Chuyên đề giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (2022) toán 12

Chuyên đề Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 A Lý thuyết I Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D n[.]

Chuyên đề Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12

A Lý thuyết

I Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D

a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D

nếu f(x)  ≤  M với mọi x thuộc D và tồn tại x0∈D sao cho f(x0) = M

Kí hiệu: M=maxDfx

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D

nếu f(x)  ≥m với mọi x thuộc D và tồn tại x0∈D sao cho f(x0) = m

Kí hiệu: m=minDfx

- Ví dụ 1 Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số không có giá trị lớn nhất

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 9 tại x = – 3

II Cách tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

1 Định lí

Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó

2 Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

- Nhận xét:

Nếu đạo hàm f’(x) giữ nguyên dấu trên đoạn [a; b] thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn Do đó, f(x) đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn

Nếu chỉ có một số hữu hạn các điểm xi (xi < xi+ 1) mà tại đó f’(x) bằng 0 hoặc

không xác định thì hàm số y = f(x) đơn điệu trên mỗi khoảng (xi; xi+1) Rõ ràng, giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số trên đoạn [a; b] là số lớn nhất (số nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm số tại hai đầu mút a; b và tại các điểm xi nói trên

- Chú ý: Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất trên khoảng đó Chẳng hạn hàm số   không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0; 1)

Tuy nhiên, cũng có những hàm số có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất trên một khoảng như ví dụ sau:

Ví dụ 2 Tìm giá trị lón nhất, nhỏ nhất của hàm số trên

Do đó giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [−2;1] là -1, tại x =0

Chọn B

Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

Lời giải

TXĐ: Đặt D = [1; 3]

Chọn C

A M=0

B M=9

C M=55

D M=110

Lời giải

Chọn C

Lưu ý: Hàm trị tuyệt đối không âm

Bài 5 Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số

A m=−24

B m=−12

C m=−9

Lời giải:

Cách 2 Sử dụng chức năng MODE 7 và nhập

Quan sát bảng giá trị F ( X ) ta thấy giá trị lớn nhất F ( X ) bằng - 2 khi X = 3

Bài 8 Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm

A Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại x=−1 và giá trị lớn nhất tại x=1

B Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại x=1 và giá trị lớn nhất tại x=−1

C Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại x=−1 nhưng không có giá trị lớn nhất

D Hàm số không có giá trị nhỏ nhất nhưng có giá trị lớn nhất tại x=1

Cách 2: Sử dụng công cụ TABLE (MODE 7)

Bước 1: Bấm tổ hợp phím MODE 7

Bước 2: Nhập

Sau đó ấn phím = (nếu có g(X) thì ấn tiếp phím =) sau đó nhập

Dựa vào bảng giá trị ở trên, ta thấy

II Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1 Dựa vào đồ thị (H.7, H.8), hãy chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất):

Tại x = 3 hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 0

Xét dấu đạo hàm:

Bài 2 Giả sử f(x) đạt cực đại tại xo Hãy chứng minh khẳng định 3 trong chú ý trên

bằng cách xét giới hạn tỉ số khi trong hai trường hợp

Lời giải:

a,Hàm số y = -2x + 1 không có cực trị

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và đạt cực tiểu tại x = 3

b, Nếu hàm số có cực trị thì dấu của đạo hàm bên trái và bên phải điểm cực trị sẽ khác nhau

Bài 4 Chứng minh hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0 Hàm số có đạt cực trị tại điểm đó không ?

Lời giải:

Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x = 0

Nhưng dựa vào đồ thị của hàm số y = |x| Ta có hàm số đạt cực trị tại x = 0

Bài 5 Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm s f(x) = x(x2 – 3)

Lời giải:

1 TXĐ: D = R

2 f’(x) = 3x2 – 3 Cho f’(x) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -1

3 Ta có bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị cực đại là 2

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và giá trị cực tiểu là -2

Bài 6 Áp dụng Quy tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau: a) y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10

y' = 6x2 + 6x - 36

y' = 0 ⇔ x = -3 hoặc x = 2

Bảng biến thiên:

Kết luận :

Hàm số đạt cực đại tại x = -3 ; yCĐ = 71

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; yCT = -54

c) TXĐ: D = R \ {0}

y' = 1

y' = 0 ⇔ x = ±1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1; yCĐ = -2;

hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; yCT = 2

Vậy hàm số đạt cực đại tại x =

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x =

Bài 7 Áp dụng Quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

+ y' = 2cos2x – 1;

+ y" = -4.sin2x

⇒ (k ∈ Z) là các điểm cực đại của hàm số

⇒ (k ∈ Z) là các điểm cực tiểu của hàm số c) TXĐ: D = R

+ y’ = cos x – sin x

+ y’’ = -sin x – cos x =

⇒ là các điểm cực đại của hàm số

⇒ là các điểm cực tiểu của hàm số

⇒ x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số

Bài 8 Hàm số nào sau đây không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn 2;2]?

[-Lời giải:

Bài 10 Tìm điểm cực đại của hàm số với x ∈ (0; π)

Bài 3 Điểm cực đại của hàm số y = -x3 - 3x2 + 1 là?

Bài 4 Điểm cực tiểu của hàm số y = x4 + 4x2 + 2 là?

Bài 5 Tìm a, b, c sao cho hàm số y = x3 + ax2 + bx + c có giá trị bằng 0 khi x = 1 và đạt cực trị khi bằng 0 khi x = -1

Bài 6 Giá trị của m để hàm số y = x3 - 3mx2 + (m2 - 1)x + 2 đạt cực đại tại x = 2 là?

Bài 7 Với giá trị nào của m, hàm số y = (x - m)3 - 3x đạt cực tiểu tại điểm có hoành

Bài 10 Với giá trị nào của m, đồ thị hàm số y = x3 - 3mx2 + m có hai điểm cực trị

B, C thẳng hàng với điểm A(-1;3)?