Chuyên đề Số phức Toán 12 A Lý thuyết 1 Số i Số i là số thỏa mãn i2 = –1 2 Định nghĩa số phức Mỗi biểu thức dạng a + bi , trong đó a; b∈R; i2 = –1 được gọi là một số phức Đối với số phức z = a + bi, t[.]
Trang 1Chuyên đề Số phức - Toán 12
A Lý thuyết
1 Số i
Số i là số thỏa mãn: i2 = –1
2 Định nghĩa số phức
Mỗi biểu thức dạng a + bi , trong đó a; b∈R; i2 = –1 được gọi là một số phức Đối với số phức z = a + bi, ta nói: a là phần thực, b là phần ảo của z
Tập hợp các số phức kí hiệu là C
Ví dụ 1 Các số sau là những số phức: 2 – 3i; –8 + 4i;
Ví dụ 2 Số phức 6 – i có phần thực là 6, phần ảo là – 1
3 Số phức bằng nhau
– Định nghĩa : Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương
ứng bằng nhau :
a + bi = c + di a = c và b = d
Ví dụ 3 Tìm các số thực x và y biết :
(2x – 1) + (y – 2)i = 3 + (4 – y)i
Lời giải:
Ta có : (2x – 1) + (y – 2)i = 3 + (4 – y)i
Trang 2Vậy x = 2 và y = 3
– Chú ý :
a) Mỗi số thực a được coi là một số phức với phần ảo bằng 0: a = a + 0i
Như vậy, mỗi số thực cũng là một số phức Ta có : R⊂C
b) Số phức 0 + bi được gọi là số thuần ảo và viết đơn giản là bi : bi = 0 + bi
Đặc biệt : i = 0 + 1.i
Số i được gọi là đơn vị ảo
Ví dụ 4
4 Biểu diễn hình học số phức
Điểm M(a ; b) trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z = a + bi
Trang 3Ví dụ 5
Điểm A biểu diễn số phức 2 – 2i
Điểm B biểu diễn số phức 4
Điểm C biểu diễn số phức – 2
Điểm D biểu diễn số phức 2 + 3i
Điểm E biểu diễn số phức 2
Điểm F biểu diễn số phức – 3 + 2i
Điểm G biểu diễn số phức –2 – 3i
5 Mô đun của số phức
Giả sử số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) trên mặt phẳng tọa độ
Độ dài của vecto OM→ được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là |z|
Vậy
Trang 4Ta thấy:
Ví dụ 6
6 Số phức liên hợp
– Định nghĩa : Cho số phức z = a + bi Ta gọi a – bi là số phức liên hợp của z và kí
hiệu là z¯ = a−bi
Ví dụ 7
Nếu z = – 3 + 5i thì z¯ = −3− 5i
Nếu z = – 4 + 4i thì z¯ = −4−4i
– Nhận xét :
+ Trên mặt phẳng tọa độ các điểm biểu diễn z và z¯ đối xứng nhau qua trục Ox
+ Từ định nghĩa ta có:
B Bài tập
I Bài tập trắc nghiệm
Bài 1: Môđun của số phức z = -3 + 4i là
A 5
B -3
C 4
Trang 5D 7
Lời giải:
Ta có: z = -3 + 4i
D 7
Lời giải:
Ta có:
Bài 3: Số phức z = 1 - 2i có điểm biểu diễn là
A M (1; 2)
B M (1; -2)
C M (-1; 2)
D M (-1; -2)
Trang 6Lời giải:
Số phức z = 1 - 2i có điểm biểu diễn là M(1; -2)
Bài 4: Hai điểm biểu diễn hai số phức liên hợp z = 1 + i và z− = 1 - i đối xứng nhau qua
A Trục tung
B Trục hoành
C Gốc tọa độ
D Điểm I (1; -1)
Lời giải:
Hai điểm biểu diễn của z = 1 + i và z− = 1 - i là M(1; 1) và N(1; -1) đối xứng với nhau qua trục Ox
Bài 5: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z| = 2 là
A Hai đường thẳng
B Đường tròn bán kính bằng 2
C Đường tròn bán kính bằng 4
D Hình tròn bán kính bằng 2
Lời giải:
Gọi M là diểm biểu diễn của z Ta có: |z| = 2 ⇔ OM = 2
Vậy quỹ tích của M là đường tròn tâm là gốc tọa độ O và bán kính R = 2
Trang 7Bài 6: Gọi A, B là các điểm biểu diễn của các số phức z1 = -1 + 2i, z2 = 2 + 3i Khi đó, độ dài đoạn thẳng AB là
D 10
Lời giải:
Ta có: A(-1;2), B(2,3) Do đó:
Bài 7: Cho số phức z = 2 – 2i Tìm khẳng định sai
A Phần thực của z là: 2
B Phần ảo của z là: -2
C Số phức liên hợp của z là z− = -2 + 2i
D Môđun của z là
Lời giải:
Số phức liên hợp của z là z− = 2 + 2i nên khẳng định C là sai
Chọn đáp án C
Bài 8: Cho số phức z = -1 + 3i Phần thực, phần ảo của z− là
Trang 8A -1 và 3
B -1 và -3
C 1 và -3
D -1 và -3i
Lời giải:
Ta có z = -1 + 3i => z− = -1 - 3i
Vậy phần thực và phần ảo của z− là -1 và -3
Chọn đáp án B
Bài 9: Môđun của số phức z thỏa mãn z− = 8 - 6i là
A 2
B 10
C 14
Lời giải:
Ta có
Chọn đáp án B
Bài 10: Tìm các số thực x, y sao cho (x – 2y) + (x + y + 4).i = (2x + y) + 2yi
A x = 3, y = 1
Trang 9B x = 3, y = -1
C x = -3, y = -1
D x = -3, y = 1
Lời giải:
Ta có (x – 2y) + (x + y + 4).i = (2x + y) + 2yi
Vậy x = -3, y = 1
Chọn đáp án D
II Bài tập tự luận có lời giải
Bài 1: Hai số phức z1 = x - 2i, z22 + yi (x, y ∈ R) là liên hợp của nhau khi
Lời giải:
Ta có z1− = x + 2i Do đó, hai số phức đã cho gọi là liên hợp của nhau khi và chỉ khi
Vậy x= 2, y = 2
Bài 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thòa mãn |z| = |1 + i| là
Lời giải:
Ta có |1 + i| = Gọi M là điểm biểu diễn của z ta có |z| = OM
Trang 10Do đó: |z| = |1 + i| ⇔ OM =
Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm O, bán kính R=
Bài 3: Phần thực của số phức z = -i là
Lời giải:
Ta có: z = -i = 0 - i nên phần thực của số phức z = -i là 0
Bài 4: Phần ảo của số phức z = -1 là
Lời giải:
Ta có: z= -1 = -1 + 0.i nên phần ảo của số phức z = -1 là 0
Bài 5: Số phức liên hợp của số phức z = 1 + i là
Lời giải:
Số phức liên hợp của số phức z = 1 + i là z− = 1 - i
Bài 6: Cho z = 2i -1 Phần thực và phần ảo của z− là
Lời giải:
Ta có z = 2i - 1 = -1 + 2i ⇔ z− = -1 - 2i Vậy phần thực của z− là -1 và phần ảo của z− là -2
Bài 7: Cho số phức z = 2 – 2i Tìm khẳng định sai
A Phần thực của z là: 2
B Phần ảo của z là: -2
C Số phức liên hợp của z là z− = -2 + 2i
Trang 11D Môđun của z là
Lời giải:
Số phức liên hợp của z là z− = 2 + 2i nên khẳng định C là sai
Bài 8 Cho số phức z = -1 + 3i Phần thực, phần ảo của z− là?
Lời giải:
Ta có z = -1 + 3i => z− = -1 - 3i
Vậy phần thực và phần ảo của z− là -1 và -3
Bài 9 Môđun của số phức z thỏa mãn z− = 8 - 6i là
Lời giải:
Ta có
Bài 10 Tìm các số thực x, y sao cho (x – 2y) + (x + y + 4).i = (2x + y) + 2yi
Lời giải:
Ta có (x – 2y) + (x + y + 4).i = (2x + y) + 2yi
Vậy x = -3, y = 1
III Bài tập vận dụng
Trang 12Bài 1 Hai số phức z1 = x - 2i, z22 + yi (x, y ∈ R) là liên hợp của nhau khi?
Bài 2 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thòa mãn |z| = |1 + i| là?
Bài 3 Phần thực của số phức z = -i là?
Bài 4 Phần ảo của số phức z = -1 là?
Bài 5 Gọi A, B là các điểm biểu diễn của các số phức z1 = -1 + 2i, z2 = 2 + 3i Khi
đó, độ dài đoạn thẳng AB là?
Bài 6 Số phức liên hợp của số phức z = 1 + i là?
Bài 7 Cho z = 2i -1 Phần thực và phần ảo của z− là?
Bài 8 Môđun của số phức z = -3 + 4i là?
Bài 9Gọi A, B là các điểm biểu diễn của các số phức z1 = -1 + 2i, z2 = 2 + 3i Khi
đó, độ dài đoạn thẳng AB là?
Bài 10 Hai điểm biểu diễn hai số phức liên hợp z = 1 + i và z− = 1 - i đối xứng nhau
qua?