BÁO cáo bài tập lớn GIẢI TÍCH 1

4 1.7 Trường định hướng và một số đường cong nghiệm của phương trình 1.5.. Chương 1Lý thuyết và ứng dụng 1.1.1 Đặt vấn đề Cho đến thời điểm hiện tại, chúng ta không thể giải được tất cả

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

——————– * ———————

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 1

HỘI ĐỒNG: Khoa học ứng dụng GVHD: TS Trần Ngọc Diễm GVPB: TS Trần Ngọc Diễm

—o0o—

NHÓM: GT1-L05-04

TP HỒ CHÍ MINH, 02/01/2022

Lời cảm ơn / Lời ngỏ

Chúng em xin chân thành cảm ơn cô Trần Ngọc Diễm, giáo viên giảng dạy bộ môn Giải tích 1, đã dành nhiều thời gian và công sức giải đáp các thắc mắc của nhóm đối với chủ đề này Hơn hết, cảm ơn cô

vì đã truyền đạt một cách đầy tâm huyết các kiến thức vô cùng bổ ích cho chúng em Chúc những điều tốt đẹp nhất sẽ đến với cô

Tóm tắt nội dung

Trong bản báo cáo này, ta sẽ đi sâu vào một trong những công cụ rất mạnh dùng để trực quan

hóa nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 Đó là phương pháp dựng Trường định hướng Đồng thời, ta sẽ sử dụng nó để khảo sát 1 mô hình nổi tiếng trong toán học: Mô hình quần thể thú săn

- con mồi1

1 Mô hình của Lotka-Volterra

0.1 Danh sách thành viên và nội dung đề tài

0.1.1 Danh sách thành viên

STT Họ và tên MSSV Vai trò

1 Võ Quốc Bình 2112912 Thành viên

2 Lê Tấn Sang 2114631 Thành viên

3 Ngô Trung Tín 2115007 Thành viên

4 Nguyễn Anh Đức 2113216 Thành viên

5 Phạm Đức Hào 2111128 Nhóm trưởng Bảng 1: Danh sách thành viên nhóm 04

0.1.2 Nội dung đề tài

1 Tìm hiểu về Direction Fields2 (9.2) và mô hình quần thể đa loài Predator-Prey System3

(9.6) trong James Stewart, Calculus – Early Transcendentals.

2 Tìm hiểu cách sử dụng công cụ Slope Field Plotter để vẽ Direction Field Vẽ minh họa Di-rection Field cho phương trình y′= F(x, y) và tìm hàm nghiệm của bài toán:

(

y′= F(x, y)

y0= f (x0) dựa trên Direction Field này

2 Trường định hướng

3 Mô hình thú săn-con mồi

0.2 Nhận xét của giáo viên hướng dẫn

Nhận xét:

Ngày tháng năm

Ký tên

Mục lục

0.1 Danh sách thành viên và nội dung đề tài i

0.1.1 Danh sách thành viên i

0.1.2 Nội dung đề tài i

0.2 Nhận xét của giáo viên hướng dẫn ii

1 Lý thuyết và ứng dụng 1 1.1 Trường định hướng 1

1.1.1 Đặt vấn đề 1

1.1.2 Cơ sở lý thuyết 1

1.1.3 Ví dụ và bài tập 2

1.2 Mô hình thú săn - con mồi 4

1.2.1 Đặt vấn đề 4

1.2.2 Cơ sở lý thuyết 4

1.2.3 Ví dụ và bài tập 5

2 Công cụ Slope Field Plotter của GeoGebra 9 2.1 Danh sách hàm được sử dụng 9

2.2 Bài tập áp dụng 9

Danh sách bảng

1 Danh sách thành viên nhóm 04 i

1.1 Bảng tính hệ số góc tại một số điểm trên mặt phẳng tọa độ 2

2.1 Source Code Bài 1 9

2.2 Source Code Bài 2 10

iv

Danh sách hình vẽ

1.1 Trường định hướng của phương trình vi phân y′= x + y 1

1.2 Trường định hướng của phương trình vi phân y′= x2+ y2− 1 2

1.3 Đường cong nghiệm đi qua gốc tọa độ 2

1.4 Mạch điện 3

1.5 Trường định hướng 3

1.6 Các đường cong nghiệm đi qua các điểm (0, 0), (1, 0) và (2, 0) 4

1.7 Trường định hướng và một số đường cong nghiệm của phương trình (1.5) 6

1.8 Đường cong nghiệm đi qua P0(1000; 40) 7

1.9 Đồ thị của W và R theo thời gian 7

1.10 Biểu đồ so sánh số lượng thỏ và sói tại từng thời điểm 7

2.1 Trường định hướng và đường cong nghiệm 10

2.2 Trường định hướng và một vài nghiệm 10

Chương 1

Lý thuyết và ứng dụng

1.1.1 Đặt vấn đề

Cho đến thời điểm hiện tại, chúng ta không thể giải được tất cả các phương trình vi phân theo hướng tìm một công thức tường minh cho nghiệm phương trình Trong phần này, chúng ta

sẽ chỉ ra rằng mặc dù không có một công thức nghiệm tường minh nào, nhưng chúng ta vẫn có thể biết được nhiều thông tin về nghiệm của phương trình vi phân thông qua phương pháp đồ thị (trường định hướng) hoặc phương pháp số học (phương pháp Euler) Do giới hạn nội dung của bài báo cáo nên chúng ta chỉ xem xét phương pháp đầu tiên: Trường định hướng.[1]

1.1.2 Cơ sở lý thuyết

Giả sử ta có một phương trình vi phân cấp 1 có dạng y′= F(x, y) trong đó F(x, y) là biểu thức nào đó theo x và y Phương trình vi phân nói rằng hệ số góc của một đường cong nghiệm tại một điểm (x0, y0) trên đường cong là F(x0, y0) Nếu ta vẽ các đoạn thẳng ngắn với hệ số góc F(x0, y0) tại mọi điểm (x0, y0) tương ứng, ta nhận được Trường định hướng (hoặc Trường hệ

số góc) Các đoạn thẳng này cho thấy hướng mà một đường cong nghiệm đang tiến về

Mật độ điểm được vẽ càng dày đặc càng giúp ta xác định được chính xác hình dạng của đường cong nghiệm

(a) Độ dày đặc thấp (b) Độ dày đặc cao

Hình 1.1: Trường định hướng của phương trình vi phân y′= x + y

1

1.1.3 Ví dụ và bài tập

Ví dụ 1: Cho phương trình vi phân y′= x2+ y2− 1

(a) Vẽ trường định hướng

(b) Sử dụng câu (a) để vẽ đường cong nghiệm đi qua gốc tọa độ

Lời giải

(a)Ta bắt đầu bằng việc tính hệ số gốc tại một số điểm trong bảng sau:

x -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2

y 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1

y′= x2+ y2− 1 3 0 -1 0 3 4 1 0 1 4 Bảng 1.1: Bảng tính hệ số góc tại một số điểm trên mặt phẳng tọa độ Bây giờ ta vẽ các đoạn thẳng ngắn với hệ số góc như trên tại những điểm tương ứng Kết quả

là chúng ta có được trường định hướng như trong Hình 1.2

Hình 1.2: Trường định hướng của phương trình vi phân y′= x2+ y2− 1 (b) Từ gốc tọa độ, ta vẽ đoạn thẳng hướng nghiêng sang bên phải (hệ số góc là -1) Ta tiếp tục vẽ các đường cong nghiệm sao cho nó song song với các đoạn gần đó và tìm được đường như trong Hình 1.3 Quay trở lại gốc tọa độ, ta cũng vẽ đường cong nghiệm nghiêng sang bên trái tương tự như trên

Hình 1.3: Đường cong nghiệm đi qua gốc tọa độ

Hình 1.4: Mạch điện

Ví dụ 2: Bây giờ chúng ta sẽ xem trường định hướng giúp

chúng ta hiểu thêm gì về các hiện tượng vật lí Một mạch điện đơn giản như trong Hình 1.4 có chứa một suất điện động (thường

là một ắc-qui hay một máy phát điện) làm sản sinh một điện thế E(t)(V ) và cường độ điện trường I(t)(A) tại thời điểm t Mạch điện này cũng chứa một điện trở R(Ω) và một cuộn cảm có tự cảm L(H)

Theo Định luật Ohm, sự giảm áp do điện trở gây ra là RI

Điện áp giảm do cuộn cảm gây ra là LdIdt Một trong các định luật Kirchhoff nói rằng tổng sụt áp bằng với điện áp cung cấp E(t)

Vậy ta có:

LdI

dt + RI = E(t) (1.1)

Dễ thấy (1.1) là phương trình vi phân cấp 1 mô phỏng cường độ dòng điện I tại thời điểm t

Ta thử gán giá trị cụ thể cho các đại lượng vật lí để tiến hành tính toán: Giả sử trong một mạch điện đơn giản như Hình 1.4, điện trở là 12Ω, độ tự cảm là 4H, và một ắc-qui có điện thế không đổi là 60V

(a) Vẽ trường định hướng cho Phương trình (1.1) dựa trên các giá trị này

(b) Nhận xét về giá trị tới hạn của cường độ dòng điện?

(c) Xác định các Nghiệm cân bằng1 (d) Nếu ta đóng công tắc khi t = 0 thì dòng điện bắt đầu với I(0) = 0 Hãy sử dụng trường định hướng để vẽ đường cong I(t)

Lời giải

(a) Nếu thế L = 4, R = 12 và E(t) = 60 vào phương trình (1.1), ta được:

4dI

dt + 12I = 60 hay

I′= 15 − 3I (1.2)

Hình 1.5: Trường định hướng

Trường định hướng cho phương trình vi phân được minh họa trong Hình 1.5

(b)Căn cứ vào trường định hướng này, chúng ta thấy rằng dường như tất cả các nghiệm đều tiến về giá trị 5A,

có nghĩa là:

lim

t→+∞I(t) = 5 (c) Có vẻ như hàm hằng I(t) = 5 là nghiệm cân bằng Thật vậy, chúng ta có thể kiểm chứng điều này trực tiếp từ (1.2) Nếu I(t) = 5 thì dI

dt = 15 − 3I =

15 − 3.5 = 0

(d) Chúng ta sử dụng trường định hướng để vẽ đường cong nghiệm đi qua điểm (0, 0), kết quả thu được như Hình 1.7 (đường cong màu đỏ) dưới đây:

1 (Tên tiếng anh: Equilibrium Solution) là nghiệm của phương trình vi phân mà đạo hàm bằng không tại mọi điểm thuộc đường cong nghiệm đó Đồ thị của đường cong nghiệm cân bằng thường giống như một đường tiệm cận ngang.

3

Hình 1.6: Các đường cong nghiệm đi qua các điểm (0, 0), (1, 0) và (2, 0)

Lưu ý ở Hình 1.5, các đoạn hệ số góc dọc theo đường nằm ngang bất kỳ (có cùng hoành độ) phải song song với nhau, bởi vì t không xuất hiện ở vế phải của phương trình vi phân Nhìn chung, một phương trình vi phân có dạng y′= F(y) được gọi là phương trình vi

phân tự trị2 Với một phương trình như vậy, hai hệ số góc tương ứng của hai điểm khác nhau nhưng có cùng tung độ y phải bằng nhau

Điều này có nghĩa là nếu ta biết một nghiệm của phương trình vi phân tự trị, thì ta có thể tìm được rất nhiều nghiệm khác chỉ bằng cách dịch chuyển đồ thị của nghiệm đã biết sang bên phải hoặc bên trái Ở Hình

11, chúng ta biểu diễn các nghiệm tìm được khi dịch chuyển đường cong nghiệm màu đỏ sang phải một hoặc hai đơn vị thời gian (cụ thể là giây), tương ứng với việc

ta đóng công tắc khi t = 1 hoặc t = 2

1.2.1 Đặt vấn đề

Ở phần này, chúng ta sẽ xem xét một mô hình thực tế để giải thích sự tương tác giữa hai giống loài cùng sống trong một môi trường Chúng ta sẽ thấy rằng các mô hình này có dạng là một cặp các phương trình vi phân được liên kết với nhau.[1]

1.2.2 Cơ sở lý thuyết

Đầu tiên chúng ta xem xét tình huống trong đó một loài được gọi là con mồi, có nguồn thức

ăn phong phú, và một loài thứ hai được gọi là thú săn, chủ yếu ăn thịt con mồi Một số ví dụ về con mồi và thú săn như: thỏ và sói, cá ngừ và cá mập, rệp và bọ rùa, vi khuẩn và trùng amip Mô hình của chúng ta sẽ có hai biến độc lập và cả hai đều là các hàm số theo thời gian Gọi R(t) là

số con mồi (sử dụng R cho thỏ) và W (t) là số thú săn (với W là sói) tại thời điểm t

Khi không có thú săn, nguồn thức ăn phong phú sẽ giúp con mồi tăng trưởng rất nhanh, có nghĩa là:

dR

dt = kR trong đó k là một hằng số dương Ngược lại, khi không có con mồi, ta giả sử số lượng thú săn sẽ giảm với tốc độ theo tỉ lệ của chính nó, có nghĩa là:

dW

dt = −rW trong đó r là một hằng số dương Tuy nhiên, nếu cả hai loài cùng tồn tại, chúng ta giả sử nguyên nhân chính dẫn đến cái chết của con mồi là do thú săn ăn thịt, và giả sử tỷ lệ sinh cùng tỷ lệ sống sót của thú săn phụ thuộc vào lượng thức ăn sẵn có, tức là phụ thuộc vào con mồi Chúng ta cũng giả sử hai loài này chạm trán nhau với một mức độ tỷ lệ với số lượng của hai loài, có nghĩa là tỷ lệ với tích RW (Số lượng của mỗi loài càng nhiều, thì mức độ chạm trán càng cao.) Chúng ta có một hệ gồm hai phương

2 Tên tiếng anh: Autonomous Differential Equation

trình vi phân kết hợp tất cả các giả thiết trên như sau:











dR

dt = kR − aRW dW

dt = −rW + bRW

(1.3)

trong đó k, r, a và b là các hằng số dương Chú ý rằng số hạng −aRW làm giảm tỷ lệ tăng trưởng

tự nhiên của con mồi và số hạng bRW làm tăng tỷ lệ tăng trưởng tự nhiên của thú săn

Hệ phương trình (1.3) được gọi là hệ phương trình thú săn - con mồi, hoặc hệ phương

trình Lotka – Volterra Nghiệm của hệ phương trình này là cặp hàm số R(t) và W (t) mô tả số

lượng con mồi và thú săn dưới dạng các hàm số theo thời gian Bởi vì đây là hệ phương trình được ghép thành cặp (R và W xuất hiện trong cả hai phương trình ), nên chúng ta không thể giải lần lượt từng phương trình này đến phương trình kia Ta phải giải chúng 1 cách đồng thời

Không may là cho đến thời điểm hiện tại, ta không thể tìm được các công thức tường minh cho

Rvà W dưới dạng các hàm số theo t, nhưng ta có thể sử dụng phương pháp Trường định hướng

để phân tích các phương trình này

1.2.3 Ví dụ và bài tập

Bây giờ ta sẽ gán giá trị cụ thể cho các hằng số k, r, a và b để phân tích thử mô hình trên

Ví dụ 1: Giả sử quần thể thỏ và sói được mô tả bằng phương trình Lotka-Volterra với

k= 0.08, a = 0.001, r = 0.02 và b = 0.00002 Thời gian t được tính theo tháng

(a) Tìm các nghiệm cân bằng và nêu ý nghĩa sinh học của chúng

(b) Sử dụng hệ phương trình vi phân để tìm một biểu thức cho dW

dR (c) Vẽ trường định hướng cho phương trình vi phân vừa tìm được trong mặt phẳng R-W Sau

đó sử dụng trường định hướng đó để vẽ một vài đường cong nghiệm

(d) Giả sử vào một thời điểm nào đó có 1000 con thỏ và 40 con sói Vẽ đường cong nghiệm tương ứng và sử dụng nó để mô tả sự thay đổi về số lượng trong cả hai quần thể

(e) Sử dụng câu (d) để vẽ đồ thị biễu diễn R và W theo biến t

Lời giải

(a) Thay các giá trị đề cho vào (1.3), ta được:











dR

dt = 0.08R − 0.001RW dW

dt = −0.02W + 0.00002RW

Rvà W sẽ là hằng số nếu đạo hàm của chúng bằng 0, khi đó:







R′= R(0.08 − 0.001W ) = 0

W′= W (−0.02 + 0.00002R) = 0

(1.4)

Một nghiệm của hệ (1.4) là R = W = 0, điều này là hiển nhiên vì nếu không có con thỏ và con sói nào thì kích thước mỗi quần thể chắc chắn sẽ không thay đổi và bằng 0 Một nghiệm khác của hệ là:

5

W = 0.08 0.001 = 80 và R =

0.02 0.00002= 1000 Vậy quần thể cân bằng sẽ có 1000 con thỏ và 80 con sói Điều này có nghĩa rằng 1000 con thỏ chỉ đủ để duy trì một số lượng sói là 80 con không hơn không kém

(b) Ta sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp để khử t:

dW

dt = dW dR

dR

dt ⇔ dW

dR =

dW dt dR dt

= −0.02W + 0.00002RW 0.08R − 0.001RW (1.5)

(c) Ta có phương trình vi phân W theo R: dW

dR =

dW dt dR dt

= −0.02W + 0.00002RW 0.08R − 0.001RW

Ta tiến hành vẽ trường định hướng cho phương trình vi phân (Hình 1.7a) và dựa vào đó vẽ các đường cong nghiệm của hệ (Hình 1.7b) Ta thấy được mối liên hệ giữa R và W thay đổi thế nào qua thời gian và những đường cong nghiệm này là những đường cong khép kín Điểm

(1000; 80) luôn nằm bên trong tất cả các đường cong nghiệm và ta gọi nó là điểm cân bằng3vì

nó tương ứng với số lượng quần thể ở trạng thái cân bằng

(a) Trường định hướng (b) Đường cong nghiệm

Hình 1.7: Trường định hướng và một số đường cong nghiệm của phương trình (1.5)

(d) Với 1000 con thỏ và 40 con sói ta vẽ đường cong nghiệm đi qua điểm P0(1000; 40) Hình 1.8 biểu diễn quỹ đạo của mô hình sau khi đã xóa trường định hướng Thay R = 1000 và W = 40 vào phương trình đầu của (1.4), ta có: R′= 1000(0.08 − 0.001(40)) = 40 > 0

Ta thấy rằng đạo hàm của R theo t lớn hơn 0 nên R đang tăng tại điểm P0 Do đó ta bắt đầu tại P0và đi ngược chiều kim đồng hồ

3 Tên tiếng anh: Equilibrium Point

Hình 1.8: Đường cong nghiệm đi qua

P0(1000; 40)

Nhận xét:Tại P0số lượng sói không đủ để duy trì sự cân bằng giữa hai loài nên số lượng thỏ tăng lên Điều đó dẫn tới số lượng sói tăng theo và thậm chí có quá nhiều sói dẫn đến việc thỏ khó tránh được việc bị ăn thịt

Số lượng thỏ bắt đầu giảm tại P1 (khi số lượng thỏ đã đạt đến cực đại R ≈ 2800), điều này lại dẫn đến việc một khoảng thời gian sau số lượng sói sẽ bắt đầu giảm (tại P2 số lượng thỏ là 1000 còn số lượng sói khoảng 140), lượng sói giảm lại có lợi cho thỏ nên số lượng thỏ bắt đầu tăng lên (ở P3, số lượng thỏ khoảng 210 và số lượng sói là 80)

Điều này lại dẫn đến việc lượng sói tăng lên và sau đó số lượng của cả hai quần thể lại trở về trạng thái ban đầu P0, kết thúc một chu kì

(e) Mặc dù không thể tìm được công thức tường minh của W (t) và R(t), ta vẫn có thể ước tính được đồ thị của hai hàm số này Từ diễn tả về sự tăng giảm số lượng của thỏ và sói ở câu (d) ta có thể vẽ lại đồ thị của R và W theo t như Hình 1.9 Giả sử rằng những điểm P1, P2 và P3

ở Hình 1.8 lần lượt xảy ra vào thời điểm t1, t2và t3

(a) Đồ thị W (t) (b) Đồ thị R(t)

Hình 1.9: Đồ thị của W và R theo thời gian

Để dễ dàng so sánh hai đồ thị với nhau, ta vẽ hai đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ, kết quả thu được hoàn toàn phù hợp với sự diễn tả ở câu (d):

Hình 1.10: Biểu đồ so sánh số lượng thỏ và sói tại từng thời điểm

7