Toán học 12 Chuyên đề: Nguyên hàm Tích phân26754

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂNI.. LÝ THUYẾT 1 Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp... Nhận biết: khi đặt ẩn ta không thể biến đồi các biểu thức về cùng ẩn vừa đặt b.

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

I LÝ THUYẾT

1) Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp.

∝+ 1+�, ∝≠‒ 1 1

ln�+� 1

1

1

�'( ∝+ 1)+� 1

�

ln |�|

�' +�

�'+�

�'(ln �)+� 1

�'.�+�

Lưu ý: Hàm số u thường là u=f(x)=ax+b và u’=a

2) Phương pháp đổi biến số

Đặt u=f(x)  u’.du=f’(x).dx

Đưa tích phân ban đầu về một tích phân mới với biến u

Giải tích 12 Chương 3

Trang 2

Hệ quả: ∫�(�� + �)�� =1

��(�� + �) + � , �ớ� � ≠ 0 Lưu ý: Đặt u thường là các hàm có dấu căn, lượng giác, lnx, hàm mũ,

3) Phương pháp nguyên hàm / tích phân từng phần

∫��� = �� ‒∫���

�

∫� ��� = ��|�� ‒

�

∫� ���

Lưu ý:

a Nhận biết: khi đặt ẩn ta không thể biến đồi các biểu thức về cùng ẩn vừa đặt

b Thường ưu tiên đặt u là các hàm lnx, hàm đa thức (x, 1-x, 4x+3, )

c Thường ưu tiên đặt dv là các hàm sin, cos, ex, hàm mũ…

d Đối với các hàm lượng giác có số mũ từ 2 trở lên thì dùng Công thức hạ bậc:

sin2� =1‒ ���2�2 ;cos2� =1 +���2�2 sin3� =3���� ‒ ���3�4 ;cos3� =���3� + 3����4

4) Các tính chất của tích phân.

�)

�

∫

�

�(�)�� = �(�)|��=�(�) ‒ �(�)

�)

�

∫� �(�)�� =‒

�

∫� �(�)��

�)

�

∫� �(�)�� +∫�

��(�)�� =

�

∫� �(�)��, �ớ� � < � < �

II BÀI TẬP

Bài 1 Tính các nguyên hàm sau:

1)∫ (3� + �1 ‒ 2�)��

(1 +�)(1 ‒ 2�)��

3)∫sin3�cos 5���

4)∫(1‒ �)4��

5)∫�2 3

1 +�3�� �ớ� � >‒ 1 6)∫��‒ �2��

(1 +�2)2��

(1‒ �) ���

9)∫(���)2

� ��

10)∫ ����

3 cos2���

��‒ �‒ ���

12)∫�(3 ‒ �)5��

13)∫� 2 ‒ 5���

14)∫���(1 + �)��

15)∫(1‒ 2�)����

16)∫ (�2

+2� ‒ 1)����

17)∫(1‒ �)������

18)∫����2���

19)∫ �ln2���

20)∫���� + 1 �� � ‒ 1

21)∫ln (cos�)

cos2� ��

22)∫ �

sin2���

23)∫(� + ���)�2��

24)∫ (� + ��)�2���

25)∫(� + sin2

�)sin ��� 26)∫��cos� +(��+ 1)sin�

27)∫(� + sin �) ��

cos2� 28)∫(2� ‒ 3) � ‒ 3��

Bài 2 Tính các tích phân sau:

1)

2

∫

0

1

�2‒ 2� ‒ 3��

2)

2

∫

0

�(� + 1)2��

3)

2

∫

1

1‒ 3�

(� + 1)2��

4)

�

2

∫

‒�2

sin�cos 5���

5)

2

∫

0

|1‒ �|��

6)

�

2

∫

0

sin2���

7)

��2

∫

0

�2� + 1+ 1

�� ��

8)

3

∫

0

�2

(1 +�)

3 2

��

9)

1

∫

0

1‒ �2��

10)

1

∫

0

1

1 +�2��

11)

1

∫

0

��(1 +�)

1 +��� ��

12)

� 2

∫

0

1

�2‒ �2��, �ớ� � > 0 13)

�

∫0 1

�2

+�2��, �ớ� � > 0 14)

9

∫

1

�3

1‒ ���

15)

4

∫

0

4� ‒ 1 2� + 1 + 2��

16)

1

∫

‒ 1

�2(1‒ �3)4��

17)

1

∫0 ln (1 +�)��

18)

� 2

∫

0

(� + 1)sin ���

19)

�

∫

1

�2

ln���

Giải tích 12 Chương 3

Trang 4

20)

ln 2

∫0 ��‒ 2���

21)

3

∫

2

[ln (� ‒ 1) ‒ ln (� + 1)]��

22)

2

∫

1

2

(1 +� +1�)�� +

1

���

23)

�

2

∫

0

�cos �sin2���

24)

1

∫0 ���

(1 +�)2��

25)

�

∫

1

1 +�ln �

� ����

26)

�

2

∫

0

1 (sin� + 2cos �)2��

27)

�

∫

0

(� + sin �)2

��

28)

�

∫

1

4 + 5ln�

29)

1

∫0 � + 2

�2

+2� + 1ln (� + 1)��

30)

�

∫

0

�sin � + (� + 1)cos �

�sin � + cos � ��

31)

�

2

∫

0

sin3�

2cos3� + 1��

32)

2

∫

1

ln�

���

33)

�

∫0 sin2�

cos2� + 4sin2���

34)

1

∫

0

2� ‒ 1

�2

+� + 1��

35)

�2 9

∫

0

sin ���

36)

�

7 3

∫

1

��

�3 1 +3���

37)

� 2

∫�

3

sin� cos2� ‒ cos ���

38)

� 2

∫

0

(cos3� ‒ 1)cos2���

39)

3

∫

1

3 + ln� (� + 1)2��

40)

�

∫1 ln�

�(2 + ln �)^2��

41)

� 2

∫

0

sin2� + sin �

1 + 3cos� ��

42)

2 2

∫

3

��

� �2

+ 1

43)

� 4

∫

0

1‒ 2sin2�

1 + sin2���

44)

2

∫

1

�

1 + 1‒ ���

45)

3

∫2 ln(�2‒ �)��

MÔN: GIẢI TÍCH 12 - CHƯƠNG 3

ĐỀ:

Bài 1: (7,0 điểm)

Tìm các nguyên hàm sau:

�)∫�2

(2‒ � + cos �)��

�)∫(� +1�)ln2���

Bài 2: (3,0 điểm)

Tìm hàm số F(x) biết rằng F(x) là một nguyên hàm của f(x)=3x2-2 và F(-1)=5

Bài làm

KIỂM TRA 15 PHÚT MÔN: GIẢI TÍCH 12 - CHƯƠNG 3 ĐỀ: Tính các tích phân sau: 1) � 2 ∫ 0 sin2� 1 + 3cos ��� (3,0 đ) 2) ��3 ∫ 0 (2� ‒ �2�)���� (4,0 đ) 3) 2 ∫ 1 2 (1 +2� +1�)(2‒ 1 �2)ln(2� +1�)�� (3,0 đ) Bài làm