BÁO cáo bài tập lớn GIẢI TÍCH 1 đề tài 20 đạo hàm và tốc độ THAY đổi

Ta thấy rằng giới hạn này chính là đạo hàm f 'x 1, và cũng chính là hệ số góc ứng với tiếp tuyến của đồ thị y = fx tại điểm có hoành độ là x1... Theo t −1990 Ta tính giá trị của tỉ số c

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM

KHOA KHOA HỌC VÀ ỨNG DỤNG

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1

ĐỀ TÀI 20:

ĐẠO HÀM VÀ TỐC ĐỘ THAY ĐỔI

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: ĐÀO HUY CƯỜNG NHÓM 2 – L04

TPHCM, THÁNG 12/2022

MỤC LỤC

III KẾT LUẬN

I LÝ THUYẾT

DERIVATIVES AND RATES OF CHANGE

1/ TANGENTS (TIẾP TUYẾN )

Nếu 1 đường cong C có phương trình y = f(x), chúng ta muốn tiếp

tuyến với đồ thị C tại điểm P (a, f(a)), thì chúng ta xét một điểm lân

cận Q (x, f(x)) ( điều kiện x ≠ a) thì hệ số góc của cát tuyến PQ:

ĐỊNH NGHĨA Đường tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) tại điểm P(a, f(a)) là đường

thẳng đi qua điểm P với hệ số góc:

m =lim f ( x )−f ( a)

x

→ a

x

−

a

(Phương trình 1)

Điều kiện: m tồn tại khi giới hạn trên tồn

Ta có thể cho điểm Q  P dọc theo đồ thị C bằng P dọc theo đồ thị C bằng

cách cho x a Nếu mPQ tiến tới một giá trị  P dọc theo đồ thị C bằng

m thì chúng ta định nghĩa rằng đường tiếp

tuyến là 1 đường thẳng đi qua P với hệ số

góc m

Như vậy, hệ số góc m=−1 ta được phương

3trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm (3, 1)

y−1=−1 ( x−3)

3

y + 1 x−2=03

3 y + x−6=0

2/ VELOCITIES ( VẬN TỐC)

Giả sử một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng theo

phương trình chuyển động s= f (t ), độ dời (khoảng cách có

hướng) của vật so với gốc tại thời điểm t Hàm số f mô tả

chuyển động gọi là hàm số vị trí của vật trong khoảng thời

gian từ t =a đến t =a+ h, ta có độ biến thiên y¿ f ( a+h)−f

t =a

Vị trí tại thời điểm

t =a+h

Bây giờ , giả sử chúng ta tính vận tốc trung bình trong các khoảng thời gian ngắn hơn: [ a , a+h

] có thể nói rằng là ta cho h tiến về 0 v (a ) tại thời điểm t =a là giới hạn của vận tốc trung

bình:

lim f ( a+h)−f (a)

v (a )= h→ 0

(Phhương trình 3)

=> vận tốc tại thời điểm bằng hệ số góc của tiếp tuyến tại P

Ví dụ 3 : Thả rơi quả bóng từ đài quan sát phía trên của Tháp CN, cao 450 m so với mặt đất.

(a) Vận tốc của quả bóng sau 5 giây là bao nhiêu?

(b) Quả bóng chuyển động nhanh như thế nào khi nó chạm đất?

Vận tốc sau thời gian 5(s) là v (5)=9,8.5=49(m / s )

Vì tòa tháp cao so với mặt đất 450m, nên ta có S(t 1)=450=4,9 t 12

t 1= 450 =9,6( s)

4,9Vận tốc khi banh chạm đất:

Nếu chúng ta viết x = a+h, thì chúng ta có h = x - a và h tiến tới 0 khi và chỉ khi x tiến tới a Do

đó, một cách tương đương để phát biểu định nghĩa của đạo hàm, như chúng ta đã thấy trong

việc tìm các tiếp tuyến, là

Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số y =f ( x )= x2−8 x+ 9 tại a

ĐỊNH NGHĨA Đạo hàm của hàm số f tại một số a,

Ta định nghĩa tiếp tuyến với đường cong y=f ( x )tại điểm P(a , f (a) ) là đường thẳng đi qua P

và có hệ số góc m cho bởi Phương trình 1 hoặc 2 Vì, theo Định nghĩa 4 điều này giống như đạo

hàm f ' (a ), bây giờ chúng ta có thể nói như sau.

Nếu chúng ta sử dụng dạng điểm-hệ số góc của phương trình của một đường thẳng, chúng ta có

thể viết phương trình của tiếp tuyến với đường cong y=f ( x ) tại điểm

(a , f ( a)):

y −f (a)=f ' (a) ( x−a)

Ví dụ 5: Tìm phương trình tiếp tuyến của parabol

y =x2−8 x +9tại (3;-6)

Giải:Từ ví dụ 4 ta biết đạo hàm của f ( x )=x−8 x + 9tại số a là

f ' (a )=2 a−8 Do đó hệ số góc của tiếp tuyến tại (3, - 6) là f '

IV/ RATES OF CHANGE ( TỐC ĐỘ BIẾN THIÊN)

Giả sử y là một đại lượng phụ thuộc vào một đại lượng khác Như vậy y là một hàm số theo x và

ta viết y = f(x) Nếu x thay đổi từ x1 đến x2, thì biến thiên của x (cũng gọi là gia số của x) là

∆ x=x2 −x1

và sự thay đổi tương ứng trong y là:

∆ y =f ( x2 )−f ( x1)Thương số thay đổi

∆ y = f ( x2 )−f ( x1)

∆x x2 −x1

là tốc độ thay đổi trung bình của y đối với x trong khoảng

thời gian từ [ x1 , x2 ] và có thể được hiểu là hệ số góc của

đường cát tuyến PQ Giới hạn của nó khi

∆ x →0 là đạo hàm f ' ( x), do đó có thể được hiểu là

tốc độ thay đổi tức thời của y đối với x hoặc hệ số góc của đường tiếp tuyến tại

P ( x1 ; f ( x1))

Ta thấy rằng giới hạn này chính là đạo hàm f '(x 1), và cũng chính là hệ số góc ứng với tiếp tuyến

của đồ thị y = f(x) tại điểm có hoành độ là x1 Như vậy, ta có ý nghĩa thứ hai của đạo hàm:

Tốc độ biến thiên tức thời= lim ∆ x = lim f

( x2 ) −f ( x1)

(Phương trình 6)

của y = f(x) đối với x khi x = a

Như vậy, khi giá trị đạo hàm lớn ( tức đường

cong dốc như ở điểm P), thì giá trị y thay đổi

nhanh Khi

m

giá trị đạo hàm nhỏ, đường cong sẽ tương đối dẹt (như ở điểm Q ) thì giá trị y thay đổi chậm

Trong ví dụ sau, ta biện luận ý nghĩa của đạo hàm của hàm số trong trường hợp hàm số được xác định bằng lời

VÍ DỤ 6 Một hảng sản xuất dây điện Phí tổn để sản xuất x mét dây điện là C = f(x) đồng

(a) Tìm ý nghĩa của đạo hàm f ' ( x) Đơn vị của nó là gì?

(b) Trong thuật ngữ thực tế, nói f '(1000)=9 có nghĩa là gì?

(c) Bạn nghĩ số nào lớn hơn giữa hai số f ' (50) và f ' (500)? Còn f ' (5000) thế nào?

(a) Đạo hàm là tốc độ biến thiên tức thời của C đối với x; tức f ' ( x) có nghĩa là tốc độ biến

thiên của giá sản xuất đối với số mét dây sản xuất được (Trong kinh tê học tốc độ biến thiên này gọi là marginal cost (chi phí lề)

f ' ( x )= lim ∆ y = lim ∆ C

∆ x →0 ∆ x ∆ x →0 ∆ x

nên đơn vị của f ' ( x) cũng giống như đơn vị

đồng, còn đơn vị đo ∆ x là mét, nên đơn vị của f ‘(x) là đồng

(b) Phát biểu f '(1000)=9 có nghĩa là sau khi đã sản xuất 1000 mét dây, tốc độ mà giá sản xuất tăng là 9 đồng mỗi mét (Khi x = 1000, C tăng 9 lần nhanh hơn x)

Vì Δx = 1 nhỏ so với x = 1000, ta có thể tính xấp xỉ

f ' (1000) ≈ ∆ C = ∆ C =∆C

∆ x 1

và nói rằng giá sản xuất mét dây điện thứ 1000 (hay thứ 1001) là khoảng 9 đồng

(c) Tốc độ tại đó giá sản xuất (mỗi mét) tăng khi x=500 chắc chắn thấp hơn khi x=50 (giá

làm mét dây thứ 500 ít hơn giá làm mét dây thứ 50) vì càng làm nhiều thì giá sản xuất càng giảm (Nhà sản xuất sử dụng hiệu quả hơn những phí tổn cố định của quá trình sản xuất.) Vì thế

f ' (50)> f ' (500)

Nhưng, khi sản xuất mở rộng, sự vận hành theo qui mô lớn sinh ra có thể kém hiệu quả và chiphí làm thêm giờ có thể nảy sinh Do đó có thể tốc độ tăng chi phí sẽ bắt đầu lên cao Vì thế cóthể nảy sinh sự kiện

f ' (5000)> f ' (500)

Trong ví dụ sau ta ước tính tốc độ biến thiên của nợ công theo thời gian Đây là hàm số không định nghĩa bằng một công thức mà bằng một bảng giá trị

VÍ DỤ 7 Cho D (t ) là nợ công của Mỹ ở thời điểm t Bảng dưới

cho ta giá trị xấp xỉ của hàm số này (tỉ đôla) tính sau mỗi năm, từ 1980

đến 2000 Hãy giải thích và ước tính giá trị của D ' (1990).

GIẢI

Đạo hàm D ' (1990) có nghĩa là tốc độ biến thiên của D đối với t khi t = 1990, đó là, tốc độ

tăng của nợ công trong 1990 Theo

t

−1990

Ta tính giá trị của tỉ số các số gia (tốc độ biến thiên

trung bình) như sau

Từ bảng này ta thấy D ' (1990) nằm đâu đó trong khoảng giữa 257.48 và 348.14 tỉ đô la mỗi năm

[Ở đây ta đang giả định là nợ không dao động dữ dội trong khoảng 1980 và 2000.] Ta ước tính rằng tốc độ tăng của nợ công của Mỹ trong năm 1990 là trung bình của hai số này, cụ thể là

D ' (1990 )≈ 303 tỉ đô la/năm

Một phương pháp khác là vẽ đồ thị hàm số nợ và ước tính độ dốc của tiếp tuyến khi t = 1990.

Trong Ví dụ 3, 6, và 7 ta thấy ba ví dụ đặc biệt của tốc độ biến thiên: vận tốc di chuyển của một vật thể theo thời gian; chi phí lề (marginal cost) là tốc độ biến thiên của chi phí sản xuất đối với số lượng sản phẩm; tốc độ biến thiên của nợ đối với thời gian có tầm quan trọng trong kinh tế học Đây là một số mẫu nhỏ trong các loại biến thiên: Trong vật lý, tốc độ biến thiên của công đối với thời gian gọi là công suất Các nhà hóa học nghiên cứu phản ứng thì quan tâm đến tốc độ biến thiên của nồng độ của chất phản ứng đối với thời gian (gọi là tốc độ phản ứng) Nhà sinh học quan tâm đến tốc độ biến thiên của số vi khuẩn trong dung môi đối với thời gian Thật ra, công việc tính các tốc độ biến thiên đều quan trọng trong mọi ngành khoa học tự nhiên, kỹ thuật, và ngay cả trong khoa học xã hội.

Mọi tốc độ biến thiên đều là đạo hàm và do đó có thể được xem như là độ dốc củatiếp tuyến Điều này góp thêm ý nghĩa cho việc giải các bài toán tiếp tuyến Bất cứ khi nào ta giải một bài toán về tiếp tuyến , ta không chỉ giải một bài toán hình Ta cũng ngầm giải một bài toán liên quan đến tốc độ biến thiên trong khoa học và kỹ thuật

x

- GIẢI CÁC BÀI TẬP 1, 2, 11, 12, 17, 39, 40, 41, 45, 47, mục 2.7, SÁCH James Stewart BÀI 1:

Write an expression for the slope of the secant line through the points P( 3, f(3))and Q (x,

f(x)).

Write an expression for the slope of the tangent line at P

Tóm tắt đề:

Một đường cong có phương trình y = f(x)

(a) Viết biểu thức tính độ dốc của cát tuyến qua hai điểm P(3, f(3)) và Q(x, f(x))

(b) Viết biểu thức tính độ dốc của tiếp tuyến tại P

Khi x ϵ [−1,1]

Khi x ϵ [−0.5,0.5]

- Thời điểm t = 0 đến t = 1, s tăng dần đều từ 0 đến 3 mét mà vật lại bắt đầu chuyển động từ

trái sang phải ⇒ Vật chuyển động sang phải trong khoảng thời gian 1 giây đầu

- Thời điểm t = 1 đến t =2, s đứng yên ⇒ Vật đứng yên trong khoảng thời gian từ giây thứ 2

đến giây thứ 3

- Thời điểm t = 2 đến t =3, s giảm dần đều từ 3 mét xuống còn 1 mét ⇒ Vật chuyển động từ

phải sang trái trong khoảng thời gian từ giây thứ 2 đến giây thứ 3

- Thời điểm t = 3 đến t =4, s đứng yên ⇒ Vật đứng yên trong khoảng thời gian từ giây thứ 3

đến giây thứ 4

- Thời điểm t = 4 đến t = 6, s tăng dần đều từ 1 mét đến 3 mét ⇒ Vật chuyển động sang phải

trong khoảng thời gian từ giây thứ 4 đến giây thứ 6

b) Vẽ đồ thị vận tốc

*Lấy chiều dương là chiều khi vật di chuyển sang phải

- Trong khoảng thời gian 1 giây đầu vật bắt đầu di chuyển sang phải 3m ⇒ v= s =3 =3 (m / s)

t 1

- Từ giây thứ 1 đến giây thứ 2 vật đứng yên ⇒ v=0( m/ s)

- Từ giây thứ 2 đến giây thứ 3 vật di chuyển sang trái 2m ⇒ v= s = −2 =−2(m / s )

t 3−2

- Từ giây thứ 3 đến giây thứ 4 vật đứng yên ⇒ v=0( m/ s)

- Từ giây thứ 4 đến giây thứ 6 vật chuyển động di chuyển sang phải 2m ⇒

Từ bảng biến thiên ta thấy g’( 0) < 0.

Ngoài ra, đạo hàm của hàm số tại một điểm chính là độ dốc/hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm

đó

91.4

t (h)

Trong khoảng 1 giờ đầu tiên, nh1iệt độ giảm từ 91,4 độ2F xuống còn 39 độ F Sau

1 giờ, nhiệt độ của lon soda không đổi và bằng 39 độ F

Vì vậy, tốc độ thay đổi của nhiệt độ lon soda sau 1 giờ nhỏ hơn tốc độ thay đổi nhiệt độ ban đầu

Câu 40: Một con gà tây nướng được lấy ra khỏi lò khi nhiệt độ của nó đã đạt tới 185°F và được đặt trên bàn trong phòng nơi nhiệt độ là 75°F Đồ thị cho biết nhiệt độ của gà tây giảm dần và cuối cùng đạt đến nhiệt độ phòng Bằng cách đo độ dốc của tiếp tuyến, hãy ước tính tốc độ của thay đổi nhiệt độ sau một giờ

Cách 1: phương trình diffeq để có: G i

ả i

T (t )=Ta

+(¿−Ta )

e(kt)

Với: +To là nhiệt độ ban đầu của vật =185(°F)

+Ta là nhiệt độ xung quanh ( nhiệt độ phòng) =75(°F)

tốc độ của thay đổi nhiệt độ sau một giờ: T ' (60)=−0,012766.110 e(−0,012766.60)

Vậy sau thời gian 60 phút để gà bên ngoài thì nhiệt độ con gà tây giảm 0.65 (° F / m)

Câu 41: Bảng cho thấy tỷ lệ phần trăm dân số ước tính châu Âu sử dụng iện thoại di điện thoại di ộng (Ước tính giữa năm ược ưa ra.)

điện thoại di điện thoại di điện thoại di

E (0,160)(0,160)

F

(130,75)

Ta

có:

t 2 −t 1

(i)Từ 2000 đến 2002:¿ 11(%dân số châu Âu sử dụng iện thoại/năm)điện thoại di

Do đó, tỷ lệ tăng trưởng điện thoại di động trung bình là 11 phần trăm mỗi năm.

(ii)Từ 2000 đến 2001: f (2001)−f (2000) =13(%dân số châu Âu sử dụng iện thoại/năm)điện thoại di

Do đó, tỷ lệ tăng trưởng điện thoại di động trung bình là 11 phần trăm mỗi năm.

(iii) Từ 1999 đến 2000: f (2000)−f (1999) =16 ¿%dân số châu Âu sử dụng iện thoại/năm)điện thoại di

Do đó, tỷ lệ tăng trưởng điện thoại di động trung bình là 11 phần trăm mỗi năm.

b) Tốc độ tăng trưởng tức thời năm 2000 là trung bình cộng của tốc độ thay đổi trung bình từ năm 1999 đến năm 2000 và từ năm 2000 đến năm 2001:

Tốc độ tăng trưởng tức thời¿ 13+ 16 =14,5(%/năm)

Vậy Tốc độ tăng trưởng tức thời vào năm 2000 là 14,5 phần trăm mỗi năm (theo đ bài câu b) ề bài câu b)

c) tốc đ ộ tăng trưởng tức thời vào năm 2000 bằng cách đo h ệ s ố góc của mộ t tiếp tuyến chúng ta sẽ lấy hai điểm t ừ bảng nh ư sau

V y ậy tốc đ ộ tăng trưởng tức thời vào năm 2000 là 13 phần trăm mỗi năm.