BÁO cáo bài tập lớn GIẢI TÍCH 1 đề tài ỨNG DỤNG của đa THỨC TAYLOR

Chúng đóng một vai trò hết sức quan trọng làm nền tảng để phát triển và tư duy trong các môn sau này và môn giải tích cũng chính là một trong số các môn khoa học tự nhiên cần thiết đó..

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

-LỜI NÓI ĐẦU

Trong hầu hết các chương trình của các trường đại học thuộc khối ngành kỹ thuật và giáo dục đều bao gồm môn khoa học tự nhiên từ những năm đầu tiên của hành trình tại đại học Chúng đóng một vai trò hết sức quan trọng làm nền tảng để phát triển

và tư duy trong các môn sau này và môn giải tích cũng chính là một trong số các môn khoa học tự nhiên cần thiết đó Trong môn giải tích bao hàm rất nhiều các công thức và ứng dụng thực

tế về những gì chúng có thể làm được Khi nhắc tới những công thức và ứng dụng thực tế, thì không thể nào không kể đến công thức Taylor và những ứng dụng thực tế tuyệt vời mà nó mang lại.

Vì vậy, hôm nay chúng ta sẽ đi tìm hiểu sâu hơn và cụ thể hơn

về công thức Taylor, từ đó giúp quý độc giả hiểu và vận dụng vào thực tế một cách sáng tạo cho từng tình huống khác nhau.

3

-CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1 Định lý Taylor

Giả sử hàm số f(x) có các đạo hàm đến cấp n liên tục trên [a;b] và có

đạo hàm cấp n + 1 trên (a;b) Khi đó tồn tại 1 điểm c ∈(a;b) sao cho:

푓′(푓) 푓"(푓) 푓(푓)(푓)

푓!

푓 (푓+1) (푓) (푓+1)!

Công thức (1) gọi là công thức Taylor Biểu thức

được gọi là phần dư Lagrange

4

-푓(푓) = 푓 (x)) + 푓 (x)) 푓 푓

-Chú ý rằng số thực 푓 trong cả 2 công thức (5) và (6) đều thuộc khoảng(0;1) nhưng nói chung chúng khác nhau Tùy theo trường hợp sẽ sử dụngcông thức Taylor và phần dư theo dạng này hay dạng kia.

1.3 Công thức Maclaurin

Giả sử hàm số f(x) có các đạo hàm đến cấp n + 1 trên một lân cận của điểm 0 Trong các công thức (4), (5), (6) thay bởi 0 và h bởi x, ta được:

푓′(0) 푓"(0) 푓(푓)(0)푓(푓) = 푓(0)

( )

푓 (푓+1) (푓푓) (푓+1)!

Trong đó, 푓푓(푓)

=

6

-푓 푓(푓)

(푓)

푓(푓)[푓 + 푓(푓 − 푓)]

(ꢁ + 1)!

(푓 − 푓)푓

푓 +1

-lim(푓푓푓(푓푓푓) − 푓ꢁ(1 − 푓) − 푓)푓푓푓푓푓3

Cos(t) = 1 - + o(푓3)

2

푓 2 푓 3

- 푓ꢁ(1 − 푓) = x) +

10

ậ n xét : Nhờ vào những khai triển căn bản ở mục 1.4, ta đã giải quyết

được bài toán tìm giới hạn của một hàm số mà bằng định nghĩa, tính chất,định lý, quy tắc Lopitan chưa thể tìm được Tuy nhiên, ta cần phải ghinhớ các công thức khai triển và vận dụng đúng chỗ

2.1.3.Ứng dụng công thức khai triển Taylor để tìm cực trị hàm số

ậ n xét : Nhờ vào định lý trên ta dễ dàng tìm được cực trị của hàm số

mà không cần phải thông qua bảng biến thiên Tuy nhiên, đối với nững

- 12

dạng bài này, cần tính đạo hàm cấp cao hơn và x)ét tính cực trị tại các đạohàm dó để không bỏ sót điểm cực trị mà bài toán yêu cầu.

2.2 Ứng dụng công thức khai triển Taylor trong vật lý học

Các đa thức Taylor cũng được sử dụng thường x)uyên trong lĩnh vực vật

lý Để hiểu thấu đáo một phương trình, một nhà vật lý thường phải đơngiản hoá một hàm số bằng cách chỉ x)ét hai hoặc ba số hạng đầu tiên trongchuỗi Taylor Hay nói cách khác, nhà vật lý sử dụng một đa thức Taylorlàm một x)ấp x)ỉ cho hàm số Bất đẳng thức Taylor sau đó có thể được sửdụng để đo độ chính x)ác của phép tính x)ấp x)ỉ Ví dụ sau đây sẽ chỉ chochúng ta một cách để áp dụng ý tưởng này trong thuyết tương đối hẹp

Ví dụ 1: Theo thuyết tương đối hẹp của Einstein thì khối lượng của một

vật thể đang di chuyển với vận tốc v là

푓0

푓 =

√1 − 푓2/푓

2

Trong đó m 0 là khối lượng của vật thể khi đứng yên và c là vận tốc ánh

sáng Động năng của vật thể là phần chênh lệch giữa tổng năng lượngchuyển động của nó với năng lượng khi nó đứng yên:

푓 = 푓푓 − 푓

a) Chứng minh rằng khi v rất nhỏ so với c, thì biểu thức K đúng với

vật lý cổ điển của Newton: 푓 = 1/2 푓0푓2

b) Sử dụng bất đẳng thức Taylor để ước tính phần chênh lệch trongcác biểu thức của K khi |푓| ≤ 100 m/s

Ta có: vận tốc V(t) = S ’ (t) và gia tốc a(t) = S ’’ (t).

Ta có đa thức Taylor bậc 2 như sau:

푓(0)푓(푓) ≈ 푓2(푓) = 푓(0) + 푓(0)푓 +

2.3.Chuỗi Taylor và sự liên quan đến ADN

Cơ thể con người có một đặc tính kỳ lạ: bạn có thể nghiên cứu về toàn bộ

cơ thể từ chỉ một tế bào Chọn một tế bào, nghiên cứu sâu nhân của nó vàx)ác định ADN bên trong Chỉ với mẫu ADN bé nhỏ này, bạn có thể tạo ramột sinh vật hoàn chỉnh từ đó

Chọn một hàm số, chọn một điểm cụ thể, nghiên cứu sâu hơn điểm này

và trạng thái của hàm tại điểm đó, ta có thể rút ra được đầy đủ thông tin

để x)ây dựng lại hoàn chỉnh hàm số kia Chuỗi Taylor khám phá ra "ADNToán Học" của hàm số và để cho chúng ta x)ây dựng lại hàm số đó từ chỉmột điểm duy nhất

Xây dựng hàm và Xác định các thành phần của ADN

Giả sử ta có hàm của bộ ADN 푓(푓) Nếu cứ tiếp tục tính đạo hàm các cấp

cao hơn, ta sẽ có thể khảo sát được sự thay đổi trạng thái của hàm nhiềuhơn

Mục đích của chúng ta là x)ây dựng một hàm từ một điểm ban đầu Thửtưởng tượng một hàm số bất kỳ, về bản chất, là một hàm đa thức (với sốlượng hạng tử vô tận) như sau:

- 15

푓(푓) = 푓 + 푓 푓 + 푓 푓 +

푓 푓 +

Để có thể gây dựng lại hàm f(x) này, ta cần phải dựa vào giá trị ban đầu

푓 và một loạt các hạng tử mà chúng ta cung cấp thêm cho nó (ví dụ như0

푓 푓 ) Mã ADN của hàm 푓(푓) trong trường hợp này chính1

là 푓 , 푓 , 푓 , 푓 … Với bộ ADN này, ta có thể miêu tả một cách chính x)ác0 1 2 3

Nếu hàm 푓(푓) có dạng là sin(푓) thì khi ấy thành phần đầu tiên

trong

ADN của hàm này chính là sin(0)=0

16

Minh họa cho chuỗi Sin(x)

Khi ấy chuỗi ADN của sin chỉ là [0,1,0,-1] lặp đi lặp lại

Từ đó ta có được 2 ứng dụng chính: Tìm cấu trúc sinh học của các sinhvật và x)ác định huyết thống

1.Tìm cấu trúc sinh học

- 17

Nhìn vào hình ta có thể thấy: Khi càng cần thêm nhiều thông tin, chúng tacàng lấy nhiều hơn các hạng tử trong công thức khai triển của chuỗiTaylor.

cos 푓 = 1 − +

2!

18

Nhận x)ét tinh tế của Euler (Công thức Euler) đã giải quyết được vấn đềnày bằng cách dựa vào tính chất đặc biệt của số ảo:

2> Lê Hải Ly, 2008 Một số ứng dụng của công thức khai triển Taylor

vào giải toán Ấn bản đầu tiên Phú Thọ: Đại học Hùng Vương, tr.6-11.

> Lê Xuân Đại, Nguyễn Bá Thi, Trần Ngọc Diễm, Ngô Thu Lương, 3

Đặng Văn Vinh, Nguyễn Hữu Hiệp, Hoàng Hải Hà, Phùng Trọng Thực,

Đậu Thế Phiệt và Nguyễn Thị Xuân Anh, 2021 Giáo Trình Giải Tích

1 Ấn bản thứ 3 Tp Hồ Chí Minh: Nhà x)uất bản Đại Học Quốc Gia

<https://betterex)plained.math2it.com/bai-viet/phep-tinh-vi-tich-phan-> https://www.wolframalpha.com/

5

-

 - 20

-Tìm hiểu đềĐưa ra định hướng, kế hoạch làm bài báo cáoPhân chia nhiệm vụ cá nhân

-Soạn sơ bộ nội dung của bài báo cáoTổng kết sơ bộ tài liệu đã tìm hiểu được

Họp buổi 3: (18h - 20h)Các thành viên báo cáo những phần tài liệu màmình đã soạn được

Các thành viên nêu ý kiến và góp ý về tài liệu cho

nhau

2