BÁO cáo bài tập lớn GIẢI TÍCH 1

4 1.7 Trường định hướng và một số đường cong nghiệm của phương trình 1.5... ta sẽ chỉ ra rằng mặc dù không có một công thức nghiệm tường minh nào, nhưng chúng ta vẫncó thể biết được nhiề

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

—o0o—

NHÓM: GT1-L05-04

TP HỒ CHÍ MINH, 02/01/2022

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1

Lời cảm ơn / Lời ngỏ

Chúng em xin chân thành cảm ơn cô Trần Ngọc Diễm, giáo viên giảng dạy bộ môn Giải tích 1, đã dành nhiều thời gian và công sức giải đáp các thắc mắc của nhóm đối với chủ đề này Hơn hết, cảm ơn

cô vì đã truyền đạt một cách đầy tâm huyết các kiến thức vô cùng bổ ích cho chúng em Chúc những điều tốt đẹp nhất sẽ đến với cô

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1

Tóm tắt nội dung

Trong bản báo cáo này, ta sẽ đi sâu vào một trong những công cụ rất mạnh dùng để trực quan

hóa nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 Đó là phương pháp dựng Trường định hướng Đồng thời, ta sẽ sử dụng nó để khảo sát 1 mô hình nổi tiếng trong toán học: Mô hình quần thể

thú săn

- con mồi1

1 Mô hình của Lotka-Volterra

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1

0.1 Danh sách thành viên và nội dung đề tài

0.1.1 Danh sách thành viên

STT

Thành viên

5 Phạm Đức Hào 21111

28

NhómtrưởngBảng 1: Danh sách thành viên nhóm 04

0.1.2 Nội dung đề tài

1 Tìm hiểu về Direction Fields2 (9.2) và mô hình quần thể đa loài Predator-Prey System3

(9.6) trong James Stewart, Calculus – Early Transcendentals.

2 Tìm hiểu cách sử dụng công cụ Slope Field Plotter để vẽ Direction Field Vẽ minh họa Di-

rection Field cho phương trình y′ = F(x, y) và tìm hàm nghiệm của bài toán: y′ =

F(x, y)

y0 = f (x0)dựa trên Direction Field này

2 Trường định hướng

3 Mô hình thú săn-con mồi

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1

0.2 Nhận xét của giáo viên hướng dẫn

Nhận xét:

Ngày tháng năm

Ký tên

Mục

lục

0.1 Danh sách thành viên và nội dung đề tài i 0.1.1 Danh sách

thành viên i 0.1.2 Nội dung đề tài

i

0.2 Nhận xét của giáo viên hướng dẫn ii 1 Lý thuyết và ứng dụng 1 1.1 Trường định hướng 1

1.1.1 Đặt vấn đề 1

1.1.2 Cơ sở lý thuyết 1

1.1.3 Ví dụ và bài tập 2

1.2 Mô hình thú săn - con mồi 4

1.2.1 Đặt vấn đề 4

1.2.2 Cơ sở lý thuyết 4

1.2.3 Ví dụ và bài tập 5

2 Công cụ Slope Field Plotter của GeoGebra 9 2.1 Danh sách hàm được sử dụng 9

2.2 Bài tập áp dụng 9

Danh sách

bảng

1 Danh sách thành viên nhóm 04 i1.1 Bảng tính hệ số góc tại một số điểm trên mặt phẳng tọa độ 22.1 Source Code Bài 1 9

Danh sách hình

vẽ

−

1.1 Trường định hướng của phương trình vi phân y′ = x + y 1

1.2 Trường định hướng của phương trình vi phân y′ = x2 + y2 1 2

1.3 Đường cong nghiệm đi qua gốc tọa độ 2 1.4 Mạchđiện 3 1.5 Trường địnhhướng 3

1.6 Các đường cong nghiệm đi qua các điểm (0, 0), (1, 0) và (2, 0) 4

1.7 Trường định hướng và một số đường cong nghiệm của phương trình (1.5) 6

1.8 Đường cong nghiệm đi qua P0(1000;40) 7 1.9 Đồ thị

của W và R theo thời gian 7

1.10 Biểu đồ so sánh số lượng thỏ và sói tại từng thời điểm 7

2.1 Trường định hướng và đường cong nghiệm 10

ta sẽ chỉ ra rằng mặc dù không có một công thức nghiệm tường minh nào, nhưng chúng ta vẫn

có thể biết được nhiều thông tin về nghiệm của phương trình vi phân thông qua phương pháp

đồ thị (trường định hướng) hoặc phương pháp số học (phương pháp Euler) Do giới hạn nộidung của bài báo cáo nên chúng ta chỉ xem xét phương pháp đầu tiên: Trường định hướng.[1]

1.1.2 Cơ sở lý thuyết

Giả sử ta có một phương trình vi phân cấp 1 có dạng y′ = F(x, y) trong đó F(x, y) là biểu thức nào đó theo x và y Phương trình vi phân nói rằng hệ số góc của một đường cong nghiệm tại một điểm (x0, y0) trên đường cong là F(x0, y0) Nếu ta vẽ các đoạn thẳng ngắn với hệ số

góc F(x0, y0) tại mọi điểm (x0, y0) tương ứng, ta nhận được Trường định hướng (hoặc

Trường hệ số góc) Các đoạn thẳng này cho thấy hướng mà một đường cong nghiệm đang tiếnvề

Mật độ điểm được vẽ càng dày đặc càng giúp ta xác định được chính xác hình dạng củađường cong nghiệm

(a) Độ dày đặc thấp (b) Độ dày đặc cao

Hình 1.1: Trường định hướng của phương trình vi phân y′ = x + y

1.1.3 Ví dụ và bài tập

Ví dụ 1: Cho phương trình vi phân y′ = x2 + y2 1

(a) Vẽ trường định hướng

(b) Sử dụng câu (a) để vẽ đường cong nghiệm đi qua gốc tọa độ

-0 1 2

-2

1

-0 1 2

y′ = x2 + y2 −1

3 0

-1

0 3 4 1 0 1 4

Bảng 1.1: Bảng tính hệ số góc tại một số điểm trên mặt phẳng tọa độ

Bây giờ ta vẽ các đoạn thẳng ngắn với hệ số góc như trên tại những điểm tương ứng Kết quả là chúng ta có được trường định hướng như trong Hình 1.2

Hình 1.2: Trường định hướng của phương trình vi phân y′ = x2 + y2 − 1

(b) Từ gốc tọa độ, ta vẽ đoạn thẳng hướng nghiêng sang bên phải (hệ số góc là -1) Ta tiếptục vẽ các đường cong nghiệm sao cho nó song song với các đoạn gần đó và tìm được đườngnhư trong Hình 1.3 Quay trở lại gốc tọa độ, ta cũng vẽ đường cong nghiệm nghiêng sang bêntrái tương tự như trên

Hình 1.3: Đường cong nghiệm đi qua gốc tọa độ

Ví dụ 2: Bây giờ chúng ta sẽ xem trường

định hướng giúp chúng ta hiểu thêm gì về các

hiện tượng vật lí Một mạch điện đơn giản

như trong Hình 1.4 có chứa một suất điện

động (thường là một ắc-qui hay một máy phát

điện) làm sản sinh một điện thế E(t)(V ) và

cường độ điện trường I(t)(A) tại thời điểm t.

Mạch điện này cũng chứa một điện trở R(Ω)

và một cuộn cảm có tự cảm L(H).

Theo Định luật Ohm, sự giảm áp do điện

trở gây ra là RI Điện áp giảm do cuộn cảm

gây ra là L dI Một trong các định luật

Kirchhoff nói rằng tổng sụt áp bằng với điện

áp cung cấp E(t) Vậy ta có:

Hình 1.4: Mạch điện

dt

Dễ thấy (1.1) là phương trình vi phân cấp 1 mô phỏng cường độ dòng điện I tại thời điểm t.

Ta thử gán giá trị cụ thể cho các đại lượng vật lí để tiến hành tính toán: Giả sử trong mộtmạch điện đơn giản như Hình 1.4, điện trở là 12Ω, độ tự cảm là 4H, và một ắc-qui có điện thế

không đổi là 60V

(a) Vẽ trường định hướng cho Phương trình (1.1) dựa trên các giá trị này

(b) Nhận xét về giá trị tới hạn của cường độ dòng điện?

Trường định hướng cho phương trình vi phân

được minh họa trong Hình 1.5

(b)Căn cứ vào trường định hướng này, chúng ta

thấy rằng dường như tất cả các nghiệm đều tiến về giá

trị 5A, có nghĩa là:

lim

t→+∞ I(t) = 5

(c) Có vẻ như hàm hằng I(t) = 5 là nghiệm cân

bằng Thật vậy, chúng ta có thể kiểm chứng điều này

trực tiếp từ (1.2) Nếu I(t) = 5 thì dI = 15 − 3I =

15 − 3.5 = 0

(d) Chúng ta sử dụng trường định

hướng để vẽ đường cong nghiệm đi qua

điểm (0, 0), kết quả thu được như Hình 1.7

(đường cong màu đỏ) dưới đây:

Hình 1.5: Trường định hướng

1 (Tên tiếng anh: Equilibrium Solution) là nghiệm của phương trình vi phân mà đạo hàm bằng không tại mọi điểm thuộc đường cong nghiệm đó Đồ thị của đường cong nghiệm cân bằng thường giống như một đường tiệm cận ngang.

Hình 1.6: Các đường cong nghiệm đi qua các

điểm (0, 0), (1, 0) và (2, 0)

ta đóng công tắc khi t = 1 hoặc t = 2.

Lưu ý ở Hình 1.5, các đoạn hệ số góc dọc

theo đường nằm ngang bất kỳ (có cùng hoành

độ) phải song song với nhau, bởi vì t không

xuất hiện ở vế phải của phương trình vi phân.Nhìn chung, một phương trình vi phân có

dạng y′ = F(y) được gọi là phương trình vi

phân tự trị2 Với một phương trình như vậy,hai hệ số góc tương ứng của hai điểm khác

nhau nhưng có cùng tung độ y phải bằng

1.2 Mô hình thú săn - con mồi

1.2.1 Đặt vấn đề

Ở phần này, chúng ta sẽ xem xét một mô hình thực tế để giải thích sự tương tác giữa haigiống loài cùng sống trong một môi trường Chúng ta sẽ thấy rằng các mô hình này có dạng làmột cặp các phương trình vi phân được liên kết với nhau.[1]

RW (Số lượng của mỗi loài càng nhiều, thì mức độ chạm trán càng cao.) Chúng ta có một hệ

gồm hai phương

2 Tên tiếng anh: Autonomous Differential Equation



d t

−



d t

tự nhiên của con mồi và số hạng bRW làm tăng tỷ lệ tăng trưởng tự nhiên của thú săn.

Hệ phương trình (1.3) được gọi là hệ phương trình thú săn - con mồi, hoặc hệ phương

trình Lotka – Volterra Nghiệm của hệ phương trình này là cặp hàm số R(t) và W (t) mô tả

số lượng con mồi và thú săn dưới dạng các hàm số theo thời gian Bởi vì đây là hệ phương

trình được ghép thành cặp (R và W xuất hiện trong cả hai phương trình ), nên chúng ta không

thể giải lần lượt từng phương trình này đến phương trình kia Ta phải giải chúng 1 cách đồngthời Không may là cho đến thời điểm hiện tại, ta không thể tìm được các công thức tường

minh cho R và W dưới dạng các hàm số theo t, nhưng ta có thể sử dụng phương pháp Trường

định hướng để phân tích các phương trình này

1.2.3 Ví dụ và bài tập

Bây giờ ta sẽ gán giá trị cụ thể cho các hằng số k, r, a và b để phân tích thử mô hình trên.

Ví dụ 1: Giả sử quần thể thỏ và sói được mô tả bằng phương trình Lotka-Volterra với

k = 0.08, a = 0.001, r = 0.02 và b = 0.00002 Thời gian t được tính theo tháng.

(a) Tìm các nghiệm cân bằng và nêu ý nghĩa sinh học của chúng

(b) Sử dụng hệ phương trình vi phân để tìm một biểu thức cho dW

dR

(c) Vẽ trường định hướng cho phương trình vi phân vừa tìm được trong mặt phẳng R-W Sau

đó sử dụng trường định hướng đó để vẽ một vài đường cong nghiệm

(d) Giả sử vào một thời điểm nào đó có 1000 con thỏ và 40 con sói Vẽ đường cong nghiệm tương ứng và sử dụng nó để mô tả sự thay đổi về số lượng trong cả hai quần thể

(e) Sử dụng câu (d) để vẽ đồ thị biễu diễn R và W theo biến t.





W ′ = W (−0.02 + 0.00002R) = 0 Một nghiệm của hệ (1.4) là R = W = 0, điều này là hiển nhiên vì nếu không có con thỏ và

con sói nào thì kích thước mỗi quần thể chắc chắn sẽ không thay đổi và bằng 0 Một nghiệmkhác của hệ là:

dR dR dt 0.08R − 0.001RW

dW (c) Ta có phương trình vi phân W theo R:

Ta tiến hành vẽ trường định hướng cho phương trình vi phân (Hình 1.7a) và dựa vào đó vẽ

các đường cong nghiệm của hệ (Hình 1.7b) Ta thấy được mối liên hệ giữa R và W thay đổi

thế nào qua thời gian và những đường cong nghiệm này là những đường cong khép kín Điểm

(1000; 80) luôn nằm bên trong tất cả các đường cong nghiệm và ta gọi nó là điểm cân bằng3

vì nó tương ứng với số lượng quần thể ở trạng thái cân bằng

(a)Trường định hướng (b) Đường cong nghiệm

Hình 1.7: Trường định hướng và một số đường cong nghiệm của phương trình (1.5)

(d) Với 1000 con thỏ và 40 con sói ta vẽ đường cong nghiệm đi qua điểm P0(1000; 40) Hình

1.8 biểu diễn quỹ đạo của mô hình sau khi đã xóa trường định hướng Thay R = 1000 và W =

40

vào phương trình đầu của (1.4), ta có: R′ = 1000(0.08 0.001(40)) = 40 > 0

Ta thấy rằng đạo hàm của R theo t lớn hơn 0 nên R đang tăng tại điểm P0 Do đó ta bắt đầu

tại P0 và đi ngược chiều kim đồng hồ

3 Tên tiếng anh: Equilibrium Point

Hình 1.8: Đường cong nghiệm đi

qua

P0(1000; 40)

Nhận xét: Tại P0 số lượng sói không đủ

để duy trì sự cân bằng giữa hai loài nên sốlượng thỏ tăng lên Điều đó dẫn tới số lượngsói tăng theo và thậm chí có quá nhiều sóidẫn đến việc thỏ khó tránh được việc bị ănthịt

Số lượng thỏ bắt đầu giảm tại P1 (khi số

lượng thỏ đã đạt đến cực đại R 2800), điều

này lại dẫn đến việc một khoảng thời gian

sau số lượng sói sẽ bắt đầu giảm (tại P2 sốlượng thỏ là 1000 còn số lượng sói khoảng140), lượng sói giảm lại có lợi cho thỏ nên số

lượng thỏ bắt đầu tăng lên (ở P3, số lượng thỏkhoảng 210 và số lượng sói là 80)

Điều này lại dẫn đến việc lượng sói tănglên và sau đó số lượng của cả hai quần thể lại

trở về trạng thái ban đầu P0, kết thúc một chukì

(e) Mặc dù không thể tìm được công thức tường minh của W (t) và R(t), ta vẫn có thể ước

tính được đồ thị của hai hàm số này Từ diễn tả về sự tăng giảm số lượng của thỏ và sói ở câu

(d) ta có thể vẽ lại đồ thị của R và W theo t như Hình 1.9 Giả sử rằng những điểm P1, P2 và P3

ở Hình 1.8 lần lượt xảy ra vào thời điểm t1, t2 và t3

(a)Đồ thị W (t) (b) Đồ thị R(t)

Hình 1.9: Đồ thị của W và R theo thời gian

Để dễ dàng so sánh hai đồ thị với nhau, ta vẽ hai đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ, kết

quả thu được hoàn toàn phù hợp với sự diễn tả ở câu (d):

Hình 1.10: Biểu đồ so sánh số lượng thỏ và sói tại từng thời điểm

Ví dụ 2: Hệ phương trình vi phân dưới đây là một mô hình thú săn - con mồi với x và y

đại diện cho số lượng thỏ và sói Xác định vai trò của x và y Liệu số lượng thỏ chỉ bị giới hạn

bởi mối nguy từ sói, hay chúng vẫn còn những mối nguy hiểm khác? Liệu nguồn thức ăn củasói chỉ là thỏ, hay vẫn còn những nguồn dinh dưỡng khác để thay thế?

chứa y thì x sẽ giảm với tốc độ tỷ lệ với chính nó Suy ra x là số lượng sói, y là số lượng thỏ.

Sự phát triển của quần thể thỏ chỉ bị giới hạn bởi các cuộc chạm trán với thú săn (tích

0.005xy) Suy ra sói là mối de dọa duy nhất của quần thể thỏ Ngược lại, tốc độ phát triển của quần thể sói chỉ tăng bởi tích 0.0001xy, tức là chúng chỉ có thể ăn thỏ để sinh trưởng.

Chương 2

Công cụ Slope Field Plotter của GeoGebra

GeoGebra là một phần mềm miễn phí được sử dụng trong dạy học và nghiên cứu toán

học Nó cung cấp đầy đủ các chức năng liên quan đến dựng hình học cũng như hỗ trợ cơ bảncác công cụ Đại số và Giải tích Trong hầu hết các hình ảnh được thêm vào bài báo cáo này,chúng em đã sử dụng GeoGebra để vẽ và tính toán

Chương này sẽ trình bày khái quát chức năng và cách sử dụng các hàm cần thiết để dựng

trường định hướng và giải phương trình vi phân Bài tập áp dụng được lấy từ phần Exercise

[1]

2.1 Danh sách hàm được sử dụng

1 SlopeField( <f(x,y)>, <Number n> ): Dựng trường định hướng của phương trình vi phân y′

= f (x, y) với độ dày đặc là nxn điểm trên màn hình (Mặc định n=40).

2 SolveODE( <f(x, y)>, <Point on f> ): Tìm hàm số thỏa mãn phương trình vi phân

y′ = f (x, y) và đi qua điểm cho trước.

2.2 Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho phương trình vi phân y′ = y(1 1 y2)

4(a) Vẽ trường định hướng và các đường cong nghiệm thỏa điều kiện ban đầu như sau:

(i) y(0) = 1 (ii) y(0) = −1 (iii) y(0) = −3 (iv) y(0) = 3

(b) Tìm tất cả nghiệm cân bằng của phương trình vi phân

h(x) = SolveODE(y (

1 − y ), (0,-1))1

2

4 1 2

±

−

Hình 2.1: Trường định hướng và đường cong nghiệm

(b) Ta giải phương trình y′ = 0 để tìm nghiệm cân bằng:

y′ = 0 ⇔ y(1 − 1 y2) = 0 ⇔ y = 0, −2, 2 Vậy các đường y = 0, y = 2 là các nghiệm cân bằng của phương trình vi phân trên Dễ thấy các nghiệm khác đều có xu hướng xuất phát hoặc tiến về các nghiệm cân bằng này

Phương trình vi phân này thuộc loại phương trình vi phân tự trị mà ta đã đề cập đến.

Bài 2: Dựng trường định hướng cho phương trình vi phân y′ = x(y2 4) và vẽ vài đườngcong nghiệm thỏa mãn

Source Code:

Bảng 2.2: Source Code Bài 2

Hình 2.2: Trường định hướng và một vài nghiệm

slopefield1 = SlopeField(x(y2 − 4), 25) f(x) = SolveODE(x(y2 − 4), (0,0)) g(x) = SolveODE(x(y2 − 4), (1,2)) h(x) = SolveODE(x(y2 − 4), (3,4))

3

Tổng kết

Các khái niệm cũng như những ví dụ cơ bản liên quan đến Trường định hướng và Mô

hình thú săn - con mồi nhìn chung đã được mô tả đầy đủ trong bài báo cáo Tuy nhiên, do sự

hạn chế về thời gian cũng như kiến thức mà chúng em chưa thể phát triển nội dung này mộtcách nâng cao hơn Đây là một chủ đề rất đáng được đào sâu thêm Bên cạnh đó, các hàmlệnh của GeoGebra cũng có một số hạn chế như: Ít tùy biến, chạy rất chậm hoặc không chạyđược đối với các phương trình vi phân khó Nếu có cơ hội trong tương lai, nhóm em sẽ tìmhiểu thêm các phần mềm chuyên dụng khác (như MATLAB) để cải thiện năng suất làm việc.Xin gửi đến cô lời cảm ơn chân thành nhất vì đã dành thời gian đọc bản báo cáo này