Trang 1 I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Nhắc lại các hằng đẳng thức 0 1 2 2 2 3 3 2 2 3 1 2 3 3 a b a b a b a b a ab b a b a a b ab b Định nghĩa 0 1 1 1 1 0 n n n.
Trang 1I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Nhắc lại các hằng đẳng thức
0
1
1
2
a b
a b a b
a b a ab b
a b a a b ab b
Định nghĩa
0
n
k
a b C a C a b C ab C b C a b
Tính chất của Nhị thức Newton
1 Số các số hạng của công thức là n 1
2.Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị thức: nkk n
3 Số hạng tổng quát của nhị thức là: T k1C a n k n k b k
(Đó là số hạng thứ k+1 trong khai triển abn)
Tam giác pascal trong khai triển nhị thức
ab0 1
ab1 1 1
ab2 1 2 1
ab3 1 3 3 1
ab4 1 4 6 4 1
ab5 1 5 10 10 5 1
II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH ĐIỀU KIỆN CỦA SỐ HẠNG THỎA MÃN YÊU CẦU CHO TRƯỚC
A Bài tập tự luận
Câu 1 Khai triển nhị thức Newton sau
STT Cho khai triển nhị
ĐA
Số hạng tổng quát Số hạng thứ k
1 3x 57 Tìm số hạng tổng
quát và số hạng thứ
4
1 7k3 k5 k k k
T C x
2 1 5x 9 Tìm số hạng tổng
quát và số hạng thứ
5
1 9k 1 5 k k k k
tự
Bài 4 NHỊ THỨC NEWTON - CÂU HỎI
• Chương 2 TỔ HỢP - XÁC SUẤT
Trang 23 2 x 118 Tìm số hạng tổng
quát và số hạng thứ
9
18
k k
k
4 6xy6 Tìm số hạng tổng
quát và số hạng thứ
3
6 6
1 6k 1 6k k k k
k
T C x y
1
x x
Tìm số hạng tổng quát và số hạng thứ
7
2 10
k
T C x
6 2x y228 Tìm số hạng tổng
quát và số hạng thứ
25
1 28k 2 k k k k
T C x y
7 2 x 4y30 Tìm số hạng tổng
quát và số hạng thứ
16
30
k k
k
2 3
2
2
x x
Tìm số hạng tổng quát và số hạng thứ
8
7 36
k k
k
Câu 2 Tìm hệ số của x8 trong khai triển
12
1 1
x
Câu 3 Tìm hệ số của 21
x trong khai triển 23x25
Câu 4 Viết 3 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x của các đa thức sau a)
10
1
2
x
b) 3 2x 8
Câu 5 Tìm số hạng thứ tư trong khai triển a2x20 theo lũy thừa tăng dần của x
Câu 6 Viết 4 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x của các đa thức sau
a) 12
1 3x b) 9
1 2x c)
20
1 3
x
Câu 7 Tìm
a) Số hạng thứ 8 trong khai triển 1 2x 12
b) Số hạng thứ 6 trong khai triển
9
2 2
x
c) Số hạng thứ 12 trong khai triển 2x15
Câu 8 Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển x3xy15
Câu 9 Tìm hệ số của:
1 Số hạng chứa x trong khai triển: 5 2x 112
2 Số hạng chứa x trong khai triển: 11
10
x x
3 Số hạng chứa x trong khai triển: 7 2 14
x x
4 Số hạng chứa x25.y10 trong khai triển: 3 15
x xy
Câu 10 Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển sau:
1
12 2
4
1
x x
Trang 3
2
6
x
x
3
7 3
4
1
x x
Câu 11 Trong khai triển
10 3
2
1
2x x
hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x
Câu 12 Tìm số hạng hữu tỷ của khai triển 6
3 15
Câu 13 Tìm hệ số của số hạng trong khai triển sau:
1 Tìm hệ số của x trong khai triển của biểu thức: 6 A2x111x217
2 Tìm hệ số của x trong khai triển của biểu thức: 3 Ax110x15
3 Khai triển P x
dưới dạng: P x a0a x1 a x2 2 a x n n
a) Tìm hệ số a : 9 P x 1x91x101x11 1x14
b) Tìm hệ số a : 15 P x 1x2 1 x23 1 x3 20 1 x20
Câu 14 Cho khai triển:
10
10
1 2
Câu 15 Tìm hệ số của x trong khai triển đa thức của: 8 2 8
1 x 1 x
Câu 16 Khai triển đa thức 12 2 12
P x x a a xa x a x Tìm maxa a a0, 1, 2, ,a12
Câu 17 Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau:
a) x3xy21
b)
20 4
2 3
1
x x
xy
Câu 18 Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển
7 3
4
1
x
với x 0
Câu 19 Cho khai triển đa thức
10
1 2
Câu 20 Cho n số nguyên dương thỏa mãn 5C n n1C n3 Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức
niu tơn
14 2
1
14
nx
x x
B Bài tập trắc nghiệm
Câu 1 Số số hạng trong khai triển x 250 là
Câu 2 Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức 2x 32018
A 2019 B 2017 C 2018 D 2020
Câu 3 Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn xy5
A x55x y4 10x y3 210x y2 35xy4y5 B x55x y4 10x y3 210x y2 35xy4y5
Trang 4C x55x y4 10x y3 210x y2 35xy4y5 D x55x y4 10x y3 210x y2 35xy4y5
Câu 4 Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của (3 2 ) x 2019 có bao nhiêu số hạng?
A 2019 B 2018 C 2020 D 2021
Câu 5 Từ khai triển biểu thức x 110 thành đa thức Tổng các hệ số của đa
thức là
A 1023 B 512 C 1024 D 2048
Gọi S là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có 10 10
S f
Câu 6 Từ khai triển biểu thức x 110 thành đa thức Tổng các hệ số của đa thức là
A 1023 B 512 C 1024 D 2048
Câu 7 Tính tổng các hệ số trong khai triển 1 2x 2018
A 1 B 1 C 2018 D 2018
Câu 8 Khai triển ( 547 )124 Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển trên?
Câu 9 Trong khai triển nhị thức newton củaP x( )( 23 x3)2018thành đa thức,có tất cả có bao nhiêu số
hạng có hệ số nguyên dương?
Câu 10 Trong khai triển 20 2 20
1 2 x a a xa x a x Giá trị của a0a1a2 bằng
Câu 11 Có bao nhiêu số hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức 3 5 2019
3 5 ?
A 136 B 403 C 135 D 134
Câu 12 Trong khai triển của
2019
x y x y
, số hạng mà lũy thừa của x và y bằng nhau là số hạng
thứ bao nhiêu của khai triển?
A 1348 B 1346 C 1345 D 1347
Câu 13 Trong khai triển
9 2
8
x x
, số hạng không chứa x là
Câu 14 Số hạng độc lập với x trong khai triển
8
x x
là
A 1792 B 792 C 972 D 1972
Câu 15 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
12
3 1
x x
A 220 B 220 C 924 D 924
Câu 16 Cho x là số thực dương, số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức
30
2
x x
là
A 2 20 B 2 C 20 1030 C 2 C 10 3020 D C3020
Trang 5Câu 17 Số hạng không chứa x trong khai triển
45 2
1
x x
là
A 5
45
45
C
45
45
C
Câu 18 Số hạng không chứa x trong khai triển
10
2
x x
là
A C 105 B C105.25 C C105 D C105.25
Câu 19 Số hạng không chứa x trong khai triển
7 3
4
1
x x là:
Câu 20 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
6 2
1
2x x
,x 0
A 240 B 15 C 240 D 15
Câu 21 Số hạng không chứa x trong khai triển biểu thức
12 2 1
x
là
A 924 B 495 C 495 D 924
Câu 22 Số hạng không chứa x trong khai triển
45 2
1
x x
A C1545 B C4530 C C455 D C1545
Câu 23 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
5 2 3
1
x x
Câu 24 Số hạng không chứa x trong khai triển
7 3
4
1
x
x là
Câu 25 Cho x là số thực dương, số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức
30
2
x x
là
A 2 20 B 2 C 20 3010 C 2 C10 3020 D C3020
Câu 26 Cho khai triển 20 2
1 2x a a x a x a x Giá trị của a0a1a2a20 bằng:
Câu 27 Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức 7
12
2
x
x x
là:
A 376 B 264 C 264 D 260
Câu 28 Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức 7
13
1
x x
Câu 29 Hệ số của x31 trong khai triển
40 2
1
x
A C 404 B C 402 C C 403 D C 405
Trang 6Câu 30 Hệ số lớn nhất trong khai triển
4
4 4x
A 27
9
27
27
64
Câu 31 Cho biết hệ số của x trong khai triển 2 1 2 xn
bằng 180 Tìm n
Câu 32 Tìm hệ số h của số hạng chứa 5
x trong khai triển
7
x x
A h 84 B h 672 C h 560 D h 280
Câu 33 Hệ số của số hạng chứa x6trong khai triển Newton
15 2
2
x x
A 3640 B 3640 C 455 D 1863680
Câu 34 Tìm hệ số của x y trong khai triển 25 10 x3xy15
Câu 35 Cho khai triển
6
2
x x
với x 0 Tìm hệ số của số hạng chứa 3
x trong khai triển trên
Câu 36 Cho khai triển
6
2
x x
với x 0 Tìm hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển trên
Câu 37 Biết hệ số của x2 trong khai triển của 1 3 xn là 90 Tìm n
A n 7 B n 6 C n 8 D n 5
Câu 38 Số hạng thứ 13 trong khai triển 2x15 bằng?
A 3640x13 B 3640x12 C 420x12 D 3640 Câu 39 Tìm số hạng chứa trong khai triển
9
1 2
x x
A 3 3
9
1
8C x
9
1
9
C x
9
C x
Câu 40 Tìm số hạng chứa x7 trong khai triển
13
1
x x
A C133 B C x133 7 C C x134 7 D C134
Câu 41 Tìm số hạng chứa x31 trong khai triển
40 2
1
x x
?
A C x 404 31 B C x4037 31 C C x4037 31 D C x403 31
Câu 42 Số hạng chứa x34 trong khai triển
40
1
x x
A 37 34
40
C x
40
C x C 2 34
40
C x D 4 34
40
C x
3
x
Trang 7Câu 43 Biết hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 2 1 4 xn là 3040 Số tự nhiên n bằng bao nhiêu?
Câu 44 Biết hệ số của x trong khai triển của 2 1 3 xn là 90 Tìm n
A n 5 B n 8 C n 6 D n 7
Câu 45 Cho biết hệ số của 2
x trong khai triển 1 2 xn bằng 180 Tìm n
A n 12 B n 14 C n 8 D n 10
Câu 46 Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển của biểu thức 10
5 3 2
2
3x x
A 810 B 826 C 810 D 421
Câu 47 Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 31
40 2
1
x x
A C4037 B 31
40
40
C
Câu 48 Trong khai triển
6
2
x x
, hệ số của 3
0
x x là:
Câu 49 Cho n là số tự nhiên thỏa mãn C n02.C1n2 2C n2 2 n C n n59049 Biết số hạng thứ 3 trong
khai triển Newton của 2 3 n
x x
có giá trị bằng
81
2 n Khi đó giá trị của x bằng
Câu 50 Cho nhị thức 2 2 13
n
x x
, trong đó số nguyên dương n thỏa mãn 3
72
n
A n Tìm số hạng chứa
5
x trong khai triển
A 2 C x6 104 5 B 2 C x5 105 5 C 2 C x7 103 5 D 2 C x6 107 5
Câu 51 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của 2 3
2
n
x x
x 0, biết rằng
C C C n C n ( k
n
C là số tổ hợp chập k của n phần tử)
A 489888 B 49888 C 48988 D 4889888
Câu 52 Cho khai triển 1
1 3 x n a a x a x n n trong đó n * và các hệ số thỏa mãn hệ thức
1
n n
a a
a Tìm hệ số a i lớn nhất
A 1732104 B 3897234 C 4330260 D 3247695
Câu 53 Tìm hệ số của x6 trong khai triển
3 1 3
x x
với x 0, biết n là số nguyên dương thỏa mãn
3C n nP 4A n
A 210 x6 B 210 C 120 x6 D 120
Câu 54 Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 6 2 3
2
n
x x
x 0, biết rằng 22 143 1
3
C C n k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử)
A 326592 B 3265922 C 3265592 D 32692
Trang 8Câu 55 Tìm số hạng chứa x trong khai triển 26 7
4
1
n
x
x biết n là số nguyên dương thỏa mãn hệ thức
2 1 2 1 2n12 1
Câu 56 Với n là số tự nhiên thỏa mãn 6 2
n
C nA
, hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị 4
thức Niu-tơn của 2 3 n
x x
bằng
A 1972 B 786 C 1692 D 1792
Câu 57 Với n là số nguyên dương thỏa mãn C n1C n313n, hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 5
của biểu thức 2 13
n
x x
Câu 58 Cho n là số nguyên dương thỏa mãn A n2 C n2C1n4n Hệ số của số hạng chứa 6 x của khai 9
triển biểu thức 2 3 n
P x x
x
A 18564 B 64152 C 192456 D 194265
Câu 59 Biết n là số nguyên dương thỏa mãn n1 n 2 78
C C , số hạng chứa x trong khai triển 8
x
x
là
A 101376x8 B 101376 C 112640 D 101376x 8
Câu 60 Với n là số nguyên dương thỏa mãn 3 2
1
3C n 3A n 52 n1 Trong khai triển biểu thức
3 2
x y , gọi T là số hạng mà tổng số mũ của k x và y của số hạng đó bằng 34 Hệ số của T k
là
A 54912 B 1287 C 2574 D 41184
Câu 61 Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5C1nC n2 Tìm hệ số 5 a của x trong khai triển của biểu 4
thức 2 12
n
x x
A a 11520 B a 256 C a 45 D a 3360
Câu 62 Với n là số nguyên dương thỏa mãn 2 3
3A n n C n 40
Hệ số của x trong khai triển 6
2
1 2
n
x x
A 1024 B 1024 C 1042 D 1042
Câu 63 Với n là số nguyên dương thoả mãn A n23C n1120, số hạng không chứa x trong khai triển của
biểu thức 4 3 n
x x
A 295245 B 245295 C 292545 D 259254
Câu 64 Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niutơn của
2
n
n x
x x
nguyên dương n thỏa mãn 3 2
50
C A
Trang 9A 97
29
297
279
215
Câu 65 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của 2 2 3
n
x x
x 0, biết rằng
1.C n2.C n3.C n nC n n 256n ( k
n
C là số tổ hợp chập k của n phần tử)
A 489888 B 49888 C 48988 D 4889888
Câu 66 Giả sử có khai triển 2
1 2 x n a a x a x a x n n Tìm a biết 5 a0a1a271
A 672 B 672 C 627 D 627
Câu 67 Với n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện 2 3
10
A C , tìm hệ số a của số hạng chứa 5 x5
trong khai triển 2
3
2 n
x x
với x 0
A a 5 10 B a5 10x5 C a510x5 D a 5 10
Câu 68 Tìm hệ số của x trong khai triển 5 1 3 x2n biết 3 2
A A
A 61236 B 63216 C 61326 D 66321
Câu 69 Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 0 1 1 2 2
3n C n 3nC n3n C n 1n C n n 2048 Hệ số của
10
x trong khai triển x 2n là:
Câu 70 Trong khai triển 2 1
3
n
x x
biết hệ số của
3
x là 34C Giá trị n5 n có thể nhận là
Câu 71 Hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển 5
3
1
n
x
C C n là
A 1303 B 313 C 495 D 13129
Câu 72 Tìm hệ số của x4 trong khai triển nhị thức Newton
5
1 2
n
x x
với x 0, biết n là số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn 5 4
2
18
A A
A 8064 B 3360 C 13440 D 15360
Câu 73 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 2 1 n
x x
biết
A C
A 3003 B 5005 C 5005 D 3003
Câu 74 Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức của 5 2 3 x2n, biết n là số nguyên dương thỏa
mãn: C20n1C22n1C24n1 C22n n11024
A 2099529 B 2099520 C 1959552 D 1959552
Câu 75 Biết n là số nguyên dương thỏa mãn n 1 n 2 78
C C
, số hạng chứa x8 trong khai triển
x
x
là
A 101376x8 B 101376 C 112640 D 101376x8
Trang 10Câu 76 Tìm số hạng chứa x trong khai triển 5 2 ,
n
x x
biết n là số tự nhiên thỏa mãn 3 4 2
2 3
C n C
Câu 77 Tìm hệ số không chứa x trong khai triển 3 2 n
x x
, biết n là sô nguyên dương thỏa mãn
78
C C
A 112640 B 112643 C 112640 D 112643
Câu 78 Cho biểu thức
10
1
P
với x 0, x 1 Tìm số hạng không chứa x trong
khai triển Niu-tơn của P
A 200 B 160 C 210 D 100
Câu 79 Số hạng không chứa x trong khai triển
9 2
2 ,
x
x 0 bằng
A 5376 B 5376 C 672 D 672
Câu 80 Số hạng không chứa x trong khai triển của
14 3
4
2
x x
với x 0 là:
A 6 8
14
14
14
14
2 C
Câu 81 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của
11 11
5
1
x
với x 0
A 485 B 238 C 165 D 525
Câu 82 Với n là số nguyên dương thỏa mãn 1 2
55
C C , số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức 3
2
2 n
x x
bằng
Câu 83 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của 14 n
x x
x
vớix 0, nếu biết rằngn là số
nguyên dương thỏa mãn C n2C n1 44
Câu 84 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của 14 n
x x x
, với x 0, nếu biết rằng
44
C C
A 165 B 238 C 485 D 525
Câu 85 Số hạng không chứa x trong khai triển
2 3
3 2
n
x x
với x 0, biết n là số nguyên dương thỏa mãn C n32nA n21là:
A C1612.2 34 12 B C160.216 C C1612.2 34 12 D C1616.20
Câu 86 Với số nguyên dương n thỏa mãn C n2n27, trong khai triển 22
n
x x
số hạng không chứa x
là