11 GT 12 chương 2 bài 5 FULL

BÀI 5 PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1 Phương trình mũ cơ bản Phương trình mũ cơ bản là phương trình có dạng Nếu thì phương trình có duy nhất một[.]

Trang 1

BÀI 5 PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

I PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1 Phương trình mũ cơ bản

Phương trình mũ cơ bản là phương trình có dạng a xb a0;a1

- Nếu b  thì phương trình có duy nhất một nghiệm 0 xloga b;

- Nếu b  hoặc 0 b  thì phương trình vô nghiệm.0

2 Cách giải một số phương trình mũ cơ bản

a) Đưa về cùng cơ số

    , 0, 1

A x B x

b) Phương pháp đặt ẩn phụ

    Đặt  t a x,t0

c) Logarit hóa

Nếu phương trình cho ở dạng

( )

0 ( ) log

f x

a

ì < ¹ ïï ïï

= Û íïïï >

=

II PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1 Phương trình logarit cơ bản: là phương trình có dạng loga x b với 0 < ¹a 1

a x b  x a

2 Cách giải một số phương trình mũ cơ bản

a) Đưa về cùng cơ số

   

loga f x loga g x a a f x hoac g x





b) Phương pháp đặt ẩn phụ

2

   Đặt tlog ,a x x 0

c) Mũ hóa

 

( ) 0





  





B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1 Phương pháp đưa về cùng cơ số Câu 1: Phương trình 22x132 có nghiệm là

A

5 2

x 

3 2

x 

Lời giải

Trang 2

Chọn B

Ta có 22x1 32

Câu 2: Phương trình

2 2 3

1

7 7

x x

x

 



 



 

Lời giải Chọn C

2 2 3

1

7 7

x x

x

 



 



 

 

x x  x



1 17 2

Câu 3: Phương trình log 2x log 2x 2

có bao nhiêu nghiệm?

Lời giải Chọn A

2 2

log x log x 2

2

0

x



 





0

x

 





0

x

 





1 2

1

2 2

0

x

x x

x

  







Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm

Câu 4: Số nghiệm của phương trình  2   

3

log x  4x  log 2x 3  0

là

Điều kiện

2

0

2

x

x x

x

  



     

 



log x 4x log 2x 3

2 4 2 3

     x2 2x 3 0  

1 3

x x





  

Kết hợp điều kiện ta được x 1

Câu 5: Tập nghiệm S của phương trình

3 1

0

x x 

   

   

A

1 2

S  

;



1

; 2 2

Ta có

3 1

0

x x 

   

   

   

2 1 2

x

 

   

      2x  1 2

1 2

x

Trang 3

Câu 6: Cho phương trình 7 4 3  x x12  3x2

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Phương trình có hai nghiệm không dương

B Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

C Phương trình có hai nghiệm trái dấu

D Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt

Do 7 4 3  2  32

nên phương trình ban đầu tương đương với

2  32x2 x1 2  3x2  2x2  2x 2  x 2  2x2 x 0

0 1 2

x x









 

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm không dương

Câu 7: Nghiệm của phương trình log 2x 1 1 log 3  2 x 1 là

Điều kiện xác định

1

3

x x

x

 



 

Khi đó phương trình trở thành

log 2x 2  log 3x 1  2x  2 3x 1  x  3 x 3

Vậy phương trình có nghiệm x 3

Câu 8: Số nghiệm thực của phương trình    

3

3log x 1  log x 5  3

là

Lời giải Chọn B

Điều kiện: x 5

3

3log x 1  log x 5  3

3log x 1 3log x 5 3

      log 3x 1 log 3x 5  1

3

      x 1 x 5 3

Đối chiếu điều kiện suy ra phương trình có 1 nghiệm x  3 7

Câu 9: Nghiệm của phương trình

1 1 1

1

8

x

 

 

là

Lời giải Chọn D

2 1 3 1

1

8

x x

x

 

Trang 4

Câu 10: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 2x2x1.3x2x 18 bằng

Ta có

2

2x  x 3x x 18 6x x 36 x 2x 2 x 2x 2 0

Phương trình x2 2x 2 0  có hai nghiệm phân biệt

Theo định lí vi-et tổng hai nghiệm của phương trình là: x1 x2  2

Câu 11: Tổng các nghiệm của phương trình    

2 3 3

log x 2  log x 4  0

là S  a b 2 Giá trị của biểu thức Q a b . bằng

Điều kiện: 2 x 4

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương

2log x 2  2log x 4   0 log x 2 x 4   0 x 2 x 4 1 

2



So lại điều kiện, ta nhận hai nghiệm x1   3 2;x2  3

Ta được: Sx1 x2   6 2  a 6;b 1 Vậy Q a b . 6

Dạng 2 Phương pháp đặt ẩn phụ Câu 1: Cho phương trình 4x2x1 3 0 Khi đặt t 2x, ta được phương trình nào dưới đây?

 2 1

4x 2x 3 0 2x 2.2x 3 0

Đặt t2x t0 Phương trình trở thành t2 2t 3 0 

Câu 2: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2

log x 3log x 2 0 Tính P x 1 x2

2

log x 3log x 2 0 

Vậy Px1 x2    2 4 6

Câu 3: Tổng bình phương tất cả các nghiệm của phương trình log22x 3log log 3 2 0 3x 2  

Trang 5

2 2

log x 3log log 3 2 0x    log x 3log x  2 0

1 2

20

Câu 4: Phương trình 62x1 5.6x1 1 0

   có hai nghiệm x1,x2 Khi đó tổng hai nghiệm x1x2 là.

1 2

2

x x

x



1 2



Câu 5: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 32x 2.3x227 0 bằng

Ta có: 32x 2.3x227 0 32x18.3x27 0 .

Đặt 3  0

x

t t Phương trình trở thành: t2 18t 27 0  Nhận thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt t t 1 ; 2 0

Khi đó, t t 1 2 27 suy ra 1 2 1 2

1 2



Câu 6: Gọi T là tổng các nghiệm của phương trình

2

3

Tính T.

Phương trình

3

3 3

Vậy T  3 81 84 

Câu 7: Phương trình 9x6x 22x1 có bao nhiêu nghiệm âm?

Ta có: 9x 6x 22x 1

2

x x x    

 

3 1 2 3 2 2

x

L

   

  

 







 

  

  

log 2

x

Vậy phương trình đã cho không có nghiệm âm

Câu 8: Gọi x x1, 2 là nghiệm của phương trình 2 3 x 2 3x 4

Khi đó x122x22 bằng

Lời giải

Trang 6

Chọn B

Ta có: 2  3 2 x  3x 1

Đặt t 2 3 ,x t 0 2 3x 1

t

Phương trình trở thành:

2 1

t

Với t  2 3  2  3x   2 3  x 1

Với t  2 3  2  3x   2 3  2  3 x  2  31 x 1

Vậy x12 2x22  3

Câu 9: Biết rằng phương trình log22x log 2018 2 x 2019 0  có hai nghiệm thực x x1 , 2 Tích x x1 2 bằng

2

log x log 2018x  2019 0   1

Điều kiện x 0.

Đặt t log 2x Phương trình trở thành t2 t log 2018 2019 0 2    2

Do ac 0 nên phương trình  2 có hai nghiệm t t1 , 2 Khi đó phương trình  1 có 2 nghiệm

1 , 2

x x thỏa mãn t1  log 2x t1 ; 2  log 2x2

Theo Vi-et ta có t1 t2  1 hay log 2x x1 2  1 x x1 2  2

Câu 10: Tìm số nghiệm thực của phương trình 2 2  2

log x  log 4x  5 0 

.

Điều kiện x 0

Phương trình 2 2  2

log x  log 4x  5 0  22 2 2 2

1

2

2 2

1 97 log

4



2 2

1 97 log

4

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm

Câu 11: Cho phương trình    1 

log 5x 1 log 5x 5 1

Khi đặt t log 5 5 x 1

, ta được phương trình nào dưới đây?

log 5x 1 log 5x  5 1

TXĐ: D  0;

1

2

Đặt t log 5 5 x 1 t 0

Trang 7

Phương trình  1 trở thành  

1

2

2 0

Câu 12: Tích tất cả các nghiệm của phương trình 3x34x 30 bằng

3

x



Đặt t3xt0, phương trình đã cho trở thành:

2 81

x

t

 



Vậy tích tất cả các nghiệm của phương trình là 1.3 3 

Câu 13: Biết phương trình 2 log 2x 3log 2 7x  có hai nghiệm thực x1 x2 Tính giá trị của biểu thức

  2

1

x

A T 64 B T 32 C T 8 D T 16

Điều kiện:

0 1

x x









Ta có: 2log 2x 3log 2 7x  2 2

3

log

x x

2

2 log x 7 log x 3 0

2

1 log

2

x x











8 2

x x





 



1 2

x

  ; x 2 8   2

1

x

   2 8  16

Câu 14: Phương trình 3.9x2 x 110.3x2 x 1 3 0 có tổng các nghiệm thực là:

Đặt t 3x2 x1, điều kiện t 0

Khi đó phương trình đã cho có dạng: 3t2 10t  3 0

3 1 3

t t









 



Với

2

x



Với

1

x

 Tập nghiệm của phương trình là S    2; 1;0;1 nên tổng tất cả các nghiệm thực là  2

Trang 8

Câu 15: Gọi S là tập hợp tất cả giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình

1 2

16x m.4x 5m 45 0

Đặt t4 ,x t0 Phương trình trở thành: t2 4mt5m2 45 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt t 0

' 0 0 0

P S

 





  

 



2 2

45 0

m m m





0

m



     

 

Vì m nguyên nên m 4;5;6 Vậy S có 3 phần tử

Câu 16: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 1

mãn x1x2 3?

Phương trình 4x 2 2m x2m0 1 

Đặt t 2x, t 0 phương trình trở thành t2 2 m t2m0 2 

Để phương trình  1 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 x2  3 điều kiện là phương trình

 2

có hai nghiệm t t 1 , 2 0 thỏa mãn 1 2 1 2

1 2 2 2x x 2x x 8

   suy ra 2m  8 m 4

Câu 17: Tìm giá trị thực của m để phương trình log32x m log3x2m 7 0 có hai nghiệm thực

1, 2

x x thỏa mãn x x 1 2 81

Đặt t log 3x ta được t2 mt 2m 7 0  , tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm t t1 , 2

1 2 log 3 1 log 3 2 log 3 1 2 log 81 4 3

Theo vi-et suy ra t1 t2 m m 4

Dạng 3 Phương pháp logarit hóa, mũ hóa Câu 1: Số nghiệm của phương trình    2 

0,5

ĐKXĐ:

2

x





Kết hợp ĐKXĐ ta có:

Trang 9

x 2 log 0,5x 5x61   0 log 0,5x  5x6 1

4

x

 Đối chiếu với ĐKXĐ ta thấy phương trình đã cho có 2 nghiệm

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 9 7 2  

Câu 2: Tập nghiệm của phương trình  2 

2 log x  x 2  1

là

A  0 B 0;1 C 1;0 D  1

2 log x  x 2  1  x2  x  2 2

0 1

x x





  

Câu 3: Nghiệm của phương trình logx 12 là

Điều kiện của phương trình là x 1

log x 1   2 x 1 10   x 101

Vậy x 101 thỏa mãn điều kiện nên phương trình đã cho có nghiệm là x 101

Câu 4: Tập nghiệm của phương trình log 2x log 4x log 16x 7 là:

A  16 B  2

C  4 D 2 2 

Điều kiện: x 0

4 2

Câu 5: Tích các nghiệm của phương trình 2x2132x3 bằng

A  3log 3 2 B  log 54 2 C  4 D 1 log 3  2

2x   3x  x  1  2x 3 log 3  x  2 log 3.x  1 3log 3 0 

Vì ac  0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2 và

1 2 1 3log 3 2 log 2 log 27 2 2 log 54 2

Câu 6: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2 5x x2  2x 1

 Khi đó tổng x1x2 bằng

A 2 log 2  5 B   2 log 2 5 C 2 log 2  5 D 2 log 5  2

Trang 10

Lời giải

1

0

.

2 log 2

x x





   

Câu 7: Phương trình

1

x x x



 có một nghiệm viết dưới dạng x loga b, với a , b là các số

nguyên dương Tính tổng S a b  .

Điều kiện x 0

Phương trình

1

27 2 72

x x x





1 3

2 3

3 2 3 2

x x x



 

 

 

3 3 3 2

x x x



x

x x



 

3 3

x

x x



3 3 3 log 2 x

x x



3

3 log 2

x

x x



1

x x

3

3 1 log 2

x











 

  2

3 log 3





 



Suy ra

2 3

a b









 Vậy tổng S a b 5

Câu 8: Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình log 3.2 4 x 1  x 1

4

log 3.2x 1  x 1  3.2x 1 4  x  4x 12.2x  4 0

Đặt t2xt0 Phương trình trở thành: t2 12t   4 0 t  6 4 2

Với t  6 4 2  2x  6 4 2  x log 6 4 2 2  

Với t  6 4 2  2x  6 4 2  x log 6 4 2 2  

Tổng các nghiệm là log 6 4 2 2   log 6 4 2 2   log 4 2 2 

Câu 9: Phương trình log 5 22  x  2 x

có hai ngiệm x1, x2 Tính P x 1 x2x x1 2.

Điều kiện: 2x 5

Trang 11

  2

log 5 2  x   2 x 5 2x 22x

4

5 2

2

x x



2x 4





0 2

x x





 



 P x 1 x2 x x1 2  2

Câu 10: Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình log 3.4 6 x 2.9x x 1

bằng

Phương trình đã cho tương đương

2

x x x    

2 , 0 3

x

t t

 

 

  Khi đó ta có phương trình 3t2 6t  2 0 Hiển nhiên phương trình có 2 nghiệm phân biệt t t1 , 2 dương và thỏa mãn

x x

   

Dạng 4: Sử Dụng Tính Đơn Điệu Hàm Số Câu 1: Hỏi phương trình 3.2x4.3x5.4x6.5x có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

Ta có: 3.2x 4.3x 5.4x 6.5x

          

Xét hàm số  

      ,   x

Có  

      ,   x nên hàm số f x  nghịch biến trên

 suy ra phương trình f x   0có nhiều nhất một nghiệm  1

Mặt khác    

  nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 1; 2. 2

Từ  1 và  2 suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Câu 2: Số nghiệm của phương trình 2 log 5x 3 x

 là:

Điều kiện: x  3

Đặt t log 5x 3  x 5t 3, phương trình đã cho trở thành

2t 5t 3

  2t 3 5t

     

Trang 12

Dễ thấy hàm số  

2 3. 1

f t      

    nghịch biến trên  và f 1 1 nên phương trình có nghiệm duy nhất t 1

Với t 1, ta có log 5x 3 1  x 2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2

Câu 3: Tích tất cả các nghiệm phương trìnhlog 5xlog 3x log 5x log 3x bằng

Điều kiện x 0.

Phương trình log5xlog3xlog5xlog3x log5xlog3x1log3x

5

3

1

log 1

x



Hàm số y log 5x đồng biến trên 0; , hàm số 3

1 1

y

x

 

 nghịch biến trên các khoảng 0;3và3;  Do đó phương trình trên có tối đa hai nghiệm, mỗi khoảng có tối

đa một nghiệm

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 1 và 15

Tiêu đề	Phương trình Mũ và Phương trình Logarit
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Bài tập

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	756,68 KB