BÁO cáo bài tập lớn GIẢI TÍCH 1 đề tài ỨNG DỤNG của đa THỨC TAYLOR

T r o n g môn giải tích bao hàm rất nhiều các công thức và ứng dụng thựctế về những gì chúng có thể làm được.. Trong đó c,?là những số thực nằm giữa a vàx.???được gọi là đathứcTaylor bậc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINHTRƯỜNGĐẠIHỌCBÁCH KHOA

- 2

-LớplýthuyếtL09 –lớpbài tậpL09 -NhómP01

hoànthành

1 PhanKếVĩnhHưng 2111412 100%

2 TrươngThanhNhàn 2111891 100%

3 LườngTú Đồng 2111068 100%

4 NguyễnMinhChiến 2112934 100%

Mụclục

Lờinóiđầu 3

Chương1.CƠSỞLÝ THUYẾT 1.1 ĐịnhlýTaylor… 4

1.2 Dạngkhác củacôngthứcTaylor… 5

1.3 CôngthứcMaclaurint 6

1.4 Côngthứckhai triểncủamột sốhàmsơcấp thườnggặp… 6

1.5 KhaitriểnhàmthànhchuỗiTaylor 7

Chương2.ỨNGDỤNG 2.1 Ứng dụng công thức khai triển Taylor vào giải một sốdạngtoánhàm mộtbiến. 2.1.1 ỨngdụngcôngthứckhaitriểnTaylorđểtínhgầnđúng 8

2.1.2 Ứngdụng côngthứckhaitriểnTaylor đểtínhgiớihạn… 9

2.1.3 ỨngdụngcôngthứckhaitriểnTaylorđểtìmcựctrịcủahàmsố 10

2.2 Ứngdụngc ô n g t h ứ c k h a i t r i ể n T a y l o r t r o n g v ậ t l ý học 12

2.3ChuỗiTaylorvà sựliênhệvới ADN 15

Kếtluận 19

Tàiliệutham khảo 19

LỜINÓI ĐẦU

Trong hầu hết các chương trình của các trường đại học thuộckhối ngành kỹ thuật và giáo dục đều bao gồm môn khoa học tựnhiên từ những năm đầu tiên của hành trình tại đại học Chúngđóng một vai tròh ế t s ứ c q u a n t r ọ n g l à m

n ề n t ả n g đ ể p h á t t r i ể n và tư duy trong các môn sau này và môn giải tích cũng chính làmột trong sốcácm ô n k h o a

h ọ c t ự n h i ê n c ầ n t h i ế t đ ó T r o n g môn giải tích bao hàm rất nhiều các công thức và ứng dụng thựctế về những gì chúng có thể làm được Khi nhắc tới những côngthức và ứng dụngthực tế, thì không thể nào không kể đến côngthức Taylor và những ứng dụng thực tế tuyệt vời mà nó mang lại.Vìvậy,hômnaychúngtasẽđitìmhiểusâuhơnvàcụthểhơnvề côngthứcTaylor,từđógiúpquýđộcgiảhiểuvàvậndụngvào thựctế mộtcáchsángtạocho từngtình huốngkhácnhau.

Biểu thức (3)đượcgọilà phần dưdạngCauchy

Trongcông thức(1)vàcông thức(2)thaybbởi x,tađược

Trong đó c,𝜉là những số thực nằm giữa a vàx.𝑃𝑛(𝑥)được gọi là đa

thứcTaylor bậc n của hàm sốf(x)tại điểm a và𝑅𝑛(x) được gọi là phần dưtheothứtựLagrange vàdạngCauchy

(𝑛 +1)

(𝑥0+𝜃ℎ)

(1−𝜃)𝑛

ℎ𝑛+

1 𝑛!

Chú ý rằng số thực𝜃trong cả 2 công thức (5) và (6) đều thuộckhoảng(0;1) nhưng nói chung chúng khác nhau Tùy theo trường hợp sẽ

Côngthứctrên cònđượcgọi là công thứcMaclaurin

2!

𝑥3+3 ! +⋯+ 𝑥𝑛

𝑛!

𝑥𝑛+1+

𝑓′′′(𝑥)=(−1)(−2)(1+𝑥)−3

∞

𝑓(𝑥)=∑

𝑘=0

𝑓(𝑘)(𝑎)𝑘! (𝑥 −𝑎)

Trong thực hành, các trường hợp quan trọng là các trường hợp biểu diễnphầndưcủakhaitriểntrêndướidạngLagrange:

𝑛

𝑅𝑛(𝑥)=𝑓 (𝑥)−∑

𝑘=0

𝑓(𝑘)(𝑎)𝑘! (𝑥−𝑎)𝑘= 𝑓

Trênthực tế, việc tính toán các giá trịc ủ a h à m s ố n h ư h à m

s ố l ư ợ n g giác, hàmsốmũ, hàmsốlogarit không dễ dàng và đơng i ả n

C ó k h i chúng a không dễ dàng tính toán được giá trị chính xác của

một hàm sốnhưng nhiều hàm số có thể tính xấp xỉbởi những đa thức vớisai sốđ ủ nhỏ và có rất nhiều phương pháp tính xấp xỉ một hàm số bởimột đa thức,trong đó phương pháp được sử dụng nhiều nhất là phươngpháp khai triểnTaylor.

Nhận xét: Ứng dụng trên cũng đã giúp chúng ta thấy được vai trò của

đathức Taylor trong toán học ở giai đoạn mà khoa học kỹ thuật chưapháttriểnhiệnđạinhưngàynay

2.1.2 Ứngdụng côngthứckhaitriểnTaylor đểtínhgiới hạn

Để tìm giới hạn của một hàm số, ta có thể thực hiện bằng định nghĩa,tínhchất, định lí hay quy tắc L’hopital Tuy nhiên, cũng có một số hàm khôngthể thực hiện bằng các phương pháp trên,

và thay vào đó chúng ta vẫn cóthểdựa vàocôngthức Taylorđểtìm giớihạn của hàm

Ví dụ: Tìmgiớihạnhàm sốsau:

Nhận xét: Nhờ vào những khai triển căn bản ở mục 1.4, ta đã giải

quyếtđược bài toán tìm giới hạn của một hàm số mà bằng định nghĩa,tính chất,địnhlý, quy tắc Lopitanchưa thểtìm được.Tuynhiên, ta cầnp h ả i

y”=sin(𝑥)+𝑥cos(𝑥),y”(0)=

0vày”(k𝜋)=(−1)𝑘.k𝜋,𝑘≠0,𝑘∈𝑍 Dovậytaxétđạohàm cấp3:y”’

=2cos(𝑥)- xsin(𝑥), y”’(0)=2≠0Theođịnhlítrên ta có:

• n= 2là chẵnnênhàm sốcócựctrịtại𝑥2=𝑘𝜋,𝑘≠0,𝑘∈𝑍

dạng bài này, cần tính đạo hàm cấp cao hơn và xét tính cực trị tại cácđạohàmdóđểkhôngbỏsótđiểm cựctrị mà bàitoányêucầu

2.2 Ứngdụng công thứckhaitriểnTaylor trongvậtlýhọc

Các đa thức Taylor cũng được sử dụng thường xuyên trong lĩnh vựcvậtlý Để hiểu thấu đáo một phương trình, một nhà vật lý thường phảiđơngiản hoá một hàm số bằng cách chỉ xét hai hoặc ba số hạng đầu tiêntrongchuỗi Taylor Hay nói cách khác, nhà vật lý sử dụng một đa thức Taylorlàm một xấp xỉ cho hàm

số Bất đẳng thức Taylor sau đó có thể được sửdụng để đo độ chính xáccủa phép tính xấp xỉ Ví dụ sau đây sẽ chỉ chochúng tamộtcáchđểápdụngýtưởngnày trongthuyếttươngđốihẹp

Ví dụ 1: Theo thuyết tương đối hẹp của Einstein thì khối lượng của

mộtvậtthểđangdichuyểnvớivậntốcvlà

𝑚0𝑚=

√1−𝑣2/𝑐2

Trong đóm 0 là khối lượng của vật thể khi đứng yên vàclà vận tốc ánhsáng.

Động năng của vật thể là phần chênh lệch giữa tổng nănglượngchuyểnđộngcủanó vớinănglượngkhinóđứngyên:

Chúng ta k ế t l u ậ n r ằ n g : khi|𝑣|≤ 100m/s, độ lớn của sai số khi

sửdụngbiểu thứcđộngnăng củaNewtonlớnnhất bằng (4.2×10-10)m0

Vídụ2:

Mộtc h i ế c x e đ a n g d i c h u y ể n v ớ i v ậ n t ố c 2 0 m /

s , v à g i a t ố c l à 2 m / 𝑠2ngay lúc ó Hãy sử dụng một a thức Taylor bậc 2 ể ước tínhđó Hãy sử dụng một đa thức Taylor bậc 2 để ước tính đó Hãy sử dụng một đa thức Taylor bậc 2 để ước tính đó Hãy sử dụng một đa thức Taylor bậc 2 để ước tínhkhoảngcách mà xe đi được trong giây tiếp theo Có hợp lý không nếuchúng tatiếp tục sử đụng đa thức này để ước tính khoảng cách mà xe điđược trongphút tiếptheo

Giải:

GọiS(t)là vịtrícủa chiếc xevàtạit=0,S(0)=0.

Tacó:vậntốcV(t) =S ’ (t)vàgia tốca(t) =S ’’ (t).

Chọnmộthàmsố,chọnmộtđiểmcụthể,nghiêncứusâuhơnđiểmnàyvàtrạngtháicủahàmtạiđiểmđó,tacóthểrútrađượcđầyđủthôngtinđể xây dựnglại hoàn chỉnh hàm số kia Chuỗi Taylor khám phá ra "ADNToán Học" của hàm số và để chochúng ta xây dựng lại hàm số đó từ chỉmộtđiểmduynhất

Xâydựng hàmvà Xácđịnhcácthànhphầncủa ADN

Giả sử ta có hàm của bộ ADN𝑓(𝑥) Nếu cứ tiếp tục tính đạo hàm cáccấpcao hơn, ta sẽ có thể khảo sát được sự thay đổi trạng thái của hàm nhiềuhơn

Mục đích của chúng ta là xây dựng một hàm từ một điểm ban đầu.Thửtưởng tượng một hàm số bất kỳ, về bản chất, là một hàm đa thức (vớisốlượng hạngtửvôtận)nhưsau:

Thay đạohàm cáccấpcủa hàmsố Sin(x) vàocôngthức trên,ta được

khaitriểnTaylor của hàmSin(x)xungquanhđiểmx=0nhưsau:

𝑆𝑖𝑛(𝑥)=𝑥 − 𝑥3

3!

𝑥5+5! −7! + 𝑥7

Minhhọa cho chuỗi Sin(x)

Khi ấy chuỗiADNcủasin chỉlà [0,1,0,-1]l ặ p đilặp lại

Từđótacóđược2ứngdụngchính:Tìmcấutrúcsinhhọccủacácsinhvậtvàxácđịnhhuyếtthống

1. Tìm cấu trúcsinhhọc

Nhìn vào hình ta có thể thấy: Khi càng cần thêm nhiều thông tin, chúngtacàng lấy nhiều hơn các hạng tử trong công thức khai triển của chuỗiTaylor.

𝑥22!

𝑥5+5 !

𝑥4+4!

−

⋯⃗

𝐴⃗⃗𝐷⃗

⃗𝑁⃗→[0,1,0,−1,…]

−

⋯⃗

𝐴⃗⃗𝐷⃗

⃗𝑁⃗→[1,0,−1,0,…]

𝑒𝑥= 1+𝑥+ 𝑥2

2!

𝑥3+3 ! +

⋯⃗

𝐴⃗⃗𝐷⃗

⃗𝑁⃗→[1,1,1,1,…]

NhậnxéttinhtếcủaEuler(CôngthứcEuler)đãgiảiquyếtđượcvấnđềnày bằngcáchdựavàotínhchấtđặcbiệtcủa số ảo:

𝑒𝑖𝑥=1+𝑖𝑥+ (𝑖𝑥)2

2!

(𝑖𝑥)3

+3!

(𝑖𝑥)4

+4!

(𝑖𝑥)5

+5!

(𝑖𝑥)6

+6!

TÀILIỆUTHAMKHẢO

1>James Stewart, 2022.CALCULUS Xuất bản lần thứ 8 Hoa

Kỳ:Cengage,tr.2-200

2>Lê Hải Ly, 2008.Một số ứng dụng của công thức khai triển

Taylorvào giải toán Ấn bản đầu tiên Phú Thọ: Đại học Hùng Vương,

tr.6-11.3>Lê Xuân Đại, Nguyễn Bá Thi, Trần Ngọc Diễm, Ngô Thu

Lương,Đặng Văn Vinh, Nguyễn Hữu Hiệp, Hoàng Hải Hà, Phùng

Trọng Thực,ĐậuThếPhiệtvàNguyễnThịXuânAnh,2021.Giáo

TrìnhGiảiTích

1 Ấn bản thứ 3 Tp Hồ Chí Minh: Nhà xuất bản Đại Học Quốc

GiaTp.HồChíMinh,tr.78-85

4>Đinh Anh Thi, 2022.Hiểu trực tiếp chuỗi Taylor thông qua các

liênhệ với ADN - BetterExplained-vn-dịch [trực tuyến]Betterexplained.math2it.com

Tại

calculus/chuoi-taylor-va-adn>[Truycậpngày3tháng1năm2022]

<https://betterexplained.math2it.com/bai-viet/phep-tinh-vi-tich-phan-5>https://www.wolframalpha.com/

-

- Soạn sơbộnộidung củabài báo cáo

- Tổngkếtsơbộtài liệuđãtìmhiểu được

- HoànthànhnộidungLí thuyếtvàỨngdụng

- QuyếtđịnhtạmngưnghọptrênGoogleMeet(Tậptrungchothicuốikì) đếnkhikếtthúckìthi,vẫntiếp

2