Toán học Chuyên đề nguyên hàm – tích phân và ứng dụng29237

I- CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNGA.. Định nghĩa và các công thức tìm nguyên hàm 1.. Định nghĩa: Cho hàm số fx xác định trên tập K.. Hàm số Fx được gọi là nguyên hàm của hàm

Trang 1

TOÁN TRẮC NGHIỆM TOÁN LỚP 12 HKII (Theo 2 chuyên đề: Nguyên hàm Tích phân và Số phức)

MỤC LỤC 3

BỔ SUNG HỌC KỲ I

HỌC KỲ II

19 ĐỀ GỢI Ý ÔN TẬP KIỂM TRA 1 TIẾT CHƯƠNG SỐ PHỨC 58

Trang 2

I- CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa và các công thức tìm nguyên hàm

1 Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên tập K Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu

F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

2 Các tính chất:

   f x dx ( )  '  f x ( )   af x dx ( )   a f x dx  ( ) với a  ¡

 [( f ( x )  g ( x )] dx   f ( x ) dx   g ( x ) dx

  f ( x ) dx  F ( x )  C   f ( u ) du  F ( u )  C

3 Bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp:

Nguyên hàm các hàm số sơ cấp Trong trường hợp u(x) = ax + b

 dx  x  C



dx

x

1



(    1)

 dx  x  C

1

 exdx  ex  C

a

dx

a

x x

ln

 cos xdx  sin x  C

 sin xdx   cos x  C

cos

1

2

 dx   x  C

sin

1

2

x    x







1

) b ax ( a

1 dx ) b ax (

1



(    1)

 a ln ax b C

1 dx b ax

1

C e

a

1 dx

eax b ax b

C a ln

a m

1 dx a

n mx n

mx

   sin( ax  b )  C

a

1 dx ) b ax cos(

    cos( ax  b )  C

a

1 dx ) b ax sin(

 b dx a ax b C

1 )

( cos

1

2

1 )

( sin

1

2

2 Phương pháp tìm nguyên hàm:

1 Phương pháp đổi biến:

2 Phương pháp nguyên hàm từng phần:

a) Định lý:  udv  uv   vdu (2)

dạng thường gặp:

Trang 3

Cho P(x) là một đa thức hoặc phân thức hữu tỷ Ta có một số dạng toán áp dụng thuật toán tích phân từng phần cụ thể như sau:

Dạng 1:   dx

x cos

x sin

e ).

x ( P I

x

Ta đặt

Dạng 2:   dx

x sin

x cos e

I x Ta đặt





























x sin

x cos v

dx e du

dx x cos

x sin dv

e

.

Dạng 3:  b

a

xdx x

P

1 ln

( )

x

dv P x dx

v P x dx



Thay vào công thức (2) ta xác định được nguyên hàm của hàm cần tìm.

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

1 Diện tích hình phẳng:

1 Hình phẳng giới hạn bởi đường cong ( C ) : y  f x ( )liên tục trên đoạn [a; b], trục hoành và hai đường thẳng

và (H.1), có diện tích tính bởi công thức:

x  a x  b

b

a

S   f (x)dx

2 Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y  f (x), y1  f (x)2 liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng

và (H.2), có diện tích tính bởi công thức:

x  a x  b

b

a

S   f (x) f (x) dx 

Hình 1 Hình 2

3 Hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) : x  f (y)liên tục trên đoạn     ; , trục tung và hai đường thẳng

và , có diện tích tính bởi công thức:





 

2 Thể tích khối tròn xoay:

Khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong (C) : y = f(x)liên tục trên đoạn [a; b], trục hoành

và hai đường thẳng x  a và x  b khi quay quanh trục hoành có thể tích tính bởi công thức: b 2

a

V    f (x) dx

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM BỔ SUNG CHỦ ĐỀ 1: TÌM NGUYÊN HÀM Dạng 1: Áp dụng trực tiếp các công thức nguyên hàm

2

y  f (x)

Trang 4

Câu 1: Nguyên hàm của  f x dx ( )   ( x2 3 x  10) dx là:

A

2 3

x

2

x



3

2 3

( )

x



Câu 2 : Nguyên hàm của  f x dx ( )   x3 3 x2  2 x  1) dxlà:

A

5 5

3 2

( )

5 5

2 3 2

( )



C

5 5

2 3 2

( )

5 5

2 3 2

( )



2

x



A  f x dx ( )  x2  2 x  3ln | | x  C B  f x dx ( )  2 x  3ln | | x  C

x



2

1 ( )

1

x







2



( 1)

x





1

x





x

1

x





Câu 6: Nguyên hàm của  f x dx ( )  32 x  1 dx là:

A

4 3 3

8

3 4 3

8



C

4 3 8

3

3 4 8

3



Câu 7:Nguyên hàm của  f x dx ( )   (4 x  11)99dx là:

100



400



( )

(3 1)

x





Trang 5

A 1 2

6



6

2



Câu 9: Nguyên hàm của  f x dx ( )   sin 5 cos 3 x xdx là:



16



Câu 10:Nguyên hàm của  f x dx ( )   sin 3 cos 5 x xdx là:



16

4



Câu 11:Nguyên hàm của  f x dx ( )   sin4xdxlà:



4



8



Câu 12:Nguyên hàm của  f x dx ( )   c os4xdxlà:

8



4

f x dx   x  x  x   C



f x dx   x  x  x   C



sin x cos x dx



A  f x dx ( )   2cot x  C B  f x dx ( )  2cot 2 x  C

C  f x dx ( )  cot 2 x  C D  f x dx ( )   2cot 2 x  C

( )

cos

x



Trang 6

A  f x dx ( )  tan x  2sin x  C B  f x dx ( )  tan x  2 os c x  C

C  f x dx ( )  co x t  2sin x  C D  f x dx ( )  cot x  2 os c x  C

2

( )







2



C  f x dx ( )  tan x   x C D  f x dx ( )  2 tan x   x C

2 3 ( ) x x và 2 0

x



A

2

x

F(x)= 3x 4

2

x F(x)= x 4

2  

C F(x) = x2  3x  4

D

2

x F(x)= 3x 4

2  

Dạng 2: Dùng phương pháp đổi biến:

Câu 1: Nguyên hàm của  f x dx ( )   x8 4  x dx3 là:



5 x

x 2

2



( )

1

dx

f x dx





x



2

x



( )

s inx

A  f x dx ( )  ln | tan 2 | x  C B  f x dx ( )  ln | tan | x  C

Trang 7

C ( ) 2ln | tan |

2

x

2

x



( )

sin

x



3



C  f x dx ( )   cot x  cot3x  C D  f x dx ( )   tan x  3tan3x  C

4

1 ( )

os



A  f x dx ( )   tan x  3tan3x  C B  f x dx ( )   cot x  cot3x  C

3



Câu 7:Nguyên hàm của  f x dx ( )   sin xcosx2 dxlà:

3

2



Câu 8:Nguyên hàm của  f x dx ( )   sin 2 x 1 cos  xdx là:



x

x ln 1

2



2

( )

ln

x

x x





A  f x dx ( )  2 ln x  2ln   ln x  C B  f x dx ( )  2 ln x  2ln x  C

C  f x dx ( )  2 ln x  ln   ln x  C D  f x dx ( )  2ln x  2ln   ln x  C

3

1 6 ln

x





A  f x dx ( )  2ln2 x  C B  f x dx ( )  ln x  ln3x  C

C  f x dx ( )  ln x  ln2x  C D  f x dx ( )  ln x  2ln2x  C

Trang 8

Câu 12:Nguyên hàm của  f x dx ( )   ex 1  e dxx là:

2

3



C  f x dx ( )   (1 3 ) 1 ex  ex  C D  f x dx ( )   (1 ex) 1  ex  C

( )

1 2

x x

e





(1 2 )x

e



4 (1 2 )x

e





(1 2 )x

e



4 (1 2 )x

e





2

( )

1

x x

e





3



B. f x dx ( )  ex  ex  2 ex  ln | ex   1| C

3



3



Dạng 3: Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần:

Câu 1: Nguyên hàm của  f x dx ( )   (2 x  3) ln xdx

2



2



Câu 2 : Nguyên hàm của  f x dx ( )   (2 x  1)sin 2 xdx

2



2



f x dx  x e dx

A  f x dx ( )  x e2 x  2 xex  2 ex  C B  f x dx ( )  x e2 x  2 x  2 ex  C

C  f x dx ( )  x2  2 xex  2 ex  C D  f x dx ( )  x e2 x  2 ex  C

Trang 9

Câu 4:Tìm nguyên hàm của hàm số  f x dx ( )   exsin 2 xdx

5

x

5

x



C  f x dx ( )  ex(sin 2 x  2cos 2 ) x  C D  f x dx ( )  5 (sin 2 ex x  cos 2 ) x  C

Câu 5:Nguyên hàm của  f x dx ( )   xe dxx

A  f x dx ( )   x ex  C B  f x dx ( )  x e x  ex  C

C  f x dx ( )   x e x  ex  C D  f x dx ( )  x e x  ex  C

Câu 6:Nguyên hàm của  f x dx ( )   x cos x dx

A  f x dx ( )  x sin x  cos x  C B  f x dx ( )  x c x os  cos x  C

C  f x dx ( )  sin x  cos x  C D  f x dx ( )  x sin x  cos x  C

Câu 7:Nguyên hàm của  f x dx ( )   ln x dx

A  f x dx ( )  x ln x  2 x  C B  f x dx ( )  x ln x   x C

C  f x dx ( )  ln x   x C D  f x dx ( )  x ln x   x C

BÀI TẬP TỔNG HỢP

3 1

f x

x





ln 3 1

3 x   C

Câu 2: Nguyên hàm của hàm: f(x) = cos(5x -2) là:

sin 5 2

5 x   C 5sin 5  x  2   C

sin 5 2

Câu 3: Nguyên hàm của hàm: f x    e 4x 1 là:

4 e x C

4

x

e  C

4

x

e   C

tan

f x  x

1

2 1

f x

x





2 x 1 C



1

2 4 x C



Trang 10

C 1 D

1



Câu 6: Một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos3x.cos2x là:

A sin x  sin 5 x B 1 1

sin sin 5

2 x  10 x

cos cos5

2 x  10 x 1 cos 1 sin 5

2 x  10 x

f x

x





Câu 8: Để F x    a cos2bx b   0  là một nguyên hàm của hàm số f(x) = sin2x thì a và b có giá trị lần lượt là:

Câu 9: Một nguyên hàm của hàm f x     2 x  1  e1x là:

1

. x

x e

1 2 . x

2

1 x

x  e

1

x

e

F x  e  e  x

A f x    ex  ex 1 B   2

2

1

f x  e  e 

C f x    exex 1 D   2

2

1

f x  e  e 

f x  x  x  x 

12

F x  x  x 

12

8

F x  x  x  x 

F x x x x  x

Câu 12: Nguyên hàm của   x x x x là:

f x











Câu 13: Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x + sinx thỏa mãn F   0  19 là:

A   osx+ 2 B

2

x

F x  c   cos 2 18

2

x

F x  x  

2

x

2

x

F x  c 

Câu 14: Cho f '   x   3 5sinx và f(0) = 10 Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng:

Trang 11

A f(x) = 3x +5cosx +2 B 3

f       

 

Câu 15: Cho hàm số y = F(x) có đạo hàm là   1 và F(1) = 1 thì F(5) bằng:

2 1

f x

x





I   x x  dx

A Đăt u = 2x thì I   udu

B Đặt u = x2 -1 thì I   udu

C Đặt với u  x2 1 thì 2

2

I   u du

D Trong 3 câu trên có 1 câu sai.

Câu 17: Để tính nguyên hàm I =  x2 1  x dx3 , bạn A đặt 3 , bạn B đặt , bạn C đặt t = x2 thì bài

1

t   x

toán sẽ tìm được nguyên hàm theo biến t Hãy chọn phương án đúng

A bạn A và bạn B B Bạn B và bạn C

C bạn A và bạn C D cả 3 bạn A, B, C

1  x dx

1

t

x





toán sẽ tìm được nguyên hàm theo biến t Hãy chọn phương án đúng

A Bạn A và bạn B B Bạn B và bạn C

C Bạn A và bạn C D cả 3 bạn A, B, C

Câu 19: Để nguyên hàm J =  x5 1  x dx3 . thành 2 2 4 thì ta đặt ẩn phụ t bằng :

3 t t dt

  

1  x dx

t

1

t

x



x dx x

là:

4 4 ln 1

3

t

B

3

2

4 4 ln 1

3

t

C

3

2

4 4 ln 1

3

t

Trang 12

D 2 2  .

4 4 ln 1

3

t

2

1 4

dx

x x 

t Ta có nguyên hàm sai là

ln

t



ln

t t





ln t2 ln t2

7

x dx

e 

e

2 

2

7 dt

t 

2

7 dt

t t 



7

t

dt

t 

7

t dt

t t 



x x dx

e  e 

1

3 2 dt

t   t



A e – x B ex C e x2ex3 D 1

x x

e  e 

Câu 25: Tính nguyên hàm sau I = 1 Đặt t = ex thì nguyên hàm thành

1

x x

e dx e









 1 1 t dt

t   11t dt

t t



 11 t tdt

t





 1 1 t dt t

HỌC KỲ II

CHỦ ĐỀ 2: TÍNH TÍCH PHÂN Dạng 1: Áp dụng trực tiếp các công thức nguyên hàm các hàm số sơ cấp:

Câu 1: Tính tích phân

1 4 0

( 1)

I   x   x dx

10

3

7

10

I  

Câu 2 : Tính tích phân

4

1

x dx x





A I   2 2ln 2 B I   2 ln 2 C I  4ln 2 D I   2 2ln 2

Câu 3:Tính tích phân

2 3 1

1

x



 

7

8

10

3

I 

Trang 13

0

1

x







A I  ln2

ln2 3

ln3 2

I 

x







ln 2 2

2 2 1

1 9

x







ln

6ln 5

I 

2

0

sin 2 cos 2



 

A I  8

8

7

I 

4 4

2 0

1 os os





 

8

4

0

sin 2 (1 t anx)



ln 2

2 0

(1 2 )x

I    e dx

3 0

1 3 x

x

e



 

24

23

24

I  

1

0

2 (1 3 )x x

ln 2 ln 6

2

0

| 1|

I   x x  dx

Trang 14

Câu 14:Tính tích phân 2

2



2

cos | s inx|





 

A

2

I  

B

2

x

I  2 

4 2 3

sin

sin 1



1

2

1 2

2

I 

2

ln 2

0

(1 x)

x

e



 

2ln 2 3

2ln 2 2

3ln 2 2

2

I 

Câu 18 :Tính tích phân

1

0

x









Dạng 2: Phương pháp đổi biến:

3

2

x







Câu 2 :Tính tích phân

2

1

5

I   x  x dx

5

15

8

I 

1

2 0

x







10

3

1 6





Trang 15

Câu 5:Tính tích phân 3 2 6

0

I   x x  dx

12

112

12

I  

0

1

I   x x  x  dx

A

3

7 7

15 4

3

3 7 15

6

2 0

sin 6 cos 3



 

11

9

3

6

I 

0



4

2

I 

2

0

sin 4

1 cos

x









4ln 2 3

ln 2 3

8 3

ln

e

x dx

x x



A I  4ln 2 B I   2 2ln 2 C I   2 2ln 2 D I   2 ln 2

3

1

1 6 ln

x



 

5

6

3

6

I 

3

1

e

x



 

15

86

5

I 

ln 2 2

x x

e dx

e 



ln 3

x x

e





3



Trang 16

C I  2(2  2) D 3



ln 2 2 0

1 1

x

e







ln

3

ln

ln 3 2

2ln 2

I 

1 2

4 0

( 1)

x









8

7

8

3

I 

1



x

7

25

7

I 

7 3

0

1

I   x x  dx

28

I 

7 2

3 0

1





ln

I 

2





 x

x

27

7

13

25

I 

3 3

5 3

0

1

I   x x  dx

45

0

2 1

1

x









2

2 1

2

1

2

2 1

2

Dạng 3: Dùng phương pháp tích phân từng phần:

1

2 0

(2 1) x

I   x  e dx

Trang 17

Câu 2 : Tính tích phân

0

1

x

e



 

3

I

e

3

I e

3

e

  

2

1

3 0

I   x  x e dx

A I  e2

2

0

(2 1)s inx



2 2 0

cos



 

A

2

1

C

2 1

D

2 1

4 2

x



 

ln 2

4

ln

 

2

1

ln x

I   x dx

2ln 2

4

ln 2 4

2 3 1

ln x

x

 

ln 2

8ln 2

16

ln 2

16

8ln 2

3

1

2 0

( 1)

x









2

0

sin

x



 

Trang 18

A 1 2

3 2



1 2



2

1

1 2



2

0

1 s inx

x

e





 

A 2 1 e 2





2

3 1





2

2 1





2

3 1





CHỦ ĐỀ 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Câu 1: Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị

hàm số y ฀฀f(x), trục Ox và hai đường thẳng x ฀฀a, x ฀฀b(a ฀฀b), xung quanh trục Ox.

A 2( )

b

a

b

a

b

a

b

a

V    f x dx

Câu 2 : Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm sốy  2( x  1) ex, trục tung và trục hoành Tính thể tích

V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox.

5

Câu 3 : Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong:(C) : y x 2, trục hoành và hai đường thẳng x =

x





1, x = 3

S 2 ln

3

S ln 3



C S  2 ln 4

S 2 ln

4



Câu 4: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường :(C) : 2, trục hoành và đường thẳng x =

y  x 1 x  1

3

C 1

3

5

Câu 5: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường :(P) : y = x3, (d): y = – x , x = – 1 và x = 1

S

2

S 4

S 2



Câu 6: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong:

(C): y = x2 – 2x và (C’): y = – x2 + 4x

Câu 7: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:(C): y = 2x, (d): y = –x + 1 và x = 1

S ln 2

2

S

ln 2 2

S

ln 2 2

S

ln 2 2

Câu 8: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi (P): y = x2 tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ bằng 1 và trục hoành:

Trang 19

A 1

S

12

S 12

S 4



Câu 9: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) có phương trình y = lnx, trục hoành và đường thẳng x = e

(C) : y  sin x cos x 1 3cos x 

và hai đường thẳng x 0, x

2



S

135

S 135

S 15



(C) : y  2  x

(C ') : y | x | 

2



3



2

S 2



2





(C) : y

x



đường thẳng x = 1

S 2 ln 2

2

B S  2 ln 2

C S  3ln 2 1 

S 2 ln 2

2

Câu 13: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) có phương trình 2 , trục tung và hai

x  y  3y đường thẳng y   1, y  1

Câu 14: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi (P): y2 – 2y + x = 0 và (d) : x + y = 0

S

2

S 2

S 8



Câu 15: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y x , trục Ox, và

x 1



 hai đường thẳng x = 1, x = 2 khi quay quanh trục hoành

2

    

C 1

2

    

Câu 16: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong x, trục hoành và

y  xe hai đường thẳng x = 1, x = 2 khi quay quanh trục hoành

2

   

Câu 17: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường x, trục Ox,

y  x 1.e 

và đường thẳng x = 2 khi quay quanh trục hoành

A V  (e4 e )2 

2

Trang 20

C 1 4 2

4

Câu 18: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường (C): y  x và (P): y =

x2 khi quay quanh trục hoành

V

8



10



V 10





Câu 19: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong(C) : y x 1, đường

x



 thẳng (d): y   1 x và đường thẳng x = –2 khi quay quanh trục hoành

6

    

3

4

6

3

2

Câu 20: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x ln x,y = 0 và đường thẳng x = 2 khi quay quanh trục hoành

V 4 ln 2

4

V 2 ln 2 2 ln 2

4

C V   2 ln 22   2 ln 2

V 2 ln 2 2 ln 2

4

y  s inx 4 cos x  ,y = 0 và hai đường thẳng x 0, x khi quay quanh trục hoành

2



V

15

V 15

V 5

V 15

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CHƯƠNG TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

ĐỀ SỐ 1:

Câu 1 :

Tính:

0

sin

L x xdx





Câu 2 :

Tính tích phân sau:

2

0 1

x  dx



Câu 3 :

Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số:

2

1 4





y

x

( )ln  4

( )ln  4

( )2 4

Câu 4 :

1

1 ( ) ln

e

x

  

4

1

e



Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	324,4 KB