BÁO cáo bài tập lớn GIẢI TÍCH 1 đề tài ỨNG DỤNG của đa THỨC TAYLOR

Ứng dụng công thức khai triển Taylor vào giải một số d ạng toán hàm một biến... Trong môn gi ải tích bao hàm rất nhiều các công thức và ứng dụng thực tế về những gì chúng có thể làm đượ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

L ớp lý thuyết L09 – lớp bài tập L09 - Nhóm P01

thành

1 Phan K ế Vĩnh Hưng 2111412 100%

2 Trương Thanh Nhàn 2111891 100%

3 Lường Tú Đồng 2111068 100%

4 Nguy ễn Minh Chiến 2112934 100%

L ời nói đầu……….….…………3

Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Định lý Taylor………4

1.2 Dạng khác của công thức Taylor………5

1.3 Công thức Maclaurint……….… … 6

1.4 Công thức khai triển của một số hàm sơ cấp thường gặp… …….6

1.5 Khai triển hàm thành chuỗi Taylor……….7

Chương 2 ỨNG DỤNG 2.1 Ứng dụng công thức khai triển Taylor vào giải một số d ạng toán hàm một biến 2.1.1 Ứng dụng công thức khai triển Taylor để tính gần đúng……….8

2.1.2 Ứng dụng công thức khai triển Taylor để tính giới hạn….…….9

2.1.3 Ứng dụng công thức khai triển Taylor để tìm cực trị của hàm số……….…10

2.2 Ứng dụng công thức khai triển Taylor trong vật lý h ọc……….……….………12

2.3 Chu ỗi Taylor và sự liên hệ với ADN……… ….15

K ết luận……… ……….……… 19

Tài li ệu tham khảo ……… …19

L ỜI NÓI ĐẦU

Trong h ầu hết các chương trình của các trường đại học thuộc

kh ối ngành kỹ thuật và giáo dục đều bao gồm môn khoa học tự nhiên từ những năm đầu tiên của hành trình tại đại học Chúng đóng một vai trò hết sức quan trọng làm nền tảng để phát triển

và tư duy trong các môn sau này và môn giải tích cũng chính là

m ột trong số các môn khoa học tự nhiên cần thiết đó Trong môn gi ải tích bao hàm rất nhiều các công thức và ứng dụng thực

tế về những gì chúng có thể làm được Khi nhắc tới những công

th ức và ứng dụng thực tế, thì không thể nào không kể đến công thức Taylor và những ứng dụng thực tế tuyệt vời mà nó mang lại

Vì v ậy, hôm nay chúng ta sẽ đi tìm hiểu sâu hơn và cụ thể hơn

v ề công thức Taylor, từ đó giúp quý độc giả hiểu và vận dụng vào th ực tế một cách sáng tạo cho từng tình huống khác nhau

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1 Định lý Taylor

Giả sử hàm số f(x) có các đạo hàm đến cấp n liên tục trên [a;b] và có

đạo hàm cấp n + 1 trên (a;b) Khi đó tồn tại 1 điểm c ∈(a;b) sao cho:

𝑓(𝑏)=𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)1! (𝑏 − 𝑎) +𝑓"(𝑎)2! (𝑏 − 𝑎) 2 + +𝑓(𝑛)𝑛!(𝑎)(𝑏 − 𝑎) 𝑛 +𝑓(𝑛+1)(𝑛+1)!(𝑐)(𝑏 − 𝑎) 𝑛+1

(1)

Đẳng thức (1) cũng đúng trong trường hợp a > b Khi đó [a; b] được

thay đổi thành [b;a] và khoảng (a;b) được chuyển thành (b;a)

Công thức (1) gọi là công thức Taylor Biểu thức 𝑓(𝑛 + 1)!(𝑛 + 1)(𝑐)(𝑏 − 𝑎)(𝑛+1)

được gọi là phần dư Lagrange

• Chú ý

Có thể biểu diễn phần dư 𝑅𝑛 dưới nhiều dạng khác nhau Nhưng ở đây

chúng ta sẽ nói tới phần dư Cauchy

Nếu hàm số f thỏa các giả thuyết của định lý trên thì tồn tại 1 số ξ ∈

(a;b) sao cho:

Biểu thức (3) được gọi là phần dư dạng Cauchy

Trong công thức (1) và công thức (2) thay b bởi x, ta được

Trong đó c, 𝜉 là những số thực nằm giữa a và x.𝑃𝑛(𝑥) được gọi là đa thức

Taylor bậc n của hàm số f(x) tại điểm a và 𝑅𝑛(x) được gọi là phần dư theo

thứ tự Lagrange và dạng Cauchy

Nếu lim

𝑥 → 𝑛 𝑅𝑛(𝑥) = 0 thì với x đủ gần a, có thẻ xấp xỉ f(x) bởi đa thức

𝑃𝑛(x)

1.2 Dạng khác của công thức Taylor

Trong các công thức (1) và (2) ta đặt 𝑥0 = 𝑎, ℎ = 𝑏 − 𝑎, ta được

Chú ý rằng số thực 𝜃 trong cả 2 công thức (5) và (6) đều thuộc khoảng (0;1) nhưng nói chung chúng khác nhau Tùy theo trường hợp sẽ sử dụng công thức Taylor và phần dư theo dạng này hay dạng kia

𝑓(𝑛)(0)𝑛! 𝑥𝑛+ Rn(x) Trong đó, 𝑅𝑛(𝑥) =𝑓(𝑛+1)(𝑛+1)! (𝜃𝑥)𝑥𝑛+1, 0 < 𝜃 < 1 (phần dư dạng Lagrange)

Hoặc 𝑅𝑛(𝑥) =𝒇(𝒏+𝟏)(𝒏+𝟏)! (𝜽𝒙) (1 − 𝜃)𝑥𝑛, 0 < 𝜃 < 1 (phần dư dạng Cauchy)

Công thức trên còn được gọi là công thức Maclaurin

1.4 Công th ức khai triển của một số hàm sơ cấp thường gặp

1.5 Khai tri ển hàm thành chuỗi Taylor

Nếu hàm 𝑓(𝑥) có thể khai triển trên khoảng (a-R, a+R) thành chuỗi luỹ

thừa thì chuỗi này là chuỗi Taylor đối với hàm f(x)

Để hàm 𝑓(𝑥) có thể khai triển thành chuỗi Taylor trên khoảng (a-R, a+R) điều kiện cần và đủ là hàm 𝑓(𝑥) khả vi vô hạn và phần dư trong công thức Taylor đối với hàm này tiến tới 0 khi n → ∞ trên khoảng đó Khai triển

có dạng:

𝑓(𝑥) = ∑𝑓(𝑘)𝑘! (𝑥 − 𝑎)(𝑎) 𝑘

∞ 𝑘=0

(∗) Trong thực hành, các trường hợp quan trọng là các trường hợp biểu diễn phần dư của khai triển trên dưới dạng Lagrange:

𝑅𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥) − ∑𝑓(𝑘)𝑘!(𝑎)(𝑥 − 𝑎)𝑘

𝑛 𝑘=0

2.1.1 Ứng dụng công thức khai triển Taylor để tính gần đúng

Trên thực tế, việc tính toán các giá trị của hàm số như hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số logarit không dễ dàng và đơn giản Có khi chúng a không dễ dàng tính toán được giá trị chính xác của một hàm số nhưng nhiều hàm số có thể tính xấp xỉ bởi những đa thức với sai số đủ

nhỏ và có rất nhiều phương pháp tính xấp xỉ một hàm số bởi một đa thức, trong đó phương pháp được sử dụng nhiều nhất là phương pháp khai triển Taylor

Do đó 0,000198 < 𝑒7!𝜃 < 0,000595 (**)

Từ (*) và (**) ta được 2,718258 <e< 2,718655 Vậy nên

e ≈2,718 với độ chính xác đến 3 chữ số thập phân, n càng lớn thì độ chính xác của e càng cao

Nh ận xét: Ứng dụng trên cũng đã giúp chúng ta thấy được vai trò của đa

thức Taylor trong toán học ở giai đoạn mà khoa học kỹ thuật chưa phát triển hiện đại như ngày nay

2.1.2 Ứng dụng công thức khai triển Taylor để tính giới hạn

Để tìm giới hạn của một hàm số, ta có thể thực hiện bằng định nghĩa, tính

chất, định lí hay quy tắc L’hopital Tuy nhiên, cũng có một số hàm không thể thực hiện bằng các phương pháp trên, và thay vào đó chúng ta vẫn có

thể dựa vào công thức Taylor để tìm giới hạn của hàm

Ví d ụ: Tìm giới hạn hàm số sau:

Do đó ta cần khai triển hàm 𝑓(𝑥) = cos(x𝑒𝑥) - ln(1-x) - x theo công thức

Taylor đến o(𝑥3) Sử dụng các khai triển ở 1.4 ta được:

Để tính giới hạn của [𝑓(𝑥)]𝑔(𝑥) khi x dần tới 0, đầu tiên ta cần tìm giới

hạn của Logarit cảu nó, tức là tìm: lim𝑥→0[𝑔(𝑥)𝑙𝑛𝑓(𝑥)]

Nh ận xét: Nhờ vào những khai triển căn bản ở mục 1.4, ta đã giải quyết

được bài toán tìm giới hạn của một hàm số mà bằng định nghĩa, tính chất, định lý, quy tắc Lopitan chưa thể tìm được Tuy nhiên, ta cần phải ghi

nhớ các công thức khai triển và vận dụng đúng chỗ

2.1.3 Ứng dụng công thức khai triển Taylor để tìm cực trị hàm số

Định lý

Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp n tại 𝑥0

𝑓′(𝑥0) = 𝑓"(𝑥0) = = 𝑓𝑛−1(𝑥0) = 0 và 𝑓(𝑛)(𝑥0) ≠ 0 Khi đó:

a) Nếu n chẵn thì có cực trị tại điểm 𝑥0 (nếu 𝑓(𝑛)(𝑥0) > 0 thì f có cực tiểu

tại 𝑥0, nếu 𝑓(𝑛)(𝑥0) < 0 thì 𝑓 có cực đại tại 𝑥0)

b) Nếu n lẻ thì hàm số f không có cực trị tại điểm 𝑥0

Ví d ụ: Tìm cực trị của hàm số y = sin(𝒙) - 𝒙cos(𝒙)

Ta có:

y’ = cos(𝑥) - cos(𝑥) + 𝑥sin(𝑥) = xsin(𝑥)

Với y’= 0 thì { 𝑥1 = 0

𝑥2 = 𝑘𝜋, 𝑘 ≠ 0, 𝑘 ∈ 𝑍Xét đạo hàm cấp 2 của hàm số ta có:

y” = sin(𝑥) + 𝑥cos(𝑥), y”(0) = 0 và y”(k𝜋) = (−1)𝑘.k𝜋, 𝑘 ≠ 0, 𝑘 ∈ 𝑍

Do vậy ta xét đạo hàm cấp 3 :y”’ = 2cos(𝑥) - xsin(𝑥), y”’(0) = 2≠ 0

Theo định lí trên ta có:

• n = 2 là chẵn nên hàm số có cực trị tại 𝑥2 = 𝑘𝜋, 𝑘 ≠ 0, 𝑘 ∈ 𝑍

• n = 3 là số lẻ nên hàm số không có cực trị tai 𝑥1 = 0

Nh ận xét: Nhờ vào định lý trên ta dễ dàng tìm được cực trị của hàm số

mà không cần phải thông qua bảng biến thiên Tuy nhiên, đối với nững

dạng bài này, cần tính đạo hàm cấp cao hơn và xét tính cực trị tại các đạo hàm dó để không bỏ sót điểm cực trị mà bài toán yêu cầu

2.2 Ứng dụng công thức khai triển Taylor trong vật lý học

Các đa thức Taylor cũng được sử dụng thường xuyên trong lĩnh vực vật

lý Để hiểu thấu đáo một phương trình, một nhà vật lý thường phải đơn

giản hoá một hàm số bằng cách chỉ xét hai hoặc ba số hạng đầu tiên trong chuỗi Taylor Hay nói cách khác, nhà vật lý sử dụng một đa thức Taylor làm một xấp xỉ cho hàm số Bất đẳng thức Taylor sau đó có thể được sử

dụng để đo độ chính xác của phép tính xấp xỉ Ví dụ sau đây sẽ chỉ cho chúng ta một cách để áp dụng ý tưởng này trong thuyết tương đối hẹp

Ví dụ 1: Theo thuyết tương đối hẹp của Einstein thì khối lượng của một

vật thể đang di chuyển với vận tốc v là

√1 − 𝑣2/𝑐2

Trong đó m 0 là khối lượng của vật thể khi đứng yên và c là vận tốc ánh sáng Động năng của vật thể là phần chênh lệch giữa tổng năng lượng chuyển động của nó với năng lượng khi nó đứng yên:

𝐾 = 𝑚𝑐2− 𝑚0𝑐2

a) Chứng minh rằng khi v rất nhỏ so với c, thì biểu thức K đúng với

vật lý cổ điển của Newton: 𝐾 = 1/2𝑚0𝑣2

b) Sử dụng bất đẳng thức Taylor để ước tính phần chênh lệch trong các biểu thức của K khi |𝑣| ≤ 100 m/s

Với x = -v 2 /c 2 , chu ỗi Maclaurint cho (1+x) -1/2 được tính dễ dàng

nhất như tính một chuỗi nhị thức với k = -1/2 (Lưu ý |𝑥| < 1 bởi

vì v<c) Vì vậy, ta có:

(1 + 𝑥)−12 = 1 −12 𝑥 +(−12 ) (

−3

2 )2! 𝑥2+

(−12 ) (−32 ) (−52 )

+ ⋯

= 1 − 12 𝑥 +38 𝑥2−16 𝑥5 3+ ⋯

và 𝐾 = 𝑚0𝑐2[(1 +12𝑣𝑐22+38𝑣𝑐44+165 𝑣𝑐66+ ⋯ ) − 1]

= 𝑚0𝑐2(12𝑣𝑐22 +38𝑣𝑐44+165 𝑣𝑐66 + ⋯ )

Nếu v nhỏ hơn c rất nhiều thì tất cả các số hạng sau số hạng đầu tiên sẽ

rất nhỏ khi so sánh với số hạng đầu tiên Nếu bỏ chúng đi thì ta được:

Chúng ta k ết luận rằng: khi |𝑣| ≤ 100 m/s, độ lớn của sai số khi sử

dụng biểu thức động năng của Newton lớn nhất bằng (4.2×10-10)m0

Ví dụ 2:

Một chiếc xe đang di chuyển với vận tốc 20 m/s, và gia tốc là 2m/𝑠2

ngay lúc đó Hãy sử dụng một đa thức Taylor bậc 2 để ước tính khoảng cách mà xe đi được trong giây tiếp theo Có hợp lý không nếu chúng ta

tiếp tục sử đụng đa thức này để ước tính khoảng cách mà xe đi được trong phút tiếp theo

Giải:

Gọi S(t) là vị trí của chiếc xe và tại t = 0, S(0)=0

2.3.Chu ỗi Taylor và sự liên quan đến ADN

Cơ thể con người có một đặc tính kỳ lạ: bạn có thể nghiên cứu về toàn bộ

cơ thể từ chỉ một tế bào Chọn một tế bào, nghiên cứu sâu nhân của nó và xác định ADN bên trong Chỉ với mẫu ADN bé nhỏ này, bạn có thể tạo ra

một sinh vật hoàn chỉnh từ đó

Chọn một hàm số, chọn một điểm cụ thể, nghiên cứu sâu hơn điểm này

và trạng thái của hàm tại điểm đó, ta có thể rút ra được đầy đủ thông tin

để xây dựng lại hoàn chỉnh hàm số kia Chuỗi Taylor khám phá ra "ADN Toán Học" của hàm số và để cho chúng ta xây dựng lại hàm số đó từ chỉ

một điểm duy nhất

Xây d ựng hàm và Xác định các thành phần của ADN

Giả sử ta có hàm của bộ ADN 𝑓(𝑥) Nếu cứ tiếp tục tính đạo hàm các cấp cao hơn, ta sẽ có thể khảo sát được sự thay đổi trạng thái của hàm nhiều hơn

Mục đích của chúng ta là xây dựng một hàm từ một điểm ban đầu Thử tưởng tượng một hàm số bất kỳ, về bản chất, là một hàm đa thức (với số lượng hạng tử vô tận) như sau:

𝑓(𝑥) = 𝑐0 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥2 + 𝑐3𝑥3+

Để có thể gây dựng lại hàm f(x) này, ta cần phải dựa vào giá trị ban đầu

𝑥0và một loạt các hạng tử mà chúng ta cung cấp thêm cho nó (ví dụ như

𝑐1𝑥 ) Mã ADN của hàm 𝑓(𝑥) trong trường hợp này chính

là 𝑐0, 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3… Với bộ ADN này, ta có thể miêu tả một cách chính xác hàm số 𝑓(𝑥) ban đầu

Thay giá trị 0 vào biến, ta được:

𝑓(𝑥) = 𝑐0 + 0 + 0 +… = 𝑐0

Mọi hạng tử đều triệt tiêu ngoại trừ hạng tử đầu tiên, 𝑐0 Điều này cho

thấy, hạng tử đầu tiên của hàm số bất kỳ ta muốn xét đến chính là 𝑓(𝑥)

Nếu hàm 𝑓(𝑥) có dạng là sin(𝑥) thì khi ấy thành phần đầu tiên trong

ADN của hàm này chính là sin(0)=0

Nếu ta lấy đạo hàm của f(x), ta sẽ được:

𝑓′(𝑥)= (𝑐0)’ + (𝑐1𝑥)’ + (𝑐2𝑥2 )’+ (𝑐3𝑥3)′ +…

𝑓′(𝑥) = 0 + 𝑐1 + 2𝑐2𝑥 + 3𝑐3𝑥2+ …

Bậc của mỗi hạng tử giảm đi 1 và 𝑐0, vốn dĩ là một hằng số sẽ biến thành

0 Từ đây ta có thể tìm được 𝑐1 cũng bằng thủ thuật thay thế giá trị 𝑥 = 0

Ví d ụ: Chuỗi Taylor của Sin(𝒙)

Thay đạo hàm các cấp của hàm số Sin(x) vào công thức trên, ta được khai triển Taylor của hàm Sin(x) xung quanh điểm x= 0 như sau:

𝑆𝑖𝑛(𝑥) = 𝑥 −𝑥3! +3 𝑥5! −5 𝑥7! + 7

Minh h ọa cho chuỗi Sin(x)

Khi ấy chuỗi ADN của sin chỉ là [0,1,0,-1] lặp đi lặp lại

Từ đó ta có được 2 ứng dụng chính: Tìm cấu trúc sinh học của các sinh

vật và xác định huyết thống

1.Tìm cấu trúc sinh học

Nhìn vào hình ta có thể thấy: Khi càng cần thêm nhiều thông tin, chúng ta càng lấy nhiều hơn các hạng tử trong công thức khai triển của chuỗi Taylor

2 Xác định huyết thống

Sau đây là khải triển Taylor của các hàm sin x, cos x và e x t ại x=0:

sin 𝑥 = 𝑥 − 𝑥3! +3 𝑥5! − ⋯ 𝐴𝐷𝑁5 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ [0,1,0,−1, … ] cos 𝑥 = 1 −𝑥2! +2 𝑥4! − ⋯ 𝐴𝐷𝑁4 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ [1,0,−1,0, … ]

𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥2! +2 𝑥3! + ⋯ 𝐴𝐷𝑁3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ [1,1,1,1, … ]

Nhận xét tinh tế của Euler (Công thức Euler) đã giải quyết được vấn đề này bằng cách dựa vào tính chất đặc biệt của số ảo:

TÀI LI ỆU THAM KHẢO

1> James Stewart, 2022 CALCULUS Xuất bản lần thứ 8 Hoa Kỳ:

Cengage, tr.2-200

2> Lê Hải Ly, 2008 Một số ứng dụng của công thức khai triển Taylor

vào giải toán Ấn bản đầu tiên Phú Thọ: Đại học Hùng Vương, tr.6-11

3> Lê Xuân Đại, Nguyễn Bá Thi, Trần Ngọc Diễm, Ngô Thu Lương, Đặng Văn Vinh, Nguyễn Hữu Hiệp, Hoàng Hải Hà, Phùng Trọng Thực,

Đậu Thế Phiệt và Nguyễn Thị Xuân Anh, 2021 Giáo Trình Giải Tích

1 Ấn bản thứ 3 Tp Hồ Chí Minh: Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia

Tp Hồ Chí Minh, tr.78-85

4> Đinh Anh Thi, 2022 Hiểu trực tiếp chuỗi Taylor thông qua các liên

hệ với ADN - BetterExplained-vn-dịch [trực tuyến]

Betterexplained.math2it.com Tại

calculus/chuoi-taylor-va-adn> [Truy cập ngày 3 tháng 1 năm 2022]

<https://betterexplained.math2it.com/bai-viet/phep-tinh-vi-tich-phan-5> https://www.wolframalpha.com/

- -

- Đưa ra định hướng, kế hoạch làm bài báo cáo

- Phân chia nhiệm vụ cá nhân

15/12/2021 Họp buổi 2: (19h45 - 21h)

- Soạn sơ bộ nội dung của bài báo cáo

- Tổng kết sơ bộ tài liệu đã tìm hiểu được

- Hoàn thành sơ bộ bài báo cáo

- Chỉnh sửa nội dung phần ứng dụng

26/12/2021 Họp buổi 5:(18h - 19h)

- Tổng kết toàn bộ nôi dung các thành viên đã thành thành được

- Hoàn thành nội dung Lí thuyết và Ứng dụng

- Quyết định tạm ngưng họp trên Google Meet (Tập trung cho thi cuối kì) đến khi kết thúc kì thi, vẫn tiếp tục các công việc còn lại để hoàn thiện bài báo cáo 31/12/2021 Họp buổi 6: (14h - 16h)

- Hoàn thành nội dung Mở đầu và Kết luận cho bài báo cáo

- Chỉnh sửa và hoàn chỉnh bài báo cáo

- Tập thuyết trình

1/1/2022 - 5/1/2022 - Tiến hành record bài thuyết trình

- Nộp bài