BÁO cáo bài tập lớn GIẢI TÍCH 1 đề tài 20 đạo hàm và tốc độ THAY đổi

Nếu mPQ tiến tới một giá trị m thì chúng ta định nghĩa rằng đường tiếp tuyến là 1 đường thẳng đi qua P với hệ số góc m ĐỊNH NGHĨA Đường tiếp tuyến của đồ thị y = fx tại điểm Pa, fa là đư

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM KHOA KHOA HỌC VÀ ỨNG DỤNG

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1

ĐỀ TÀI 20:

ĐẠO HÀM VÀ TỐC ĐỘ THAY ĐỔI

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: ĐÀO HUY CƯỜNG

NHÓM 2 – L04 TPHCM, THÁNG 12/2022

MỤC LỤC

II ỨNG DỤNG

III KẾT LUẬN

(Phương trình 1)

DERIVATIVES AND RATES OF CHANGE

1/ TANGENTS (TIẾP TUYẾN )

Nếu 1 đường cong C có phương trình y = f(x), chúng ta

muốn tiếp tuyến với đồ thị C tại điểm P (a, f(a)), thì chúng

ta xét một điểm lân cận Q (x, f(x)) ( điều kiện x ≠ a) thì hệ

số góc của cát tuyến PQ:

m PQ=f(x)−f (a)

x−a

Ta có thể cho điểm Q  P dọc theo đồ thị C bằng cách

cho x  a Nếu mPQ tiến tới một giá trị m thì chúng ta

định nghĩa rằng đường tiếp tuyến là 1 đường thẳng đi qua

P với hệ số góc m

ĐỊNH NGHĨA Đường tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) tại điểm P(a, f(a)) là đường thẳng

đi qua điểm P với hệ số góc:

Ví dụ 1: Tìm hệ số góc tiếp tuyến của đường parabol y = x2 tại điểm P(1, 1)

Ngoài ra, còn 1 cách định nghĩa khác đơn giản hơn về hệ số góc Nếu đặt h = x – a

Ví dụ 2: Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị y= 3 x tại điểm (3, 1)

Giải:

Như vậy, hệ số góc

m=−13 ta được phươngtrình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm (3, 1)

Giả sử một vật chuyển động dọc theo một đường

thẳng theo phương trình chuyển động s=f(t), độ dời

(khoảng cách có hướng) của vật so với gốc tại thời

điểm t Hàm số f mô tả chuyển động gọi là hàm số vị

trí của vật trong khoảng thời gian từ t=a đến t=a+h,

ta có độ biến thiên y¿f(a+h)−f(a)

Vận tốc trung bình trong khoảng thời gian này là:

v tb = ∆ s ∆ t = f(a+h)−f(a)

h

Vị trí tại thời điểm t=a Vị trí tại thời điểm t=a+h

(Phương trình 3)

Bây giờ , giả sử chúng ta tính vận tốc trung bình trong các khoảng thời gian ngắn hơn: [a,a+h] có thể nói rằng là ta cho h tiến về 0 v(a) tại thời điểm t=a là giới hạn của vận tốc trung bình:

v(a) =limh→ 0 f(a+h)−f(a)

h

=> vận tốc tại thời điểm bằng hệ số góc của tiếp tuyến tại P

Ví dụ 3 : Thả rơi quả bóng từ đài quan sát phía trên của Tháp CN, cao 450 m so với mặt đất

(a) Vận tốc của quả bóng sau 5 giây là bao nhiêu?

(b) Quả bóng chuyển động nhanh như thế nào khi nó chạm đất?

Vận tốc sau thời gian 5(s) là v( 5 )=9,8.5=49(m/s)

Vì tòa tháp cao so với mặt đất 450m, nên ta có S(t 1)=450=4,9 t 12

ĐỊNH NGHĨA Đạo hàm của hàm số f tại một số a, ký

ký hiệu đặc biệt

Nếu chúng ta viết x = a+h, thì chúng ta có h = x - a và h tiến tới 0 khi và chỉ khi x tiến tới a Do đó, một cách tương đương để phát biểu định nghĩa của đạo hàm, như chúng ta đã thấy trong việc tìm các tiếp tuyến, là

Ta định nghĩa tiếp tuyến với đường cong y=f(x)tại điểm P(a ,f(a) ) là đường thẳng đi qua P và có hệ số góc m cho bởi Phương trình 1 hoặc 2 Vì, theo Định nghĩa 4 điều này giống như đạo hàm f ' (a), bây giờ chúng ta có thể nói như sau

Tiếp tuyến của y=f(x)tại (a, f(a) ) là đường thẳng đi qua (a, f(a) ) có hệ số góc bằng f ' (a)

, đạo hàm của ƒ tại a

Nếu chúng ta sử dụng dạng điểm-hệ số góc của phương trình của một đường thẳng, chúng ta có thể viết phương trình của tiếp tuyến với đường cong y=f(x) tại điểm

(a, f(a) ):

y−f (a)=f ' (a) ( x−a)

Ví dụ 5: Tìm phương trình tiếp tuyến của parabol

y=x2−8 x+9 tại (3;-6)

Giải:Từ ví dụ 4 ta biết đạo hàm của f(x)=x−8x+9tại số

a là f '(a)=2a−8 Do đó hệ số góc của tiếp tuyến tại (3,

-6) là f '( 3 ) =2 ( 3 ) −8=−2

y−( −6 ) = ( −2 )(x−3)  y=2x

IV/ RATES OF CHANGE ( TỐC ĐỘ BIẾN THIÊN)

Giả sử y là một đại lượng phụ thuộc vào một đại lượng khác Như vậy y là một hàm

số theo x và ta viết y = f(x) Nếu x thay đổi từ x1 đến x2, thì biến thiên của x (cũng

gọi là gia số của x) là

là tốc độ thay đổi trung bình của y đối với x trong

khoảng thời gian từ [ x1, x2] và có thể được hiểu là hệ

số góc của đường cát tuyến PQ Giới hạn của nó khi

∆ x →0 là đạo hàm f ' (x), do đó có thể được hiểu là

tốc độ thay đổi tức thời của y đối với x hoặc hệ số góc của đường tiếp tuyến tại

Ta thấy rằng giới hạn này chính là đạo hàm f '(x 1 ), và cũng chính là hệ số góc ứng với

tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) tại điểm có hoành độ là x1 Như vậy, ta có ý nghĩa thứ hai của đạo hàm:

Đạo hàm f'(a) là tốc độ biến thiên tức thời

của y = f(x) đối với x khi x = a

Như vậy, khi giá trị đạo hàm lớn ( tức đường cong

dốc như ở điểm P), thì giá trị y thay đổi nhanh Khi

(Phương trình 6)

giá trị đạo hàm nhỏ, đường cong sẽ tương đối dẹt (như ở điểm Q ) thì giá trị y thay đổi chậm

Trong ví dụ sau, ta biện luận ý nghĩa của đạo hàm của hàm số trong trường hợp hàm

số được xác định bằng lời

VÍ DỤ 6 Một hảng sản xuất dây điện Phí tổn để sản xuất x mét dây điện là C = f(x) đồng

(a) Tìm ý nghĩa của đạo hàm f ' (x) Đơn vị của nó là gì?

(b) Trong thuật ngữ thực tế, nói f '( 1000 ) =9 có nghĩa là gì?

(c) Bạn nghĩ số nào lớn hơn giữa hai số f ' (50) và f ' (500)? Còn f ' (5000) thế nào?

(a) Đạo hàm là tốc độ biến thiên tức thời của C đối với x; tức f ' (x) có nghĩa là tốc

độ biến thiên của giá sản xuất đối với số mét dây sản xuất được (Trong kinh

tê học tốc độ biến thiên này gọi là marginal cost (chi phí lề)

f ' (50)>f ' (500)

Nhưng, khi sản xuất mở rộng, sự vận hành theo qui mô lớn sinh ra có thể kém hiệu quả và chi phí làm thêm giờ có thể nảy sinh Do đó có thể tốc độ tăng chi phí sẽ bắt đầu lên cao Vì thế có thể nảy sinh sự kiện

f '( 5000 )>f ' (500)

Trong ví dụ sau ta ước tính tốc độ biến thiên của nợ công theo thời gian Đây

là hàm số không định nghĩa bằng một công thức mà bằng một bảng giá trị

VÍ DỤ 7 Cho D(t) là nợ công của Mỹ ở thời điểm t

Bảng dưới cho ta giá trị xấp xỉ của hàm số này (tỉ đôla) tính

sau mỗi năm, từ 1980 đến 2000 Hãy giải thích và ước tính giá

trị của D '(1990)

GIẢI

Đạo hàm D '(1990) có nghĩa là tốc độ biến thiên của D đối với t khi t = 1990, đó

là, tốc độ tăng của nợ công trong 1990 Theo

Ta tính giá trị của tỉ số các số gia (tốc độ biến

thiên trung bình) như sau

Từ bảng này ta thấy D '(1990) nằm đâu đó trong khoảng giữa 257.48 và 348.14 tỉ đô

la mỗi năm [Ở đây ta đang giả định là nợ không dao động dữ dội trong khoảng 1980

và 2000.] Ta ước tính rằng tốc độ tăng của nợ công của Mỹ trong năm 1990 là trung bình của hai số này, cụ thể là

D '( 1990 )≈ 303 tỉ đô la/nămMột phương pháp khác là vẽ đồ thị hàm số nợ và ước tính độ dốc của

Trong Ví dụ 3, 6, và 7 ta thấy ba ví dụ đặc biệt của tốc độ biến thiên: vận tốc di chuyển của một vật thể theo thời gian; chi phí lề (marginal cost) là tốc độ biến thiên của chi phí sản xuất đối với số lượng sản phẩm; tốc độ biến thiên của nợ đối với thời gian có tầm quan trọng trong kinh tế học Đây là một số mẫu nhỏ trong các loại biến thiên: Trong vật lý, tốc độ biến thiên của công đối với thời gian gọi là công suất Các nhà hóa học nghiên cứu phản ứng thì quan tâm đến tốc độ biến thiên của nồng độ của chất phản ứng đối với thời gian (gọi là tốc độ phản ứng) Nhà sinh học quan tâm đến tốc độ biến thiên của số vi khuẩn trong dung môi đối với thời gian Thật ra, công việc tính các tốc độ biến thiên đều quan trọng trong mọi ngành khoa học tự nhiên, kỹ thuật, và ngay cả trong khoa học xã hội

Mọi tốc độ biến thiên đều là đạo hàm và do đó có thể được xem như là

độ dốc của tiếp tuyến Điều này góp thêm ý nghĩa cho việc giải các bài toán tiếp tuyến Bất cứ khi nào ta giải một bài toán về tiếp tuyến , ta không chỉ giải một bài toán hình Ta cũng ngầm giải một bài toán liên quan đến tốc độ biến thiên trong khoa học và kỹ thuật

II ỨNG DỤNG

- GIẢI CÁC BÀI TẬP 1, 2, 11, 12, 17, 39, 40, 41, 45, 47, mục 2.7, SÁCH James Stewart

BÀI 1:

A curve has equation y=f(x)

Write an expression for the slope of the secant line through the points P( 3,

f(3))and Q (x, f(x)).

Write an expression for the slope of the tangent line at P

Tóm tắt đề:

Một đường cong có phương trình y = f(x)

(a) Viết biểu thức tính độ dốc của cát tuyến qua hai điểm P(3, f(3)) và Q(x, f(x)) (b) Viết biểu thức tính độ dốc của tiếp tuyến tại P

[-Khi x ϵ [−1,1]

Khi x ϵ [−0.5,0.5]

- Thời điểm t = 0 đến t = 1, s tăng dần đều từ 0 đến 3 mét mà vật lại bắt đầu chuyển động từ

trái sang phải  Vật chuyển động sang phải trong khoảng thời gian 1 giây đầu

- Thời điểm t = 1 đến t =2, s đứng yên  Vật đứng yên trong khoảng thời gian từ giây thứ 2

đến giây thứ 3

- Thời điểm t = 2 đến t =3, s giảm dần đều từ 3 mét xuống còn 1 mét  Vật chuyển động từ

phải sang trái trong khoảng thời gian từ giây thứ 2 đến giây thứ 3

- Thời điểm t = 3 đến t =4, s đứng yên  Vật đứng yên trong khoảng thời gian từ giây thứ 3

đến giây thứ 4

- Thời điểm t = 4 đến t = 6, s tăng dần đều từ 1 mét đến 3 mét  Vật chuyển động sang phải

trong khoảng thời gian từ giây thứ 4 đến giây thứ 6

b) Vẽ đồ thị vận tốc

*Lấy chiều dương là chiều khi vật di chuyển sang phải

- Trong khoảng thời gian 1 giây đầu vật bắt đầu di chuyển sang phải 3m  v= s

t=31=3(m/s)

- Từ giây thứ 2 đến giây thứ 3 vật di chuyển sang trái 2m  v= s t= −23−2=−2(m/s)

v= s

t= 26−4=1(m/s)

BÀI 17:Cho đồ thị hàm g như hình bên dưới, sắp xếp theo thứ tự tăng dần các gía trị sau và giải thích:

Xét bảng biến thiên:

g ’(x) + 0 - 0 +

g(x)

Ngoài ra, đạo hàm của hàm số tại một điểm chính là độ dốc/hệ số góc của tiếp tuyến

tại điểm đó.

Từ hình vẽ, ta thấy α 1 > α 2 > α 3 suy ra g ' (−2)<g ' (2)<g'(4).

39 Một lon nước ngọt ấm được đặt trong tủ lạnh lạnh Vẽ đồ thị của nhiệt độ của soda như là một hàm số theo thời gian Tốc độ thay đổi ban đầu của nhiệt độ nhanh hơn hoặc chậm hơn tốc độ thay đổi nhiệt độ sau một giờ?

°F

91.4

39

Trong khoảng 1 giờ đầu tiên, nhiệt độ giảm từ 91,4 độ F xuống còn 39 độ F

Sau 1 giờ, nhiệt độ của lon soda không đổi và bằng 39 độ F

Vì vậy, tốc độ thay đổi của nhiệt độ lon soda sau 1 giờ nhỏ hơn tốc độ thay đổi nhiệt độ ban đầu.

Câu 40: Một con gà tây nướng được lấy ra khỏi lò khi nhiệt độ của nó đã đạt tới 185°F và được đặt trên bàn trong phòng nơi nhiệt độ là 75°F Đồ thị cho biết nhiệt độ của gà tây giảm dần và cuối cùng đạt đến nhiệt độ phòng Bằng cách đo độ dốc của tiếp tuyến, hãy ước tính tốc độ của thay đổi nhiệt độ sau một giờ

Giải Cách 1: phương trình diffeq để có:

T(t)=Ta+( ¿−Ta).e ( kt)

Với: +To là nhiệt độ ban đầu của vật =185(°F)

+Ta là nhiệt độ xung quanh ( nhiệt độ phòng) =75(°F)

tốc độ của thay đổi nhiệt độ sau một giờ: T ' (60)=−0,012766.110 e(−0,012766.60 )

¿ −0,65 (° F / m)

Vậy sau thời gian 60 phút để gà bên ngoài thì nhiệt độ con gà tây giảm 0.65 (° F / m)

Cách 2: kẻ đường tiếp tuyến tại P cắt trục T(°F) và cắt trục t(min) lần lượt tại P,Q

Vậy sau thời gian 60 phút để gà bên ngoài thì nhiệt độ con gà tây giảm 0.65 (° F / m)

Câu 41:Bảng cho thấy tỷ lệ phần trăm dân số ước tính châu Âu sử dụng điện thoại di động (Ước tính giữa năm được đưa ra.)

F( 130,75 )

E( 0,160 )

(a) Tìm tỉ lệ thay đổi trung bình của điện thoại di động

(i) Từ 2000 đến 2002

(ii) Từ 2000 đến 2001

(iii) Từ 1999 đến 2000

(b) Hãy ước tính tốc độ tăng trưởng tức thời vào năm 2000 bằng lấy trung bình cộng của hai

tỷ lệ thay đổi trung bình Đơn vị của nó là gì?

(c) Ước tính tốc độ tăng trưởng tức thời vào năm 2000 bằng thước đo độ dốc của tiếp tuyến

Giải a) Tốc độ phát triển trung bình của điện thoại di động: ¿: P 1−P 1 t 2−t 1

(i)Từ 2000 đến 2002:¿11(%dân số châu Âu sử dụng điện thoại/năm)

Do đó, tỷ lệ tăng trưởng điện thoại di động trung bình là 11 phần trăm mỗi năm.

(ii)Từ 2000 đến 2001: f( 2001 )−f( 2000 )

2001−2000 =13(%dân số châu Âu sử dụng điện thoại/năm)

Do đó, tỷ lệ tăng trưởng điện thoại di động trung bình là 11 phần trăm mỗi năm.

(iii)Từ 1999 đến 2000: f ( 2000 )−f( 1999 )

2000−1999 =16¿%dân số châu Âu sử dụng điện thoại/năm)

Do đó, tỷ lệ tăng trưởng điện thoại di động trung bình là 11 phần trăm mỗi năm.

thay đổi trung bình từ năm 1999 đến năm 2000 và từ năm 2000 đến năm 2001:

Vậy tốc độ tăng trưởng tức thời vào năm 2000 là 13 phần trăm mỗi năm.