Chuyên đề hàm số lũy thừa (2022) toán 12

Chuyên đề Hàm số lũy thừa Toán 12 A Lý thuyết I Khái niệm – Hàm số y = xα, với α∈ ℝ, được gọi là hàm số lũy thừa Ví dụ 1 Các hàm số là những hàm số lũy thừa – Chú ý Tập xác định của hàm số lũy thừa y[.]

Chuyên đề Hàm số lũy thừa - Toán 12

+ Với α nguyên âm hoặc bằng 0; tập xác định là R\{0}

+ Với α không nguyên, tập xác định là (0;  + ∞)

II Đạo hàm của hàm số lũy thừa

– Hàm số lũy thừa y  =  xα  (  α∈ℝ) có đạo hàm với mọi x > 0 và

– Ví dụ 2

– Chú ý: Công thức tính đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số lũy thừa có dạng:

– Ví dụ 3 Tính đạo hàm của hàm số

Lời giải:

III Khảo sát hàm số lũy thừa y = x α

Tập xác định của hàm số lũy thừa luôn chứa khoảng (0;  + ∞) với a∈R Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số y  =xα trên khoảng này (gọi là tập khảo sát)

Đồ thị của hàm số lũy thừa y = xα luôn đi qua điểm (1; 1)

– Chú ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên

Chiều biến thiên y'  =  

Ta có: y’ < 0 trên khoảng D =  0;  +∞ nên hàm số đã cho nghịch biến

Tiệm cận:

Đồ thị có tiệm cận ngang là trục hoành và có tiệm cận đứng là trục tung

Bảng biến thiên

3 Đồ thị

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số lũy thừa y  = xα trên khoảng (0; + ∞)

B Bài tập

I Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số

A x=4 và

Viết lại các số dưới dạng cùng căn bậc 6:

Do 12 < 18 < 24 < 54 nên d < b < c < a các số theo thứ tự tăng dần là d,b,c,a

Chọn đáp án D

Bài 10: Tìm đạo hàm của hàm số

Lời giải:

Viết lại hàm số dưới dạng lũy thừa

Sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp ta có

Chọn đáp án B

II Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Tìm đạo hàm của hàm số

Lời giải:

Viết lại hàm số dưới dạng lũy thừa

Bài 2: Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y=2x tại một điểm nằm bên phải trục tung Tìm tọa độ điểm này

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm

Bài 3: Đường thẳng x = α ( α là số thực dương) cắt đồ thị các hàm số

lần lượt tại hai điểm A và B Biết rằng tung độ điểm A bé hơn tung độ điểm B Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Từ giả thiết suy ra f(α) < g(α)

Nhận xét Ở đây ta sử dụng tính chất:

Nếu a > 1 thì aα > aβ <=> α > β ;

Nếu 0 < a < 1 thì aα > aβ <=> α < β

Học sinh có thể không áp dụng tính chất trên mà giải tiếp:

Ta thấy y'(x) < 0 <=> x > 2 nên hàm số nghịch biến trên (2; +∞) , và do đó, hàm số nghịch biến trên (5; +∞)

Bài 5: Tìm các điểm cực trị của hàm số

Lời giải:

y’ đổi dấu khi qua điểm nên hàm số có một điểm cực trị là

Bài 6: Tìm các điểm cực trị của hàm số

Lời giải:

y'= 0 <=> x2 + x - 2 = 0 <=> x = -2 (loại) hoặc x = 1

y' đổi dấu khi đi qua điểm x = 1 nên hàm số có một điểm cực trị là x = 1

Bài 7: Tìm các điểm cực trị của hàm số

Lời giải:

y’ đổi dấu khi đi qua điểm nên hàm số có một điểm cực trị là

Bài 8: Tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Lời giải:

y' = 0 <=> x = 8

Ta có: y(1) = 19, y(8) = 48, y(10) = ≈ 46,6 > 19

Từ đó:

Bài 10: Với là một số thực dương và hàm số

nghịch biến trên khoảng (0; +∞) Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Hàm số

nghịch biến trên (0; +∞) nên

III Bài tập vận dụng

Bài 1

Bài 2 Tìm các khoảng đồng biến của hàm số

Bài 3 Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ đồ thị của các hàm số sau và nêu nhận xét về tập xác định của chúng:

Bài 4 Tìm tập xác định của các hàm số:

Bài 5 Tính đạo hàm của các hàm số:

Bài 6 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

Bài 7 Hãy so sánh các số sau với 1:

Bài 9 Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ đồ thị của các hàm số sau và nêu nhận xét về

tập xác định của chúng:

Bài 10 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số: