Chuyên đề nguyên hàm (2022) toán 12

Chuyên đề Nguyên hàm Toán 12 A Lý thuyết I Nguyên hàm và tính chất 1 Nguyên hàm Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R) Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm c[.]

Chuyên đề Nguyên hàm - Toán 12

A Lý thuyết

I Nguyên hàm và tính chất

1 Nguyên hàm

- Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R)

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với

mọi x∈K

Ví dụ 1

- Hàm số F(x) = sinx + 6 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx trên

khoảng (− ∞;  + ∞) vì F’(x) = (sinx + 6)’ = cosx với ∀x ∈(− ∞;  + ∞)

- Hàm số  là một nguyên hàm của hàm số trên

Do đó F(x)+C;  C∈ℝ là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K

Ví dụ 4 Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)  =  3x2  +  2sinx trên khoảng (− ∞;  + ∞)

a) Hàm số có nguyên hàm trên khoảng (0;  + ∞)

b) Hàm số có nguyên hàm trên khoảng (−∞;  0)  ∪(0;  + ∞)

4 Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Ví dụ 6 Tính:

Lời giải:

- Chú ý: Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm

nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó

II Phương pháp tính nguyên hàm

1 Phương pháp đổi biến số

Ta có: nên theo hệ quả ta có:

∫udv  = uv−  ∫vdu

Đó là công thức nguyên hàm từng phần

Ví dụ 9 Tính

Lời giải:

B Bài tập

I Bài tập trắc nghiệm

Bài 1:

Cách 2 Sử dụng phương pháp biến đổi số ta có:

Đặt u = cosx thì u’ = -sinx và ∫sinxcosxdx = -∫u.u'dx = -∫udu

Vậy chọn đáp án C

Bài 5: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc

Vận tốc ban đầu của vật là 6m/s Vận tốc của vật sau 10 giây xấp xỉ bằng

với t = 0 ta có v(0)= C = 6 nên phương trình vận tốc của chuyển động là : v(t) = 3ln(t + 1) + 6 (m/s)

⇒ du = 4dx ⇒ dx = du và cos(4x+3)dx được viết thành

Bài 7: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào nhận giá trị đúng?

A Hàm số y = có nguyên hàm trên (-∞; +∞)

B 3x2 là một số nguyên hàm của x3 trên (-∞; +∞)

C Hàm số y = |x| có nguyên hàm trên (-∞;+∞)

D + C là họ nguyên hàm của lnx trên (0;+∞)

Lời giải:

Dựa vào định lí: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên

hàm trên K Vì y = |x| liên tục trên R nên có nguyên hàm trên R

Phương án A sai vì y= không xác định tại x=0 ∈ (-∞;+∞)

Phương án B sai vì 3x2 là đạo hàm của x3

Phương án D sai vì là đạo hàm của lnx trên (0; +∞)

∫(2x-sin2x)dx=2∫xdx-∫sin2xdx

D không phải là nguyên hàm của f(x) Vậy chọn đáp án D

Bài 9: Tìm nguyên hàm của

Lời giải:

Với x ∈ (0; +∞) ta có

Vậy chọn đáp án C

Bài 10:

Lời giải:

Vậy chọn đáp án B

Ghi chú Yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó

II Bài tập tự luận có lời giải

Lời giải:

Bài 6: Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = (2 tanx + cotx)2 là:

Bài 9: Một đám vi khuẩn tại ngày thứ t có số lượng là N(t) Biết rằng

và lúc đầu đám vi khuẩn có 250000 con Sau 10 ngày số lượng vi khuẩn xấp xỉ bằng:

Lời giải:

Số lượng vi khuẩn tại ngày thứ t bằng

Bài 1 Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 22x.3x.7x

Bài 2 Hàm số nào dưới đây không phải là một nguyên hàm của f(x)=2x-sin2x ?

Bài 3 Trong các hàm số sau hàm số nào không phải là một nguyên hàm của f(x) = cosxsinx ?

Bài 4 Tìm I=∫(3x2 - x + 1)exdx

Bài 5 Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc

Bài 6 Tìm I = ∫cos(4x + 3)dx

Bài 7 Tìm I = ∫x.e3xdx

Bài 8 Tìm I = ∫sin5xcosxdx

Bài 9 Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 22x.3x.7x