyển động của một chất diểm bằng cách viết phương trình vi phân

MỤC LỤC

Lời nói đầu……… i

Mục lục……… ii

Phần I Mô tả quá trình hấp thụ, tỏa nhiệt bằng phương trình vi phân……… 1

1.1.Sơ lược về quá trình thu nhiệt và tỏa nhiệt……… 1

1.2.Một số bài toán ví dụ……… 2

Phần II Mô tả chuyển động của một chất điểm bằng phương trình vi phân………… 4

2.1.Cơ sở lý thuyết……… 4

2.2.Một số bài toán ví dụ……… 6

Tài liệu tham khảo……… 7

Phần 1: Mô tả quá trình hấp thụ, tỏa nhiệt bằng phương trình vi phân.

1.1 Sơ lược về quá trình thu nhiệt và tỏa nhiệt:

- Trong nhiệt động lực học, thuật ngữ quá trình tỏa nhiệt mô tả một quá trình hoặc phản ứng giải phóng năng lượng từ hệ thống ra môi trường xung quanh, thường ở dạng nhiệt, nhưng cũng ở dạng ánh sáng (ví dụ như tia lửa, ngọn lửa hoặc đèn flash), điện (ví dụ như pin), hoặc âm thanh (ví dụ như tiếng nổ khi đốt hydro)

- Đối lập với một quá trình tỏa nhiệt là quá trình thu nhiệt, một quá trình hấp thụ năng lượng dưới dạng nhiệt

- Từ phát biểu của Rudolf Clausius về nguyên lý thứ hai của nhiệt động lực học: “Nhiệt không thể tự động truyền từ vật lạnh sang vật nóng hơn”, ta có thể rút ra kết luận rằng nhiệt chỉ được truyền từ nơi nóng hơn đến nơi lạnh hơn

- Theo định luật Newton, tốc độ làm lạnh vật thể tỷ lệ với hiệu số nhiệt độ của vật thể T

và nhiệt độ của môi trường xung quanh T0 (1)

- Tốc độ làm lạnh vật thể là sự giảm nhiệt độ T trong một đơn vị thời gian t và được biểu diễn bởi công thức đạo hàm dT dt (2)

- Từ (1) và (2) ta có phương trình vi phân quá trình làm lạnh (làm nóng) một vật thể như sau:

(3) dT dt = k(T-T0),k là hệ số tỉ lệ

- Giải phương trình vi phân (3):

dT

T −T0=¿kdt

=> ∫T −T dT

0 = k∫dt

=> ln|T −T0|=kt+lnC

=> |T −T0|=C e kt

1

( trong đó, hằng số C và hệ số tỉ lệ k tìm được dựa vào các điều kiện đầu của bài toán ).

1.2 Một số bài toán ví dụ mô tả quá trình hấp thụ và tỏa nhiệt bằng phương trình vi phân:

Ví

dụ 1 : Vận tốc nguội lạnh của một vật trong không khí tỉ lệ với hiệu số giữa nhiệt độ

của vật và nhiệt độ của không khí Đặt vật trong môi trường không khí có nhiệt độ ổn định là 20oC, biết sau 20 phút thì nhiệt độ của vật giảm từ 100oC xuống 60oC Hỏi sau bao lâu kể từ thời điểm nhiệt độ của vật 60oC, nhiệt độ của vật giảm còn 30oC

Giải

Ta có nhiệt độ môi trường là 20oC => T0 = 20, thế vào công thức tính tốc độ nguội lạnh

của vật ta được phương trình thể hiện nhiệt độ của vật sau t phút: T =20+C e kt (*)

- Tại t = 0, nhiệt độ của vật là 100oC => T = 100, thế vào (*) ta được:

100=20+C e 0 k => C = 80

- Tại t = 20, nhiệt độ của vật là 60oC => T = 60, thế vào (*) ta có:

60=20+80 e 20 k => k = −ln 220 (**) -Vậy quy luật nguội lạnh của vật là T =20+80 e−ln 220 t

- Khi nhiệt độ của vật giảm còn 30oC => T = 30, thay vào (**) ta được t = 60 phút

- Vậy sau 60 −¿ 20 = 40 phút kể từ thời điểm nhiệt độ của vật đạt 60oC, nhiệt độ của vật

là 30oC

Ví

dụ 2 : Một lon soda vừa được đưa ra từ tủ đông có nhiệt độ là 32oF, biết nhiệt độ môi trường là 68oF và nhiệt độ của lon soda tăng từ thêm 18oF trong vòng 10 phút Hỏi sau 30 phút thì nhiệt độ lon soda là bao nhiêu

Giải

Ta có nhiệt độ môi trường là 68oF => T0 = 68, thế vào công thức tính tốc độ nguội lạnh của vật ta được phương trình thể hiện nhiệt độ của vật sau t phút:

2

|T −68|=C e kt

- Khai triển trị tuyệt đối kết hợp với điều kiện đề bài ta được:

T =68−C e kt (i)

- Tại t = 0, nhiệt độ của vật là 32oF => T = 32, thế vào (i) ta được C = 36

- Tại t = 10, nhiệt độ của vật là 32 + 18 = 50oF => T = 50, thế vào (i) ta có:

50=68−36 e 10 k => k =−ln 2

10

- Từ đó ta có phương trình thể hiện nhiệt độ của vật sau thời gian t phút là:

T =68−36 e

−ln 2

10 t

- Khi t = 30, nhiệt độ của vật là T =68−36 e−ln 210 30

=63,5o F

Ví

dụ 3 : Một ứng dụng khác của dạng phương trình vi phân này trong cuộc sống, cụ thể

là trong nghiệp vụ điều tra phá án, đó là xác định thời gian tử vong của một xác chết

Đặt vấn đề: Tại một thị trấn A, một người đàn ông tên X đã bị sát hại trong chính căn hộ của anh ta Thi thể của nạn nhân được phát hiện vào lúc 22h tối, thân nhiệt lúc này được đo là 27oC Vào 23h tối cùng ngày, thân nhiệt đo được của thi thể là 24oC Biết nhiệt

độ trong phòng luôn được duy trì ở mức 21oC, hãy xác định thời gian ông X bị sát hại

Giải Chọn mốc thời gian t = 0 lúc phát hiện ra thi thể nạn nhân, khi đó nhiệt độ đo được trên thi thể ông X là T = 27oC và nhiệt độ phòng là T0 = 21oC, ta có:

27=21+C e 0 k => C = 6

- Sau đó 60 phút => t = 60, nhiệt độ đo được trên thi thể ông X là 24oC, ta có:

24=21+6 e 60 k => k =−ln 2

60

- Từ đó ta có phương trình thể hiện nhiệt độ cơ thể ông X sau t phút kể từ lúc 22h là

3

T =21+6 e

−ln 2

60 t

- Nhiệt độ cơ thể ông X khi còn sống là 37oC => 37=21+6 e−ln 260 t

=> t ≈ -85

- Vậy thời điểm tử vong của ông X là khoảng 85 phút trước khi được phát hiện, tức là vào khoảng 20h35 tối cùng ngày

Phần II: Mô tả chuyển động của một chất điểm

1.1 Cơ sở lý thuyết:

a) Chất điểm: Một vật chuyển động được coi là một chất điểm nếu kích thước của nó rất

nhỏ so với độ dài đường đi Chất điểm có khối lượng là khối lượng của vật

b) Chuyển động cơ: Chuyển động cơ của một vật (gọi tắt là chuyển động) là sự thay đổi

vị trí của vật đó so với các vật khác theo thời gian

c) Quỹ đạo: Quỹ đạo của chuyển động là tập hợp tất cả các vị trí của một chất điểm

chuyển động tạo ra một đường nhất định

d) Cách xác định thời gian trong chuyển động:

- Mốc thời gian (hoặc gốc thời gian) là thời điểm mà ta bắt đầu đo thời gian

- Nếu lấy mốc thời gian là thời điểm vật bắt đầu chuyển động (thời điểm 0) thì số chỉ của thời điểm sẽ trùng với số đo khoảng thời gian đã trôi qua kể từ mốc thời gian

+ Thời điểm là giá trị mà đồng hồ hiện đang chỉ đến theo một mốc cho trước mà ta xét + Thời gian là khoảng thời gian trôi đi trong thực tế giữa hai thời điểm mà ta xét

- Để đo thời gian người ta dùng một đồng hồ

* Yêu cầu đặt ra : Xét 1 vật chuyển động thẳng, khảo sát quá trình chuyển động của nó

bằng phương trình vi phân

e) Vector vị trí ( vector bán kính ):

r⃗ = xi⃗ + y⃗j +jk⃗ (x,y,z là tọa độ của chất điểm trong hệ tọa độ Descartes)

f) Vector vận tốc:

-Vector vận tốc trung bình:

4

⃗v tb = ∆ ⃗r ∆ t

Trong đó:

∆ ⃗r = ⃗r2 - ⃗r1, với ⃗r2 , ⃗r1 là vector vị trí của chất điểm tại thời điểm t2 và t1

∆ t = t2 – t1

- Vector vận tốc tức thời:

⃗v = lim

∆ t →0

∆ ⃗r

∆ t = d ⃗r dt

Trong hệ tọa độ Descartes:

⃗v = d ⃗r dt = dx dt i⃗ + dy dt ⃗j + dz dt ⃗k = vxi⃗ + vy⃗j+ vzk⃗

Độ lớn của vector vận tốc:

|⃗v| = √v2x+v2y+v2z = √(dx

dt )

2

+(dy

dt)

2

+(dz

dt)

2

g) Vector gia tốc:

- Vector gia tốc trung bình:

⃗a tb = ∆ ⃗v ∆ t

Trong đó:

∆ ⃗v = ⃗v2 - ⃗v1 , với ⃗v2 , ⃗v1 là vector vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t2 và t1

∆ t = t2 – t1

- Vector gia tốc tức thời:

a⃗ = lim

∆ t →0

∆ ⃗v

∆ t = d ⃗v dt

Trong hệ tọa độ Descartes:

a⃗ = d ⃗v dt = d

2

⃗

r

d t2 = d

2

x

d t2i⃗ + d

2

y

d t2 ⃗j + d

2

z

d t2k⃗ = axi⃗ + ay⃗j + azk⃗

Độ lớn vector gia tốc:

5

|a⃗| = √a2x+a2y+a2z = √(d2x

d t2)

2

+(d2 y

d t2)

2

+(d2z

d t2 )

2

h) Chuyển động thẳng đều:

Quỹ đạo là đường thẳng và ⃗v = const

Gọi s là quãng đường đi

v = ds dt => ds = vdt

∫

s 0

s

ds = ∫

0

t

vdt => s = s0 + vt

i) Chuyển động thẳng thay đổi đều:

Quỹ đạo là đường thẳng và a⃗ = const

a = dv dt => v = ∫

0

t adt

hay v = at + v0 ( với v0 là vận tốc đầu lúc t = 0 ) (*)

mà ds = vdt => ds = (at + v0)dt => s = ∫

0

t

(at+v0)dt = 12 at2 + v0t + s0 (**) Khử t trong (*) và (**) ta được : v2 – v02 = 2a(s – s0)

2.2 Một số bài toán ví dụ :

Ví dụ 1: Một chất điểm chuyển động trên trục Ox theo chiều dương với vận tốc v =√x

(m/s) và bắt đầu từ gốc tọa độ O với vận tốc đầu bằng không Tìm vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 2s

Giải

Ta có: v = √x => v2 = x (1)

Lấy đạo hàm 2 vế phương trình (1) theo thời gian :

6

d v2

dt = dx dt => 2vdv dt = v => dv = dt2 (2)

Lấy tích phân 2 vế phương trình (2) :

∫

0

v

dv = ∫

0

2

dt

2 => v = 1-0 = 1 m/s

Ví dụ 2: Một ô tô xuất phát với vận tốc v1(t) = 2t+12 (m/s), sau khi đi được khoảng thời gian t1 thì bất ngờ gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp với vận tốc v2(t) = 24−6t (m/s) và đi thêm một khoảng thời gian t2 nữa thì dừng lại Hỏi từ khi xuất phát đến lúc dừng lại thì xe ô tô đã đi được bao nhiêu mét ?

Giải

Ta có: v02 = 24 (m/s) do đó khi gặp chướng ngại vật vật có vận tốc là 24 m/s

Khi đó v1(t) = 2t+12 = 24 ⇔ t = 6(s)

Vật dừng lại khi v2(t) = 24−6t = 0 ⇔ t2 = 4(s)

Quãng đường vật đi được là: s=∫

0

6

v1(t¿)dt¿ + ∫

0

4

v2(t ) dt= ∫

0

6

(¿2t +12)dt¿ + ∫

0

4

(24−6 t ) dt

=156 (m)

Vậy quãng đường vật đi được là s=156m

Ví dụ 3: Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái hãm phanh Sau khi hãm

phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = −4t+20 (m/s) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét?

Giải

Khi vật dừng hẳn thì v = 0 ⇒ −4t+20 = 0 ⇔ t = 5(s)

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian trên là:

S(t)= ∫

0

5

v (t ) dt = ∫

0

5

(−4 t +20) dt = 50 (m) Vậy quãng đường vật đi được là: s= 50 m

Tài liệu tham khảo:

7

- Giáo trình giải tích 1, Nguyễn Đình Huy ( chủ biên ).

- Vật lý đại cương A1, Nguyễn Thị Bé Bảy ( chủ biên)

- Luận văn tốt nghiệp, khoa vật lý, trường đại học sư phạm Hà Nội 2, Nguyễn Thị Thanh Tâm

- Estimating time of death, Tom Woodson, Clayton Tyndall and Chris Stepheson

- Exploring differntial equations via graphics and data, Lomen, David and David Lovelock

- Heald, MA, american journal of physics, 1997 p11

https://meet.google.com/pzp-zqht-bcy - các lớp L35 (T2 9h-12h); L31 (T4 9h-12h); L28 (T5 12h-15h); L06 (T6 9h-12h)

8